Université Paris 7 – Denis Diderot Année universitaire 1998-1999 UFR de Mathématiques Groupes et Algèbres de Lie DEA de Mathématiques 14/06/1999

Examen de Juin 1999 (2^{e} session)

Avertissement : Documents et calculettes sont interdits.

1) Soit n ≥ 1. On rappelle que toute matrice diagonale H de 𝔤𝔩(n, C) à coefficients diagonaux λ_{1}, …, λ_{n} vérifie ad(H).E_{i,j} = (λ_{i} − λ_{j}) E_{i,j}.

Pour 1 ≤ i ≤ n, on pose i^{∗} = (n + 1) − i. Pour une matrice A = (a_{ij}) de taille n × n, on définit la matrice cotransposée A^{∗} par a_{ij}^{∗} = a_{j^{∗},i^{∗}}. Soit J la matrice de coefficients δ_{i,i^{∗}} (symbole de Kronecker). Soit 𝔤 l’algèbre de Lie complexe

𝔰𝔭(2n, C) = \{X ∈ 𝔤𝔩(2n, C) | ^{t}X [ \begin{matrix}0 & J \\ −J & 0 \end{matrix} ] + [ \begin{matrix}0 & J \\ −J & 0 \end{matrix} ] X = 0\}
= \{[ \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ] ∈ 𝔤𝔩(2n, C) | D = −A^{∗} , B = B^{∗} , C = C^{∗}\}.

a) Soit n = 3. Montrer que la sous-algèbre 𝔥 de 𝔤 formée des matrices diagonales appartenant à 𝔤 est une sous-algèbre de Cartan et déterminer (en même temps) le système de racines de (𝔤, 𝔥).

b) Soit X ∈ 𝔥. Décrire le centralisateur 𝔤(X) de X dans 𝔤 à l’aide des espaces poids 𝔤^{α} de (𝔤, 𝔥).

c) Montrer que 𝔤(X) admet une forme invariante non-dégénérée (et qu’elle est donc réductive au sens de l’exercice suivant).

d) Montrer qu’on peut choisir X tel que [𝔤(X), 𝔤(X)] soit isomorphe à 𝔰𝔩(2, C) ⊕ 𝔰𝔩(2, C).

2) Soit 𝔤 une algèbre de Lie réelle et V un 𝔤-module de dimension finie muni d’une forme invariante et définie positive. Soit ρ : 𝔤 → 𝔤𝔩(V) la représentation associée à V.

a) Montrer que pour tout X ∈ 𝔤, les valeurs propres (complexes) de l’opérateur ρ(X) sont imaginaires pures.

b) Déduire que la forme invariante b_{V} : 𝔤 × 𝔤 → R associée à V est négative.

3) Soit G un groupe de Lie (réel) compact et 𝔤 son algèbre de Lie. On se propose de montrer que 𝔤 →^{∼} 𝔠×𝔰, où 𝔠 est abélienne, 𝔰 semi-simple et la forme de Killing de 𝔰 est définie négative. a) Montrer que 𝔤 admet un produit scalaire

b : 𝔤 × 𝔤 → R

tel que Ad(g) est une transformation orthogonale pour tout g ∈ G. Indication : On pourra se servir du fait que (grâce à la compacité de G) il existe une forme linéaire

I : C(G) → R

définie positive et invariante par translations à droite (i.e. I(f) = I(R_{g}f) où (R_{g}f)(h) = f(hg), g, h ∈ G).

b) Déduire que la représentation adjointe de 𝔤 est complètement réductible.

c) Soit 𝔤 = ⨁_{i=1}^{n} 𝔞_{i} une décomposition en 𝔤-modules simples. Montrer que les 𝔞_{i} sont des idéaux minimaux de 𝔤 et que 𝔤 est isomorphe (en tant qu’algèbre de Lie) au produit des 𝔞_{i}. Déduire que 𝔤 →^{∼} 𝔠 × 𝔰, où 𝔠 est abélienne et 𝔰 semi-simple.

d) Montrer que la forme de Killing de 𝔰 est définie négative. Indication : On pourra se servir du résultat de l’exercice précédent.

4) Soit 𝔤 une algèbre de Lie compacte, c’est-à-dire réelle et isomorphe à 𝔠 × 𝔰, où 𝔠 est abélienne, 𝔰 semi-simple et la forme de Killing de 𝔰 est définie négative.

a) Montrer qu’il existe un groupe de Lie réel compact connexe T dont l’algèbre de Lie est isomorphe à 𝔠.

b) Montrer qu’il existe un groupe de Lie réel compact connexe A dont l’algèbre de Lie est isomorphe à 𝔰.

c) Déduire qu’il existe un groupe de Lie réel compact connexe G dont l’algèbre de Lie est isomorphe à 𝔤.

5) Soit 𝔤 une algèbre de Lie compacte (voir l’exercice précédent). On se propose de montrer que que les sous-algèbres de Cartan de 𝔤 sont conjugués par le groupe Int(𝔤) (le sous-groupe de Lie de GL(𝔤) d’algèbre de Lie ad(𝔤)).

Sans perte de généralité, on supposera que 𝔤 est l’algèbre de Lie d’un groupe compact connexe G (voir l’exercice précédent).

a) Soient X, Y ∈ 𝔤. Montrer qu’il existe g ∈ G tel que

[Ad(g)(X), Y] = 0.

Indication : on pourra introduire un produit scalaire G-invariant b sur 𝔤 (voir 3a) et choisir g tel que la fonction g′ ↦ b(Ad(g′)(X), Y) soit minimale en g.

b) Déduire l’affirmation. Indication : pour une sous-algèbre Cartan donnée, on pourra considérer un élément régulier qu’elle contient.