\documentclass[12pt]{article}
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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}

%subsublist
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\begin{list}{(\roman{subpoint})}{\usecounter{subpoint}
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}{\end{list}}

%sublist
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\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
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%liste d'exercices
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\newcounter{rayon}
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\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
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}{\end{list}}      

\newcommand{\tit}[1]{\bigskip\par\noindent{\bf #1}\bigskip}                                             
                        
                                      
\newcommand{\plus}{\oplus}
\newcommand{\ten}{\otimes}
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\newcommand{\End}{\mbox{\rm End}}
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\newcommand{\ad}{\mbox{\rm ad}}
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% abbreviations
% Black Board Bold Face
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\newcommand{\sZ}{{\mbox{\bf \scriptsize Z}}}
\newcommand{\R}{{\mbox{\bf R}}}
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%Comma, forall
\newcommand{\ko}{\: , \;}
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%Overline, Underline
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\newcommand{\tg}{\mbox{{\rm tg}}}
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\newcommand{\sid}{\mbox{{\bf \scriptsize 1}}}


%Calligraphic letters
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%Greek letters
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%Gothic letters
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%Arrows
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\newcommand{\liso}{\stackrel{_\sim}{\leftarrow}}
\newcommand{\larr}[1]{\stackrel{#1}{\leftarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{0.5cm}
\begin{center}
{\small
Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot  
                          \hfill Ann\'ee universitaire 1998-1999\\
UFR de Math\'ematiques \hfill Groupes et Alg\`ebres de Lie\\
DEA de Math\'ematiques \hfill 14/06/1999}
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
{\large\bf Examen de Juin 1999 (2$^e$ session)}\\
\end{center}
\bigskip
{\small {\bf Avertissement : } Documents et calculettes sont
interdits.}
\bigskip

\begin{list-of-exercises}

\item Soit $n\geq 1$. On rappelle que toute matrice diagonale $H$
de $\gl(n,\C)$ \`a coefficients diagonaux $\lam_1, \ldots, \lam_n$
v\'erifie $\ad(H).E_{i,j}=(\lam_i -\lam_j) \,E_{i,j}$.

Pour $1\leq i\leq n$, on pose
$i^*=(n+1)-i$. Pour une matrice $A=(a_{ij})$ de taille
$n\times n$, on d\'efinit la matrice cotranspos\'ee
$A^*$ par $a^*_{ij}=a_{j^*,i^*}$. Soit $J$ la matrice
de coefficients $\delta_{i,i^*}$ (symbole de Kronecker).
Soit $\gog$ l'alg\`ebre de Lie complexe
\begin{eqnarray*}
\gos\gop(2n,\C)
& = & \{X\in \gl(2n,\C)\;|\; \;^t\!X
\left[\begin{array}{cc}0 & J \\ 
                      -J & 0 \end{array} \right]
+
\left[\begin{array}{cc}0 & J \\ 
                      -J & 0 \end{array} \right] X =0\}\\
& = &\{
\left[\begin{array}{cc}A & B \\ C & D \end{array} \right]
\in\gl(2n,\C)\;| \;
D=-A^*\ko B=B^*\ko C=C^*\}.
\end{eqnarray*}
\begin{sublist}
\item Soit $n=3$. Montrer que la sous-alg\`ebre $\goh$
de $\gog$ form\'ee des matrices diagonales appartenant
\`a $\gog$ est une sous-alg\`ebre de Cartan et
d\'eterminer (en m\^eme temps) le syst\`eme de racines
de $(\gog,\goh)$.
\item Soit $X\in\goh$. D\'ecrire le centralisateur
$\gog(X)$ de $X$ dans $\gog$ \`a l'aide des espaces
poids $\gog^\alpha$ de $(\gog,\goh)$.
\item Montrer que $\gog(X)$ admet une forme invariante
non-d\'eg\'en\'er\'ee (et qu'elle est donc r\'eductive au
sens de l'exercice suivant).
\item Montrer qu'on peut choisir $X$ tel que $[\gog(X),\gog(X)]$ soit
  isomorphe \`a $\sl(2,\C)\oplus\sl(2,\C)$.
\end{sublist}


\item Soit $\gog$ une alg\`ebre de Lie r\'eelle et
$V$ un $\gog$-module de dimension finie muni d'une
forme invariante et d\'efinie positive. 
Soit $\rho: \gog \ra \gl (V)$ la repr\'esentation
associ\'ee \`a $V$.
\begin{sublist}
\item Montrer que pour tout $X\in \gog$,
les valeurs propres (complexes) de l'op\'erateur $\rho(X)$
sont imaginaires pures.
\item D\'eduire que la forme invariante
$b_V: \gog \times \gog \ra \R$ associ\'ee \`a $V$
est n\'egative.
\end{sublist}

\item Soit $G$ un groupe de Lie (r\'eel) compact et $\gog$ son
alg\`ebre de Lie. On se propose de montrer que
$\gog\iso\goc\times \gos$, o\`u $\goc$ est ab\'elienne,
$\gos$ semi-simple et la forme de Killing de $\gos$
est d\'efinie n\'egative.

\begin{sublist}
\item Montrer que $\gog$ admet un produit scalaire
\[
b: \gog\times\gog \ra \R
\]
tel que $\Ad(g)$ est une transformation
orthogonale pour tout $g\in G$. {\em Indication~:} On pourra
se servir du fait que (gr\^ace \`a la compacit\'e de $G$)
il existe une forme lin\'eaire
\[
I: C(G) \ra \R
\]
d\'efinie positive et invariante par translations \`a droite
(i.e. $I(f)=I(R_g f)$ o\`u $(R_g f)(h)=f(hg)$, $g,h\in G$).

\item  D\'eduire que la repr\'esentation adjointe de $\gog$
est compl\`etement r\'eductible.

\item Soit $\gog=\bigoplus_{i=1}^n \goa_i$ une d\'ecomposition
en $\gog$-modules simples. Montrer que les $\goa_i$ sont
des id\'eaux minimaux de $\gog$
et que $\gog$ est isomorphe (en tant qu'alg\`ebre de Lie)
au produit des $\goa_i$. D\'eduire que 
$\gog\iso\goc\times \gos$, o\`u $\goc$ est ab\'elienne
et $\gos$ semi-simple. 

\item Montrer que la forme de Killing de $\gos$ est
d\'efinie n\'egative. {\em Indication~:} On pourra se servir
du r\'esultat de l'exercice pr\'ec\'edent.

\end{sublist}

\item Soit $\gog$ une alg\`ebre de Lie {\em compacte},
c'est-\`a-dire r\'eelle et isomorphe \`a $\goc\times \gos$, 
o\`u $\goc$ est ab\'elienne,
$\gos$ semi-simple et la forme de Killing de $\gos$
est d\'efinie n\'egative.

\begin{sublist}
\item Montrer qu'il existe un groupe de Lie r\'eel
compact connexe $T$ dont l'alg\`ebre de Lie est isomorphe \`a $\goc$.

\item Montrer qu'il existe un groupe de Lie r\'eel
compact connexe $A$ dont l'alg\`ebre de Lie est isomorphe \`a $\gos$.

\item D\'eduire qu'il existe un groupe de Lie
r\'eel compact connexe $G$ dont l'alg\`ebre de Lie est isomorphe
\`a $\gog$.

\end{sublist}

\item Soit $\gog$ une alg\`ebre de Lie compacte
(voir l'exercice pr\'ec\'edent). On se propose de
montrer que que les sous-alg\`ebres de Cartan
de $\gog$ sont conjugu\'es par le groupe
$\Int(\gog)$ (le sous-groupe de Lie de $GL(\gog)$
d'alg\`ebre de Lie $\ad(\gog)$).

Sans perte de g\'en\'eralit\'e,
on supposera que $\gog$ est l'alg\`ebre de Lie
d'un groupe compact connexe $G$ (voir l'exercice pr\'ec\'edent).

\begin{sublist}

\item Soient $X,Y\in \gog$. Montrer qu'il existe
$g\in G$ tel que
\[
[\Ad(g)(X),Y]=0.
\]
{\em Indication~:} on pourra introduire un produit
scalaire $G$-invariant $b$ sur $\gog$ (voir 3a) et choisir
$g$ tel que la  fonction $g' \mapsto b(\Ad(g')(X),Y)$
soit minimale en $g$.

\item D\'eduire l'affirmation.
{\em Indication~:} pour une sous-alg\`ebre 
Cartan donn\'ee, on pourra consid\'erer un \'el\'ement
r\'egulier qu'elle contient.


\end{sublist}
\end{list-of-exercises}

\end{document}


\item Soit $n\geq 1$, et $G=U(n)$ le groupe unitaire.
Soit $\gog$ son alg\`ebre de Lie et $\goh$ la sous-alg\`ebre
des matrices diagonales dans $\gog$. Expliciter la
d\'ecomposition de $\gog$ en tant que $\goh$-module.



\item Id\'ee pour un probl\`eme : Si $\gog$ est semi-simple
r\'eel et sa forme de Killing d\'efinie n\'egative, tout
groupe de Lie $G$ avec $\Lie(G)\iso \gog$ est compact.
Voir Varadarajan p. 342 et suivantes.