\documentclass[12pt]{article}
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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}

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\begin{document}
\begin{center}
{\small
Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot  \hfill Ann\'ee universitaire 1998-1999\\
UFR de Math\'ematiques \hfill Groupes et Alg\`ebres de Lie\\
DEA de Math\'ematiques \hfill 15/12/98}
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
{\large\bf Exercices de r\'evision}\\
\end{center}

\bigskip

\begin{list-of-exercises}

\item (Question de cours)
Soit $G$ un groupe de Lie (r\'eel) et $\gog$ son
alg\`ebre de Lie.
\begin{sublist}
\item Montrer qu'il existe un voisinage $U$ de $e$ dans
$G$ tel que $U$ ne contient aucun sous-groupe non trivial de $G$.
\item Montrer qu'il existe un voisinage $V$ de $0$ dans
$\gog$ tel que pour $X,Y\in V$ on a
\[
\exp(X)\exp(Y) = \exp(X+Y+R)\ko
\]
o\`u $R$ appartient \`a $[\gog,\gog]$.
\item D\'eduire que si $G$ est connexe et $\gog$ ab\'elienne,
alors $G$ est ab\'elien. 
\item Soient $X,Y\in\gog$ tels que
\[
\exp(X)\exp(tY)=\exp(tY)\exp(X)
\]
pour tout $t\in\R$. A-t-on $[X,Y]=0$ ? Justifier.
\item Rappeler les d\'efinitions des centres de $Z(G)$ de $G$
et $\goz(\gog)$ de $\gog$. Le sous-groupe $Z(G)$ est-il toujours
une sous-vari\'et\'e de $G$ ? Quelle est la relation
entre $\goz(\gog)$ et l'alg\`ebre de Lie de $Z(G)$ ? Justifier.
\end{sublist}



\item Soit $\gog=\sl(2,\C)$ et soit 
\[
H=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right].
\]
Soit $V$ un $\gog$-module de dimension finie et 
$\rho: \gog \ra \End(V)$ la repr\'esentation associ\'ee.
Le {\em caract\`ere de $V$} est le polyn\^ome de Laurent
\[
\chi(V) = \sum_{n\in \sZ} 
\dim\ker(\rho(H)-n\id_V) \,T^n \in \C[T,T^{-1}].
\]
Pour tout $m\geq 0$, on note $V(m)$ `le' $\gog$-module
simple de dimension $m+1$.
\begin{sublist}
\item D\'eterminer le caract\`ere $\chi(m)$ de $V(m)$.

\item Montrer que les caract\`eres $\chi(m)$, $m\in\N$, 
forment une famille libre.

\item Soit $\goh$ une alg\`ebre de Lie sur un corps $k$.
Soient $V$ et $W$ deux $\goh$-modules. Montrer que l'espace
$\Hom_k(V,W)$ admet une structure de $\goh$-module telle que
\[
(Xf)(v) = X f(v) - f(Xv)
\]
pour tous $X\in \goh$, $f\in \Hom_k(V,W)$ et $v\in V$. 

Montrer que l'espace $V\ten W$ admet une unique structure de $\goh$-module telle que
\[
X(v\ten w) = (Xv)\ten w + v\ten (Xw)
\]
pour tous $X\in\goh$, $v\in V$ et $w\in W$. 

On munit l'espace dual $V^*$  de la structure
de $\goh$-module de $\Hom_k(V,k)$ o\`u $k$ est le $\goh$-module 
trivial. Montrer que l'application canonique
\[
W \ten V^* \ra \Hom_k(V, W) \ko w \ten v^* \mapsto (v \mapsto w v^*(v))
\]
est un homomorphisme de $\goh$-modules et un isomorphisme si
$V$ est de dimension finie.

\item Montrer que si $V$ et $W$ sont deux $\gog$-modules de dimension
finie, on a 
\begin{eqnarray*}
\chi(V\oplus W) & = &\chi(V)+ \chi(W)\ko
\chi(V^*)=\chi(V)\ko \\
\chi(V\ten W) & = & \chi(V) \, \chi(W)\ko
\chi(\Hom_k(V,W))=\chi(V)\, \chi(W).
\end{eqnarray*}
\item Montrer que si $V$ et $W$ sont deux $\gog$-modules
de dimension finie tels que $\chi(V)=\chi(W)$, alors
$V$ est isomorphe \`a $W$.
\item Soit $m_1\leq m_2$ des entiers positifs. On se
propose de montrer l'isomorphisme dit de
Clebsch-Gordan
\begin{equation}
\label{clebschgordan}
V(m_1)\ten V(m_2) \iso \bigoplus V(m)
\end{equation}
o\`u la somme porte sur les entiers $m$ tels que
\begin{equation}
\label{conditions}
m_2 \leq m \leq m_1 \quad\mbox{et}\quad m \equiv m_1 + m_2 \;\mod\; 2.
\end{equation}
Notons $R$ l'ensemble des points \`a coordonn\'ees enti\`eres
du rectangle $[0,m_1]\times [0,m_2]$ de $\R^2$. En comptant
les points de $R$ de deux mani\`eres montrer que les
deux c\^ot\'es de (\ref{clebschgordan}) ont la m\^eme
dimension (faire un dessin).

\item Raffiner l'argument du point pr\'ec\'edent pour
obtenir l'\'egalit\'e entre les caract\`eres des deux
c\^ot\'es (on se servira de d). 
En d\'eduire l'affirmation gr\^ace \`a e).

\item Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie
sur $\C$ muni d'un endomorphisme nilpotent $f$.
Montrer que $V$ admet une structure de $\gog$-module
unique \`a isomorphisme pr\`es telle que 
\[
E=\left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]
\]
agit par $f$ dans $V$. Quel est le lien entre la forme
normale de Jordan de $f$ et la d\'ecomposition du 
$\gog$-module $V$ en somme de modules simples ?
\item D\'eduire de d) et f) la forme normale de Jordan de
$\ad f : \gog\gol(V) \ra \gog\gol(V)$ en termes
de celle de $f$.


\end{sublist}


\item
Soit $G$ un groupe topologique et $H$ un sous-groupe. On note
$\pi: G \ra G/H$ la projection canonique. Rappelons qu'une
partie de $G/H$ est ouverte si et seulement si son image
r\'eciproque par $\pi$ est ouverte dans $G$.
\begin{sublist}
\item Montrer que l'application $\pi$ est ouverte.
\item Montrer que l'espace $G/H$ est s\'epar\'e si et seulement
si le sous-groupe $H$ est ferm\'e dans $G$.
\item Montrer que si les espaces $H$ et $G/H$ sont connexes,
alors $G$ est connexe.
\item Soit $n\geq 1$ un entier et soit $v$ le premier vecteur
de la base canonique de $\R^{n+1}$. On identifie $SO(n)$
au stabilisateur de $v$ dans $SO(n+1)$ agissant sur $\R^{n+1}$.
Montrer qu'on a un hom\'eomorphisme
\[
SO(n+1)/SO(n) \iso S^n.
\]
Montrer de m\^eme qu'on a des hom\'eomorphismes
\[
SU(n+1)/SU(n) \iso S^{\,2n+1} \quad\ko\quad
U(n)/SU(n) \iso S^1.
\]
\item D\'eduire que les groupes $SO(n)$, $SU(n)$ et $U(n)$
sont connexes pour tout $n\geq 1$.
\end{sublist}

\item Nous utilisons les notions rappel\'ees \`a la fin
de cette liste d'exercices.

Soit $G$ un groupe de Lie (r\'eel) et $H$ un sous-groupe
ferm\'e. On note $\gog$ et $\goh$ les alg\`ebres de Lie de $G$
et $H$. On se propose de montrer que l'espace $G/H$ admet une
unique structure de vari\'et\'e diff\'erentiable telle que
la projection $\pi:G\ra G/H$ soit une submersion. En outre,
pour cette structure, la projection est un fibr\'e localement
trivial de fibre $H$ et l'application
$T_e \pi: \gog \ra T_{\pi(e)}(G/H)$
induit un isomorphisme $\gog/\goh \iso T_{\pi(e)}(G/H)$.

Nous appliquerons ce r\'esultat au calcul
des groupes fondamentaux de $SU(n)$ et $U(n)$.

\begin{sublist}
\item Soit $\goa$ un suppl\'ementaire de $\goh$ dans $\gog$.
Choisissons un voisinage $U$ de $0$ dans $\goa$ tel
que $\exp$ est un diff\'eomorphisme de $U$ sur son
image $A''$. 
Montrer qu'il existe un voisinage $A'$ de $e$ dans $A''$
et un voisinage $B$ de $e$ dans $H$ tels que l'application
\[
A'\times B \ra G \ko (a,b) \mapsto a\,b
\]
est un diff\'eomorphisme sur son image et que $A'B\cap H=B$.
\item Soit $C\subset G$ un voisinage de $e$ tel que
$C^{-1}C \subset A'\,B$. Montrer que pour 
$a_1, a_2 \in A'\cap C$ et $h_1, h_2 \in H$, 
l'\'egalit\'e 
\[
a_1 h_1 = a_2 h_2
\]
entra\^{\i}ne que $a_1=a_2$ et $h_1=h_2$. 

\item Soit $A=A'\cap C$. Montrer que l'application
\[
A \times H \ra AH\ko (a,h) \mapsto ah
\]
est un diff\'eomorphisme. D\'eduire que $AH$ et
$\pi(A)\subset G/H$ sont des ouverts et que $\pi$
induit un hom\'eomorphisme de $A$ sur $\pi(A)$.

\item Pour $g\in G$, on d\'efinit la section locale
$s_g: \pi(gA) \ra gA$ par $\pi\circ s_g=\id_{gA}$.
On d\'efinit la carte $\phi_g$ de $G/H$ par
\[
\phi_g : \pi(gA) \ra \goa \ko 
\phi_g = \exp^{-1}\circ L_{g^{-1}} \circ s_g.
\]
Montrer que les cartes $\phi_g$, $g\in G$, sont
compatibles deux \`a deux.

\item Conclure.

\item Montrer que $SU(n)$ est simplement connexe
et que $\pi_1(U(n))=\Z$ pour tout $n\geq 1$.




\end{sublist}
\end{list-of-exercises}

\tit{Rappels de G\'eom\'etrie}

\noindent {\em Submersions.} Soit $\phi:M\ra N$ une application
diff\'erentiable entre deux vari\'et\'es. Supposons que
$\phi$ est une {\em submersion}, c'est-\`a-dire que l'application
\[
T_m \phi : T_m M \ra T_{\phi(m)}N
\]
est surjective en tout point $m$ de $M$. Alors le th\'eo\`eme
des fonctions implicites entra\^{\i}ne que pour tout point
$m$ de $M$, il existe un syst\`eme de coordonn\'ees locales
$(x_1, \ldots, x_p)$ d\'efinies au voisinage de $m$ et un
syst\`eme de coordonn\'ees locales $(y_1, \ldots, y_q)$
d\'efinies au voisinage de $\phi(m)$ tels que $q\leq p$
et 
\[
y_i(\phi(m'))=x_i(m')\ko 1 \leq i \leq q \ko
\]
pour tout point $m'$ au voisinage de $m$ (localement,
$\phi$ est une projection lin\'eaire). Il s'ensuit que
l'application $\phi$ est ouverte. Supposons qu'elle
est en outre surjective. Alors une fonction $f$ d\'efinie
sur un ouvert $U$ de $N$ est diff\'erentiable si et seulement
si $f\circ \phi$ est diff\'erentiable. En particulier,
la structure de vari\'et\'e de $N$ est alors d\'etermin\'ee
par celle de $M$ et par $\phi$. 

\bigskip
\noindent
{\em Fibr\'es localement triviaux.} Un fibr\'e localement trivial
est la donn\'ee d'une application diff\'erentiable $\phi: M\ra N$
et d'une vari\'et\'e diff\'erentiable $F$ telle que tout point
$n$ de $N$ admet un voisinage ouvert $U$ tel qu'il existe un
diff\'eomorphisme $\psi$ de $\phi^{-1}(U)$ sur $U\times F$ rendant
commutatif le diagramme
\[
\begin{array}{rcl}
\phi^{-1}(U) & \arr{\psi} & U \times F \\
\phi \da     &            & \da pr_1 \\
U            & \arr{\sid} & U 
\end{array}
\]
Dans un fibr\'e localement trivial, l'application $\phi$
est une submersion surjective. Tout rev\^etement de vari\'et\'es
est un fibr\'e localement trivial de fibre discr\`ete.
Tout fibr\'e vectoriel est un fibr\'e localement trivial.

Soit $\phi: M \ra N$ un fibr\'e localement trivial de
fibre $F$. Supposons $M$, $N$ et $F$ connexes. Alors
on a une suite exacte de groupes 
\[
\pi_1(F) \ra \pi_1(M) \ra \pi_1(N) \ra {1}.
\]

\end{document}