Cours du 31/01/2006 ------------------- 1. Geometrie affine - - - - - - - - - - 1.1 Espaces affines - - - - - - - - - - - Definition d'un espace affine. Notations comme chez Liret-Martinais: $(\mathcal{E}, E, \alpha)$. Dimension de $\mathcal{E}$ = dimension de E. - Exemples : 1) E un espace vectoriel (p.ex. R^2), $\mathcal{E}=E$. 2) V un espace vectoriel (p.ex. R^3), f: V -> R une forme lineaire non nulle sur V (p.ex. (x,y,z) -> x+y+z), \mathcal{E} l'ensemble des v dans V tels que f(v)=1, E le sous-espace de V forme des v tels que f(v)=0 (p.ex. \mathcal{E} le plan affine x+y+z=1 dans R^3 et E le plan vectoriel x+y+z=0). Remarques : 1) langage : espace affine $\mathcal{E}$, direction E. 2) Notation $\vec{PQ}. 3) Regle de Chasles $\vec{PQ} + \vec{PR} = \vec{PR}$. - Definition : Un point massique d'un espace affine est un couple $(P,\lambda)$, ou $P$ est un point et $\lambda$ un reel. - Lemme : On se donne r points massiques $(P_i, \lambda_i)$ tels que la somme des $\lambda_i$ soit non nulle. a) Il existe un unique point G tel que $\sum_{i=1}^r \lambda_i \vec{G P_i} =0$. b) Pour tout point $P$, on a $\vec{PG} = \frac{1}{\lambda_1 + \ldots + \lambda_r} \sum_{i=1}^r \lambda_i\vec{P P_i}$. - Definition : On appelle barycentre de la famille $(P_i, \lambda_i)$ le point G. L'isobarycentre .... . Le milieu .... - Lemme (associativite des barycentres) [Demonstration laissee en exercice] - Exemple : Calcul du centre de gravite d'un triangle a partir du milieu d'un cote et du sommet oppose. 1.2 Applications affines - - - - - - - - - - - - - - Remarque : On a une analogie Algebre lineaire : espace vectoriel, combinaison lineaire, application lineaire Geometrie affine : espace affine, barycentre, application affine Les applications lineaires sont exactement les applications qui preservent les combinaisons lineaires. - Definition : Une application affine d'un espace affine $\mathcal{E}$ dans un espace affine $\mathcal{F}$ est une application $f: \mathcal{E} \to \mathcal{F}$ qui preserve les barycentres. - Remarque : Ainsi, l'identite est une application affine et la composee de deux applications affines est affine. - Theoreme : Soit $f: \mathcal{E} \to \mathcal{F}$ une application. On a equivalence entre (i) $f$ est affine (ii) Il existe une application lineaire $\phi$ telle que, pour tout point $P$ de $\mathcal{E}$, on a $f(P+v) = f(P) + \phi(v)$ pour tous les vecteurs $v$ de la direction $E$ de $\mathcal{E}$. (iii) Il existe un point $P_0$ de $\mathcal{E}$ et une application lineaire $\phi$ tels qu'on a $f(P_0 + v) = f(P_0) + \phi(v)$ pour tous vecteurs $v$ de $E$. En outre, dans ces conditions, l'application $\phi$ est unique. - Definition : $\phi$ s'appelle la partie lineaire ou "la fleche" de f et on note $\vec{f} = \phi$. - Corollaire : La partie lineaire de l'identite de $\mathcal{E}$ est l'identite de E. La partie lineaire d'une composee est la composee des parties lineaires. Remarque : Si f est affine, on a \vec{f(P) f(Q)} = \vec{f}(\vec{PQ}). - Demonstration de l'implication (ii) => (i) du corollaire. (l'autre implication sera faite la semaine prochaine). Cours du 07/02/2006 ------------------- - Fin de la demonstration du theoreme sur les applications affines. - Exemples d'applications affines : 1) Les applications affines de R dans R sont donnes par x -> ax+b 2) Les applications affines de R^p dans R^n sont donnees par x -> Ax+b ou A est une matrice pxn et b un point de R^n. 1.3 Sous-espaces affines - - - - - - - - - - - - - On fixe un espace affine \mathcal{E} de direction E. - Lemme : Pour une partie non vide \mathcal{F} de \mathcal{E}, on a equivalence entre (i) \mathcal{F} est stable par formation de barycentres (ii) Il existe un point $P_0$ de $\mathcal{F}$ et un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ tel que \mathcal{F} = P_0 + F$. (iii) Il existe un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ tel que, pour tout point $P$ de $\mathcal{E}$, on a $\mathcal{F} = P + F$. - Remarque : Le sous-espace F de (i) est unique et egal a l'ensemble des \vec{RS}, ou R et S appartiennent a \mathcal{F}. - Definition d'un sous-espace affine par les proprietes du lemme. Definition de sa direction, de sa dimension. - Remarques : 1) Tout sous-espace affine est un espace affine. 2) Les sous-espaces affines de R^p sont exactement les ensembles non vides de solutions de systemes d'equations inhomogenes a n variables [fait en detail : les solutions d'un systeme inhomogene nxp qui possede une solution forment un sous-espace affine de direction l'espace des solutions du systeme homogene et de dimension donnee par p-rg(A).] - Definition du segment [PQ] entre deux points, de la droite (PQ) passant par deux points distincts, de l'alignement, du vecteur directeur d'une droite, d'un repere cartesien d'une droite, de la mesure algebrique \overline{AB} associee a deux points A,B d'une droite reperee. - Lemme : Le rapport de deux mesures algebriques est independant du choix du repere [Demonstration laissee en exercice] - Lemme : a) L'intersection de deux sous-espaces affines est ou bien vide ou bien un sous-espace affine de direction l'intersection des directions. b) Si la somme des directions est E, l'intersection est non vide. Si les directions sont supplementaires, l'intersection est non vide et reduite a un point. Cours du 14/02/2006 ------------------- - Definition : Deux sous-espaces affines sont paralleles s'ils ont meme direction. - Lemme : Deux sous-espaces affines paralleles sont ou bien disjoints ou bien confondus. - Definition de la concourance - Etude des positions relatives de deux droites affines dans le plan : secantes en un point, paralleles et disjointes, ou confondues. - Etude : Etude des positions relatives de deux plans dans un espace de dimension 3, rappel de la formule dim(E+F) = dim(E) + dim(F) - dim(E \cap F) pour des sous-espaces vectoriels. Exercice : a) Etudier les positions relatives d'une droite et d'un plan dans un espace de dimension 3. b) Etudier les positions relatives de deux plans dans un espaces de dimension 4. c) Etudier les positions relatives d'un sous-espace de dimension p et d'un sous-espace de dimension q dans un espace de dimension n. [Solution non donnee] - Theoreme des medianes (les medianes d'un triangle sont concourantes en son centre de gravite ...) Lemme : a) L'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces affines est ou bien vide ou bien un sous-espace affine. b) Si X est une partie non vide de \mathcal{E}, il existe un plus petit sous-espace affine contenant X. On l'appelle le sous-espace engendre par X. Lemme : Soit X une partie non vide et P un point de X. a) Le sous-espace affine engendre par X est egal a P+F ou F est le sous-espace vectoriel engendre par les vecteurs \vec{PQ}, ou Q appartient a X. b) Il est aussi egal a l'ensemble des barycentres des points de X. Exemple : Le sous-espace affine de R^3 engendre par (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). A comparer avec le sous-espace vectoriel engendre. - notion de points affinement independants - exemples dans le plan affine et dans un espace affine de dimension 3. 1.4 Reperes - - - - - - - Definition d'un repere cartesien (O, v_1, ..., v_n) dans un espace affine, des coordonnees cartesiennes. - Definition d'un repere affine (P_0, P_1, ... ,P_n) dans un espace affine (suite de n+1 points affinement independants), coordonnees barycentriques (normalisees telles que la somme soit egale a 1). - Exemple dans le plan R^2. Division du plan en sept regions determinees par des inegalites sur les coordonnees barycentriques. Cours du 21/02/06 (par J. Ayoub) ----------------- Aujourd'hui, j'ai montré que l'image directe et l'image inverse par une application affine d'un sous-espace affine est encore un sous-espace affine et j'ai calcule la direction. J'ai montre que les applications affines conservent les rapports de mesures algebriques. Ensuite j'ai passe mon temps a faire un rappel sur les projections et les symetries. Definitions, caracterisations, relation entre symetrie et projection... Cours du 28/02/06 : annule pour cause de blocage du campus Jussieu Cours du 07/03/06 : annule pour cause de blocage du campus Jussieu Cours du 14/03/06 : annule pour cause de blocage du campus Jussieu Reunion de travail du 21/03/05 ------------------------------ Revision de - la definition d'un espace affine - la definition d'une application affine - les projections et symetries lineaires Definition de la projection affine sur un sous-espace affine le long d'un supplementaire de sa direction. Exercice : Cette projection est une application affine et sa partie lineaire est la projection lineaire correspondante. Exercice : Calcul en coordonnees de la projection affine sur un plan de R^3 le long d'une droite vectorielle supplementaire de sa direction. Reunion de travail du 27/03/05 ------------------------------ La seance a ete consacree a deux exercices : 1) Dans l'espace affine R^3, on fixe un plan $\mathcal{F}$ et un point $P_0$ en dehors du plan. Pour un point $Q_0$, on etudie a quelle condition la projection sur $\mathcal{F}$ le long de la droite $(P_0 Q_0)$ est bien definie et si c'est le cas, on etudie cette projection et on l'exprime en coordonnees. On determine la matrice de sa partie lineaire dans la base standard. A partir de la situation geometrique, on deduit des proprietes de cette matrice. 2) Ensuite, on considere le plan $\mathcal{F}$ donne par trois points $A$, $B$, $C$ de coordonnees $(a,0,0)$, $(0,b,0)$, $(0,0,c)$. On considere la projection p orthogonale (en anticipant sur le programme) sur $\mathcal{F}$ et l'image $p(O)$ de l'origine. On montre que $p(O)$ est l'orthocentre du triangle $ABC$ par deux methodes, la premiere basee sur l'intuition geometrique et la deuxieme sur le calcul analytique.