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\newcommand{\titre}{Un corrig\'e de l'examen de F\'evrier 2002}

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%\newcommand{\titre}{Examen de F\'evrier 2002}

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\mbox{\quad\quad\alph{point})\,\,\,}\displaystyle}


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\renewcommand{\vec}[1]{\stackrel{\longrightarrow}{#1}}




\begin{document}
\begin{center}
Universit\'e Paris 7  \hfill 1 f\'evrier 2002\\
U.F.R. de Math\'ematiques\hfill \mbox{B.~Keller}\\[0.5cm]
{\bf DEUG MASS Premi\`ere ann\'ee : MT 131 \\[0.5cm]
             \titre\\}
\end{center}

\tit{Question de cours}
\vspace*{-0.5cm}
\begin{list-of-exercises}
\item Soient $E$ un espace vectoriel r\'eel et $v_1, \ldots, v_p$ des
vecteurs de $E$. Quand est-ce qu'on dit que les vecteurs $v_1, \ldots, v_p$ sont
lin\'eairement ind\'ependants ?
\solution{Les vecteurs $v_1, \ldots, v_p$ sont lin\'eairement ind\'ependants si,
quels que soient les nombres r\'eels $\lambda_1, \ldots, \lambda_p$, on a
\[
\lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_p v_p = 0 \Rightarrow \lambda_1=0 \ko \ldots , \lambda_p=0.
\]
}
\item Soit $u_n$ une suite de nombres r\'eels et $l$ un nombre r\'eel.
Que veut dire la phrase `la suite $u_n$ tend vers $l$' ?
\solution{On dit que $u_n$ tend vers $l$ si, quel que soit le nombre $\eps>0$, il
existe un entier $N$ tel que l'on a, pour tout entier $n$,
\[
n \geq N \Rightarrow |u_n - l | < \eps.
\]
}
\end{list-of-exercises}

%\vspace*{-0.5cm}
\tit{Exercices}
\vspace*{-0.5cm}
\begin{series-of-exercises}
\item Soit 
\[
A=\left[ \begin{array}{ccc} -1 & 2 & -2 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array} \right]
\]
\begin{list-of-exercises}
\item Calculer le d\'eterminant de la matrice $A-\lambda I_3$ en fonction du nombre
r\'eel $\lambda$ et montrer que $A-\lambda I_3$ est inversible si et seulement
si $\lambda$ est diff\'erent de $1$ et $-1$.
\solution{On a
\[
\det \left [\begin {array}{ccc} -1-\lambda&2&-2\\\noalign{\medskip}-1&2-
\lambda&-1\\\noalign{\medskip}-1&1&-\lambda\end {array}\right ]
= -\lambda^3 + \lambda^2 + \lambda -1 = (\lambda-1)(1-\lambda^2)=
(\lambda-1)(1-\lambda)(1+\lambda).
\]
Cette expression s'annule si et seulement si $\lambda$ vaut $1$ ou $-1$. Or on sait
qu'une matrice est inversible si et seulement si son d\'eterminant est non nul.
Donc $A-\lambda I_3$ est inversible si et seulement si $\lambda \neq \pm 1$.
}

\item On note $E_{\lambda} \subset \R^3$ le noyau de la matrice $A-\lambda I_3$. Quelle est la
dimension de $E_{\lambda}$ en fonction du nombre r\'eel $\lambda$ ? Donner une
base de $E_{\lambda}$ \`a chaque fois qu'il n'est pas r\'eduit \`a $\{0\}$.
\solution{Pour $\lambda\neq \pm 1$, la matrice $A-\lambda I_3$ est inversible,
donc son noyau $E_\lambda$ est r\'eduit \`a $\{0\}$. Pour $\lambda=-1$, il 
s'agit de donner une base du noyau de la matrice $A+I_3$. Nous effectuons des
op\'erations \'el\'ementaires sur les lignes de cette matrice~:
\[
\left[ \begin{array}{ccc} 0 & 2 & -2 \\ -1  & 3 & -1 \\ -1 & 1 & 1 
\end{array} \right]
\mapsto
\left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 0 & -2  & 2 
\end{array} \right]
\mapsto
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0
\end{array} \right].
\]
Ces op\'erations laissent inchang\'e le noyau. La derni\`ere matrice est clairement
de rang $2$. Donc son noyau est de dimension $1$. Il admet le vecteur $v_1=(2,1,1)$
pour base.

Pour $\lambda=1$, il s'agit de d\'eterminer le noyau de la matrice $A-I_3$. Effectuons
des op\'erations \'el\'ementaires sur les lignes de cette matrice
\[
\left[\begin{array}{ccc} -2 & 2 & -2 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 
\end{array} \right]
\mapsto
\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{array} \right].
\]
La derni\`ere matrice est de clairement de rang $1$. Donc son noyau est de dimension $2$.
Il a pour base $v_2=(1,1,0)$, $v_3=(0,1,1)$.
}
\item Montrer que les sous-espaces $E_1$ et $E_{-1}$ sont suppl\'ementaires dans $\R^3$.
\solution{Il suffit de montrer que la r\'eunion des bases $v_1$ de $E_{-1}$ et
$v_2,v_3$ de $E_1$ est une base de $\R^3$. De fa\c{c}on \'equivalente, la matrice
dont les colonnes sont $v_1, v_2, v_3$ doit \^etre de rang $3$. Nous effectuons
des op\'erations \'el\'ementaires sur les colonnes de cette matrice~:
\[
\left[ \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 
\end{array} \right]
\mapsto
\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1
\end{array} \right]
\mapsto
\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2
\end{array} \right].
\]
Clairement la derni\`ere matrice est de rang $3$. Comme les op\'erations \'el\'ementaires
laissent inchang\'e le rang, la premi\`ere l'est \'egalement.}

\item Montrer que l'application $f: \R^3 \ra \R^3$ qui envoie $x=(x_1,x_2,x_3)\in\R^3$
sur $Ax$ est \'egale \`a la sym\'etrie $s$ par rapport \`a $E_1$ parall\`element \`a
$E_{-1}$. 
\solution{Comme les sous-espaces $E_1$ et $E_{-1}$ sont suppl\'ementaires, la sym\'etrie
$s$ est bien d\'efinie et c'est l'unique endomorphisme lin\'eaire de $\R^3$ tel que
$s(v)=v$ et $s(w)=-w$ pour $v\in E_1$ et $w\in E_{-1}$. Or pour $v\in E_1$, 
nous avons $(A-I_3)v=0$ donc $f(v)=v$ et pour $w\in E_{-1}$, nous avons $(A+I_3)w=0$
donc $f(w)=-w$. Il s'ensuit que $f=s$.
}
\end{list-of-exercises}

\item Soit
\[
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 0 & 3 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ -2 & 3 & 1 & -4 
\end{array} \right]\; .
\]
\begin{list-of-exercises}
\item Soit $f: \R^4 \ra \R^3$ l'application lin\'eaire $x \mapsto Ax$. D\'eterminer
une base du noyau de $f$ et une base de l'image de $f$.
\solution{Pour d\'eterminer une base du noyau de $f$, effectuons des op\'erations
\'el\'ementaires sur les lignes de la matrice $A$~:
\[
\left[\begin{array}{cccc} 
1 & -2 & 0 & 3 \\
-1 & 1 & 1 & -1 \\
-2 & 3 & 1 & -4 
\end{array} \right]    \mapsto
\left[\begin{array}{cccc}
1 & -2 & 0 & 3 \\
0 & -1 & 1 & 2 \\
0 & -1 & 1 & 2 
\end{array} \right] \mapsto
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & -2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 0  & 0 
\end{array} \right] .
\]
La derni\`ere matrice est clairement de rang $2$. Donc son noyau est de dimension
$4-2=2$. Il admet les vecteurs $v_1=(2,1,1,0)$, $v_2=(1,2,0,1)$ pour base.

Pour d\'eterminer une base de l'image de $A$, effectuons des op\'erations 
\'el\'ementaires sur les colonnes de $A$~:
\[
\left[\begin{array}{cccc} 
1 & -2 & 0 & 3 \\
-1 & 1 & 1 & -1 \\
-2 & 3 & 1 & -4 
\end{array} \right]    \mapsto
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\ 
-1 & -1 & 1 & 2 \\
-2 & -1 & 1 & 2 
\end{array} \right] \mapsto
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 0 
\end{array} \right]
\]
La derni\`ere matrice est de rang $2$. Donc $A$ est de rang $2$. Son
image admet pour base $w_1=(1,0,-1)$ et $w_2=(0,1,1)$.
}

\item Donner une ou des \'equations caract\'erisant l'image de $f$ dans $\R^3$.
\solution{
L'image de $f$ est de dimension $2$. Il s'agit donc d'un plan de $\R^3$, caract\'eris\'e
par une seule \'equation. En examinant la base trouv\'ee au point pr\'ec\'edent,
on voit que l'\'equation $x -y + z =0$ convient.
}
\item Soit $y=(y_1,y_2,y_3)\in \R^3$. A quelle condition le syst\`eme
d'\'equations $Ax=y$ poss\`ede-t-il une solution $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ dans $\R^4$ ?
Pour ces vecteurs $y$, quelle est la solution g\'en\'erale du syst\`eme ?

\solution{Dire que le syst\`eme $Ax=y$ poss\`ede une solution, c'est dire
que $y$ appartient \`a l'image de $f$. D'apr\`es le point pr\'ec\'edent,
c'est le cas si et seulement si l'on a $y_1 - y_2 + y_3 =0$. 

Un vecteur $x$ est solution du syst\`eme homog\`ene $Ax=0$ si et seulement
si $x$ appartient au noyau de $f$. Par 1), la solution g\'en\'erale du syst\`eme
homog\`ene est donc
\[
x_{hom} = s \left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] 
        + t \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \ko
s,t\in\R.
\]
Pour d\'eterminer une solution particuli\`ere du syst\`eme inhomog\`ene,
effectuons des op\'erations sur les lignes de la matrice agrandie
\[
\left[ \begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & 0 & 3 & y_1 \\
-1 & 1 & 1 & -1 & y_2 \\
-2 & 3 & 1 & -4 & y_3
\end{array} \right] \mapsto
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & 0 & 3 & y_1 \\
0 & -1 & 1 & 2 & y_1 + y_2 \\
0 & -1 & 1 & 2 & y_3 + 2y_1 
\end{array} \right] \mapsto
\left[ \begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & -2 & -1 & -y_1 - 2 y_2 \\
0 & 1 & -1 & -2 & -y_1-y_2 \\
0 & 0 & 0 & 0   & y_1 - y_2 + y_3
\end{array} \right]
\]
En retraduisant dans le langage des syst\`emes d'\'equations, nous obtenons la solution
particuli\`ere $x_{part} = (-y_1 -2 y_2, -y_1 -y_2 , 0, 0)$. Donc la solution
g\'en\'erale est
\[
x_{\mbox{{\scriptsize g\'en}}} = x_{\mbox{{\scriptsize part}}} + x_{\mbox{{\scriptsize hom}}}
= \left[\begin{array}{c}  -y_1 -2 y_2 \\ -y_1 -y_2 \\ 0\\ 0 \end{array} \right] +
s \left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] 
        + t \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \ko s,t\in\R.
\]
}
\end{list-of-exercises}

\item
Calculer la limite quand $x$ tend vers $0$ des fonctions suivantes
\[
g(x)=\frac{1}{x^2}\,\Log\left(\frac{\sin(x)}{x}\right) \ko \quad
h(x)=(\cos(x))^{1/x^2}
\]
\solution{
On a le d\'eveloppement limit\'e
\[
\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + x^3 \eps_1(x).
\]
D'o\`u le d\'eveloppement limit\'e
\[
\frac{sin(x)}{x}-1 = -\frac{x^2}{6} + x^2 \eps_1(x).
\]
Par composition avec le d\'eveloppement limit\'e 
$\Log(1+x)=x - x^2/2 + x^2 \eps_2(x)$ nous obtenons
\[
\Log\left(\frac{\sin(x)}{x}\right) = -\frac{x^2}{6} + x^2 \eps_3(x).
\]
Donc
\[
\lim_{x \ra 0} \frac{1}{x^2}\,\Log\left(\frac{\sin(x)}{x}\right) = - \frac{1}{6} \; .
\]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Nous avons 
\[
\Log(h(x))= \frac{1}{x^2} \Log(\cos(x)).
\]
Nous avons le d\'eveloppement limit\'e
\[
\cos(x)-1= -\frac{x^2}{2} + x^2 \eps_1(x).
\]
En le composant avec le d\'eveloppement limit\'e
\[
\Log(1+u)=u-\frac{u^2}{2} + u^2 \eps_2(u)
\]
nous obtenons le d\'eveloppement limit\'e
\[
\Log(\cos(x))= -\frac{x^2}{2} + x^2 \eps_3(x).
\]
Il s'ensuit que $\Log(h(x))$ tend vers $-1/2$.
Comme la fonction exponentielle est continue, on trouve que
$h(x)$ tend vers $e^{-1/2}$.
}


\item
\begin{list-of-exercises}
\item D\'eterminer le d\'eveloppement limit\'e de
\[
f(x) = \Log\left( \frac{\cos(x)}{1+\sin(x)} \right).
\]
\`a l'ordre $3$ au voisinage de $0$. 
\solution{On a les d\'eveloppements limit\'es
\begin{eqnarray*}
\cos(x) & = & 1-\frac{x^2}{2} + x^3 \eps_1(x) \\
1+\sin(x) & = & 1 + x - \frac{x^3}{6} + x^3 \eps_2(x)  .
\end{eqnarray*}
La division suivant les puissances croissantes nous donne le
d\'eveloppement limit\'e
\[
\frac{\cos(x)}{1+\sin(x)} = 1- x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + x^3 \eps_3(x).
\]
respectivement le d\'eveloppement limit\'e
\[
\frac{\cos(x)}{1+\sin(x)}-1 = - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + x^3 \eps_3(x).
\]
Nous le composons avec le d'eveloppement limit\'e 
$\Log(1+u) = u - u^2/2 + u^3/3 + u^3 \eps_4(u)$.
Si nous posons $u=-x + x^2/2 - x^3/3$, nous obtenons
\begin{eqnarray*}
u & = & - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \\
u^2 & = & x^2 - x^3 + \mbox{termes de degr\'e $\geq 4$} \\
u^3 & = & - x^3 +\mbox{termes de degr\'e $\geq 4$}
\end{eqnarray*}
Il vient que
\[
f(x)=\Log\left( \frac{\cos(x)}{1+\sin(x)} \right) = -x - \frac{x^3}{6} + x^3 \eps(x).
\]
}

\item Quelle est la tangente en $(0,0)$ au graphe de la fonction $f$ ?
Quelle est la position du graphe de $f$ par rapport \`a sa tangente
en $(0,0)$ ? Faire un dessin.
\solution{Le d\'eveloppement 
\[
f(x)=\Log\left( \frac{\cos(x)}{1+\sin(x)} \right) = -x - \frac{x^3}{6} + x^3 \eps(x)
\]
montre que la tangente en $(0,0)$ au graphe de $f$ est la droite d'\'equation $y=-x$.
Comme le premier terme non nul de degr\'e $>1$ du d\'eveloppement est $-x^3/6$,
le graphe va traverser sa tangente en $(0,0)$ (car l'exposant $3$ est impair)
en passant du dessus au dessous de la tangente (car le coefficient $-1/6$ est
n\'egatif). 
\[
\epsfbox{tangente.ps}
\]
}
\end{list-of-exercises}



\item
\begin{list-of-exercises}
\item Pour $x\in \R$, soit $f(x)= 1+ \cos(x/2)$. 
\begin{sublist}
\item Esquisser le graphe de $f : [0,2\pi] \ra \R$ et le graphe de $x \mapsto x$
dans un m\^eme dessin.
\solution{
\[
\epsfbox{cos.ps}
\]
}
\item Montrer qu'il existe un nombre
$l\in [0,2\pi]$ tel que $f(l)=l$. Indication~: consid\'erer la fonction 
\[
g :[0,2\pi] \ra \R \ko x\mapsto x-f(x).
\]
\solution{La fonction $g$ est continue (elle est m\^eme d\'erivable). On a $g(0)=-2$ et
$g(2\pi)=2\pi$. Par le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, il existe donc un
nombre $l\in [0, 2\pi]$ tel que $g(l)=0$. On a bien $l-f(l)=0$.}
\end{sublist}
\item Montrer que la fonction $f: \R \ra \R$ est contin\^ument d\'erivable.
Calculer sa d\'eriv\'ee et montrer que, pour tous $a,b\in \R$, on a
\[
|f(b) - f(a)| \leq \frac{1}{2}\; |b - a|\; .
\]
\solution{Les fonctions $x \mapsto x/2$ et $x \mapsto cos(x)$ sont contin\^ument
d\'erivables. Donc leur compos\'ee $x \mapsto \cos(x/2)$ est contin\^ument d\'erivable.
Donc $f$ est contin\^ument d\'erivable en tant que somme de fonctions contin\^ument
d\'erivables. Sa d\'eriv\'ee est
\[
f'(x)= -\frac{1}{2} \, \sin(x/2).
\]
Pour montrer l'in\'egalit\'e, on peut supposer que $a<b$. Le th\'eor\`eme des accroissements
finis appliqu\'e \`a la fonction $f: [a,b] \ra \R$ nous fournit un nombre $c \in ]a,b[$ tel
que $f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)$. Comme $|f'|$ est born\'ee par $1/2$, il s'ensuit que
\[
|f(b)-f(a)| = |f'(c)(b-a) | = |f'(c)|\, |b-a| \leq \frac{1}{2}\, |b-a|.
\]
}
\item Soit $u_0$ un nombre r\'eel. Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=f(u_{n-1})$.
Montrer que pour tout $n\geq 1$, on a
\[
|u_n - l | \leq \frac{1}{2} | u_{n-1} - l | \; .
\]
\solution{Comme $l=f(l)$ et $u_n=f(u_{n-1})$, on a
\[
|u_n - l| = |f(u_{n-1}) - f(l)| \leq \frac{1}{2}\,|u_{n-1} - l|
\]
d'apr\`es le point pr\'ec\'edent.}
\item Montrer que $u_n$ tend vers $l$.
\solution{Par r\'ecurrence, il r\'esulte du point pr\'ec\'edent que
\[
|u_n - l| \leq \frac{1}{2^{n}} \, |u_0 - l|.
\]
Cela montre bien que $|u_n -l | $ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini.
Donc $u_n$ tend vers $l$.
}

\end{list-of-exercises}



\end{series-of-exercises}
\end{document}




\item
\begin{list-of-exercises}
\item Soit $n\geq 0$ un entier. D\'eterminer le d\'eveloppement limit\'e \`a
l'ordre $n$ au voisinage de $0$ de
\[
\frac{1}{1-x^2/3}.
\]
\item Soit $f:\R \ra \R$ la fonction d\'efinie par 
\[
f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{si $x=0$} \\
                                  \frac{x}{\arctg(x)} & \mbox{si $x\neq 0$} \end{array} \right. .
\]
Montrer que $f$ est continue en $0$ et d\'eterminer son d\'eveloppement limit\'e
\`a l'ordre $4$ au voisinage de $0$. 
\item
Calculer
\[
\lim_{x\ra 0} \frac{1}{x^4}\,(\frac{1}{1-x^2/3} - \frac{x}{\arctg(x)}).
\]
\end{list-of-exercises}