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\newcommand{\titre}{Un corrig\'e de l'examen de Septembre 2002}

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\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{0.4cm}
\begin{center}
Universit\'e Paris 7  \hfill 3 septembre 2002\\
U.F.R. de Math\'ematiques\hfill \mbox{B.~Keller}\\[0.5cm]
{\bf DEUG MASS Premi\`ere ann\'ee : MT 131 \\[0.5cm]
             \titre\\}
\end{center}

\tit{Question de cours}
\vspace*{-0.5cm}
\begin{list-of-exercises}
\item Soient $E$ un espace vectoriel r\'eel et $v_1, \ldots, v_p$ des
vecteurs de $E$. Quand est-ce qu'on dit que les vecteurs $v_1, \ldots, v_p$ forment
une base de $E$ ?
\solution{Les vecteurs $v_1, \ldots, v_p$ forment une base de $E$ s'ils sont lin\'eairement
ind\'ependants et engendrent $E$. Ils sont lin\'eairement ind\'ependants si,
quels que soient les nombres r\'eels $\lambda_1, \ldots, \lambda_p$, on a
\[
\lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_p v_p = 0 \Rightarrow \lambda_1=0 \ko \ldots , \lambda_p=0.
\]
Ils engendrent $E$ si, pour tout vecteur $v\in E$, il existe des nombres r\'eels
$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$ tels que
\[
v=\lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_p v_p.
\]
}
\item Soit $f: \R \ra \R$ une fonction. Que veut dire la phrase  `$f$ est
continue en $x_0=1$' ?
\solution{On dit que $f$ est continue en $x_0=1$ si, quel que soit $\eps>0$, il existe
un $\eta>0$ tel qu'on ait
\[
|x-1|<\eta \;\; \Rightarrow |f(x)-f(1)| < \eps.
\]
}
\end{list-of-exercises}

%\vspace*{-0.5cm}
\tit{Exercices}
\vspace*{-0.5cm}
\begin{series-of-exercises}


\item Dans l'espace vectoriel $\R^3$, consid\'erons les vecteurs
\[
v_1 = \left[ \begin{array}{c} -1 \\  1 \\  2 \end{array} \right] \; , \;\;
v_2 = \left[ \begin{array}{c}  1 \\  0 \\  2 \end{array} \right] \; , \;\;
v_3 = \left[ \begin{array}{c}  1 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right] \; .
\]
\begin{list-of-exercises}
\item Montrer qu'ils forment une base. 
\solution{Nous effectuons des op\'erations \'el\'ementaires sur les colonnes de
la matrice dont les colonnes sont $v_1$, $v_2$, $v_3$ :
\[
\left[\begin{array}{ccc}
 -1 &  1 & 1 \\
  1 &  0 & -1 \\
  2  & 2 & -1
\end{array} 
\right]  \ra
\left[
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
1 &  1 & 0 \\
2 &  4 & 1 
\end{array}
\right].
\]
La derni\1ere matrice est triangulaire avec des coefficients non nuls sur la
diagonale. Ses colonnes sont donc lin\'eairement ind\'ependantes. Donc les colonnes
de la matrice de d\'epart sont lin\'eairement ind\'ependantes. Comme elles sont
au nombre de $3$ dans un espace de dimension $3$, elles en forment une base.
}
\item Soient $x,y,z$ sont les coordonn\'ees d'un vecteur $u$ dans la base standard
$e_1,e_2, e_3$ de $\R^3$ et $x', y', z'$ ses coordonn\'ees dans la base $v_1, v_2, v_3$.
Calculer $x',y',z'$ en fonction de $x,y,z$.
\solution{Soit $S$ la matrice dont les colonnes sont $v_1$, $v_2$, $v_3$.
\[
S=\left[\begin{array}{ccc}
 -1 &  1 & 1 \\
  1 &  0 & -1 \\
  2  & 2 & -1
\end{array} 
\right]
\]
Nous avons
\[
\left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = S\, 
\left[\begin{array}{c} x'\\ y'\\ z'\end{array} \right]
\]
et donc
\[
\left[\begin{array}{c} x'\\ y'\\ z'\end{array} \right]= S^{-1} 
\left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right].
\]
Le calcul de l'inverse de la matrice $S$ donne
\[
S^{-1} = 
\left[\begin{array}{ccc}
-2 & -3 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
-2 & -4 & 1 
\end{array} \right].
\]
Nous obtenons donc
\begin{eqnarray*}
x' & = & -2 x -3 y + z \\
y' & = & x + y \\
z' & = & -2 x -4 y + z
\end{eqnarray*}
}

\item Soit $F$ la droite engendr\'ee par $v_1$ et $E$ le plan engendr\'e par $v_2$ et $v_3$.
Rappeler la d\'efinition de la sym\'etrie $s : \R^3 \ra \R^3$ par rapport \1a $E$ parall\1element
\1a $F$. 
\solution{La sym\'etrie $s$ est l'unique application lin\'eaire $\R^3\ra \R^3$ 
telle que $s(v+w)=v-w$ pour tout $v\in E$ et tout $w\in F$.}
\item Quelle est la matrice $A'$ de $s$ dans la base $v_1$, $v_2$, $v_3$ ?
\solution{Comme $v_1\in F$, nous avons $s(v_1)=-v_1$. Comme $v_2$ et $v_3$ appartiennent
\1a $E$, nous avons $s(v_2)=v_2$ et $s(v_3)=v_3$. La matrice de $s$ dans la base $v_1$, $v_2$,
$v_3$ est donc
\[
A'=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right].
\]
}
\item Quelle est la matrice $A$ de $s$ dans la base standard $e_1$, $e_2$, $e_3$ de $\R^3$ ?
\solution{Nous avons $A'= S^{-1} A S$ et 
\[
A= S A' S^{-1} = 
\left[\begin{array}{ccc}
-3 & -6 & 2 \\
4 & 7 & -2 \\
8 & 12 & -3
\end{array} \right].
\]
}
\item Rappeler la d\'efinition de la projection $p: \R^3 \ra \R^3$ sur $E$ le long de $F$.
\solution{La projection $p$ est l'unique application lin\'eaire $\R^3 \ra \R^3$ telle que
$p(v+w)=v$ pour tout $v\in E$ et tout $w\in F$.
}
\item Quelle est la matrice $B'$ de $p$ dans la base
$v_1, v_2, v_3$ ? Comment exprimer $B'$ \1a l'aide de $A'$ et de la matrice identit\'e $I$ ?
\solution{Nous avons $p(v_1)=0$, $p(v_2)=v_2$ et $p(v_3)=v_3$. La matrice de $p$ dans la
base $v_1, v_2, v_3$ est donc
\[
\left[\begin{array}{ccc} 
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 
\end{array} \right].
\]
Nous avons $A'+I = 2 B'$ et donc $B'=(1/2)(A'+I)$. 
}
\item Quelle est la matrice $B$ de $p$ dans la base $e_1, e_2, e_3$ ? 
\solution{Nous avons 
\[
B=S^{-1} B' S = S^{-1} (1/2)(A'+I) S = (1/2)(A+I) = 
\left[\begin{array}{ccc}
-1 & -3 & 1 \\
2  & 4  & -1 \\
4  & 6  & -1
\end{array} \right].
\]
}
\item Soient $a,b,c$ des r\'eels. On consid\1ere le syst\1eme d'\'equations
\[
B\left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =
 \left[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right].
\]
Donner une condition n\'ecessaire et suffisante sur $a,b,c$ pour que ce syst\1eme poss\1ede
une solution et, dans ce cas, d\'eterminer la solution g\'en\'erale.
\solution{
Comme $B$ est la matrice de la projection sur $E$ le long de $F$, l'image
de $B$ est $E$ et le noyau de $B$ est $F$. Le syst\1eme poss\1ede donc une
solution ssi le vecteur $u=ae_1+be_2+ce_3$ appartient \1a $E$. C'est le cas
ssi sa coordonn\'ee $x'=-2a-3b+z$ s'annule. Donc le syst\1eme poss\1ede
une solution ssi on a
\[
-2a-3b+z=0
\]
et dans ce cas, la solution g\'en\'erale est $u+t v_1$, $t\in \R$.
}
\end{list-of-exercises}


\item
\begin{list-of-exercises}
\item D\'eterminer le d\'eveloppement limit\'e de
\[
f(x) = \Log\left( \frac{1+x}{1+\sin(x)} \right).
\]
\`a l'ordre $4$ au voisinage de $0$. 
\solution{Nous avons
\[
f(x) = \Log(1+x) - \Log(1+\sin(x)).
\]
Nous avons les d\'eveloppements limit\'es
\begin{eqnarray*}
\Log(1+x) & = & x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + x^4 \eps_1(x) \\
\sin(x)   & = & x - \frac{x^3}{6} + x^4 \eps_2(x).
\end{eqnarray*}
En composant les d\'eveloppements, nous obtenons
\begin{eqnarray*}
\Log(1+ \sin(x)) & = &(x - \frac{x^3}{6}) - \frac{1}{2}(x-\frac{x^3}{6})^2 
+ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4} x^4 + x^4 \eps_3(x) \\
 & = & x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6} x^3 - \frac{1}{12} x^4 + x^4 \eps_4(x).
\end{eqnarray*}
Finalement, en formant la diff\'erence nous obtenons le d\'eveloppement
\[
f(x) = \frac{1}{6} x^3 -\frac{1}{6} x^4 + x^4 \eps_5(x).
\]
}
\item Soit $g(x)=f(x)-x^3/6$. 
Quelle est la tangente en $(0,0)$ au graphe de la fonction $g$ ?
Quelle est la position du graphe de $g$ par rapport \`a sa tangente
en $(0,0)$ ?
\solution{Nous avons
\[
g(x) = -\frac{1}{6} x^4 + x^4\eps_5(x).
\]
La fonction $x \mapsto g(x)$ poss\1ede donc une tangente horizontale en $(0,0)$,
qui, au voisinage de $(0,0)$, passe au-dessus du graphe de la fonction $g$.
}

\end{list-of-exercises}



\item
\begin{list-of-exercises}
\item Pour $x\in \R$, soit $f(x)= e^{-x^2}$. 
\begin{sublist}
\item Esquisser le graphe de $f : [0,2] \ra \R$ et le graphe de $x \mapsto x$
dans un m\^eme dessin.
\solution{
\[
\epsfbox{gaussienne.eps}
\]
}
\item Montrer qu'il existe un nombre
$l\in [0,2]$ tel que $f(l)=l$. Indication~: consid\'erer la fonction 
\[
g :[0,2] \ra \R \ko x\mapsto x-f(x).
\]
\solution{La fonction $g$ est continue (elle est m\^eme d\'erivable). On a $g(0)=-1$ et
$g(2)=2-e^{-4}>0$. Par le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, il existe donc un
nombre $l\in [0, 2]$ tel que $g(l)=0$. On a bien $l-f(l)=0$.}
\end{sublist}
\item Montrer que la fonction $f: \R \ra \R$ est contin\^ument d\'erivable.
Calculer sa d\'eriv\'ee et montrer qu'elle est born\'ee par $\lambda=\sqrt{2/e}$. 
En d\'eduire que, pour tous $a,b\in \R$, on a
\[
|f(b) - f(a)| \leq \lambda \; |b - a|\; .
\]
\solution{Les fonctions $x \mapsto -x^2$ et $x \mapsto e^x$ sont contin\^ument
d\'erivables. Donc leur compos\'ee $x \mapsto e^{-x^2}$ est contin\^ument d\'erivable.
Donc $f$ est contin\^ument d\'erivable. Sa d\'eriv\'ee est
\[
f'(x)= -2x \, e^{-x^2}.
\]
Quand $x$ tend vers $\pm \infty$, $f'(x)$ tend vers $0$. Donc $f'$ est born\'ee
sur $\R$ et atteint son maximum et son minimum en un (ou plusieurs) points $x\in \R$ o\1u la
d\'eriv\'ee $f''(x)$ s'annule. Nous avons
\[
f''(x) = -2 \, e^{-x^2} + (-2x)^2 e^{-x^2} = (-2+4x^2) e^{-x^2}.
\]
Nous voyons que $f''$ s'annule uniquement en $\pm \sqrt{1/2}$ et nous avons
$|f'(\pm \sqrt{1/2})| = \sqrt{2/e}$.
Pour montrer l'in\'egalit\'e, on peut supposer que $a<b$. Le th\'eor\`eme des accroissements
finis appliqu\'e \`a la fonction $f: [a,b] \ra \R$ nous fournit un nombre $c \in ]a,b[$ tel
que $f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)$. Comme $|f'|$ est born\'ee par $\lambda$, il s'ensuit que
\[
|f(b)-f(a)| = |f'(c)(b-a) | = |f'(c)|\, |b-a| \leq \lambda\, |b-a|.
\]
}
\item Soit $u_0$ un nombre r\'eel. Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=f(u_{n-1})$.
Montrer que pour tout $n\geq 1$, on a
\[
|u_n - l | \leq \lambda | u_{n-1} - l | \; .
\]
\solution{Comme $l=f(l)$ et $u_n=f(u_{n-1})$, on a
\[
|u_n - l| = |f(u_{n-1}) - f(l)| \leq \lambda\,|u_{n-1} - l|
\]
d'apr\`es le point pr\'ec\'edent.}
\item Montrer que $u_n$ tend vers $l$.
\solution{Par r\'ecurrence, il r\'esulte du point pr\'ec\'edent que
\[
|u_n - l| \leq \lambda^n \, |u_0 - l|.
\]
Comme $\lambda<1$, 
cela montre bien que $|u_n -l | $ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini.
Donc $u_n$ tend vers $l$.
}

\end{list-of-exercises}



\end{series-of-exercises}
\end{document}




\item
\begin{list-of-exercises}
\item Soit $n\geq 0$ un entier. D\'eterminer le d\'eveloppement limit\'e \`a
l'ordre $n$ au voisinage de $0$ de
\[
\frac{1}{1-x^2/3}.
\]
\item Soit $f:\R \ra \R$ la fonction d\'efinie par 
\[
f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{si $x=0$} \\
                                  \frac{x}{\arctg(x)} & \mbox{si $x\neq 0$} \end{array} \right. .
\]
Montrer que $f$ est continue en $0$ et d\'eterminer son d\'eveloppement limit\'e
\`a l'ordre $4$ au voisinage de $0$. 
\item
Calculer
\[
\lim_{x\ra 0} \frac{1}{x^4}\,(\frac{1}{1-x^2/3} - \frac{x}{\arctg(x)}).
\]
\end{list-of-exercises}