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\begin{document}
\begin{center}
Universit\'e Paris 7  \hfill 1 d\'ecembre 2001\\
U.F.R. de Math\'ematiques\hfill \mbox{B.~Keller}\\[0.5cm]
{\bf DEUG MASS Premi\`ere ann\'ee : MT 131 \\[0.5cm]
             \titre\\}
\end{center}

\tit{Question de cours}
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie.
\begin{list-of-exercises}
\item Qu'est-ce qu'une base de $E$ ?
\solution{Une base de $E$ est une suite de vecteurs $(v_1, \ldots, v_n)$ de
$E$ qui est g\'en\'eratrice (i.e. tout vecteur est combinaison lin\'eaire
de $v_1$, \ldots , $v_n$) et libre (i.e. si l'on a
\[
\lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n =0
\]
pour des scalaires $\lambda_i$, alors on a $\lambda_i=0$ pour tout $i$).}
\item Soient $(v_1, \ldots, v_n)$ une base de $E$ et $v$ un vecteur de $E$.
Qu'est-ce qu'on entend par les coordonn\'ees de $v$ dans la base $(v_1, \ldots, v_n)$ ?
\solution{Les coordonn\'ees de $v$ sont les scalaires $x_1$, \ldots, $x_n$,
d\'etermin\'es uniquement par $v$, tels que
\[
v=x_1 v_1 + x_2 v_2 + \ldots + x_n v_n.
\]
}
\item Soient $(v_1, \ldots, v_n)$ une base de $E$, $v$ un vecteur et $(x_1, \ldots, x_n)$
les coordonn\'ees de $v$ dans la base $(v_1, \ldots, v_n)$. Supposons que $x_1 \neq 0$.
Montrer que $(v, v_2, \ldots, v_n)$ est encore une base de~$E$.
\solution{Comme $x_1\neq 0$, nous avons
\[
v_1 = \frac{1}{x_1}(v - x_2 v_2 - \ldots -x_n v_n).
\]
Il s'ensuit que toute combinaison lin\'eaire de $v_1$, $v_2$, \ldots, $v_n$ est aussi
une combinaison lin\'eaire de $v$, $v_2$, \ldots, $v_n$. La famille 
$(v, v_2,\ldots, v_n)$ est donc g\'en\'eratrice. Comme elle est form\'ee de
$n$ vecteurs et que $E$ est de dimension $n$, elle est une base.}
\end{list-of-exercises}

\tit{Exercice I} 
Dans l'espace vectoriel r\'eel $\R^4$, soit $F$ le sous-espace des solutions du
syst\1eme
\begin{align*}
x_1 - x_4  &= 0 \\
x_2 + x_4  &= 0 
\end{align*}
et $G$ le sous-espace des solutions du syst\1eme
\begin{align*}
x_1 + x_4 &= 0 \\
x_3 - x_4 &= 0
\end{align*}

\begin{list-of-exercises}
\item Montrer que $F$ et $G$ sont de dimension $2$. Montrer que leur intersection
est r\'eduite \1a $\{0\}$ et en d\'eduire que $F$ et $G$ sont suppl\'ementaires dans $\R^4$.
\solution{Les deux \'equations qui d\'efinissent $F$ sont clairement lin\'eairement
ind\'ependantes. Donc $F$ est de dimension $\dim \R^4 \; -2 =2$. De m\^eme pour $G$.

Un vecteur $x$ qui appartient \`a l'intersection de $F$ et $G$ est solution du
syst\`eme form\'e des quatre \'equations ci-dessus. Si nous rajoutons la premi\`ere
\'equation \`a la troisi\`eme, nous obtenons $2x_1=0$. La premi\`ere donne
alors $x_4=0$, et les deux derni\`eres donnent $x_1=0$ et $x_3=0$. Donc $x=0$
et l'intersection $F\cap G$ est bien r\'eduite \`a $\{0\}$. 

On sait que la dimension de $F+G$ est \'egale \`a $\dim F + \dim G - \dim F\cap G$.
Comme $F\cap G=\{0\}$, le sous-espace $F+G \subset \R^4$ est donc de dimension $4$. 
Donc il  est \'egal \`a $\R^4$. Ainsi nous avons $F+G=\R^4$ et $F\cap G=\{0\}$ ce
qui signifie que $F$ et $G$ sont suppl\'ementaires dans $\R^4$.}
\item Exhiber une base $v_1, v_2$ de $F$ et une base $v_3$, $v_4$ de $G$.
\solution{Les vecteurs suivants
\[
v_1=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1  \\ 0 \end{array} \right]
v_2=\left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \ko
\]
sont clairement lin\'eairement ind\'ependants et appartiennent \`a $F$.
Comme $F$ est de dimension $2$, ils forment une base de $F$. Les vecteurs
\[
v_3 = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0  \\ 0  \end{array} \right]
v_4 = \left[\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \ko
\]
sont clairement lin\'eairement ind\'ependants et appartiennent \`a $G$.
Comme $G$ est de dimension $2$, ils forment une base de $G$.}
\item Soit $s$ la sym\'etrie par rapport \1a $F$ parall\1element \1a $G$.
\begin{sublist}
\item Quelle est la matrice de $s$ dans la base $(v_1, \ldots, v_4)$ ? 
\item Quelle est la matrice de $s$ dans la base canonique $(e_1, \ldots, e_4)$ de $\R^4$ ?
\end{sublist}
\solution{a) Par d\'efinition de $s$, nous avons
\[
s(v_1)=v_1 \ko s(v_2)=v_2 \ko s(v_3)=-v_3 \ko s(v_4)=-v_4.
\]
La matrice de $s$ dans la base $(v_1, v_2, v_3, v_4)$ est donc
\[
A'=\left[\begin{array}{cccc} 
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0  & -1
\end{array} \right].
\]
b) Notons $A$ la matrice de $s$ dans la base canonique de $\R^4$. Nous savons
que $A'=P^{-1} A P$, o\`u $P$ est la matrice du changement de base de
$(e_1, e_2, e_3, e_4)$ vers $(v_1, v_2, v_3, v_4)$. Il s'ensuit que
$A=P A' P^{-1}$. La matrice $P$ et son inverse sont
\[
P=\left [\begin {array}{cccc} 0&1&0&-1\\\noalign{\medskip}0&-1&1&0
\\\noalign{\medskip}1&0&0&1\\\noalign{\medskip}0&1&0&1\end {array}
\right ] \ko
P^{-1}=
\left [\begin {array}{cccc} 1/2&0&1&-1/2\\\noalign{\medskip}1/2&0&0&1/
2\\\noalign{\medskip}1/2&1&0&1/2\\\noalign{\medskip}-1/2&0&0&1/2
\end {array}\right ].
\]
On trouve
\[
A=P A' P^{-1} = 
\left [\begin {array}{cccc} 0&0&0&1\\\noalign{\medskip}-1&-1&0&-1
\\\noalign{\medskip}1&0&1&-1\\\noalign{\medskip}1&0&0&0\end {array}
\right ]
\]
}

\end{list-of-exercises}


\tit{Exercice II}
Soit la matrice
\[
A=\left [\begin {array}{ccccc} 1&1&9&0&5\\\noalign{\medskip}1&2&13&0&7
\\\noalign{\medskip}1&0&5&1&4\\\noalign{\medskip}0&2&8&0&4\end {array}
\right ] .
\]
\begin{list-of-exercises}
\item Quels sont les vecteurs $y=(y_1, y_2, y_3, y_4)$ de $\R^4$ tels que 
le syst\1eme $Ax=y$ admet une solution $x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ dans $\R^5$ ? 
Dans ce cas, quelle est la solution g\'en\'erale du syst\`eme  $Ax=y$ ?
\solution{Nous effectuons des op\'erations \'el\'ementaires sur les
\'equations du syst\`eme $Ax=y$. De fa\c{c}on \'equivalente, nous
effectuons des op\'erations \'el\'ementaires sur les lignes de la matrice
\[
\left [\begin {array}{cccccc} 1&1&9&0&5&y_{{1}}\\\noalign{\medskip}1&2
&13&0&7&y_{{2}}\\\noalign{\medskip}1&0&5&1&4&y_{{3}}
\\\noalign{\medskip}0&2&8&0&4&y_{{4}}\end {array}\right ] \; 
\]
Nous obtenons la matrice 
\[
\left [\begin {array}{cccccc} 1&0&5&0&3&-y_{{2}}+2\,y_{{1}}
\\\noalign{\medskip}0&1&4&0&2&-y_{{1}}+y_{{2}}\\\noalign{\medskip}0&0&0
&1&1&-y_{{2}}+y_{{4}}+y_{{3}}\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&0&2\,y_{{1}}-
2\,y_{{2}}+y_{{4}}\end {array}\right ].
\]
Le syst\`eme $Ax=y$ est donc \'equivalent au syst\`eme
\[
\begin{array}{llllll}
x_1 &     & +5x_3    &      & + 3 x_5 & = -y_2 + 2y_1 \\
    & x_2 & + 4 x_3 &      & + 2 x_5 & = -y_1 + y_2 \\
    &     &         &  x_4 & + x_5   & = -y_2 + y_4 + y_3 \\
    &     &         &      &      0  & = 2 y_1 - 2 y_2 + y_4
\end{array}
\]
Ce dernier syst\`eme admet une solution $x$ si et seulement si la quatri\`eme
\'equation est v\'erifi\'ee. Supposons que c'est le cas. Alors le syst\`eme
admet pour solution particuli\`ere
\[
x_{\mbox{\scriptsize part}}=
\left[ \begin{array}{c} 
-y_2+2y_1 \\ -y_1 + y_2 \\ 0 \\ -y_2 + y_4 + y_3 \\ 0 
\end{array} \right] .
\]
Le syst\`eme homog\`ene associ\'e est
\[
\begin{array}{llllll}
x_1 &     & +5x_3    &      & + 3 x_5 & = 0\\
    & x_2 & + 4 x_3 &      & + 2 x_5 & =  0 \\
    &     &         &  x_4 & + x_5   & =  0 \\
    &     &         &      &      0  & =  0
\end{array}
\]
Un vecteur $x\in \R^5$ est solution de ce syst\`eme si et seulement si
\[
\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{array}  \right]
= 
\left[ \begin{array}{c} -5 x_3 - 3 x_5 \\ -4 x_3 - 2 x_5 \\ x_3 \\ -x_5 \\ x_5 
\end{array} \right] 
\]
La solution g\'en\'erale du syst\`eme homog\`ene est donc
\[
x_{\mbox{\scriptsize hom}} = 
\left[ \begin{array}{c} -5 s -3 t \\ -4s -2t \\ s \\ -t \\ t \end{array} \right] =
s \; \left[ \begin{array}{c} -5 \\ -4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] 
+ t\; \left[\begin{array}{c} -3 \\ -2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] \ko
s,t\in \R.
\]
La solution g\'en\'erale du syst\`eme inhomog\`ene est
\[
x_{\mbox{\scriptsize g\'en}} = x_{\mbox{\scriptsize part}} + x_{\mbox{\scriptsize hom}}
= 
\left[ \begin{array}{c} 
-y_2+2y_1 \\ -y_1 + y_2 \\ 0 \\ -y_2 + y_4 + y_3 \\ 0 
\end{array} \right]  + 
s \; \left[ \begin{array}{c} -5 \\ -4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] 
+ t\; \left[\begin{array}{c} -3 \\ -2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] \ko
s,t\in \R.
\]
}

\item Soit $f: \R^5 \ra \R^4$ l'application lin\'eaire qui, \1a $x\in \R^5$,
associe $Ax$. 
\begin{sublist}
\item Donner une base du noyau de $f$.
\solution{Un vecteur $x$ appartient au noyau de $f$ si et seulement si il est
solution du syst\`eme homog\`ene $Ax=0$. D'apr\`es le point pr\'ec\'edent,
il est alors combinaison lin\'eaire des vecteurs
\[
\left[ \begin{array}{c} -5 \\ -4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] 
\mbox{ et }
\left[\begin{array}{c} -3 \\ -2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] \; .
\]
Ces vecteurs forment donc une famille g\'en\'eratrice du noyau.
Comme ils sont lin\'eairement ind\'ependants (car non proportionnels),
ils en forment m\^eme une base.}

\item Donner une ou des \'equations qui caract\'erisent l'image de $f$.
Quelle est la dimension de l'image ?
\solution{Un vecteur $y\in \R^4$ appartient \`a l'image de $f$ si et
seulement si le syst\`eme $Ax=y$ admet une solution $x$. Nous avons
vu au point 1) que c'est le cas si et seulement si l'on a
\[
2 y_1 - 2 y_2 + y_4 = 0.
\]
Cette \'equation caract\'erise donc les vecteurs $y$ de l'image de $f$.
L'image est de dimension $3$ car elle est l'ensemble des solutions d'une
\'equation non triviale en $4$ inconnues (voici une autre raison~: le noyau de
$f$ est de dimension $2$ donc l'image de dimension $(\dim \R^5)-2=3$).
}
\end{sublist}
\item Soit $F\subset \R^4$ l'image de $f$. Donner une base de $F$. 
Existe-t-il une application  lin\'eaire $g: F \ra \R^5$ telle que $f\circ g$ est 
l'identit\'e de $F$ ? Justifier.
\solution{D'apr\`es l'\'equation pour l'image de $f$, les vecteurs
\[
v_1 = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -2  \end{array} \right] \ko
v_2 = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\  2  \end{array} \right] \ko
v_3 = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\  0  \end{array} \right] 
\]
appartiennent \`a l'image. Ils sont clairement lin\'eairement ind\'ependants. 
Comme l'image est de dimension $3$, ils en forment une base.

Comme les vecteurs $v_i$ appartiennent \`a l'image de $f$, il existe des
vecteurs $w_i$ de $\R^5$ tels que $f(w_i)=v_i$, $i=1,2,3$. Comme les
$v_i$ forment une base de $F$, il existe une unique application lin\'eaire
$g: F \ra \R^5$ telle que $g(v_i)=w_i$. Montrons que l'application $f\circ g$ est
\'egale \`a l'application $id_F$. Comme ces deux applications sont
lin\'aires, il suffit de montrer qu'elles co\"{\i}ncident sur les
vecteurs de la base $v_1, v_2, v_3$. En effet, nous avons
$(f\circ g)(v_i) = f(w_i)=v_i = id_{F}(v_i)$ pour $i=1,2,3$.}


\end{list-of-exercises}

\tit{Exercice III}
Soient $x_1, x_2, x_3$ des nombres r\'eels et 
\[
A=\left[ \begin{array}{ccc} 
1 & x_1 & x_1^2 \\ 
1 & x_2 & x_2^2 \\
1 & x_3 & x_3^2 \end{array} \right] \; .
\]
Nous allons calculer le d\'eterminant de $A$.

Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales $p: \R \ra \R$ qui sont
nulles ou de degr\'e $\leq 2$. Dans $E$, on choisit la base form\'ee des fonctions 
$p_1, p_2, p_3$ qui, \1a $x\in\R$, associent respectivement $1,x$ et $x^2$.
Dans $\R^3$, on choisit la base canonique $(e_1, e_2, e_3)$.

Soit $f : E \ra \R^3$ l'application qui, \1a $p\in E$, associe $(p(x_1), p(x_2), p(x_3))$.
\begin{list-of-exercises}
\item
Montrer que $f$ est lin\'eaire et que $A$ est sa matrice dans les bases choisies de $E$ et $\R^3$.
\solution{On sait qu'une application $f: E \ra \R^3$ est lin\'eaire si et seulement
si ses composantes $f_i$, d\'efinies par $f(v)=(f_1(v),f_2(v),f_3(v))$, sont des
applications lin\'eaires de $E$ dans $\R$. Il suffit donc de v\'erifier que
l'application de $E$ dans $\R$ qui, \`a une fonction polynomiale $p$ associe $p(x_i)$, est
lin\'eaire. En effet, si $p$ et $q$ sont deux fonctions polynomiales et $\lambda\in \R$,
nous avons
\[
(p+q)(x_i)= p(x_i) + q(x_i) \mbox{ et } (\lambda p)(x_i) = \lambda p(x_i).
\]
Pour d\'eterminer la matrice de $f$, calculons les images des vecteurs de la
base $p_1$, $p_2$, $p_3$. 
Nous avons $f(p_1) = (1,1,1)$, $f(p_2)= (x_1,x_2,x_3)$ et $f(p_3)=(x_1^2, x_2^2, x_3^2)$.
Si nous \'ecrivons les coordonn\'ees de ces vecteurs dans la base canonique de
$\R^3$, nous obtenons bien les colonnes de la matrice $A$. Donc $A$ est
bien la matrice de $f$ dans les bases choisies.
}
\item Pour $x\in \R$, on pose
\[
q_1(x)=1 \ko 
q_2(x)=(x-x_1) \ko
q_3(x)=(x-x_1)(x-x_2).
\]
Soit $g: \R^3 \ra E$ l'application lin\'eaire qui envoie $e_j$ sur $q_j$, $1\leq j\leq 3$.
Soit $B$ la matrice de $g$ dans les bases choisies. Montrer que $B$ est triangulaire
sup\'erieure et calculer son d\'eterminant.
\solution{Nous avons
\[
g(e_1) = p_1 \ko
g(e_2) = q_2 = p_2 - x_1 p_1 \ko
g(e_3) = q_3 = p_3 - (x_1+x_2) p_2 + (x_1 x_2) p_1 .
\]
La matrice $B$ est donc
\[
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -x_1 & x_1 x_2 \\
0 & 1    & -(x_1+x_2) \\ 
0 & 0    & 1 
\end{array} \right].
\]
Elle est bien triangulaire sup\'erieure. Son d\'eterminant est donc le produit
de ses coefficients diagonaux. Donc $\det B=1$.
}

\item Soit $C=(c_{ij})$ la matrice de $f\circ g$ dans les bases choisies. 
Calculer $(f\circ g)(e_j)$ pour $1\leq j \leq 3$ et en d\'eduire que 
$c_{ij}=q_j(x_i)$. Observer que $C$ est triangulaire  inf\'erieure et
calculer son d\'eterminant.
\solution{Nous avons 
\[
(f\circ g)(e_j) = f(q_j) = \left[\begin{array}{c} q_j(x_1) \\ q_j(x_2) \\ q_j(x_3) \end{array}
\right] = q_j(x_1) e_1 + q_j(x_2) e_2 + q_j (x_3) e_3.
\]
Le coefficient $(i,j)$ de $C$ est donc bien $q_j(x_i)$. Comme $q_2$ s'annule en
$x_1$ et $q_3$ s'annule en $x_1$ et $x_2$, la matrice $C$ est
\[
\left[
\begin{array}{ccc}
1   &   0   &   0   \\
1   &  q_2(x_2) & 0  \\
1   &  q_2(x_3) & q_3(x_3) 
\end{array} \right]
= 
\left[
\begin{array}{ccc}
1   &   0   &   0   \\
1   & (x_2-x_1) & 0 \\
1   & q_2(x_3)  & (x_3-x_1)(x_3-x_2) 
\end{array} 
\right].
\]
Comme $C$ est triangulaire inf\'erieure, son d\'eterminant est le produit
de ses coefficients diagonaux. Donc
\[
\det C = (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2).
\]
}
\item Calculer le d\'eterminant de $A$ en utilisant le fait que $C=AB$.
\solution{L'\'egalit\'e $C=AB$ nous donne
\[
\det C = \det(AB) = (\det A)(\det B) .
\]
Comme $\det B=1$, nous obtenons
\[
\det A = \det C = (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2).
\]
}
\end{list-of-exercises}

\end{document}