Université Paris 7 1 novembre 2001 U.F.R. de Mathématiques B. Keller

DEUG MASS Première année : MT 131

Devoir (à rendre la semaine du 12 novembre)

Question de cours

1) Soient E un espace vectoriel sur 𝕂. Qu’est-ce qu’un sous-espace vectoriel de E ?

2) Soient E et F des espaces vectoriels sur 𝕂. Qu’est-ce qu’une application linéaire de E dans F ?

3) Soit f une application linéaire de E dans F. Rappeler la définition du noyau de f. Montrer que le noyau de f est un sous-espace vectoriel.

4) Montrer que l’application linéaire f est injective si et seulement si son noyau s’annule.

Exercice I

Soit E ⊂ ℝ^{3} le plan d’équation x + y + z = 0 et F la droite engendrée par le vecteur (1, 2, 1).

1) Montrer que E et F sont supplémentaires.

2) Soit s la symétrie par rapport à E parallèlement à F. Choisir une base v_{1}, v_{2} de E et une base v_{3} de F. Déterminer la matrice de s dans la base (v_{1}, v_{2}, v_{3}) de ℝ^{3}. Est-ce qu’elle dépend du choix de v_{1}, v_{2}, v_{3} ?

3) Déterminer la matrice de s dans la base canonique de ℝ^{3}.

Exercice II

Déterminer le rang de la matrice

A = [ \begin{matrix}a + 2 & 1 & a \\ a & a & −a \\ a − 2 & −1 & 1 \end{matrix} ]

en fonction du nombre réel a.

Exercice III

Soient les vecteurs suivants de ℝ^{4} :

v_{1} = (1, 1, 0, 2) , v_{2} = (1, 2, 0, 3) , v_{3} = (1, 1, 1, 3) , v_{4} = (1, 1, 2, 4).

Soient F le sous-espace de ℝ^{3} engendré par v_{1} et v_{2} et G le sous-espace engendré par v_{3} et v_{4}.

1) Montrer que F et G sont de dimension 2.

2) Montrer que F + G est de dimension 3. Que peut-on dire de la dimension de F ∩ G ?

3) Exhiber une base de F ∩ G et des équations pour F + G.

Exercice IV

Soit E l’espace vectoriel des polynômes de degré ≤ 6. Soit f l’application linéaire de E dans E qui, à un polynôme x ↦ p(x), associe le polynôme x ↦ p(x + 1).

1) Quelle est la matrice de A de f dans la base 1, x, …, x^{6} ?

2) Soit n un entier. Calculer la puissance A^{n}. Indication : on pourra commencer par chercher l’application f^{n}.

Exercice V

On définit la suite de Fibonacci par

a_{0} = 0 , a_{1} = 1 , a_{n+1} = a_{n} + a_{n−1} pour tout n ≥ 1.

1) Calculer a_{0}, …, a_{10}.

2) Soit la matrice

A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] .

Montrer que pour tout n ≥ 1, on a

A^{n} = [ \begin{matrix}a_{n−1} & a_{n} \\ a_{n} & a_{n+1} \end{matrix} ] .

3) Calculer la valeur exacte de A^{128} et de a_{128}. Indication : le calcul peut se faire par 7 multiplications de matrices.

4) Un nombre entier a est divisible par un nombre entier b s’il existe un nombre entier c tel que a = bc. Soient n, k ≥ 1 et B une matrice 2 × 2 à coefficients entiers. Montrer, par récurrence sur k ≥ 1, que le coefficient (2, 1) de la matrice B^{k} est divisible par le co est divisible par le coefficient (2, 1) de B.

5) Déduire que a_{kn} est divisible par a_{n} pour tous k ≥ 1.

6) (facultatif) Montrer que a_{n} est le nombre de trajets de longueur n qui, dans le labyrinth à sens uniques ci-dessous mènent de 1 à 2. Indication : il est utile de considérer aussi les trajets qui mènent de 1 à 1, de 2 à 1 et de 2 à 2 …

Exercice VI

Soit E l’espace vectoriel des applications de ℕ dans ℝ. Les éléments de E sont donc des suites (u_{n}) de nombres réels. Soit F ⊂ E l’ensemble des suites (u_{n}) telles que

u_{n+1} = u_{n} + u_{n−1} pour tout n ≥ 1.

1) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.

2) Montrer que l’application de F dans ℝ^{2} qui, à une suite (u_{n}), associe le couple (u_{0}, u_{1}) est linéaire et bijective. Quelle est la dimension de F ?

3) Soit λ un nombre réel. Montrer que la suite (λ^{n}) appartient à F si et seulement si l’on a λ^{2} = λ + 1.

4) Montrer que l’équation λ^{2} − λ − 1 = 0 admet deux solutions réelles distinctes λ_{1} > λ_{2}. Montrer que les vecteurs (1, λ_{1}) et (1, λ_{2}) forment une base de ℝ^{2}. Déduire que les suites v_{1} = (λ_{1}^{n}) et v_{2} = (λ_{2}^{n}) forment une base de F.

5) Ecrire la suite de Fibonacci w = (a_{n}) comme une combinaison linéaire w = c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2} pour des scalaires c_{1}, c_{2}. Déduire une formule explicite de la forme

a_{n} = c_{1}λ_{1}^{n} + c_{2}λ_{2}^{n}.