\documentclass{article}
\usepackage{epsf}
\usepackage{amsfonts}

\setlength{\oddsidemargin}{0.5cm}
\setlength{\textwidth}{15cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\topmargin}{0cm} 
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{23cm}
\setlength{\parindent}{1cm}



\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}


\renewcommand{\thepage}{ }
\newcommand{\1}[1]{\`{#1}}
%sublist
\newcounter{point}
\newenvironment{sublist}{
\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
\setlength{\itemsep}{0cm}\setlength{\leftmargin}{0.5cm}}
}{\end{list}}
                                                                
%initialize point
\newcommand{\initpoint}{\setcounter{point}{0}}
%Print point and step
\newcommand{\np}{\stepcounter{point}
\mbox{\quad\quad\alph{point})\,\,\,}\displaystyle}


%liste d'exercices
\newcounter{exo}
\newenvironment{list-of-exercises}{
\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
\setlength{\itemsep}{0cm}}                                      
}{\end{list}}                                                   
                                                                
\newcommand{\tit}[1]{\par\bigskip\noindent {\bf #1}\bigskip\par\noindent}


% abbreviations
% Black Board Bold Face
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\sN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\sZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
%Comma, forall
\newcommand{\ko}{\: , \;}
\newcommand{\fa}{\forall \,}
%Overline, Underline
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\ul}{\underline}

%Greek letters
\newcommand{\eps}{\varepsilon}


%Calligraphic letters
\newcommand{\ca}{{\cal A}}
\newcommand{\cb}{{\cal B}}
\newcommand{\cc}{{\cal C}}
\newcommand{\cd}{{\cal D}}
\newcommand{\ce}{{\cal E}}
\newcommand{\cf}{{\cal F}}
\newcommand{\cg}{{\cal G}}
\newcommand{\ch}{{\cal H}}
\newcommand{\ci}{{\cal I}}
\newcommand{\ck}{{\cal K}}
\newcommand{\cl}{{\cal L}}
\newcommand{\cm}{{\cal M}}
\newcommand{\cn}{{\cal N}}
\newcommand{\cp}{{\cal P}}
\newcommand{\cq}{{\cal Q}}
\newcommand{\cs}{{\cal S}}
\newcommand{\ct}{{\cal T}}
\newcommand{\cu}{{\cal U}}
\newcommand{\cv}{{\cal V}}
\newcommand{\cw}{{\cal W}}
\newcommand{\cx}{{\cal X}}



%Arrows
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\la}{\leftarrow}
\newcommand{\arr}[1]{\stackrel{#1}{\rightarrow}}
\newcommand{\longarr}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\longlarr}[1]{\stackrel{#1}{\longleftarrow}}
\newcommand{\iso}{\stackrel{_\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\liso}{\stackrel{_\sim}{\leftarrow}}
\newcommand{\larr}[1]{\stackrel{#1}{\leftarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



%French terminology
\newcommand{\tg}{\mbox{tg}\,}
\newcommand{\arctg}{\mbox{arctg}\,}


%\renewcommand{\arraystretch}{2}

\renewcommand{\vec}[1]{\stackrel{\longrightarrow}{#1}}


\begin{document}
\begin{center}
Universit\'e Paris 7  \hfill 1 novembre 2001\\
U.F.R. de Math\'ematiques\hfill \mbox{B.~Keller}\\[0.5cm]
{\bf DEUG MASS Premi\`ere ann\'ee : MT 131 \\[0.5cm]
              Devoir\\
(\`a rendre la semaine du 12 novembre)}
\end{center}

\tit{Question de cours}
\vspace*{-0.5cm}
\begin{list-of-exercises}
\item Soient $E$ un espace vectoriel sur $\K$. Qu'est-ce qu'un
sous-espace vectoriel de $E$ ?
\item Soient $E$ et $F$ des espaces vectoriels sur $\K$. Qu'est-ce
qu'une application lin\'eaire de $E$ dans $F$ ?
\item Soit $f$ une application lin\'eaire de $E$ dans $F$. Rappeler
la d\'efinition du noyau de $f$. Montrer que le noyau de $f$ est
un sous-espace vectoriel.
\item Montrer que l'application lin\'eaire
$f$ est injective si et seulement si son noyau s'annule.
\end{list-of-exercises}

\tit{Exercice I}
Soit $E\subset \R^3$ le plan d'\'equation $x+y+z=0$ et $F$ la droite
engendr\'ee par le vecteur $(1,2,1)$. 
\begin{list-of-exercises}
\item Montrer que $E$ et $F$ sont suppl\'ementaires.
\item Soit $s$ la sym\'etrie par rapport \`a $E$ parall\`element \`a $F$.
Choisir une base $v_1, v_2$ de $E$ et une base $v_3$ de $F$.
D\'eterminer la matrice de $s$ dans la base $(v_1, v_2, v_3)$ de $\R^3$.
Est-ce qu'elle d\'epend du choix de $v_1, v_2, v_3$ ?
\item D\'eterminer la matrice de $s$ dans la base canonique de $\R^3$.
\end{list-of-exercises}

\tit{Exercice II}
D\'eterminer le rang de la matrice
\[
A=\left[\begin{array}{ccc} a+2 & 1 & a \\ a & a & -a \\ a-2 & -1 & 1 \end{array} \right]
\]
en fonction du nombre r\'eel $a$.


\tit{Exercice III}
Soient les vecteurs suivants de $\R^4$~:
\[
v_1=(1,1,0,2) \ko v_2=(1,2,0,3) \ko v_3 = (1,1,1,3) \ko v_4=(1,1,2,4).
\]
Soient $F$ le sous-espace de $\R^3$ engendr\'e par $v_1$ et $v_2$ et $G$ 
le sous-espace engendr\'e par $v_3$ et $v_4$.
\begin{list-of-exercises}
\item Montrer que $F$ et $G$ sont de dimension $2$.
\item Montrer que $F+G$ est de dimension $3$. Que peut-on dire
de la dimension de $F\cap G$ ?
\item Exhiber une base de $F\cap G$ et des \'equations pour $F+G$.
\end{list-of-exercises}



\tit{Exercice IV} 
Soit $E$ l'espace vectoriel des polyn\^omes de degr\'e $\leq 6$.
Soit $f$ l'application lin\'eaire de $E$ dans $E$ qui, \`a un
polyn\^ome $x \mapsto p(x)$, associe le polyn\^ome $x \mapsto p(x+1)$.
\begin{list-of-exercises}
\item Quelle est la matrice de $A$ de $f$ dans la base $1, x, \ldots, x^6$ ?
\item Soit $n$ un entier. Calculer la puissance $A^n$. Indication~:
on pourra commencer par chercher l'application $f^n$.
\end{list-of-exercises}



\tit{Exercice V}
On d\'efinit la suite de Fibonacci par
\[
a_0=0\ko a_1=1\ko a_{n+1}=a_n+a_{n-1} \mbox{ pour tout } n\geq 1.
\]
\vspace*{-0.5cm}
\begin{list-of-exercises}
\item Calculer $a_0, \ldots, a_{10}$.
\item Soit la matrice
\[
A= \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right].
\]
Montrer que pour tout $n\geq 1$, on a
\[
A^n = \left[ \begin{array}{cc} a_{n-1} & a_{n} \\ a_{n} & a_{n+1} \end{array} \right].
\]
\item Calculer la valeur exacte de $A^{128}$ et de $a_{128}$. 
Indication~: le calcul peut se faire par 7 multiplications de matrices. 
\item Un nombre entier $a$ est {\em divisible} par un nombre entier $b$ s'il existe
un nombre entier $c$ tel que $a=bc$. Soient $n,k\geq 1$ et $B$ une matrice $2\times 2$
\`a coefficients entiers. Montrer, par r\'ecurrence sur $k\geq 1$, que
le coefficient $(2,1)$ de la matrice $B^k$ est divisible par le co
est divisible par le coefficient $(2,1)$ de $B$. 
\item D\'eduire que $a_{kn}$ est
divisible par $a_n$ pour tous $k\geq 1$.

\item (facultatif) Montrer que $a_n$ est le nombre de trajets de longueur
$n$ qui, dans le labyrinth \`a sens uniques ci-dessous m\`enent de $1$ \`a $2$.
Indication~: il est utile de consid\'erer aussi les trajets qui m\`enent de $1$ \`a $1$,
de $2$ \`a $1$ et de $2$ \`a $2$ \ldots
\[
\epsfbox{labyrinth.eps}
\]
%\item
%Montrer que pour tous $k,l\geq 0$, on a 
%\[
%a_k a_l + a_{k+1} a_{l+1} = a_{k+l}.
%\]
%Indication~: on pourra se servir du fait que $A^k \, A^l = A^{k+l}$.
\end{list-of-exercises}

\vspace*{-1cm}
\tit{Exercice VI}
Soit $E$ l'espace vectoriel des applications de $\N$ dans $\R$. Les
\'el\'ements de $E$ sont donc des suites $(u_n)$ de nombres r\'eels.
Soit $F\subset E$ l'ensemble des suites $(u_n)$ telles que
\[
u_{n+1}= u_{n}+u_{n-1} \mbox{ pour tout } n\geq 1.
\]
\vspace*{-0.5cm}
\begin{list-of-exercises}
\item Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
\item Montrer que l'application de $F$ dans $\R^2$ qui, \`a une
suite $(u_n)$, associe le couple $(u_0, u_1)$ est lin\'eaire
et bijective. Quelle est la dimension de $F$ ?
\item Soit $\lambda$ un nombre r\'eel. Montrer que la suite
$(\lambda^n)$ appartient \`a $F$ si et seulement si l'on
a $\lambda^2 =\lambda +1$. 
\item Montrer que l'\'equation $\lambda^2-\lambda-1=0$ admet
deux solutions r\'eelles distinctes $\lambda_1>\lambda_2$.
Montrer que les vecteurs $(1,\lambda_1)$ et $(1, \lambda_2)$ forment une
base de $\R^2$. D\'eduire que les suites $v_1=(\lambda_1^n)$ et
$v_2=(\lambda_2^n)$ forment une base de $F$.
\item Ecrire la suite de Fibonacci $w=(a_n)$ comme une combinaison lin\'eaire
$w= c_1 v_1 + c_2 v_2$ pour des scalaires $c_1, c_2$. D\'eduire une formule
explicite de la forme
\[
a_n = c_1 \lambda_1^n + c_2 \lambda_2^n.
\]
% \item Montrer que pour $n\geq 1$, $a_n$ est la partie enti\`ere
% du nombre r\'eel $c_1 \lambda_1^n$.

\end{list-of-exercises}


\end{document}









