Université Paris 7 1 février 2002 U.F.R. de Mathématiques B. Keller

DEUG MASS Première année : MT 131

Examen de Février 2002

Question de cours

1) Soient E un espace vectoriel réel et v_{1}, …, v_{p} des vecteurs de E. Quand est-ce qu’on dit que les vecteurs v_{1}, …, v_{p} sont linéairement indépendants ?

2) Soit u_{n} une suite de nombres réels et l un nombre réel. Que veut dire la phrase ‘la suite u_{n} tend vers l’ ?

Exercices

I. Soit

A = [ \begin{matrix}−1 & 2 & −2 \\ −1 & 2 & −1 \\ −1 & 1 & 0 \end{matrix} ]

1) Calculer le déterminant de la matrice A − λI_{3} en fonction du nombre réel λ et montrer que A − λI_{3} est inversible si et seulement si λ est différent de 1 et −1.

2) On note E_{λ} ⊂ ℝ^{3} le noyau de la matrice A − λI_{3}. Quelle est la dimension de E_{λ} en fonction du nombre réel λ? Donner une base de E_{λ} à chaque fois qu’il n’est pas réduit à {0}.

3) Montrer que les sous-espaces E_{1} et E_{−1} sont supplémentaires dans ℝ^{3}.

4) Montrer que l’application f : ℝ^{3} → ℝ^{3} qui envoie x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} sur Ax est égale

à la symétrie s par rapport à E_{1} parallèlement à E_{−1}. II. Soit

A = [ \begin{matrix}1 & −2 & 0 & 3 \\ −1 & 1 & 1 & −1 \\ −2 & 3 & 1 & −4 \end{matrix} ] .

1) Soit f : ℝ^{4} → ℝ^{3} l’application linéaire x ↦ Ax. Déterminer une base du noyau de f et une base de l’image de f.

2) Donner une ou des équations caractérisant l’image de f dans ℝ^{3}.

3) Soit y = (y_{1}, y_{2}, y_{3}) ∈ ℝ^{3}. A quelle condition le système d’équations Ax = y possède-t-il une solution x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) dans ℝ^{4} ? Pour ces vecteurs y, quelle est la solution générale du système ?

III. Calculer la limite quand x tend vers 0 des fonctions suivantes

g(x) = \frac{1}{x^{2}} Log (\frac{sin(x)}{x}) , h(x) = (cos(x))^{1/x^{2}}

IV. 1) Déterminer le développement limité de

f(x) = Log (\frac{cos(x)}{1 + sin(x)}) .

à l’ordre 3 au voisinage de 0.

2) Quelle est la tangente en (0, 0) au graphe de la fonction f ? Quelle est la position du graphe de f par rapport à sa tangente en (0, 0) ? Faire un dessin.

V. 1) Pour x ∈ ℝ, soit f(x) = 1 + cos(x/2). a) Esquisser le graphe de f : [0, 2π] → ℝ et le graphe de x ↦ x dans un même dessin.

b) Montrer qu’il existe un nombre l ∈ [0, 2π] tel que f(l) = l. Indication : considérer la

fonction

g : [0, 2π] → ℝ , x ↦ x − f(x).

2) Montrer que la fonction f : ℝ → ℝ est continûment dérivable. Calculer sa dérivée et montrer que, pour tous a, b ∈ ℝ, on a

|f(b) − f(a)| ≤ \frac{1}{2} |b − a| .

3) Soit u_{0} un nombre réel. Pour n ≥ 1, on pose u_{n} = f(u_{n−1}). Montrer que pour tout n ≥ 1, on a

|u_{n} − l| ≤ \frac{1}{2}|u_{n−1} − l| .

4) Montrer que u_{n} tend vers l.