Université Paris 7 3 septembre 2002 U.F.R. de Mathématiques B. Keller

DEUG MASS Première année : MT 131

Examen de Septembre 2002

Question de cours

1) Soient E un espace vectoriel réel et v_{1}, …, v_{p} des vecteurs de E. Quand est-ce qu’on dit que les vecteurs v_{1}, …, v_{p} forment une base de E ?

2) Soit f : ℝ → ℝ une fonction. Que veut dire la phrase ‘f est continue en x_{0} = 1’ ?

Exercices

I. Dans l’espace vectoriel ℝ^{3}, considérons les vecteurs

v_{1} = [ \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ] , v_{2} = [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ] , v_{3} = [ \begin{matrix}1 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} ] .

1) Montrer qu’ils forment une base.

2) Soient x, y, z sont les coordonnées d’un vecteur u dans la base standard e_{1}, e_{2}, e_{3} de ℝ^{3} et x′, y′, z′ ses coordonnées dans la base v_{1}, v_{2}, v_{3}. Calculer x′, y′, z′ en fonction de x, y, z.

3) Soit F la droite engendrée par v_{1} et E le plan engendré par v_{2} et v_{3}. Rappeler la définition de la symétrie s : ℝ^{3} → ℝ^{3} par rapport à E parallèlement à F.

4) Quelle est la matrice A′ de s dans la base v_{1}, v_{2}, v_{3} ?

5) Quelle est la matrice A de s dans la base standard e_{1}, e_{2}, e_{3} de ℝ^{3} ?

6) Rappeler la définition de la projection p : ℝ^{3} → ℝ^{3} sur E le long de F.

7) Quelle est la matrice B′ de p dans la base v_{1}, v_{2}, v_{3} ? Comment exprimer B′ à l’aide de A′ et de la matrice identité I ?

8) Quelle est la matrice B de p dans la base e_{1}, e_{2}, e_{3} ?

9) Soient a, b, c des réels. On considère le système d’équations

B [ \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ] .

Donner une condition nécessaire et suffisante sur a, b, c pour que ce système possède une solution et, dans ce cas, déterminer la solution générale.

II. 1) Déterminer le développement limité de

f(x) = Log (\frac{1 + x}{1 + sin(x)}) .

à l’ordre 4 au voisinage de 0.

2) Soit g(x) = f(x) − x^{3}/6. Quelle est la tangente en (0, 0) au graphe de la fonction g ? Quelle est la position du graphe de g par rapport à sa tangente en (0, 0) ?

III. 1) Pour x ∈ ℝ, soit f(x) = e^{−x^{2}}. a) Esquisser le graphe de f : [0, 2] → ℝ et le graphe de x ↦ x dans un même dessin. b) Montrer qu’il existe un nombre l ∈ [0, 2] tel que f(l) = l. Indication : considérer la

fonction

g : [0, 2] → ℝ , x ↦ x − f(x).

2) Montrer que la fonction f : ℝ → ℝ est continûment dérivable. Calculer sa dérivée et montrer qu’elle est bornée par λ = \sqrt{2/e}. En déduire que, pour tous a, b ∈ ℝ, on a

|f(b) − f(a)| ≤ λ |b − a| .

3) Soit u_{0} un nombre réel. Pour n ≥ 1, on pose u_{n} = f(u_{n−1}). Montrer que pour tout

n ≥ 1, on a

|u_{n} − l| ≤ λ|u_{n−1} − l| .

4) Montrer que u_{n} tend vers l.