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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}


\newcommand{\solution}[1]{\par\noindent{\em R\'eponse --- #1}}

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\begin{document}
\begin{center}
Universit\'e Paris 7  \hfill 10 novembre 2001\\
U.F.R. de Math\'ematiques\hfill \mbox{B.~Keller}\\[0.5cm]
{\bf DEUG MASS Premi\`ere ann\'ee : MT 131 \\[0.5cm]
             Exemples d'utilisation des op\'erations \'el\'ementaires\\[0.5cm]
              Unicit\'e de la matrice strictement en \'echelons}
\end{center}

\tit{1. Recherche d'un noyau}
Soit 
\[
A=\left [\begin {array}{ccccccccc} 0&0&0&1&4&2&1&3&5\\\noalign{\medskip}0
&1&2&1&7&1&1&4&7\\\noalign{\medskip}0&-1&-2&0&-3&1&1&1&1
\\\noalign{\medskip}0&2&4&1&10&0&2&7&12\end {array}\right ] \; .
\]
On cherche l'espace des solutions du syst\`eme homog\`ene 
\[
Ax=0 \ko x\in \K^9\ko
\]
c'est-\`a-dire le noyau de l'application lin\'eaire $f_A$ qui, 
\`a $x\in \R^9$, associe $Ax\in \R^4$.
On sait que cet espace reste inchang\'e lorsqu'on effectue des op\'erations \'el\'ementaires
sur les lignes de $A$ (ou, de fa\c{c}on \'equivalente, sur les \'equations du syst\`eme).
Simplifions donc $A$ par des op\'erations \'el\'ementaires sur les lignes.
Plus pr\'ecis\'ement, nous souhaitons r\'eduire $A$ \`a une matrice en
\'echelons (par rapport au lignes).
Notre premier but est de produire un coefficient $1$ en haut de la premi\`ere colonne non
nulle. Nous y parvenons en \'echangeant les premi\`ere et deuxi\`eme lignes.
Si nous d\'esignons par $E(1,2)$ le produit de matrices \'el\'ementaires
qui correspond \`a cette op\'eration, nous obtenons la matrice
\[
A_1= E(1,2) A= 
\left [\begin {array}{ccccccccc} 0&1&2&1&7&1&1&4&7\\\noalign{\medskip}0
&0&0&1&4&2&1&3&5\\\noalign{\medskip}0&-1&-2&0&-3&1&1&1&1
\\\noalign{\medskip}0&2&4&1&10&0&2&7&12\end {array}\right ]
\]
Maintenant nous produisons des $0$ en dessous du coefficient $1$ en haut de la
deuxi\`eme colonne en ajoutant $1$ fois la premi\`ere ligne \`a la troisi\`eme
et $-2$ fois la premi\`ere \`a la quatri\`eme. Nous obtenons la matrice
\[
A_2=T_{41}(-2)T_{31}(1) A_1 =
\left [\begin {array}{ccccccccc} 0&1&2&1&7&1&1&4&7\\\noalign{\medskip}0
&0&0&1&4&2&1&3&5\\\noalign{\medskip}0&0&0&1&4&2&2&5&8
\\\noalign{\medskip}0&0&0&-1&-4&-2&0&-1&-2\end {array}\right ]
\]
Un premier \'echelon est apparu \`a la premi\`ere ligne.
Consid\'erons maintenant la sous-matrice obtenue en supprimant la premi\`ere
ligne. Sa premi\`ere colonne non nulle contient d\'ej\`a un coefficient $1$
\`a la premi\`ere ligne (de la sous-matrice, bien entendu). Nous produisons
des coefficients $0$ au-dessous de $1$ en ajoutant des multiples convenables
de la deuxi\`eme ligne (de la grande matrice) aux troisi\`eme et quatri\`eme
lignes~:
\[
A_3=T_{42}(1) T_{32}(-1) A_2 = 
\left [\begin {array}{ccccccccc} 0&1&2&1&7&1&1&4&7\\\noalign{\medskip}0
&0&0&1&4&2&1&3&5\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&0&0&1&2&3
\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&0&0&1&2&3\end {array}\right ]
\]
Finalement, nous consid\'erons la sous-matrice obtenue en supprimant les
deux premi\`eres lignes. Sa premi\`ere colonne non nulle a d\'ej\`a un
coefficient $1$ \`a la premi\`ere ligne (de la sous-matrice). Nous
obtenons un coefficient $0$ en bas du $1$ en ajoutant $-1$ fois la
troisi\`eme ligne (de la grande matrice) \`a la quatri\`eme~:
\[
A_4= T_{43}(-1) A_3 = 
\left [\begin {array}{ccccccccc} 0&1&2&1&7&1&1&4&7\\\noalign{\medskip}0
&0&0&1&4&2&1&3&5\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&0&0&1&2&3
\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&0&0&0&0&0\end {array}\right ] \; .
\]
Nous avons obtenu une matrice en \'echelons (par rapport aux lignes).
Elle comporte trois lignes non nulles et elle est donc de rang $3$.
Par le th\`eor\`eme de la dimension, le noyau de $f_A : \R^9 \ra \R^4$
est donc de dimension $9-3=6$. 

Le syst\`eme $Ax=0$ est \'equivalent au syst\`eme $A_4 x=0$ et ce dernier
est facile \`a r\'esoudre. Nous pr\'ef\'erons n\'eanmoins effectuer encore
quelques op\'erations pour arriver \`a {\em l'unique matrice strictement en \'echelons}
par rapport aux lignes obtenue \`a partir de $A$ par des op\'erations \'el\'ementaires.
Pour cela, nous ajoutons d'abord $-1$ fois la troisi\`eme ligne aux deuxi\`eme et
premi\`eres lignes pour arriver \`a
\[
A_5= T_{13}(-1)T_{23}(-1) A_4 =
\left [\begin {array}{ccccccccc} 0&1&2&1&7&1&0&2&4\\\noalign{\medskip}0
&0&0&1&4&2&0&1&2\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&0&0&1&2&3
\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&0&0&0&0&0\end {array}\right ]
\]
Finalement, nous ajoutons $-1$ fois la deuxi\`eme \`a la premi\`ere ligne
pour obtenir
\[
A_6= T_{21}(-1) A_5 =
\left [\begin {array}{ccccccccc} 0&1&2&0&3&-1&0&1&2
\\\noalign{\medskip}0&0&0&1&4&2&0&1&2\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&0&0&1
&2&3\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&0&0&0&0&0\end {array}\right ]
\]
Cette matrice est bien strictement en \'echelons par rapport aux lignes.
Le syst\`eme associ\'e est
\begin{align*}
 {  x_2}+2\,{  x_3}+3\,{  x_5}-{  x_6}+{  x_8}+2\,{  x_9} & = 0 \\
{  x_4}+4\,{  x_5}+2\,{  x_6}+{  x_8}+2\,{  x_9} & =0 \\
{  x_7}+2\,{  x_8}+3\,{  x_9} & =0\\
0 &=0 
\end{align*}
Les coordonn\'ees $x_4$, $x_4$ et $x_7$ s'expriment facilement en fonction
des six autres~: un vecteur $x\in \R^9$ est solution si et seulement si on a
\[
\begin{array}{llrrrrr}
x_1 & = x_1 &         &       &       &       &        \\
x_2 & =     & -2 x_3  &-3 x_5 & +x_6  &-x_8   & -2 x_9 \\
x_3 & =     &  x_3    &	      &       &       &        \\
x_4 & =     &         &-4 x_5 & -2x_6 &+x_8   & +2 x_9 \\
x_5 & =	    &         & x_5   &       &       &        \\
x_6 & =	    &         &       & x_6   &       &         \\
x_7 & =     &         &       &       &-2 x_8 & + 3 x_9 \\
x_8 & =     &         &       &       & x_8   &        \\
x_9 & =     &         &       &       &       & x_9
\end{array}
\]
o\`u les six coordonn\'ees autres que $x_2$, $x_4$ et $x_7$ sont des r\'eels quelconques.
Le noyau de $f_A$ admet donc pour base les colonnes de la matrice suivante
\[
\left[
\begin{array}{rrrrrr}
1  & 0  & 0  & 0  & 0  & 0  \\
0  & -2 & -3 & 1  & -1 & -2  \\
0  & 1  & 0  & 0  & 0  & 0   \\
0  & 0  & -4 & -2 & 1  & 2   \\
0  & 0  & 1  & 0  & 0  & 0   \\
0  & 0  & 0  & 1  & 0  & 0   \\
0  & 0  & 0  & 0  & 1  & 0   \\
0  & 0  & 0  & 0  & -2 & 9   \\
0  & 0  & 0  & 0  & 1  & 0   \\
0  & 0  & 0  & 0  & 0  & 1   
\end{array}
\right]
\]

\tit{2. Recherche d'une image}
Soit la matrice
\[
A=
\left [\begin {array}{cccc} 0&-1&1&2\\\noalign{\medskip}0&-5&5&10
\\\noalign{\medskip}1&1&-2&-2\\\noalign{\medskip}4&1&-5&-2
\\\noalign{\medskip}0&1&0&-2\end {array}\right ]
\]
Nous allons \'etudier le sous-espace de $\R^5$ engendr\'e par les colonnes de $A$
c'est-\`a-dire l'image de l'application lin\'eaire $f_A$ qui, \`a $x\in \R^4$
associe $Ax\in \R^5$ 
(on cherche sa dimension, une base, des \'equations). On sait que cet espace
ne change pas lorsqu'on effectue des op\'erations \'el\'ementaires sur les
colonnes de la matrice. Simplifions donc $A$ par des op\'erations \'el\'ementaires
sur les colonnes. Plus pr\'ecis\'ement, nous souhaitons r\'eduire $A$ \`a une
matrice en \'echelons par rapport aux colonnes. Pour obtenir un coefficient
$1$ au d\'ebut de la premi\`ere ligne non nulle (qui, ici, est la premi\`ere
ligne de la matrice), nous \'echangeons les colonnes $1$ et $3$. Nous obtenons
la matrice
\[
A_1 = 
\left [\begin {array}{cccc} 1&-1&0&2\\\noalign{\medskip}5&-5&0&10
\\\noalign{\medskip}-2&1&1&-2\\\noalign{\medskip}-5&1&4&-2
\\\noalign{\medskip}0&1&0&-2\end {array}\right ]
\]
Maintenant on produit des coefficients nuls \`a droite de $1$ par des
op\'erations convenables~:
\[
A_2=A_1 T_{12}(1) T_{14}(-2) =
\left [\begin {array}{cccc} 1&0&0&0\\\noalign{\medskip}5&0&0&0
\\\noalign{\medskip}-2&-1&1&2\\\noalign{\medskip}-5&-4&4&8
\\\noalign{\medskip}0&1&0&-2\end {array}\right ] \; .
\]
Un premier \'echelon appara\^{\i}t. Nous continuons \`a simplifier la matrice~:
\[
A_3=A_2 T_{23}(1) T_{24}(2) D_2(-1) =
\left [\begin {array}{cccc} 1&0&0&0\\\noalign{\medskip}5&0&0&0
\\\noalign{\medskip}-2&1&0&0\\\noalign{\medskip}-5&4&0&0
\\\noalign{\medskip}0&-1&1&0\end {array}\right ] \; .
\]
La matrice obtenue est en \'echelons par rapport aux colonnes. Elle a trois
colonnes non nulles donc $A_3$ et $A$ sont de rang $3$. Simplifions encore
la matrice pour arriver \`a l'unique matrice strictement en \'echelons par
rapport aux colonnes obtenue \`a partir de $A$ par des op\'erations
\'el\'ementaires sur les colonnes. 
\[
A_4= A_3 T_{32}(1) T_{21}(2) =
\left [\begin {array}{cccc} 1&0&0&0\\\noalign{\medskip}5&0&0&0
\\\noalign{\medskip}0&1&0&0\\\noalign{\medskip}3&4&0&0
\\\noalign{\medskip}0&0&1&0\end {array}\right ]
\]
La derni\`ere matrice est bien strictement en \'echelons par rapport aux 
colonnes. Ses colonnes forment une base de l'image de $f_A$. Les vecteurs
de l'image sont donc de la forme
\[
y= \left[\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \end{array} \right] =
\left [\begin {array}{c} x_{{1}}\\\noalign{\medskip}5\,x_{{1}}
\\\noalign{\medskip}x_{{2}}\\\noalign{\medskip}3\,x_{{1}}+4\,x_{{2}}
\\\noalign{\medskip}x_{{3}}\end {array}\right ]
\]
o\`u $x_1, x_2, x_3$ sont des r\'eels quelconques. Un vecteur $y$ appartient
donc \`a l'image si et seulement si
\begin{align*}
5 y_1 - y_2 & = 0 \\
3 y_1 + 4 y_2 - y_4 & = 0  \; .
\end{align*}
Nous avons ainsi trouv\'e un syst\`eme d'\'equations pour l'image.
Notons que nous avons deux \'equations lin\'eairement ind\'ependantes en
$5$ inconnues ce qui nous donne bien un espace de solutions de
dimension $5-2=3$.

\tit{3. D\'emonstration de l'unicit\'e de la matrice strictement en \'echelons}
Soit $A$ une matrice $n \times p$ et $P$ une matrice inversible $n\times n$ telle
que $A'=PA$ est strictement en \'echelons par rapport aux lignes. Nous allons
montrer que la matrice $A'$ est uniquement d\'etermin\'ee par $A$. 

Soit $r$ le rang de $A$. Nous pouvons supposer que $r>0$ (sinon $A$ et $A'$
sont nulles). Soient $j_1$, $j_2$, \ldots, $j_r$ les num\'eros des colonnes
de $A'$ o\`u l'\'echelon monte. On a donc $A'e_{j_1}=e_1$, \ldots, $A'e_{j_r}=e_r$.
Montrons que les nombres $j_1$, \ldots, $j_r$ ne d\'ependent que de $A$.
Pour $1\leq j\leq p$, soit $F_j$ le sous-espace de $\R^n$ engendr\'e par
$Ae_1$, \ldots, $Ae_j$ et $F'_j$ le sous-espace engendr\'e par $A'e_1$, \ldots,
$A'e_j$. L'application $v \mapsto Pv$ donne un isomorphisme de $F_j$ sur
$F'_j$. Donc $\dim F_j = \dim F'_j$ pour tout $j$. Ces dimensions d\'eterminent
les nombres $j_1$, \ldots, $j_r$. En effet, posons $\delta(0)=0$
et $\delta(j)=\dim F'_j$ pour $1\leq j\leq p$. Alors la fonction $\delta$
est croissante, on a $\delta(j)\leq \delta(j-1)+ 1$ et on a $\delta(j)=\delta(j-1)+1$
exactement si $j$ est l'un des nombres $j_k$. 

Maintenant soit $1\leq j\leq p$ distinct des $j_1$, \ldots, $j_k$. Montrons
que les coefficients de la colonne $A'e_j$ de $A'$ ne d\'ependent que de $A$.
On a $A'e_j=0$ si et seulement si $Ae_j=0$ donc l'affirmation est claire dans ce cas.
Supposons donc que $A'e_j$ est non nul. 
Nous avons 
\[
A'e_j = a'_{1j} e_1 + a'_{2j} e_2 + \ldots  + a'_{kj} e_k
\]
pour un $k\geq 1$ et nous pouvons r\'ecrire cette \'egali\'e sous la forme
\[
A'e_j = a'_{1j} A'e_{j_1} + a'_{2j} A'e_{j_2} + \ldots + a'_{kj} A' e_{j_k}.
\]
Si nous appliquons $P^{-1}$ des deux c\^ot\'es, nous obtenons
\[
Ae_j = a'_{1j} A e_{j_1} + a'_{2j} A e_{j_2} + \ldots a'_{kj} A e_{j_k}.
\]
Dans cette \'egalit\'e, les vecteurs $A e_{j_i}=P^{-1} e_i$ sont lin\'eairement
ind\'ependants. Donc les coefficients $a'_{1j}$ sont uniques et d\'etermin\'es
par $A$.

\end{document}




