Université Paris 7 6 octobre 2001 U.F.R. de Mathématiques B. Keller

51MT131 : Algèbre et analyse élémentaires, I

Résumé de cours^{1} sur les nombres complexes

1. Règles de calcul

Un nombre complexe est un couple (a, b) de nombres réels. On note ce couple z = a + bi, où i est un symbole. Sa partie réelle est Rez = a, et sa partie imaginaire est Imz = b. La somme et le produit de deux nombres complexes sont définis respectivement par

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i  (1)
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.  (2)

On note ℂ l’ensemble des nombres complexes muni de ces opérations. On vérifie les règles suivantes, valables pour trois nombres complexes z, z′, z′′ :

Re(z + z′) = (Rez) + (Rez′) , Im(z + z′) = (Imz) + (Imz′)  (3)
z + z′ = z′ + z , (z + z′) + z′′ = z + (z′ + z′′)  (4)
zz′ = z′z , (zz′)z′′ = z(z′z′′)  (5)
z(z′ + z′′) = zz′ + zz′′  (6)

Par convention, si a est un nombre réel, on note simplement a le nombre complexe a + 0i. On vérifie les règles suivantes, valables pour un nombre complexe z et un nombre réel λ :

z = 0 ⇔ (Rez = 0 et Imz = 0)  (7)
Re(λz) = λRez , Im(λz) = λImz  (8)
z + 0 = z , 1z = z , 0z = 0.  (9)

Pour un nombre complexe z, on pose −z = −(Rez)−(Imz)i. Si z et z′ sont des nombres complexes, on pose z′ − z = z′ + (−z). Par convention, on note i le nombre complexe 0 + 1i. On a

i^{2} = −1  (10)

de façon que i est solution de l’équation z^{2} + 1 = 0.

On montre que pour tout nombre complexe non nul z, il existe un unique nombre complexe z′ tel que z′z = 1. On pose 1/z = z′. Si a, b sont des nombres réels tels que a + bi est non nul, on a

\frac{1}{a + bi} = \frac{a}{a^{2} + b^{2}} + \frac{−b}{a^{2} + b^{2}} i.  (11)

On déduit de l’existence de 1/z, z ≠ 0, que pour tous les nombres complexes z_{1}, z_{2}, on a

z_{1}z_{2} = 0 ⇔ (z_{1} = 0 ou z_{2} = 0).  (12)

Si z, z′ sont des nombres complexes tels que z est non nul, on pose z′/z = z′ (1/z). Pour un nombre complexe z, on pose z^{0} = 1 et pour tous entiers n ≥ 1, on définit la puissance n-ième de z par z^{n} = z z^{n−1}. Pour tous les entiers p et n, on a

z^{n} z^{p} = z^{n+p} et (z^{n})^{p} = z^{np}.  (13)

On vérifie que pour z ≠ 1, on a la formule pour la somme géométrique

1 + z + … + z^{n} = \frac{1 − z^{n+1}}{1 − z}  (14)

1Pour plus le détails, voir le chapitre 3 du livre de F. Liret et D. Martinais, Cours de mathématiques, Algèbre 1re année, Dunod, 1997

et que, pour tous les nombres complexes z_{1}, z_{2} et tous les entiers n ∈ ℕ, on a la formule du binôme de Newton

(z_{1} + z_{2})^{n} = z_{1}^{n} + C_{n}^{1}z_{1}^{n−1}z_{2} + … + C_{n}^{p}z_{1}^{n−p}z_{2}^{p} + … + z_{2}^{n} = ∑_{p=0}^{n} C_{n}^{p}z_{1}^{n−p}z_{2}^{p}.  (15)

2. Conjugué et module d’un nombre complexe, racine carrée

Soient a, b des nombres réels et z = a + bi. Le conjugué de z est le nombre complexe \overline{z} = a − bi. Le module de z est le nombre réel |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}. On vérifie les règles suivantes, valables pour des nombres complexes z_{1}, z_{2}, z (où z ≠ 0 si 1/z apparaît)

\overline{\overline{z}} = z , \overline{z_{1} + z_{2}} = \overline{z_{1}} + \overline{z_{2}} , \overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}} \overline{z_{2}} , \overline{\frac{1}{z}} = \frac{1}{z}  (16)
Rez = \frac{1}{2}(z + \overline{z}) , Imz = \frac{1}{2i}(z − \overline{z})  (17)
z ∈ ℝ ⇔ z = \overline{z} , z ∈ ℝi ⇔ iz ∈ ℝ ⇔ \overline{z} = −z  (18)
|z_{1}z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}| , | \frac{1}{z} | = \frac{1}{|z|} , |\overline{z}| = |z| , |z|^{2} = z\overline{z}  (19)
z = 0 ⇔ |z| = 0 , z ≠ 0 ⇒ \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^{2}} , |z| = 1 ⇒ \frac{1}{z} = \overline{z}  (20)
|z_{1} + z_{2}|^{2} = |z_{1}|^{2} + 2 Re(z_{1}\overline{z_{2}}) + |z_{2}|^{2}.  (21)

On démontre à l’aide de (21) que l’on a l’inégalité triangulaire

|z_{1} + z_{2}| ≤ |z_{1}| + |z_{2}|.  (22)

Les racines carrées d’un nombre complexe α sont les solutions complexes z de l’équation z^{2} = α. Tout nombre complexe non nul α admet exactement deux racines carrées opposées l’une de l’autre. Pour tous nombres réels x, y, a, b, on a

(x + iy)^{2} = a + ib ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} − y^{2} = a \\ x^{2} + y^{2} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \\ 2xy = b \end{matrix}  (23)

et on trouve aisément les racines carrées de a + ib en résolvant le système à droite. Soient α, β, γ des nombres complexes tels que α ≠ 0. Pour résoudre l’équation αz^{2} + βz + γ = 0, on complète le carré et on détermine les racines carrées de β^{2} − 4αγ.

3. Argument d’un nombre complexe

Soit z un nombre complexe non nul. Il existe un unique nombre réel θ ∈ [0, 2π[ tel que

z = |z| (cos θ + i sin θ).  (24)

On définit l’argument de z par Argz = θ. Si α et β sont deux réels, on écrit α ≡ β mod 2π si et seulement si il existe un entier k ∈ ℤ tel que α = β + 2πk. Pour tous nombres complexes non nuls z_{1} et z_{2}, on a

Arg(z_{1} z_{2}) ≡ Arg(z_{1}) + Arg(z_{2}) mod 2π , Arg(1/z_{1}) ≡ −Arg(z_{1}) mod 2π.  (25)

Soit α un nombre complexe non nul et n ≥ 2 un entier. Un nombre complexe z est une racine n-ième de α si z^{n} = α. Le nombre z est une racine n-ième de α si et seulement si l’on a

|z| = ^{n} \sqrt{|α|} et Arg(z) = \frac{Argα}{n} + \frac{2πk}{n} pour un entier k ∈ \{0, 1, …, n − 1\}.  (26)

Pour tout réel θ, on pose e^{iθ} = cosθ + i sin θ. Alors les théorèmes d’additivité pour les fonctions trigonométriques donnent

e^{iθ_{1}} e^{iθ_{2}} = e^{i(θ_{1}+θ_{2})} et, par récurrence, (e^{iθ})^{n} = e^{inθ} pour tout n ∈ ℤ.  (27)

Tout nombre complexe non nul z s’écrit ρe^{iθ}, et si ρe^{iθ} = ρ′e^{iθ′}, alors ρ = ρ′ = |z| et θ ≡ θ′ ≡ Arg(z) mod 2π.