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\begin{document}
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\begin{center}
Universit\'e Paris 7  \hfill 6 octobre 2001\\
U.F.R. de Math\'ematiques\hfill \mbox{B.~Keller}\\[0.5cm]
{\bf 51MT131 : Alg\1ebre et analyse \'el\'ementaires, I \\[0.3cm]
R\'esum\'e 
de cours\footnote{Pour plus le d\'etails, voir le chapitre 3 du livre de
F.~Liret et D.~Martinais, {\em Cours de math\'ematiques, Alg\1ebre 1re ann\'ee}, Dunod, 1997}
 sur les nombres complexes}
\end{center}
\titre{1. R\1egles de calcul}
Un {\em nombre complexe} est un couple $(a,b)$ de nombres r\'eels. 
On note ce couple $z=a+bi$, o\1u $i$ est un symbole. Sa {\em partie
r\'eelle} est $\Re z= a$, et sa {\em partie imaginaire} est $\Im z = b$.
La {\em somme} et le {\em produit} de deux nombres complexes sont
d\'efinis respectivement par
\begin{eqnarray}
(a+bi)+(c+di) & = & (a+c) + (b+d) i \\
(a+bi)(c+di)  & = & (ac -bd) + (ad + bc) i .
\end{eqnarray}
On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes muni de ces op\'erations.
On v\'erifie les r\1egles suivantes, valables pour trois
nombres complexes $z, z', z''$ :
\begin{eqnarray}
& & \Re (z+z') = (\Re z) + (\Re z') \ko \Im (z+z') = (\Im z)+(\Im z')  \\
& & z+z' = z'+ z \ko (z+z')+z'' = z+ (z'+z'') \\
& & z z' = z' z  \ko (z z') z'' = z (z' z'') \\
& & z(z'+z'') = zz' + z z''
\end{eqnarray}
Par convention, si $a$ est un nombre r\'eel, on note simplement $a$
le nombre complexe $a+0 i$. On v\'erifie les r\1egles suivantes,
valables pour un nombre complexe $z$ et un nombre r\'eel $\lambda$ :
\begin{eqnarray}
& & z=0 \Leftrightarrow (\Re z =0 \mbox{ et } \Im z =0) \\
& & \Re(\lambda z) = \lambda \Re z\quad, \quad \Im(\lambda z) = \lambda \Im z \\
& & z+0 = z \quad, \quad 1 z = z \quad , \quad 0 z = 0 .
\end{eqnarray}
Pour un nombre complexe $z$, on pose $-z= -(\Re z) - (\Im z)i$.
Si $z$ et $z'$ sont des nombres complexes, on pose $z'-z = z'+(-z)$.
Par convention, on note $i$ le nombre complexe $0 + 1 i$. On a
\begin{equation}
i^2 = -1
\end{equation}
de fa\c{c}on que $i$ est solution de l'\'equation $z^2+1=0$.

On montre que pour tout nombre complexe non nul $z$, il existe un
unique nombre complexe $z'$ tel que $z' z=1$. On pose $1/z = z'$.
Si $a$, $b$ sont des nombres r\'eels tels que $a+bi$ est non nul,
on~a 
\begin{equation}
\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} + \frac{-b}{a^2+b^2} \, i.
\end{equation}
On d\'eduit de l'existence de $1/z$, $z\neq 0$, que pour tous les 
nombres complexes $z_1$, $z_2$, on a
\begin{equation}
z_1 z_2=0 \Leftrightarrow (z_1=0 \quad\mbox{ ou }\quad z_2=0).
\end{equation}
Si $z,z'$ sont des nombres complexes tels que $z$ est non nul,
on pose $z'/z = z' \, (1/z)$.  Pour un nombre complexe $z$, on
pose $z^0=1$ et pour tous entiers $n\geq 1$, on d\'efinit 
la {\em puissance $n$-i\1eme de $z$} par $z^n=z\,z^{n-1}$.
Pour tous les entiers $p$ et $n$, on a 
\begin{equation}
z^n \,z^p = z^{n+p} \mbox{ et } (z^n)^p = z^{np}.
\end{equation}
On v\'erifie que pour $z\neq 1$, on a la formule pour la {\em somme g\'eom\'etrique}
\begin{equation}
1+z+\ldots + z^n = \frac{1-z^{n+1}}{1-z}
\end{equation}
et que, pour tous les nombres complexes $z_1$, $z_2$ et tous les
entiers $n\in\N$, on a la formule du {\em bin\^ome de Newton}
\begin{equation}
(z_1+z_2)^n = z_1^n + C^1_n z_1^{n-1} z_2 + \ldots + C^p_n z_1^{n-p} z_2^{p} + \ldots + z_2^n
            = \sum_{p=0}^n C^p_n z_1^{n-p} z_2^p.
\end{equation}

\titre{2. Conjugu\'e et module d'un nombre complexe, racine carr\'ee}
Soient $a$, $b$ des nombres r\'eels et $z=a+bi$. Le {\em conjugu\'e} de $z$ est
le nombre complexe $\overline{z} = a-bi$. Le {\em module} de $z$ est le nombre r\'eel
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. On v\'erifie les r\1egles suivantes, valables pour des nombres
complexes $z_1$, $z_2$, $z$ (o\1u $z\neq 0$ si $1/z$ appara\^{\i}t)
\begin{eqnarray}
& & \ol{\;\ol{z}\;}= z \ko \ol{z_1+z_2}=\ol{z_1}+\ol{z_2} \ko 
                              \ol{z_1 z_2} = \ol{z_1}\; \ol{z_2}\ko \ol{\;\frac{1}{z}\;}=\frac{1}{z} \\
& & \Re z = \frac{1}{2} (z+ \ol{z}) \ko \Im z = \frac{1}{2i}(z-\ol{z}) \\
& & z \in \R \Leftrightarrow z = \ol{z} \ko z \in \R i \Leftrightarrow iz \in \R \Leftrightarrow \ol{z} = -z \\
& & |z_1 z_2| = |z_1|\; | z_2| \ko |\;\frac{1}{z}\;| = \frac{1}{|z|} \ko |\ol{z}| = |z| \ko |z|^2 = z \ol{z}  \\
& & z=0 \Leftrightarrow |z|=0 \ko z\neq 0 \Rightarrow \frac{1}{z}= \frac{\ol{z}}{|z|^2} \ko
    |z|=1 \Rightarrow \frac{1}{z} = \ol{z} \\
& & |z_1+z_2|^2 = |z_1|^2 + 2\, \Re(z_1 \ol{z_2}) + |z_2|^2. \label{normesomme}
\end{eqnarray}
On d\'emontre \1a l'aide de (\ref{normesomme}) que l'on a {\em l'in\'egalit\'e triangulaire}
\begin{equation}
|z_1+z_2| \leq |z_1| + |z_2| .
\end{equation}
Les {\em racines carr\'ees} d'un nombre complexe $\alpha$ sont les solutions complexes $z$ 
de l'\'equation $z^2=\alpha$. Tout nombre complexe non nul $\alpha$ admet exactement deux racines 
carr\'ees oppos\'ees l'une de l'autre. Pour tous nombres r\'eels $x,y,a,b$, on a
\begin{equation}
(x+iy)^2 = a+ib \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ 
\begin{array}{l} x^2-y^2 = a \\ x^2+y^2 = \sqrt{a^2+b^2} \\ 2xy=b \end{array} \right.
\end{equation}
et on trouve ais\'ement les racines carr\'ees de $a+ib$ en r\'esolvant le syst\1eme \1a droite.
Soient $\alpha,\beta,\gamma$ des nombres complexes tels que $\alpha\neq 0$. 
Pour r\'esoudre l'\'equation $\alpha z^2 + \beta z + \gamma=0$, on compl\1ete le carr\'e et on
d\'etermine les racines carr\'ees de $\beta^2 - 4 \alpha\gamma$.

\titre{3. Argument d'un nombre complexe}
Soit $z$ un nombre complexe non nul. Il existe un unique nombre r\'eel $\theta \in [0,2\pi[$
tel que 
\begin{equation}
z = | z | \, (\cos\theta \; + \; i \sin\theta).
\end{equation}
On d\'efinit {\em l'argument de $z$} par $\Arg z = \theta$. Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux
r\'eels, on \'ecrit $\alpha \equiv \beta \mod 2\pi$ si et seulement si il existe un entier $k\in \Z$ tel que
$\alpha = \beta + 2\pi k$. Pour tous nombres complexes non nuls $z_1$ et $z_2$, on a
\begin{equation}
\Arg(z_1\,z_2) \equiv \Arg(z_1) + \Arg(z_2) \mod 2\pi \ko \Arg(1/z_1) \equiv -\Arg(z_1) \mod 2\pi.
\end{equation}
Soit $\alpha$ un nombre complexe non nul et $n\geq 2$ un entier. Un nombre complexe $z$ est une 
{\em racine $n$-i\1eme de $\alpha$} si $z^n=\alpha$. Le nombre $z$ est une racine $n$-i\1eme de $\alpha$
si et seulement si l'on a 
\begin{equation}
|z|=\sqrt[n]{|\alpha|} \mbox{ et } \Arg(z)= \frac{\Arg \alpha}{n} + \frac{2 \pi k}{n}
\mbox{ pour un entier } k \in \{0,1,\ldots, n-1\}.
\end{equation}
Pour tout r\'eel $\theta$, on pose $e^{i\theta} = cos \theta + i \sin \theta$. Alors les th\'eor\1emes
d'additivit\'e pour les fonctions trigonom\'etriques donnent
\begin{equation} 
e^{i\theta_1} \, e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)} \mbox{ et, par r\'ecurrence, }
(e^{i\theta})^n = e^{in\theta} \mbox{ pour tout } n\in\Z.
\end{equation}
Tout nombre complexe non nul $z$ s'\'ecrit $\rho e^{i\theta}$, et
si $\rho e^{i\theta}=\rho' e^{i\theta'}$, alors 
$\rho=\rho'=|z|$ et $\theta \equiv \theta' \equiv \Arg(z) \mod 2\pi$.


\end{document}




\end{document}