Université Paris 7 1 décembre 2001 U.F.R. de Mathématiques B. Keller

DEUG MASS Première année : MT 131

Examen partiel

Question de cours

Soit E un espace vectoriel de dimension finie.

1) Qu’est-ce qu’une base de E?

2) Soient (v_{1}, …, v_{n}) une base de E et v un vecteur de E. Qu’est-ce qu’on entend par les coordonnées de v dans la base (v_{1}, …, v_{n}) ?

3) Soient (v_{1}, …, v_{n}) une base de E, v un vecteur et (x_{1}, …, x_{n}) les coordonnées de v dans la base (v_{1}, …, v_{n}). Supposons que x_{1} ≠ 0. Montrer que (v, v_{2}, …, v_{n}) est encore une base de E.

Exercice I

Dans l’espace vectoriel réel ℝ^{4}, soit F le sous-espace des solutions du système

x_{1} − x_{4} = 0
x_{2} + x_{4} = 0

et G le sous-espace des solutions du système

x_{1} + x_{4} = 0
x_{3} − x_{4} = 0

1) Montrer que F et G sont de dimension 2. Montrer que leur intersection est réduite à {0} et en déduire que F et G sont supplémentaires dans ℝ^{4}.

2) Exhiber une base v_{1}, v_{2} de F et une base v_{3}, v_{4} de G.

3) Soit s la symétrie par rapport à F parallèlement à G.

a) Quelle est la matrice de s dans la base (v_{1}, …, v_{4}) ?

b) Quelle est la matrice de s dans la base canonique (e_{1}, …, e_{4}) de ℝ^{4} ?

Exercice II

Soit la matrice

A = [ \begin{matrix}1 & 1 & 9 & 0 & 5 \\ 1 & 2 & 13 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & 5 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 8 & 0 & 4 \end{matrix} ] .

1) Quels sont les vecteurs y = (y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}) de ℝ^{4} tels que le système Ax = y admet une solution x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) dans ℝ^{5} ? Pour ces vecteurs y, quelle est la solution générale du système Ax = y?

2) Soit f : ℝ^{5} → ℝ^{4} l’application linéaire qui, à x ∈ ℝ^{5}, associe Ax.

a) Donner une base du noyau de f. b) Donner une ou des équations qui caractérisent l’image de f. Quelle est la dimension de

l’image ?

3) Soit F ⊂ ℝ^{4} l’image de f. Donner une base de F. Existe-t-il une application linéaire g : F → ℝ^{5} telle que f ∘ g est l’identité de F ? Justifier.

Exercice III

Soient x_{1}, x_{2}, x_{3} des nombres réels et

A = [ \begin{matrix}1 & x_{1} & x_{1}^{2} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} \\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} \end{matrix} ] .

Nous allons calculer le déterminant de A.

Soit E l’espace vectoriel des fonctions polynomiales p : ℝ → ℝ qui sont nulles ou de degré ≤ 2. Dans E, on choisit la base formée des fonctions p_{1}, p_{2}, p_{3} qui, à x ∈ ℝ, associent respectivement 1, x et x^{2}. Dans ℝ^{3}, on choisit la base canonique (e_{1}, e_{2}, e_{3}). Soit f : E → ℝ^{3} l’application qui, à p ∈ E, associe (p(x_{1}), p(x_{2}), p(x_{3})).

1) Montrer que f est linéaire et que A est sa matrice dans les bases choisies de E et ℝ^{3}.

2) Pour x ∈ ℝ, on pose

q_{1}(x) = 1 , q_{2}(x) = (x − x_{1}) , q_{3}(x) = (x − x_{1})(x − x_{2}).

Soit g : ℝ^{3} → E l’application linéaire qui envoie e_{j} sur q_{j}, 1 ≤ j ≤ 3. Soit B la matrice de g dans les bases choisies. Montrer que B est triangulaire supérieure et calculer son déterminant.

3) Soit C = (c_{ij}) la matrice de f ∘ g dans les bases choisies. Calculer (f ∘ g)(e_{j}) pour 1 ≤ j ≤ 3 et en déduire que c_{ij} = q_{j}(x_{i}). Observer que C est triangulaire inférieure et calculer son déterminant.

4) Calculer le déterminant de A en utilisant le fait que C = AB.