% TeX 
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% serie2.tex exercices sur les groupes pour MT 282
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%  mise en page et \`a la fran\c{c}aise
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% pour les fontes "blackboard" et gothiques (Arabia Septembre 89)
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{\sc \hskip-1truecm
\vbox{\hbox{Universit\'e Paris 7}\hbox{1994/95}} \hfill 
\vbox{\hbox{MT 282}\hbox{Groupes et arithm\'etique}}
}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip
\centerline{\bf Exercices sur les groupes.}
\bigskip\bigpar
{\bf Exercice 1. } Soit  $G$  un ensemble muni d'une loi associative 
not\'ee  $\top$ . On suppose qu'il existe un \'el\'ement neutre \`a gauche $e$
et que tout \'el\'ement admet un inverse \`a gauche. Montrer que $G$  est 
un groupe pour la loi  $\top$ .
\medpar
{\bf Exercice 2. } Montrer que le groupe des \'el\'ements inversibles 
de  $\Bbb Z/6\Bbb Z$  est isomorphe \`a  $\Bbb Z/2\Bbb Z$ . A quel groupe 
est isomorphe le groupe des \'el\'ements inversibles 
de  $\Bbb Z/5\Bbb Z$ ?
\medpar
{\bf Exercice 3.- } Montrer que  $H$  est un sous-groupe de  $G$  si et 
seulement s'il contient  $x\top y\,'$  pour tout couple  $(x,y)$  d'\'el\'ements 
de  $H$ ( $y\,'$ d\'esignant l'inverse de  $y$ dans  $G$).
\medpar
{\bf Exercice 4.- } En remarquant que les coefficients binomiaux  
${\rm C}_{\,p}^{\,n}$  sont 
divisibles par  $p$  pour tout entier  $n$ (compris entre  $1$  et  $p-1$) 
lorsque  $p$  est premier, montrer que l'application qui \`a  $x$  associe 
$x^p$  est un homomorphisme de groupe dans  $\Bbb F_p$ (on verra peu apr\`es 
qu'il s'agit de l'identit\'e!).
\medpar
{\bf Exercice 5.- } Soit  $G$  un groupe cyclique. Soit  $x$  un 
g\'en\'erateur de  $G$ . Montrer que si  $G$  n'est pas fini, il admet 
exactement deux g\'en\'erateurs ( $x$  et son inverse). 
Montrer que s'il est fini, les g\'en\'erateurs de  $G$  sont exactement les 
\'el\'ements de la forme  $x^h$  o\`u  $h$  est premier avec l'ordre de  $x$ .
\medpar
{\bf Exercice 6.- } Utiliser l'exercice pr\'ec\'edent pour donner tous
les isomorphismes d'un groupe cyclique sur lui-m\^eme.
\medpar
{\bf Exercice 7.- } Soient  $G$  un groupe cyclique d'ordre  $n$  et  $H$
un groupe cyclique d'ordre  $m$. Montrer que si  $m$  et  $n$  sont premiers
entre eux, le groupe produit  $G\times H$ est cyclique.
\medpar
{\bf Exercice 8.- } Soit  $G$  un groupe cyclique d'ordre  $n$ . Soit  
$d$  un diviseur de  $n$. Montrer qu'il existe un unique sous-groupe d'ordre
$d$  dans  $G$ . V\'erifier qu'il s'agit d'un groupe cyclique d'ordre  $d$.
\medpar
{\bf Exercice 9.- } Soit  $\goth S_n$  le groupe des permutations de 
l'ensemble  $E_n = \{1,... ,n\}$.
\item{(a)}	Montrer qu'il est d'ordre  $n!$
\item{(b)}	Soient  $i$  et  $j$  deux \'el\'ements distincts de  $E_n$. On 
note  $(i,j)$  la permutation qui laisse fixe les \'el\'ements de  $E_n$ 
diff\'erents de  $i$  et  $j$  et \'echange ces deux entiers. Une telle 
permutation s'appelle une {\bf transposition}. Montrer que  $\goth S_n$  est 
engendr\'e par l'ensemble des transpositions de  $\goth S_n$ .
\item{(c)} Montrer que  $\goth S_n$  est engendr\'e par l'ensemble des 
transpositions  $\tau_i$  de la forme  $(i,i+1)$  lorsque  $i$  d\'ecrit  
$E_n\setminus \{n\}$.
\item{(d)} Montrer que ces transpositions v\'erifient  $\tau_i^2 = e$ , 
$(\tau_i \tau_j)^2 = e$  si  $i$  et  $j$ ne sont pas cons\'ecutifs  et
$(\tau_i \tau_j)^3 = e$  sinon.
\medpar
{\bf Exercice 10. } Montrer \`a l'aide de l'exercice pr\'ec\'edent que  
$\goth S_n$  peut \^etre engendr\'e par  la transposition  $(1,2)$  et la
permutation circulaire  $(1\cdots n)$.
\medpar
{\bf Exercice 11.- } On consid\`ere toujours le groupe  $\goth S_n$ . 
Soit  $\sigma$  un \'el\'ement de  $\goth S_n$ . 
Soit $(i,j)$  un couple d'\'el\'ements de  $E_n = \{1,... ,n\}$ (avec  $i < j$).
On dira que le couple  $(i,j)$  pr\'esente une inversion pour  $\sigma$  si  
$\sigma(i)$  est strictement sup\'erieur \`a  $\sigma(j)$. On note  
$\nu(\sigma)$   le nombre de telles inversions. On note enfin 
$\varepsilon(\sigma) = (-1)^{\nu(\sigma)}$.
\item{(a)} Montrer directement que  $\varepsilon$  d\'efinit un homomorphisme de
$\goth S_n$  dans  $\{\pm1\}$.
\item{(b)}	Si  $\sigma$  est le produit de  $n$  transpositions, montrer que
$n$  a la m\^eme parit\'e que  $\nu(\sigma)$ . On pourra proc\'eder par 
r\'ecurrence sur le nombre d'inversions de  $\sigma$ en remarquant que si
$(i,j)$  pr\'esente une inversion pour  $\sigma$, le nombre d'inversions 
de  $\sigma\circ (i,j)$  est inf\'erieur d'une unit\'e \`a celui de  $\sigma$.
\item{(c)}	Utiliser le r\'esultat de (b) pour retrouver (a) .
On note  $\goth A_n$  le noyau de  $\varepsilon$. Ce sous-groupe distingu\'e
de  $\goth S_n$  s'appelle le {\bf groupe altern\'e}.
\medpar
{\bf Exercice 12.- } Dresser la table du groupe  $\goth S_3$ (si ce 
n'est d\'ej\`a fait car c'est le seul groupe non ab\'elien d'ordre $6$). 
En trouver tous les sous-groupes.
\medpar
{\bf Exercice 13.- } Montrer que tout \'el\'ement de  $\goth S_n$  est 
produit de permutations circulaires portant sur des parties disjointes de  
$\{1,... ,n\}$ . On appelle de telles permutations des {\bf cycles}. On pourra
consid\'erer la relation d'\'equivalence entre les entiers $i$  et  $j$  
donn\'ee par  $i$  \'equivaut \`a  $j$  si  et seulement s'il existe  $k$
tel que  $j = \sigma^k(i)$. V\'erifier que de telles permutations commutent
entre elles.
\medpar
{\bf Exercice 14.- } Soit  $\goth A_n$  le groupe altern\'e d'ordre $n$.
Montrer qu'il est engendr\'e par les permutations  $(1,2,i)$  o\`u  $i$  
d\'ecrit  $\{3,... ,n\}$. On pourra remarquer que les permutations de la 
forme  $(1,2)(i,j)$  ou  $(i,j)(1,2)$  sont engendr\'ees par les 
pr\'ec\'edentes.
\medpar
{\bf Exercice 15.- } Dresser la table du groupe  $\goth A_4$. En 
particulier en trouver tous les sous-groupes et tous les sous-groupes 
distingu\'es.
\medpar
{\bf Exercice 16. } (Il utilise beaucoup de r\'esultats des exercices 
pr\'ec\'edents qui concernent  $\goth S_n$  et  $\goth A_n$ ) Soit  $H$
un sous-groupe distingu\'e (non r\'eduit au neutre) dans $\goth A_n$. Il
s'agit de montrer que  $H$  est \'egal \`a  $\goth A_n$  si  $n$  est au 
moins \'egal \`a  $5$ . On dit que  $\goth A_n$  est simple. 
\item{(i)}	Montrer que si  $H$  contient un cycle (voir l'exercice 13) 
de longueur $3$ et que  $n$  est plus grand que $3$, alors  $H = \goth A_n$.
\item{(ii)}	Montrer que si  $H$ contient un produit de $2$ transpositions 
(voir l'exercice 9) et que $n$  est plus grand que $3$, alors 
$H = \goth A_n$.
\item{(iii)} Soit  $h$  un \'el\'ement quelconque de $H$ (mais diff\'erent du
neutre). On l'\'ecrit comme produit de cycles de longueur d\'ecroissante 
(voir l'exercice 13). Soit  $h = h_1 h_2\cdots h_r$. En distinguant les 
quatre cas suivants:
\itemitem{a)} les $h_i$  sont des transpositions,
\itemitem{b)} les $h_i$  sont des transpositions sauf $h_1$  qui est un cycle
de longueur $3$,
\itemitem{c)} $h_1$  et  $h_2$ sont des cycles de longueur $3$,
\itemitem{d)} $h_1$  est un cycle de longueur strictement plus grande que $3$,
% \item{} % \^ot\'e \`a cause d'un saut de page

\noindent montrer que l'on se ram\`ene soit au cas (i) soit au cas (ii) c'est \`a dire 
que  $H$ contient soit un cycle de longueur $3$  soit un produit de deux
transpositions.
\medpar
{\bf Exercice 17. } Montrer que tous les groupes d'ordre au plus $5$
sont ab\'eliens.
\medpar
{\bf Exercice 18. } Dresser la liste des groupes d'ordre au plus $5$ . 
\medpar
{\bf Exercice 19. } Dresser la liste des groupes d'ordre au plus $10$.
Montrer en particulier qu'il y a deux groupes non ab\'eliens non isomorphes 
d'ordre $8$ .
\medpar
{\bf Exercice 20. } Montrer que tous les \'el\'ements de  $\Bbb Q/\Bbb Z$
sont d'ordre fini pour l'addition. Montrer qu'il existe exactement un 
sous-groupe d'ordre  $n$  dans  $\Bbb Q/\Bbb Z$ pour chaque entier naturel 
$n$.
\medpar
{\bf Exercice 21. } Soit $G$  un groupe. On note  $C$  l'ensemble des
\'el\'ements de  $G$  qui commutent \`a tous les \'el\'ements de  $G$ . Montrer que  $C$
est un sous-groupe distingu\'e de  $G$ . On appelle centre de  $G$  ce 
sous-groupe  $C$.
\medpar
{\bf Exercice 22. } Soit  $G$  un groupe. On suppose que le groupe  $G/C$
 est cyclique. Montrer que $G$  est ab\'elien.
\medpar
{\bf Exercice 23. } Soit  $G$  un groupe fini. Soit  $H$  un sous-groupe propre de 
$G$. Montrer que  $G$  n'est pas la r\'eunion des conjugu\'es de  $H$ 
(rappelons que l'on appelle conjugu\'e de  $H$  tout sous-groupe de la forme  
$xHx^{-1}$  o\`u  $x$  est un \'el\'ement de  $G$ ).
\medpar
{\bf Exercice 24. } Soit  $G$  un groupe et  $A$  une partie de  $G$ .
On appelle centralisateur de  $A$  dans  $G$  l'ensemble des  $g$  de  $G$
qui commutent aux \'el\'ements de  $A$. On note $Z_G(A)$  cet ensemble.
Montrer qu'il s'agit d'un sous-groupe de  $G$ . 
\medpar
{\bf Exercice 25. } Soit  $G$  un groupe et  $H$  un sous-groupe de  $G$.
On appelle normalisateur de $H$ dans $G$  l'ensemble des  $g$  de  $G$  tels que l'ensemble
des  $gHg^{-1}$ soit \'egal \`a  $H$ . On note  $N_G(H)$ cet ensemble. Montrer
qu'il s'agit d'un sous-groupe de  $G$  qui contient  $H$ . Montrer que  
$G = N_G(H)$  si  $H$  est distingu\'e dans  $G$ . 

	On suppose que  $G$  est fini d'ordre  $pq$  o\`u  $p$  et  $q$  sont
des nombres premiers. Montrer que si  $H$  n'est pas distingu\'e, alors  
$H = N_G(H)$.
\medpar
{\bf Exercice 26.- } Soit  $G$  un groupe. On appelle commutateur tout 
\'el\'ement de  $g$  de la forme  $xyx^{-1}y^{-1}$ ( $x$  et  $y$  \'etant des
\'el\'ements quelconques de  $G$ ). Soit $G\,'$ les sous-groupe de $G$
engendr\'e par l'ensemble des commutateurs d'\'el\'ements de $G$. Montrer que 
$G\,'$ est un sous-groupe distingu\'e de  $G$ . Montrer que le groupe 
quotient  $G/G\,'$  est ab\'elien.
\bigskip\bigskip

Les exercices suivants n\'ecessitent la notion de groupe de Sylow ou celle 
d'op\'eration de groupe (\'equation aux classes) ou les deux \`a la fois !
\medpar
{\bf Exercice 27. } Montrer que tous les groupes d'ordre $15$ sont 
cycliques.
\medpar
{\bf Exercice 28. } Montrer qu'aucun groupe  $G$  d'ordre  $30$, $204$
ou  $206$ n'est simple (i.e. qu'il admet au moins un sous-groupe 
distingu\'e propre).
\medpar
{\bf Exercice 29. } Trouver les $2$-Sylow et les $3$-Sylow de $\goth S_3$
et  $\goth S_4$.
\medpar
{\bf Exercice 30. } Soit  $G$  un groupe d'ordre  $p^a$ o\`u  $a$  est 
un entier au moins \'egal \`a $1$. 
En utilisant l'\'equation aux classes montrer que le centre $Z$  de  $G$  
n'est pas r\'eduit \`a l'\'el\'ement neutre.
\medpar
{\bf Exercice 31. } Soit  $p$  un nombre premier. Montrer que tous les 
groupes d'ordre  $p^2$  sont ab\'eliens. Les trouver tous.
\medpar
{\bf Exercice 32. } Soit  $p$  un nombre premier. Soit  $G$  un groupe 
d'ordre  $p^3$. On suppose que  $G$  n'est pas ab\'elien.
\item{(i)} Montrer que le centre  $Z$  de  $G$  est cyclique d'ordre  $p$ . Montrer que le 
groupe  $G/Z$  est isomorphe \`a  $Z\times Z$.
\item{(ii)} Soit  $H$  un sous-groupe d'ordre  $p^2$ de  $G$ . Montrer que
$H$  contient  $Z$  et qu'il est distingu\'e dans  $G$ .
\item{(iii)} Si tout \'el\'ement  $x$  de  $G$  v\'erifie  $x^p = 1$, montrer
que  $G$  admet un sous-groupe d'ordre  $p^2$.

\end


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Mail-from: From hindry Mon Oct 31 14:35:30 1994
Return-Path: <hindry>
Received: by frmap711.mathp7.jussieu.fr (4.1/jn910403)
	  at Mon, 31 Oct 94 14:35:29 +0100
Date: Mon, 31 Oct 94 14:35:29 +0100
From: hindry (Hindry Marc)
Message-Id: <9410311335.AA05601@frmap711.mathp7.jussieu.fr>
To: keller
Subject: Re:  Service de G. Papadopoulo

*** EOOH ***
Return-Path: <hindry>
Date: Mon, 31 Oct 94 14:35:29 +0100
From: hindry (Hindry Marc)
To: keller
Subject: Re:  Service de G. Papadopoulo

il ne fait pas un double service mais juste "son " service...

marc

