\documentstyle[12pt]{article}
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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}



%sublist
\newcounter{point}
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\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
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}{\end{list}}
                                                                


%liste d'exercices
\newcounter{exo}
\newenvironment{list-of-exercises}{
\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
\setlength{\itemsep}{0cm}}                                      
}{\end{list}}                                                   
                                                                
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% abbreviations
% Black Board Bold Face
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%Comma, forall
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%Overline, Underline
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%Calligraphic letters
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%Arrows
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\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



\begin{document}
\begin{center}
MT 282 	        \hfill Universit\'e Paris 7 \\
03/11/94	\hfill  U.F.R. de Math\'ematiques\\
\mbox{ }	\hfill B. Keller\\[0.5cm]
{\large\bf Exercices sur les sommes de groupes $\Z/n\Z$}
\end{center}

\begin{list-of-exercises}
\item Montrer que les groupes $A=\Z/24\plus \Z/5$ et
$B=\Z/8 \plus \Z/15$ sont isomorphes. Expliciter
des isomorphismes inverses l'un de l'autre entre
$A$ et $B$.

\item Montrer directement que
\begin{sublist}
\item $\Z/4$ n'est pas isomorphe \`a $\Z/9$.
\item $\Z/4$ n'est pas isomorphe \`a $\Z/2\plus \Z/2$. 
\end{sublist}

\item Soient les groupes suivants
\begin{eqnarray*}
A & = & \Z/5 \plus \Z/550 \plus \Z/121000 \\
B & = & \Z/168 \plus \Z/36 \plus \Z/2 \\
C & = & \Z/8 \plus \Z/12 \plus \Z/126 \\
D & = & \Z/8 \plus \Z/2 \plus \Z/125 \plus \Z/25 \plus \Z/5 
        \plus \Z/121 \plus \Z/11
\end{eqnarray*}
\vspace*{-0.5cm}

\begin{sublist}
\item D\'eterminer tous les couples de groupes isomorphes
parmi $A, \ldots, D$. 
\item Pour tout $G\in\{A,\ldots, D\}$, calculer une
suite d'entiers $(n_1, n_2, \ldots, n_k)$ telle que
$G$ soit isomorphe \`a la somme 
$\Z/n_1\plus \Z/n_2 \plus \ldots \plus \Z/n_k$ et
que $n_i$ divise $n_{i+1}$ pour tout $i<k$. Est-ce qu'une
telle suite est unique ?
\end{sublist}

\item 
\begin{sublist}
\item Quel est le sous-groupe de $12$-torsion $T$ de $\Z/28 \Z$ ?
D\'eterminer $k\in\Z$ tel que $T$ soit isomorphe \`a $\Z/k\Z$. 
\item Soient $n$ et $m$ des entiers $\geq 2$. Montrer 
que le sous-groupe de $m$-torsion de $\Z/n\Z$ est isomorphe
\`a $\Z/l\Z$ o\`u $l= \pgcd\,(n,m)$.
\end{sublist} 

\item Soit le syst\`eme
\begin{eqnarray*}
x &\equiv & a_1 \,\,(6) \\
x &\equiv & a_2 \,\,(27) \\
x &\equiv & a_3 \,\,(36)
\end{eqnarray*}
o\`u $x, a_1, a_2, a_3\in\Z$.
\begin{sublist}
\item Donner une condition n\'ecessaire et suffisante 
sur $a_1, a_2, a_3$ pour que le syst\`eme admette une solution $x\in\Z$.
Si une solution existe, dans quelle mesure est-elle unique ?
\item D\'eterminer l'image et le noyau de l'homomorphisme
\[
f: \Z \ra \Z/6\plus \Z/27 \plus \Z/36\ko x \mapsto 
(\,^6\ol{x}, \,^{27}\ol{x}, \,^{36}\ol{x}).
\]
Y a-t-il un lien avec a) ?
(Rappelons que le {\em noyau} d'un morphisme $f: A\ra B$ entre
groupes ab\'eliens est le sous-groupe form\'e des $a\in A$ tels que 
$f(a)=0$.)
\end{sublist}



\item[ ] {\bf Pour r\'esoudre les exercices suivants, on admettra
le th\'eor\`eme qui affirme que tout groupe ab\'elien fini
est somme de groupes $\Z/n\Z$.}

\item Soit $p$ un nombre premier.
Quels sont, \`a isomorphisme pr\`es, les $p$-groupes
ab\'eliens d'ordre $p^n$ pour $n=1,2,3,4$ et $5$ ?
(Rappelons qu'un $p$-groupe est un groupe dont l'ordre
est une puissance de $p$. On pourra se servir des diagrammes 
de Young \`a $n$ cases.)


\item Soient $p$ un nombre premier et
$A$ un $p$-groupe ab\'elien fini. Montrer que
$A$ est cyclique (c'est-\`a-dire isomorphe \`a $\Z/p^n$
pour un $n\geq 1$) 
si et seulement si son sous-groupe de $p$-torsion
$A_p=\{a\in A\;|\; pa=0\}$  est d'ordre $p$.

\item Soit $p$ un nombre premier et $A$ un $p$-groupe ab\'elien
fini. Montrer que $A$ n'est pas isomorphe \`a un groupe de la forme
$\Z/p \plus R$ si et seulement si on a
\[
\fa a\in A : pa=0 \Rightarrow \exists b\in A\mbox{  t.q.  } a=pb.
\]

\item Montrer que si $A$ est un groupe ab\'elien fini
d'ordre $n$ qui n'est pas isomorphe \`a $\Z/n$, alors il
existe un diviseur $m$ de $n$ diff\'erent de $n$ et
tel que $m a=0$ pour tout $a\in A$. 


\item Montrer que pour tout groupe ab\'elien fini $A$ il
existe une suite $(n_1, n_2, \ldots , n_k)$ d'entiers
$\geq 2$ et une seule telle que $A$ soit isomorphe \`a
la somme des groupes $\Z/n_i$  et que $n_i$ divise $n_{i+1}$
pour tout $i<k$. (Voir l'exercice 3 b).






\end{list-of-exercises}
\end{document}










