\documentstyle{article}
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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}



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\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
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}{\end{list}}
                                                                


%liste d'exercices
\newcounter{exo}
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\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
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}{\end{list}}                                                   
                                                                
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% abbreviations
% Black Board Bold Face
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%Comma, forall
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\newcommand{\E}[1]{E\,(#1)}

\begin{document}
\begin{center}
MT 282 	        \hfill Universit\'e Paris 7 \\
03/12/94	\hfill  U.F.R. de Math\'ematiques\\
\mbox{ }	\hfill B. Keller\\[0.5cm]
{\large\bf Un corrig\'e du 2nd projet du partiel No. 1}
\end{center}

\begin{list-of-exercises}

\item Soit $t$ le nombre de minutes qui se sont \'ecoul\'ees 
depuis midi. D'apr\`es les informations fournies,
nous avons
\begin{eqnarray*}
t & \equiv & -3  \;\; (5) \\
t & \equiv & -6  \;\; (9) \\
t & \equiv & -31 \;\; (32).
\end{eqnarray*}
Les nombres $5,9,32$ sont premiers entre eux deux \`a deux. 
Ce syst\`eme de congruences admet donc une solution 
$t$ dont la classe modulo $5\times 9\times 32 = 1440= 24\times 60$
est unique. Les donn\'ees permettent donc de retrouver le
temps actuel avec certitude. Pour trouver $t$, nous d\'eterminons
d'abord $x_1$, $x_2$, $x_3$ dont les classes sont les images
r\'eciproques de $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ par la projection
\[
\Z/1440 \iso \Z/5 \plus \Z/9 \plus \Z/32.
\]
Nous avons 
\[
\begin{array}{rcccrcl}
288\, u_1 + 5\, v_1  =  1; & \mbox{sol. part.} & 
288\times 2 + 5 \times (-115)  =  1. & \mbox{Posons } & x_1=576. \\
160\, u_2 + 9\, v_2  =  1; & \mbox{sol. part.} &
160\times 4 + 9 \times (-71)   =  1. & \mbox{Posons } & x_2=640. \\
45\, u_3 + 32\, v_3  =  1; & \mbox{sol. part.} &
45\times 5 + 32 \times (-7)  =  1 & \mbox{Posons } &  x_3=225 .
\end{array}
\]
Comme $-3\equiv 2\;(5)$, $-6\equiv 3\; (9)$ et $-31\equiv 1\;(9)$,
nous avons 
$t \equiv 2\times 576+3\times 640 +1\times 225 \equiv 3297 \equiv 417
\;\; (1440)$. Puisque $417=6\times 60+ 57$, il est 18h 57 
et {\bf le prochain m\'etro part \`a 19h}.



\item Nous avons
\[
\si^2 = 
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right)\ko
\si^3= e 
\]
et $\tau^2=e$. Il s'ensuit que 
\[
\si^l\in\{e,\si,\si^2\} \mbox{  et  } 
\tau^l\in\{e, \tau\}
\]
quel que soit $l\in\Z$. Comme l'intersection de $\{e,\si,\si^2\}$
avec $\{e,\tau\}$ est r\'eduite \`a l'\'el\'ement neutre $e$, il
s'ensuit que $\si^l$ est \'egal \`a $\tau^l$ si et seulement
si les deux sont \'egaux \`a $e$. Puisque $\si$ est d'ordre $3$
et $\tau$ d'ordre $2$, c'est le cas si et seulement si
$l$ est divisible \`a la fois par $2$ et $3$; donc par $6$.
Ainsi nous avons {\bf $\si^l=\tau^l$ si et seulement si
$l \equiv 0 \;\;(6)$.}

\item 
\begin{sublist} 
\item
Soient $\alpha=(8,15)$, $\beta=(4,15)$, $\gamma=(6,20)$,
$\delta=(3,20)$. Nous avons $\pi(\alpha)=(8,3,5)$,
$\pi(\beta)=(4,3,5)$, $\pi(\gamma)=(2,4,3,5)$ et
$\pi(\delta)=(4,3,5)$. D'apr\`es le th\'eor\`eme
de classification, 
{\bf les seuls couples de groupes isomorphes sont
$(B,D)$ et $(D,B)$}.
\item Soit $\alpha=(15,a)$, $\beta=(20,b)$.
Puisque les ordres sont \'egaux, nous avons $15a=20b$, donc
$3a=4b$ et $a=4k$, $b=3k$ pour un $k\in\N$. 
Supposons que $k=2^r 3^s l$, o\`u $\pgcd(l,2)=\pgcd(l,3)=1$. 
Donc
\begin{eqnarray*}
a = 4k & = & 2^{r+2} 3^s l \\
b= 3k  & = & 2^r 3^{s+1} l 
\end{eqnarray*}
Donc nous avons, \`a l'ordre des composantes pr\`es, 
\begin{eqnarray*}
\pi(\alpha)& = & (2^{r+2},3,3^s,5, \ldots) \\
\pi(\beta) & = & (2^2, 2^r, 3^{s+1}, 5, \ldots)
\end{eqnarray*}
o\`u $\ldots$ d\'esigne les facteurs provenant de $l$.
On voit que ces suites sont \'egales si et seulement si
$r=0$ et $s=0$. Donc {\bf l'isomorphisme a lieu si
et seulement si $a=4k$ et $b=3k$, o\`u $k$ est
un entier $\geq 1$ qui n'est divisible ni par $2$ ni
par $3$}.
\end{sublist}


\item 
\begin{sublist}
\item Nous avons dans $\Z/31\Z$
\[
2^2= 4\ko 2^4=16 \ko 2 ^5= 32=1.
\]
Ainsi, {\bf $2$ est d'ordre 5}. Nous avons
\[
3^2= 9\ko 3^4=81=19\ko 3^8=361=20\ko 3^{16}=400=28=-3.
\]
Donc $3^{16}\neq 3$ et $3^{15}\neq 1$. 
En outre, $3^{10}=3^2\,3^8= 25\neq 1$ et 
$3^6\, 3^2\, 3^4=16\neq 1$. Comme l'ordre de $3$ est un diviseur de
30,  et que les diviseurs maximaux de $30$ sont $15,10$ et $6$, 
il s'ensuit que {\bf $3$ est d'ordre $30$ et $(\Z/31\Z)^*$ est cyclique
engendr\'e par $3$}. 

\item Comme $(\Z/31\Z)^*$ est cyclique d'ordre $30$, engendr\'e par
$3$, les solutions de $x^{3}=1$ sont $1,3^{10}, 3^{20}$.
On a 
\[
3^{10}=3^2 \times 3^8=9\times 20 = 180 = 25\ko
3^{20}=3^4 \times 3^{16}= 19\times (-3)=-57=5.
\]
{\bf Les solutions sont les classes de $1, 25, 5$ dans $\Z/31\Z$.}

\end{sublist}


\item 
\begin{sublist}
\item Posons $b=10$. 
On a $\ol{b}^c=\ol{1}$ dans $\Z/a\Z$. Donc $a$ divise
\[
b^c-1= (b-1) (b^{c-1} + b^{c-2} + \ldots + b + 1).
\]
Puisque $\pgcd(a,b-1)=1$, il s'ensuit d'apr\`es le lemme de
Gauss que $a$ divise $b^{c-1} +b^{c-2} + \ldots + b+ 1$. 

\item Puisque $\pgcd (a,b-1)=1$, le nombre $a$ divise
\[
b^{l-1} + b^{l-2} + \ldots + b + 1
\]
si et seulement si il divise
\[
b^l-1= (b-1) (b^{l-1} + b^{l-2} + \ldots + b + 1).
\]
Ceci est le cas ssi $\ol{b}^l=\ol{1}$ dans $\Z/a\Z$. 
Donc, {\bf il faut et il suffit que 
\[l \equiv 0\;\;(c).
\]}
\end{sublist}


\begin{sublist}
\item \[
\mbox{ }
\]
\item 
Substituons $y=t(x-1)$ dans l'\'equation $x^2-y^2=1$. 
Nous trouvons
\begin{eqnarray*}
((x-1)+1)^2 - t^2 (x-1)^2  & = & 1 \\
(x-1)^2 +2 (x-1) + 1 - t^2 (x-1)^2 & = & 1 \\
(1-t^2)(x-1)^2 + 2 (x-1) & = & 0 
\end{eqnarray*}
Nous \'ecartons la solution $x=1$ et nous supposons $t>1$.
Nous obtenons alors
\begin{eqnarray} 
\label{XM1}
x-1 & = & \frac{2}{t^2-1} \\
\label{X}
x & = & \frac{t^2+1}{t^2-1} \\
\label{Y}
y & = & t(x-1) = \frac{2t}{t^2-1} .
\end{eqnarray}
Si $t$ est rationnel, il en est de m\^eme pour $x$ et $y$, clairement.
Deux valeurs diff\'erentes de $t$ donnent lieu \`a des points
diff\'erents, car $t=y/(x-1)$ d'apr\`es les \'equations
(\ref{XM1}) et (\ref{Y}).

\item Soit 
\[
\phi : \Q_{>1} \ra C^+\ko t \mapsto (x,y)=\left(\frac{t^2+1}{t^2-1},
\frac{2t}{t^2-1}\right).
\]
et soit
\[
\psi : C^+ \ra \Q_{>1} \ko (x,y)\mapsto t=\frac{y}{x-1}.
\]
D'apr\`es les \'equations (\ref{XM1}) et (\ref{Y}), on a 
$\psi(\phi(t))=t$. Soit $(x,y)\in C^+$. V\'erifions que
$\phi(\psi(x,y))=(x,y)$. Pour $t=y/(x-1)$, nous avons successivement
\[
t^2-1= \left(\frac{y}{x-1}\right)^2-1=
\frac{y^2-(x-1)^2}{(x-1)^2}=\frac{y^2-x^2+2x-1}{(x-1)^2}
=\frac{2x-2}{(x-1)^2}=\frac{2}{x-1} \ko
\]
o\`u nous avons utilis\'e $y^2-x^2=-1$. Maintenant, on trouve
\[
\frac{2}{t^2-1}=x-1 \ko \quad \frac{t^2+1}{t^2-1}=x \ko \quad
\frac{2t}{t^2-1}=2\frac{y}{x-1}\frac{x-1}{2} = y.
\]
Donc $\phi$ et $\psi$ sont des bijections
inverses l'une de l'autre. 

\item D'apr\`es le point pr\'ec\'edent, tout $(x,y)\in C^+$
est de la forme $\phi(t)$ pour un $t\in\Q_{>1}$. Clairement,
on a $t=u/v$ pour certains entiers $u>v\geq 1$ premiers entre eux.
Il est alors imm\'ediat de constater que
\[
x=\frac{u^2+v^2}{u^2-v^2} \ko \quad y=\frac{2uv}{u^2-v^2}.
\]
\end{sublist}


\end{list-of-exercises}
\end{document}











