\documentstyle{article}
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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}


\renewcommand{\thepage}{ }

%sublist
\newcounter{point}
\newenvironment{sublist}{
\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
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}{\end{list}}
                                                                
%initialize point
\newcommand{\initpoint}{\setcounter{point}{0}}
%Print point and step
\newcommand{\np}{\stepcounter{point}
\mbox{\quad\quad\alph{point})\,\,\,}\displaystyle}


%liste d'exercices
\newcounter{exo}
\newenvironment{list-of-exercises}{
\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
\setlength{\itemsep}{0cm}}                                      
}{\end{list}}                                                   
                                                                





% Black Board Bold Face
\newcommand{\N}{{\mbox{\bf N}}}
\newcommand{\sN}{{\mbox{\bf \scriptsize N}}}
\newcommand{\Z}{{\mbox{\bf Z}}}
\newcommand{\sZ}{{\mbox{\bf \scriptsize Z}}}
\newcommand{\R}{{\mbox{\bf R}}}
%Comma, forall
\newcommand{\ko}{\: , \;}
\newcommand{\fa}{\forall \,}
%Overline, Underline
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\ul}{\underline}

%Greek letters
\newcommand{\eps}{\varepsilon}


%Calligraphic letters
\newcommand{\ca}{{\cal A}}
\newcommand{\cb}{{\cal B}}
\newcommand{\cc}{{\cal C}}
\newcommand{\cd}{{\cal D}}
\newcommand{\ce}{{\cal E}}
\newcommand{\cf}{{\cal F}}
\newcommand{\cg}{{\cal G}}
\newcommand{\ch}{{\cal H}}
\newcommand{\ci}{{\cal I}}
\newcommand{\ck}{{\cal K}}
\newcommand{\cl}{{\cal L}}
\newcommand{\cm}{{\cal M}}
\newcommand{\cn}{{\cal N}}
\newcommand{\cp}{{\cal P}}
\newcommand{\cq}{{\cal Q}}
\newcommand{\cs}{{\cal S}}
\newcommand{\ct}{{\cal T}}
\newcommand{\cu}{{\cal U}}
\newcommand{\cv}{{\cal V}}
\newcommand{\cw}{{\cal W}}
\newcommand{\cx}{{\cal X}}



%Arrows
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\la}{\leftarrow}
\newcommand{\arr}[1]{\stackrel{#1}{\rightarrow}}
\newcommand{\longarr}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\longlarr}[1]{\stackrel{#1}{\longleftarrow}}
\newcommand{\iso}{\stackrel{_\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\liso}{\stackrel{_\sim}{\leftarrow}}
\newcommand{\larr}[1]{\stackrel{#1}{\leftarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



%French terminology
\newcommand{\tg}{\mbox{tg}\,}
\newcommand{\arctg}{\mbox{arctg}\,}

\newcommand{\mul}[1]{(\Z/#1\Z)^*}
%\renewcommand{\arraystretch}{2}
\newcommand{\add}[1]{\Z/#1}
\newcommand{\plus}{\oplus}



\def\picture #1 by #2 (#3){
  \vbox to #2{
    \hrule width #1 height 0pt depth 0pt
    \vfill
    \special{picture #3} % this is the low-level interface
    }
  }

\def\picturef #1 by #2 (#3){
  \vbox to #2{
    \hrule width #1 height 0pt depth 0pt
    \vfill
    \special{pictfile #3} % this is the low-level interface
    }
  }

\def\scaledpicture #1 by #2 (#3 scaled #4){{
  \dimen0=#1 \dimen1=#2
  \divide\dimen0 by 1000 \multiply\dimen0 by #4
  \divide\dimen1 by 1000 \multiply\dimen1 by #4
  \picture \dimen0 by \dimen1 (#3 scaled #4)}
  }
  
  
\def\scaledpicturef #1 by #2 (#3 scaled #4){{
  \dimen0=#1 \dimen1=#2
  \divide\dimen0 by 1000 \multiply\dimen0 by #4
  \divide\dimen1 by 1000 \multiply\dimen1 by #4
  \picturef \dimen0 by \dimen1 (#3 scaled #4)}
  }

\def\illustration #1 by #2 (#3){
  \vbox to #2{
    \hrule width #1 height 0pt depth 0pt
    \vfill
    \special{illustration #3} % this is the low-level interface
    }
  }

\def\illustrationf #1 by #2 (#3){
  \vbox to #2{
    \hrule width #1 height 0pt depth 0pt
    \vfill
    \special{illustration #3} % this is the low-level interface
    }
  }

\def\scaledillustration #1 by #2 (#3 scaled #4){{
  \dimen0=#1 \dimen1=#2
  \divide\dimen0 by 1000 \multiply\dimen0 by #4
  \divide\dimen1 by 1000 \multiply\dimen1 by #4
  \illustration \dimen0 by \dimen1 (#3 scaled #4)}
  }
  
  
\def\scaledillustrationf #1 by #2 (#3 scaled #4){{
  \dimen0=#1 \dimen1=#2
  \divide\dimen0 by 1000 \multiply\dimen0 by #4
  \divide\dimen1 by 1000 \multiply\dimen1 by #4
  \illustrationf \dimen0 by \dimen1 (#3 scaled #4)}
  }
%
% Note that you can also say, e.g.,
%  \special{postscript xxx yyy zzz}
% to include PostScript graphics in your documents
%




\begin{document}
\begin{center}
Universit\'e Paris 7  \hfill 1 f\'evrier, 1995\\
U.F.R. de Math\'ematiques\hfill \mbox{B.~Keller}\\[0.5cm]
{\bf D.E.U.G. Math\'ematiques : MT 282 \\[0.5cm]
            	EXAMEN}
\end{center}
\setlength{\baselineskip}{0.8cm}
{\bf Avertissement} : Les documents autres que la table des indices sont
interdits.
\setlength{\baselineskip}{0.5cm}
\begin{list-of-exercises}
\item De combien de dents (au moins) faut-il faire avancer la grande
roue dans l'engrenage suivant pour que la marque ($M$)
de la grande roue se trouve en position $1$, celle de la
roue \`a droite en position $1$ et celle de la roue
\`a gauche en position $2$ ? (La grande roue a $25$ dents,
celle de droite en a $8$, et celle de gauche $9$.)
$$
\scaledillustrationf   389pt by   238pt (Engren3.ps scaled 1000)
%\special{illustration Engren3.ps}
$$


\item D\'eterminer tous les couples de groupes isomorphes parmi
\[
A=\add{14}\plus\add{12}\plus\add{72}\ko
B=\add{6}\plus\add{28}\plus\add{72}\ko
C=\add{6}\plus\add{36}\plus \add{56}.
\]



\item Soit $G$ un groupe et soient $H$ et $K$ deux
sous-groupes de $G$. Montrer que, si $H$ est distingu\'e
dans $G$, alors l'ensemble des produits $hk$, o\`u 
$h\in H$ et $k\in K$, est un sous-groupe de $G$.


\item Notons $\phi$ l'indicatrice d'Euler. Soit $G$ un groupe d'ordre $n$ 
qui contient au plus $\phi(d)$ \'el\'ements d'ordre $d$ pour tout diviseur $d$
de $n$ tel que $d<n$. Montrer que $G$ est cyclique. 



\item 
Calculer le {\em reste} $r$ de la division euclidienne de 
$a$ par $b$ dans les cas suivants:
\begin{sublist}
\item $a=1234565789012345\ko b=11$
\item $a=2000^{2000}\ko b=7$
\item $a=53^{101}\ko b=101$
\item $a=5^{512}\ko b=1024$ 
\item $a=24^{24}\ko b=23^2$
\item $a=3^{(5^9)}\ko b=17$
\end{sublist}



\item R\'esoudre les \'equations $x^4=1$ et $x^3=11$ dans $\Z/53\Z$.



\item On consid\`ere le nombre $M=13^{13}-1= 3028751065992252$.
\begin{sublist}
\item Montrer, sans calculs explicites, que $M$ est divisible par $12=13-1$.
\item Montrer qu'un diviseur premier de $M$ qui ne divise pas $12$ est
congru \`a $1$ modulo $26$.
\item Utiliser les points pr\'ec\'edents (et la table des indices) pour
d\'eterminer tous les diviseurs premiers inf\'erieurs \`a $100$ de $M$.
\end{sublist}

\item 
\begin{sublist}
\item D\'ecomposer le nombre $\alpha=-2+16i$ en un produit d'\'el\'ements
premiers dans l'anneau des entiers de Gauss $\Z[i]$. 
\item Soit $p$ un nombre premier congru \`a $3$ modulo $4$. Montrer
que les seules solutions $(x,y)\in\Z^2$ de l'\'equation 
\[
x^2+y^2=p^2
\]
sont $(\pm p,0)$ et $(0, \pm p)$. Indication : Si $(x,y)$ est une solution,
on pourra consid\'erer la d\'ecomposition en facteurs premiers
de l'entier de Gauss $x+iy$. 
\end{sublist}






\end{list-of-exercises}
\end{document}





















