\documentstyle{article}
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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}



%sublist
\newcounter{point}
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\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
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}{\end{list}}
                                                                


%liste d'exercices
\newcounter{exo}
\newenvironment{list-of-exercises}{
\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
\setlength{\itemsep}{0cm}}                                      
}{\end{list}}                                                   
                                                                
\newcommand{\plus}{\oplus}
\newcommand{\pgcd}{\mbox{PGCD}\,}


% abbreviations
% Black Board Bold Face
\newcommand{\N}{{\mbox{\bf N}}}
\newcommand{\sN}{{\mbox{\bf \scriptsize N}}}
\newcommand{\Z}{{\mbox{\bf Z}}}
\newcommand{\sZ}{{\mbox{\bf \scriptsize Z}}}
\newcommand{\R}{{\mbox{\bf R}}}
\newcommand{\Q}{{\mbox{\bf Q}}}
%Comma, forall
\newcommand{\ko}{\: , \;}
\newcommand{\fa}{\forall \,}
%Overline, Underline
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\ul}{\underline}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\Del}{\Delta}
\newcommand{\del}{\partial}
%\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\La}{\Lambda}
\newcommand{\lam}{\lambda}
\newcommand{\Ga}{\Gamma}
\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\Si}{\Sigma}
\newcommand{\si}{\sigma}


%Calligraphic letters
\newcommand{\ca}{{\cal A}}
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\newcommand{\cp}{{\cal P}}
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\newcommand{\cs}{{\cal S}}
\newcommand{\ct}{{\cal T}}
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\newcommand{\cv}{{\cal V}}
\newcommand{\cw}{{\cal W}}
\newcommand{\cx}{{\cal X}}



%Arrows
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\la}{\leftarrow}
\newcommand{\arr}[1]{\stackrel{#1}{\rightarrow}}
\newcommand{\longarr}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\longlarr}[1]{\stackrel{#1}{\longleftarrow}}
\newcommand{\iso}{\stackrel{_\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\liso}{\stackrel{_\sim}{\leftarrow}}
\newcommand{\larr}[1]{\stackrel{#1}{\leftarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



\newcommand{\E}[1]{E\,(#1)}
\newcommand{\Xs}{pistolets \`a eau}

\renewcommand{\thepage}{ }

\begin{document}
\begin{center}
MT 282 	        \hfill Universit\'e Paris 7 \\
06/02/96	\hfill  U.F.R. de Math\'ematiques\\
\mbox{ }	\hfill B. Keller\\[0.5cm]
{\large\bf Examen}
\end{center}
{\bf Avertissement :} Les documents sont interdits. 
                Les calculettes sont autoris\'ees.

\begin{list-of-exercises}

\item Pour sa retraite, les amies de Miss M. lui ont offert
les \oe uvres compl\`etes d'Edgar Alan Poe. Profond\'ement 
touch\'ee elle remercie chacune d'elles par \'ecrit.
Cette t\^ache achev\'ee, il lui reste $11$ cartes,
$5$ enveloppes et $12$ timbres. Combien a-t-elle d'amies
sachant qu'en Angleterre les cartes sont vendues par blocs
de $12$, les enveloppes par paquets de $13$ et les timbres
par feuilles de $17$ ? (Remarquons aussi que Miss M. met
une seule carte dans chaque enveloppe et que le nombre 
de ses amies ne d\'epasse pas mille). 

\item Calculer le reste $r$ de la division euclidienne de 
$a$ par $b$ dans chacun des cas suivants
\begin{sublist}
\item $a=\underbrace{11\ldots 11}_{300\mbox{ {\scriptsize chiffres}}}$
(\'ecriture dans le syst\`eme hexad\'ecimal), $b=13$,
\item $a=113^{540}$, $b=541$,
\item $a=1000^{1452}$, $b=23\times 67$,
\item $a=2^{(17^{12})}$, $b=12871 (=61\times 211)$.
\end{sublist}

\item Soit $G$ le groupe des \'el\'ements inversibles
de l'anneau $\Z/675\Z$. 
\begin{sublist}
\item Quel est l'ordre maximal d'un \'el\'ement de $G$ ?
\item Exhiber un \'el\'ement d'ordre maximal dans $G$.
\end{sublist}

\item Rappeler la d\'efinition du symbole de Legendre $(\frac{p}{q})$ 
et le calculer dans les cas suivants
\begin{sublist}
\item $p=71$, $q=113$,
\item $p=173$, $q=229$.
\end{sublist}

\item Soit $a_n$, $n\in\N$, la {\em suite de Fibonacci} d\'efinie
par 
\begin{eqnarray*}
a_0 & = & 0 \\
a_1 & = & 1 \\
a_{n+2} & = & a_{n+1} +a_n \ko \mbox{ pour $n\geq 0$.}
\end{eqnarray*}
\begin{sublist}
\item Calculer $a_n$ pour $0\leq n \leq 20$.
\item Montrer qu'on a
\[
a_n = 3\times (8^n - 4^n) \mbox{  dans $\Z/11\Z$.}
\]
Indication : on a $8^2=8+1$ et $4^2=4+1$ dans $\Z/11\Z$.

\item Montrer que $a_n$ est divisible par $11$ si et seulement
si $n$ est divisible par $10$.
\item Soit $p$ un nombre premier congru \`a $\pm 1$ modulo $5$.
Montrer que l'\'equation $x^2-x-1=0$ admet deux solutions
distinctes $x_1, x_2$ dans $\Z/p\Z$.

\item Avec les hypoth\`eses et les notations de d), montrer que
le syst\`eme 
\begin{eqnarray*}
c_1 + c_2 & = & 0 \\
c_1 x_1 + c_2 x_2 & = & 1 
\end{eqnarray*}
admet une solution $(c_1, c_2)$ dans $(\Z/p\Z)^2$. Montrer
que pour cette solution, on a 
\[
a_n \equiv c_1 x_1^n + c_2 x_2^n \mbox{  dans $\Z/p\Z$.}
\]
\item Soit $p$ un nombre premier congru \`a $\pm 1$ modulo $5$.
Montrer que $a_n$ est divisible par $p$ si $n$ est divisible
par $p-1$. 
\end{sublist}

\end{list-of-exercises}

\end{document}