\documentstyle[12pt]{article}
%\documentclass[12pt]{article}
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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}



%sublist
\newcounter{point}
\newenvironment{sublist}{
\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
\setlength{\itemsep}{0cm}\setlength{\leftmargin}{1.2em}}
}{\end{list}}
                                                                


%liste d'exercices
\newcounter{exo}
\newenvironment{list-of-exercises}{
\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
\setlength{\itemsep}{0cm}}                                      
}{\end{list}}                                                   
                                                                
\newcommand{\plus}{\oplus}
\newcommand{\pgcd}{\mbox{PGCD}\,}


% abbreviations
% Black Board Bold Face
\newcommand{\N}{{\mbox{\bf N}}}
\newcommand{\sN}{{\mbox{\bf \scriptsize N}}}
\newcommand{\Z}{{\mbox{\bf Z}}}
\newcommand{\sZ}{{\mbox{\bf \scriptsize Z}}}
\newcommand{\mult}[1]{(\Z/#1\Z)^*}
\newcommand{\R}{{\mbox{\bf R}}}
\newcommand{\Q}{{\mbox{\bf Q}}}
\newcommand{\F}{{\mbox{\bf F}}}
%Comma, forall
\newcommand{\ko}{\: , \;}
\newcommand{\fa}{\forall \,}
%Overline, Underline
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\ul}{\underline}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\Del}{\Delta}
\newcommand{\del}{\partial}
%\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\La}{\Lambda}
\newcommand{\lam}{\lambda}
\newcommand{\Ga}{\Gamma}
\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\Si}{\Sigma}
\newcommand{\si}{\sigma}


%Calligraphic letters
\newcommand{\ca}{{\cal A}}
\newcommand{\cb}{{\cal B}}
\newcommand{\cc}{{\cal C}}
\newcommand{\cd}{{\cal D}}
\newcommand{\ce}{{\cal E}}
\newcommand{\cf}{{\cal F}}
\newcommand{\cg}{{\cal G}}
\newcommand{\ch}{{\cal H}}
\newcommand{\ci}{{\cal I}}
\newcommand{\ck}{{\cal K}}
\newcommand{\cl}{{\cal L}}
\newcommand{\cm}{{\cal M}}
\newcommand{\cn}{{\cal N}}
\newcommand{\cp}{{\cal P}}
\newcommand{\cq}{{\cal Q}}
\newcommand{\cs}{{\cal S}}
\newcommand{\ct}{{\cal T}}
\newcommand{\cu}{{\cal U}}
\newcommand{\cv}{{\cal V}}
\newcommand{\cw}{{\cal W}}
\newcommand{\cx}{{\cal X}}



%Arrows
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\la}{\leftarrow}
\newcommand{\arr}[1]{\stackrel{#1}{\rightarrow}}
\newcommand{\longarr}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\longlarr}[1]{\stackrel{#1}{\longleftarrow}}
\newcommand{\iso}{\stackrel{_\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\liso}{\stackrel{_\sim}{\leftarrow}}
\newcommand{\larr}[1]{\stackrel{#1}{\leftarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



\newcommand{\E}[1]{E\,(#1)}
\newcommand{\Xs}{pistolets \`a eau}

%\renewcommand{\thepage}{ }

\begin{document}
\begin{center}
MT 282 	        \hfill Universit\'e Paris 7 \\
27/01/97	\hfill  U.F.R. de Math\'ematiques\\
\mbox{ }	\hfill B. Keller\\[0.5cm]
{\large\bf Examen de Janvier 1997}
\end{center}
{\bf Avertissement :} les calculettes sont autoris\'ees.

\begin{list-of-exercises}

\item
Alice adore les chansons de D.B. .
Elle s'est procur\'e le tr\`es long texte de la derni\`ere sur disquette.
Avant d'imprimer le fichier, elle le pr\'evisualise et
constate qu'en mettant $40$ lignes par page elle obtiendra
une seule ligne sur la derni\`ere page. Elle diminue le
nombre de lignes par page \`a $37$ ce qui r\'esulte en
une derni\`ere page remplie de $13$ lignes. Superstitieuse,
elle finit par imprimer le fichier \`a $43$ lignes par
page en remplissant les $11$ lignes libres de la derni\`ere
avec une superbe photo de D.B. en concert \`a Bercy.

Combien de lignes comporte (au moins) la derni\`ere chanson de D.B. ? 
(Question facultative : quel est le vrai nom de D.B. ?)

\item D\'eterminer le {\em reste $r$} de la division euclidienne
de $a$ par $b$ dans chacun des cas suivants :
\begin{sublist}
\item $a=1995^{456}$, $b=229$,
\item $a=1996^{1233}$, $b=2001$,
\item $a=10^{(101^{1000})}$, $b=31$,
\item $a=13^{60}$, $b=385$.
\end{sublist}

\item D\'eterminer l'ordre et l'exposant de chacun des groupes
suivants. Lesquels de ces groupes sont cycliques ?
\[
A=\Z/7\Z  \ko
B=(\Z/23\Z)^* \ko 
C=(\Z/22\Z)^* \ko 
D=(\F_3[X],+) \ko
\]
\[
E= \F_5[X]^*  \ko
F= (\F_5[X]/(X^2+1))^* \ko
G= (\F_7[X]/(X^2+1))^*.
\]

\item 
Soit 
\[
\sigma=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\
5 & 4 & 6 & 7 & 9 & 8 & 12 & 10 & 11 & 3 & 13 & 2 & 1 
\end{array} \right).
\] 
\begin{sublist}
\item D\'eterminer la d\'ecomposition de $\sigma$ en produit
de cycles \`a supports disjoints, son ordre et sa signature.
\item Montrer qu'il existe deux transpositions $\tau_1$ et $\tau_2$
telles que $\tau_1 \tau_2 \sigma$ soit d'ordre $13$.
\item Montrer que $\tau \sigma$ n'est jamais d'ordre $13$ quelle
que soit la transposition $\tau$.
\end{sublist}


\item
Soit $a_n$, $n\in\N$ la suite de Fibonacci (c'est-\`a-dire que
$a_0=0$, $a_1=1$ et $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ pour $n\in\N$).
Soient $\lambda_1$, $\lambda_2$ les deux racines du
polyn\^ome $X^2-X-1$.
\begin{sublist}
\item Montrer que
\[
a_n= \frac{\lambda_1^n-\lambda_2^n}{\lambda_1-\lambda_2}
\]
pour $n\in\N$ et que
\[
\frac{a_{rs}}{a_r} = \sum_{i=0}^{s-1} \lambda_1^{ri}\lambda_2^{r(s-1-i)}
\]
pour $r,s>0$.
\item Montrer que pour les lois naturelles, l'ensemble
\[
A=\{ k\lambda_1 + l \;|\;\; k,l\in\Z\;\}
\]
est un anneau et que $a_{rs}/a_r$ appartient \`a $A$ quels que
soient $r,s>0$. 
\item Montrer que pour $a\in A$, l'\'ecriture
\[
a=k\lambda_1 + l
\]
est unique. En d\'eduire qu'il existe une application bien d\'efinie
\[
\gamma : A \ra A \ko k\lambda_1 + l \mapsto k\lambda_2 + l.
\]
Montrer que $\gamma$ est un homomorphisme d'anneaux.
\item Montrer que $a\in A$ appartient \`a $\Z$ si et seulement si
$\gamma(a)=a$. 
\item Montrer que pour $r,s>0$, $a_{rs}$ est divisible par $a_r$.
\item Montrer que si $a_n$ est un nombre premier $>3$, alors
$n$ est premier.
\end{sublist}







\end{list-of-exercises}

\end{document}





\item 
\begin{sublist}
\item Rappeler la d\'efinition de l'exposant d'un groupe.
\item Soient $G$ et $H$ deux groupes finis. Exprimer l'exposant
de $G\times H$ en termes des exposants de $G$ et de $H$.
\item Pour un entier $n\geq 2$, on pose $\mu(n)=\exp (\mult{n})$.
Exprimer $\mu(rs)$ en termes de $\mu(r)$ et $\mu(s)$ si
$r$ et $s$ sont premiers entre eux.
\item Calculer $\mu(561)$.
\end{sublist}




