\documentstyle[12pt]{article}
\setlength{\oddsidemargin}{0.5cm}
\setlength{\textwidth}{15cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\topmargin}{0cm} 
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{23cm}
\setlength{\parindent}{1cm}



\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}


\renewcommand{\thepage}{ }

%sublist
\newcounter{point}
\newenvironment{sublist}{
\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
\setlength{\itemsep}{0cm}\setlength{\leftmargin}{0.5cm}}
}{\end{list}}
                                                                
%initialize point
\newcommand{\initpoint}{\setcounter{point}{0}}
%Print point and step
\newcommand{\np}{\stepcounter{point}
\mbox{\quad\quad\alph{point})\,\,\,}\displaystyle}


%liste d'exercices
\newcounter{exo}
\newenvironment{list-of-exercises}{
\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
\setlength{\itemsep}{0cm}}                                      
}{\end{list}}                                                   
                                                                





% Black Board Bold Face
\newcommand{\N}{{\mbox{\bf N}}}
\newcommand{\sN}{{\mbox{\bf \scriptsize N}}}
\newcommand{\Z}{{\mbox{\bf Z}}}
\newcommand{\sZ}{{\mbox{\bf \scriptsize Z}}}
\newcommand{\R}{{\mbox{\bf R}}}
%Comma, forall
\newcommand{\ko}{\: , \;}
\newcommand{\fa}{\forall \,}
%Overline, Underline
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\ul}{\underline}

%Greek letters
\newcommand{\eps}{\varepsilon}


%Calligraphic letters
\newcommand{\ca}{{\cal A}}
\newcommand{\cb}{{\cal B}}
\newcommand{\cc}{{\cal C}}
\newcommand{\cd}{{\cal D}}
\newcommand{\ce}{{\cal E}}
\newcommand{\cf}{{\cal F}}
\newcommand{\cg}{{\cal G}}
\newcommand{\ch}{{\cal H}}
\newcommand{\ci}{{\cal I}}
\newcommand{\ck}{{\cal K}}
\newcommand{\cl}{{\cal L}}
\newcommand{\cm}{{\cal M}}
\newcommand{\cn}{{\cal N}}
\newcommand{\cp}{{\cal P}}
\newcommand{\cq}{{\cal Q}}
\newcommand{\cs}{{\cal S}}
\newcommand{\ct}{{\cal T}}
\newcommand{\cu}{{\cal U}}
\newcommand{\cv}{{\cal V}}
\newcommand{\cw}{{\cal W}}
\newcommand{\cx}{{\cal X}}



%Arrows
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\la}{\leftarrow}
\newcommand{\arr}[1]{\stackrel{#1}{\rightarrow}}
\newcommand{\longarr}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\longlarr}[1]{\stackrel{#1}{\longleftarrow}}
\newcommand{\iso}{\stackrel{_\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\liso}{\stackrel{_\sim}{\leftarrow}}
\newcommand{\larr}[1]{\stackrel{#1}{\leftarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



%French terminology
\newcommand{\tg}{\mbox{tg}\,}
\newcommand{\arctg}{\mbox{arctg}\,}

\newcommand{\mul}[1]{(\Z/#1\Z)^*}
%\renewcommand{\arraystretch}{2}
\newcommand{\add}[1]{\Z/#1}
\newcommand{\plus}{\oplus}



\def\picture #1 by #2 (#3){
  \vbox to #2{
    \hrule width #1 height 0pt depth 0pt
    \vfill
    \special{picture #3} % this is the low-level interface
    }
  }

\def\picturef #1 by #2 (#3){
  \vbox to #2{
    \hrule width #1 height 0pt depth 0pt
    \vfill
    \special{pictfile #3} % this is the low-level interface
    }
  }

\def\scaledpicture #1 by #2 (#3 scaled #4){{
  \dimen0=#1 \dimen1=#2
  \divide\dimen0 by 1000 \multiply\dimen0 by #4
  \divide\dimen1 by 1000 \multiply\dimen1 by #4
  \picture \dimen0 by \dimen1 (#3 scaled #4)}
  }
  
  
\def\scaledpicturef #1 by #2 (#3 scaled #4){{
  \dimen0=#1 \dimen1=#2
  \divide\dimen0 by 1000 \multiply\dimen0 by #4
  \divide\dimen1 by 1000 \multiply\dimen1 by #4
  \picturef \dimen0 by \dimen1 (#3 scaled #4)}
  }

\def\illustration #1 by #2 (#3){
  \vbox to #2{
    \hrule width #1 height 0pt depth 0pt
    \vfill
    \special{illustration #3} % this is the low-level interface
    }
  }

\def\illustrationf #1 by #2 (#3){
  \vbox to #2{
    \hrule width #1 height 0pt depth 0pt
    \vfill
    \special{illustration #3} % this is the low-level interface
    }
  }

\def\scaledillustration #1 by #2 (#3 scaled #4){{
  \dimen0=#1 \dimen1=#2
  \divide\dimen0 by 1000 \multiply\dimen0 by #4
  \divide\dimen1 by 1000 \multiply\dimen1 by #4
  \illustration \dimen0 by \dimen1 (#3 scaled #4)}
  }
  
  
\def\scaledillustrationf #1 by #2 (#3 scaled #4){{
  \dimen0=#1 \dimen1=#2
  \divide\dimen0 by 1000 \multiply\dimen0 by #4
  \divide\dimen1 by 1000 \multiply\dimen1 by #4
  \illustrationf \dimen0 by \dimen1 (#3 scaled #4)}
  }
%
% Note that you can also say, e.g.,
%  \special{postscript xxx yyy zzz}
% to include PostScript graphics in your documents
%




\begin{document}
\begin{center}
Universit\'e Paris 7  \hfill 5 septembre, 1995\\
U.F.R. de Math\'ematiques\hfill \mbox{B.~Keller}\\[0.5cm]
{\bf D.E.U.G. Math\'ematiques : MT 282 \\[0.5cm]
            	EXAMEN}
\end{center}
\setlength{\baselineskip}{0.8cm}
{\bf Avertissement} : Les documents sont interdits.
\setlength{\baselineskip}{0.5cm}
\begin{list-of-exercises}
\item En pr\'eparant une salle d'examen qui contient
$150$ personnes au maximum un appariteur calcule que
s'il met $5$ sujets par rang\'ee, il reste $3$
\`a la derni\`ere rang\'ee; s'il en met $6$, il reste
$3$ aussi; et s'il met $7$, il reste $4$. Combien
de candidats participeront \`a l'\'epreuve ?

\item Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$.
Montrer que $H$ est distingu\'e dans $G$ si et seulement
si pour tout $x\in G$, il existe $x'\in G$ tel que
$xH=Hx'$. 

\item Calculer le {\em reste} $r$ de la division euclidienne de $a$ par $b$ dans les cas suivants:
\begin{sublist}
\item $a=11111001011$ (\'ecriture dans le syst\`eme binaire !), $b=7$
\item $a=23^{47}\ko b=47$
\item $a=17^{13}\ko b=36$
\item $a=191^{(141^{128})}\ko b=495$
\end{sublist}


\item Soit $n>1$ un entier. Montrer que les conditions suivantes
sont \'equivalentes
\begin{itemize}
\item[(i)] $n$ est premier
\item[(ii)] il existe un entier $a$ tel que $a^{n-1}\equiv 1\;(n)$
et $a^{(n-1)/q}\not \equiv 1\; (n)$ pour tout facteur premier $q$
de $n-1$. 
\end{itemize}

\item Soit $n\geq 1$ un entier.
\begin{sublist}
\item Soit $(x,y)\in\Z^2$ une solution de l'\'equation 
\[
x^2+y^2=5^n.
\]
D\'eterminer la forme de la d\'ecomposition en facteurs premiers
dans $\Z[i]$ du nombre $x+iy$.
\item Montrer que le nombre de solutions $(x,y)\in\Z^2$ de l'\'equation
$x^2+y^2=5^n$ est born\'e par $4(n+1)$. 
\end{sublist}

\item 
\begin{sublist}
\item Soit $p$ un nombre premier impair et $m\geq 1$
un entier. D\'eterminer toutes les solutions $x\in \Z$ de
l'\'equation $x^2\equiv 1\,(p^m)$.
\item Soit $n>1$ un entier impair. Combien y a-t-il
de racines modulo $n$ de l'\'equation $x^2=1$ ?
Quels sont les entiers impairs $n$ pour lesquels il y a 
exactement $2$ solutions ?
\item (facultatif) R\'epondre aux questions de b) dans le cas
d'un entier $n\geq 1$ quelconque. 
\end{sublist}


\end{list-of-exercises}
\end{document}
