\documentstyle[goth10]{article}
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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}



%sublist
\newcounter{point}
\newenvironment{sublist}{
\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
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}{\end{list}}
                                                                


%liste d'exercices
\newcounter{exo}
\newenvironment{list-of-exercises}{
\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
\setlength{\itemsep}{0cm}}                                      
}{\end{list}}                                                   
                                                                
\newcommand{\plus}{\oplus}
\newcommand{\pgcd}{\mbox{PGCD}\,}


% abbreviations
% Black Board Bold Face
\newcommand{\N}{{\mbox{\bf N}}}
\newcommand{\sN}{{\mbox{\bf \scriptsize N}}}
\newcommand{\Z}{{\mbox{\bf Z}}}
\newcommand{\sZ}{{\mbox{\bf \scriptsize Z}}}
\newcommand{\R}{{\mbox{\bf R}}}
\newcommand{\Q}{{\mbox{\bf Q}}}
%Comma, forall
\newcommand{\ko}{\: , \;}
\newcommand{\fa}{\forall \,}
%Overline, Underline
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\ul}{\underline}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
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\newcommand{\del}{\partial}
%\renewcommand{\phi}{\varphi}
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\newcommand{\lam}{\lambda}
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\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\Si}{\Sigma}
\newcommand{\si}{\sigma}


%Calligraphic letters
\newcommand{\ca}{{\cal A}}
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\newcommand{\cx}{{\cal X}}



%Arrows
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\la}{\leftarrow}
\newcommand{\arr}[1]{\stackrel{#1}{\rightarrow}}
\newcommand{\longarr}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\longlarr}[1]{\stackrel{#1}{\longleftarrow}}
\newcommand{\iso}{\stackrel{_\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\liso}{\stackrel{_\sim}{\leftarrow}}
\newcommand{\larr}[1]{\stackrel{#1}{\leftarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



\newcommand{\E}[1]{E\,(#1)}
\newcommand{\Xs}{pistolets \`a eau}

\renewcommand{\thepage}{ }

\begin{document}
\begin{center}
MT 282 	        \hfill Universit\'e Paris 7 \\
11/09/96	\hfill  U.F.R. de Math\'ematiques\\
\mbox{ }	\hfill B. Keller\\[0.5cm]
{\large\bf Examen}
\end{center}
{\bf Avertissement :} Les documents sont interdits. 
                Les calculettes sont autoris\'ees.

\begin{list-of-exercises}


\item Pour son dixi\`eme anniversaire, Jean re\c{c}oit un 
ch\`eque d'un montant consid\'erable 
de la part de sa tante Emilie.
S'il d\'epensait la somme pour acheter des cartes 
magiques ($29$ francs le paquet), il lui resterait
$15$  francs; s'il investissait sa fortune pour acheter des 
cartouches pour son `Game Boy' ($99$ francs la cartouche), 
il lui resterait $11$ francs. Finalement, il se d\'ecide \`a
utiliser l'argent pour compl\'eter sa collection 
des aventures de Tintin ($79$ francs l'album) et il 
lui reste $53$ francs. Quel \'etait le montant du
ch\`eque ? (Remarquons que tante Emilie est g\'en\'ereuse
mais raisonnable : elle ne n'offrirait jamais un ch\`eque
de plus de $100000$  francs \`a un gar\c{c}on de dix ans).



\item Calculer le reste $r$ de la division euclidienne de 
$a$ par $b$ dans chacun des cas suivants
\begin{sublist}
\item $a=\underbrace{311311\ldots 311}_{3n\mbox{ 
                        {\scriptsize chiffres}}}$, $b=7$,
\item $a=541^{862}$, $b=863$,
\item $a=19^{80}$, $b=561$,
\item $a=2^{a'}$, $b=13$, o\`u $a'=5^{(7^{11})}$.
\end{sublist}

\item Soit $p$ un nombre premier
et $a$ et $b$ deux entiers tels que $a\not\equiv 0\;(p)$.
Soit $x_n$, $n\in\N$, la suite d\'efinie par
\begin{eqnarray*}
    x_0 & = & 0 \\
    x_{n+1} & = & a\,x_n + b \ko n\in\N.
\end{eqnarray*}
\begin{sublist}
\item Supposons que $a\not\equiv 1\;(p)$. Montrer que
$p$ divise $x_n$ si $n$ est un multiple de $p-1$.
Qu'arrive-t-il si $a\equiv 1\;(p)$ ?
\item Donner une condition n\'ecessaire et suffisante
sur $n$ pour que $p$ divise $x_n$. (On aura \`a distinguer
plusieurs cas).
\end{sublist}


\item Soit $p$ un nombre premier impair. Supposons que
l'\'equation
\[
x^2 + y^2 = p z^2 \quad\quad\quad (*)
\]
admet des solutions $(x,y,z)\in \Z^3$ non-triviales
(i.e. diff\'erentes de $(0,0,0)$).
Il s'agit de montrer que $p\equiv 1\;(4)$.
\begin{sublist}
\item Supposons que $(x,y,z)$ est une solution non-triviale
telle que $p$ divise $y$. Montrer que $p$ divise $x$ et $z$ et
que $(x/p, y/p, z/p)$ est encore une solution. En d\'eduire qu'il
existe des solutions non-triviales $(x,y,z)$ telles que $p$ ne
divise pas $y$.
\item D\'eduire de a) que la congruence $u^2+1\equiv 0\;(p)$
admet une solution $u\in\Z$.
\item Conclure.
\end{sublist}

\item 
\begin{sublist}
\item Soit $p$ un nombre premier impair et
$a$ un nombre entier non divisible par $p$.
Enoncer et d\'emontrer une condition n\'ecessaire
pour que l'\'equation $x^2-a y^2=p z^2$ admette des
solutions non triviales $(x,y,z)\in\Z^3$.
\item Montrer que l'\'equation $x^2 - 7 y^2 = p z^2$
ne peut admettre de solutions non triviales
$(x,y,z)\in\Z^3$ que si le reste de $p$ modulo $28$
est congru \`a $1, \pm 3, \pm 9$ ou $13$. 
\end{sublist}




\end{list-of-exercises}
\end{document}










