\documentstyle[12pt]{article}
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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}



%sublist
\newcounter{point}
\newenvironment{sublist}{
\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
\setlength{\itemsep}{0cm}\setlength{\leftmargin}{1.2em}}
}{\end{list}}
                                                                


%liste d'exercices
\newcounter{exo}
\newenvironment{list-of-exercises}{
\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
\setlength{\itemsep}{0cm}}                                      
}{\end{list}}                                                   
                                                                
\newcommand{\plus}{\oplus}
\newcommand{\pgcd}{\mbox{PGCD}\,}


% abbreviations
% Black Board Bold Face
\newcommand{\N}{{\mbox{\bf N}}}
\newcommand{\sN}{{\mbox{\bf \scriptsize N}}}
\newcommand{\Z}{{\mbox{\bf Z}}}
\newcommand{\sZ}{{\mbox{\bf \scriptsize Z}}}
\newcommand{\mult}[1]{(\Z/#1\Z)^*}
\newcommand{\add}[1]{\Z/#1\Z}
\newcommand{\R}{{\mbox{\bf R}}}
\newcommand{\Q}{{\mbox{\bf Q}}}
\newcommand{\F}{{\mbox{\bf F}}}
%Comma, forall
\newcommand{\ko}{\: , \;}
\newcommand{\fa}{\forall \,}
%Overline, Underline
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\ul}{\underline}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\Del}{\Delta}
\newcommand{\del}{\partial}
%\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\La}{\Lambda}
\newcommand{\lam}{\lambda}
\newcommand{\Ga}{\Gamma}
\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\Si}{\Sigma}
\newcommand{\si}{\sigma}


%Calligraphic letters
\newcommand{\ca}{{\cal A}}
\newcommand{\cb}{{\cal B}}
\newcommand{\cc}{{\cal C}}
\newcommand{\cd}{{\cal D}}
\newcommand{\ce}{{\cal E}}
\newcommand{\cf}{{\cal F}}
\newcommand{\cg}{{\cal G}}
\newcommand{\ch}{{\cal H}}
\newcommand{\ci}{{\cal I}}
\newcommand{\ck}{{\cal K}}
\newcommand{\cl}{{\cal L}}
\newcommand{\cm}{{\cal M}}
\newcommand{\cn}{{\cal N}}
\newcommand{\cp}{{\cal P}}
\newcommand{\cq}{{\cal Q}}
\newcommand{\cs}{{\cal S}}
\newcommand{\ct}{{\cal T}}
\newcommand{\cu}{{\cal U}}
\newcommand{\cv}{{\cal V}}
\newcommand{\cw}{{\cal W}}
\newcommand{\cx}{{\cal X}}



%Arrows
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\la}{\leftarrow}
\newcommand{\arr}[1]{\stackrel{#1}{\rightarrow}}
\newcommand{\longarr}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\longlarr}[1]{\stackrel{#1}{\longleftarrow}}
\newcommand{\iso}{\stackrel{_\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\liso}{\stackrel{_\sim}{\leftarrow}}
\newcommand{\larr}[1]{\stackrel{#1}{\leftarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



\newcommand{\E}[1]{E\,(#1)}
\newcommand{\Xs}{pistolets \`a eau}

%\renewcommand{\thepage}{ }

\begin{document}
\begin{center}
MT 282          \hfill Universit\'e Paris 7 \\
04/09/97        \hfill  U.F.R. de Math\'ematiques\\
\mbox{ }        \hfill B. Keller\\[0.5cm]
{\large\bf Examen de Septembre 1997}
\end{center}
{\bf Avertissement :} les calculettes sont autoris\'ees.

\begin{list-of-exercises}
\item Lors d'un spectacle folklorique, les membres d'une
\'ecole de samba se regroupent d'abord dans plusieurs cercles
de $15$ danseurs et un petit cercle de $5$; ensuite
ils se dispersent pour former des rang\'ees de
$28$ pendant que $9$ danseurs ex\'ecutent des
figures improvis\'ees devant l'ensemble; dans le
mouvement final, ils dansent dans des demi-cercles
de $31$ danseurs avec $3$ solistes au devant
de la sc\`ene. Combien de membres compte 
l'\'ecole de samba au moins ?

\item D\'eterminer le reste $r$ de la division de $a$ par $b$
dans chacun des cas suivants
\begin{sublist}
\item $a=1000^{1996}$, $b=1997$
\item $a=1+3+3^2+ \cdots + 3^{125}$, $b=127$
\item $a=100^{192}$, $b=221$
\item $a=65^{(65^{6})}$, $b=127$
\end{sublist}

\item D\'eterminer l'ordre de chacun des groupes
suivants. Lesquels de ces groupes sont cycliques ?
Justifier. Exhiber un g\'en\'erateur pour chacun des
groupes cycliques.
\begin{eqnarray*}
A = \Z/3\Z \times \Z/5\Z & \quad & B = (\Z/17\Z)^* \\
C = (\F_3[X]/(X^2+1), +) & \quad & D= (\F_7[X]/(X^2+1))^*
\end{eqnarray*}

\item Soit $p$ un nombre premier et soit $A$ l'anneau
$\F_p[X]/(X^p)$. On note $x$ l'image de $X$ par
la projection canonique $\F_p[X] \ra A$. Nous
allons montrer que le groupe $A^*$ des \'el\'ements
inversibles de $A$ est isomorphe \`a
\[
\add{(p-1)} \times (\add{p})^{p-1} \ko
\]
o\`u $(\add{p})^{p-1} = 
\underbrace{\add{p} \times \cdots \times\add{p}}_{p-1 
\mbox{\scriptsize \ facteurs}}$.

\begin{sublist}
\item Montrer que tout \'el\'ement $a\in A$ s'\'ecrit
sous la forme
\[
a=a_0 + a_1 x + \ldots + a_{p-1} x^{p-1}
\]
pour des $a_i\in \F_p$ d\'etermin\'es de fa\c{c}on unique
par $a$.

\item Montrer que les \'el\'ements de la forme $1+bx$, $b\in A$,
sont inversibles dans $A$. Indication : on cherchera l'inverse
sous forme d'une s\'erie g\'eom\'etrique tronqu\'ee.

\item Montrer que les \'el\'ements de la forme $a_0 + bx$,
$a_0\in \F_p^*$, $b\in A$, sont inversibles dans $A$.
Indication : si $a_0 a'_0 = 1$, on a $a_0+bx = a_0 ( 1 + a'_0 b x)$.

\item Montrer que 
\[
A^* = \{ a= a_0 + a_1 x + \ldots + a_{p-1} x^{p-1} \; | \;
a_0 \in \F_p^* \}.
\]

\item Soit $U=1+Ax=\{ a= 1 + a_1 x + \ldots + a_{p-1} x^{p-1} \; | \;
a_i \in \F_p \}$. Montrer que $U$ est un sous-groupe de $A^*$.
Montrer que l'application
\[
\phi : \F_p^* \times U \ra A^* \ko
(a_0, 1+bx) \mapsto a_0 \cdot (1+bx)
\]
est un isomorphisme de groupes.

\item Montrer que les \'el\'ements $a=1+x^i$, $1 \leq i \leq p-1$,
v\'erifient $a^p=1$. En d\'eduire que l'application
\[
f: (\add{p})^{p-1} \ra U \ko
(\ol{k_1}, \ldots, \ol{k_{p-1}}) \mapsto 
(1+x)^{k_1} \cdots (1+x^{p-1})^{k_{p-1}}
\]
est bien d\'efinie. Montrer que c'est un homomorphisme
de groupes.

\item Montrer que l'application $f$ est surjective.
En d\'eduire qu'elle est bijective en comparant 
les ordres des deux groupes.

\item Soit $\zeta$ un g\'en\'erateur de $\F_p^*$.
D\'eduire de e) et g) que l'application
\[
g : \add{(p-1)} \times (\add{p})^{p-1} \ra A^* \ko
(\ol{k}, \ol{k_1}, \ldots, \ol{k_{p-1}}) \mapsto
\zeta^k (1+x)^{k_1} \cdots (1+x^{p-1})^{k_{p-1}}
\]
est un isomorphisme de groupes.
\end{sublist}

\end{list-of-exercises}




\noindent 
{\bf Remarque.} Le lecteur int\'eress\'e pourra
essayer de d\'emontrer que pour $n\geq 1$, le
groupe $(\F_p[X]/(X^{(p^n)}))^*$ est isomorphe \`a
\[
\add{(p-1)} \times \prod_{i=1}^n (\add{p^i})^{m_i}
\]
o\`u $m_i= (p-1) \phi(p^{n-i})$ en d\'esignant par
$\phi$ la fonction d'Euler : $\phi(N)= |\mult{N}|$.

\end{document}