\documentstyle{article}
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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}



%sublist
\newcounter{point}
\newenvironment{sublist}{
\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
\setlength{\itemsep}{0cm}\setlength{\leftmargin}{1.2em}}
}{\end{list}}
                                                                


%liste d'exercices
\newcounter{exo}
\newenvironment{list-of-exercises}{
\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
\setlength{\itemsep}{0cm}}                                      
}{\end{list}}                                                   
                                                                
\newcommand{\plus}{\oplus}
\newcommand{\pgcd}{\mbox{PGCD}\,}


% abbreviations
% Black Board Bold Face
\newcommand{\N}{{\mbox{\bf N}}}
\newcommand{\sN}{{\mbox{\bf \scriptsize N}}}
\newcommand{\Z}{{\mbox{\bf Z}}}
\newcommand{\sZ}{{\mbox{\bf \scriptsize Z}}}
\newcommand{\R}{{\mbox{\bf R}}}
\newcommand{\Q}{{\mbox{\bf Q}}}
%Comma, forall
\newcommand{\ko}{\: , \;}
\newcommand{\fa}{\forall \,}
%Overline, Underline
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\ul}{\underline}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\Del}{\Delta}
\newcommand{\del}{\partial}
%\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\La}{\Lambda}
\newcommand{\lam}{\lambda}
\newcommand{\Ga}{\Gamma}
\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\Si}{\Sigma}
\newcommand{\si}{\sigma}


%Calligraphic letters
\newcommand{\ca}{{\cal A}}
\newcommand{\cb}{{\cal B}}
\newcommand{\cc}{{\cal C}}
\newcommand{\cd}{{\cal D}}
\newcommand{\ce}{{\cal E}}
\newcommand{\cf}{{\cal F}}
\newcommand{\cg}{{\cal G}}
\newcommand{\ch}{{\cal H}}
\newcommand{\ci}{{\cal I}}
\newcommand{\ck}{{\cal K}}
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\newcommand{\cm}{{\cal M}}
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\newcommand{\cp}{{\cal P}}
\newcommand{\cq}{{\cal Q}}
\newcommand{\cs}{{\cal S}}
\newcommand{\ct}{{\cal T}}
\newcommand{\cu}{{\cal U}}
\newcommand{\cv}{{\cal V}}
\newcommand{\cw}{{\cal W}}
\newcommand{\cx}{{\cal X}}



%Arrows
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\la}{\leftarrow}
\newcommand{\arr}[1]{\stackrel{#1}{\rightarrow}}
\newcommand{\longarr}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\longlarr}[1]{\stackrel{#1}{\longleftarrow}}
\newcommand{\iso}{\stackrel{_\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\liso}{\stackrel{_\sim}{\leftarrow}}
\newcommand{\larr}[1]{\stackrel{#1}{\leftarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



\newcommand{\E}[1]{E\,(#1)}
\newcommand{\Xs}{pistolets \`a eau}

\renewcommand{\thepage}{ }

\begin{document}
\begin{center}
MT 282 	        \hfill Universit\'e Paris 7 \\
17/01/96	\hfill  U.F.R. de Math\'ematiques\\
\mbox{ }	\hfill B. Keller\\[0.5cm]
{\large\bf Deuxi\`eme examen partiel\footnote{
Uniquement pour les candidats
qui \'etaient emp\^ech\'es de participer au partiel de d\'ecembre 95
\`a cause de la situation dans les transports}}
\end{center}

\begin{list-of-exercises}

\item R\'esoudre le syst\`eme
\begin{eqnarray*}
x & \equiv & 11 \;\;(13) \\
x & \equiv & 5 \;\;(15) \\
x & \equiv & 11 \;\;(17).
\end{eqnarray*}

\item 
\begin{sublist}
\item
Pour quelles valeurs des param\`etres entiers $a,b$ le
syst\`eme suivant admet-il une solution ?
\begin{eqnarray*}
x & \equiv & a \;\;(15) \\
x & \equiv & b \;\;(35) 
\end{eqnarray*}
\item D\'eterminer la solution pour ces valeurs.
\end{sublist}

\item 
Calculer le reste $r$ de la division euclidienne
de $a$ par $b$ dans les cas suivants
\begin{sublist}
\item $a=\underbrace{11\ldots 11}_{1000 \mbox{\scriptsize\ chiffres}}$
(\'ecriture dans le syst\`em binaire), $b=17$,
\item $a=2001^{112}$, $b=113$,
\item $a=243^{289}$, $b=323$,
\item $a=80^{206}$, $b=325$.
\end{sublist}

\item On d\'efinit la {\em fonction de M\"obius}
$\mu : \N^* \ra \{0,1,-1\}$ par 
\begin{eqnarray*}
\mu(1) & = & 1 \ko\\
\mu(n) & = & 0 \mbox{ si $n$ contient un facteur carr\'e,} \\
\mu(p_1 p_2 \ldots p_r) & = & (-1)^r \mbox{ si les $p_i$ sont
des nombres premiers distincts.}
\end{eqnarray*}
\vspace*{-1cm}
\begin{sublist}
\item Montrer que la fonction $\mu$ est multiplicative,
i.e. si $r$ et $s$ sont des entiers positifs premiers entre
eux, alors $\mu(rs)=\mu(r)\,\mu(s)$.
\item Soit $n>1$ un entier. Montrer qu'on a 
\[
\sum_{d | n} \mu(d) =0
\]
(o\`u $d$ parcourt les diviseurs positifs de $n$).
{\em Avertissement} : Dans un premier temps, admettez ce r\'esultat
et proc\'edez. 
\item Soit $f: \N^* \ra \Z$ une fonction. On pose
\[
g(n)= \sum_{d|n} f(d).
\]
Montrer qu'on a 
\[
f(n)= \sum_{d|n} \mu(\frac{n}{d}) \,g(d).
\]
\item En d\'eduire la formule
\[
\phi(n)= \sum_{d|n} \mu(\frac{n}{d})\, d.
\]
\end{sublist}


\end{list-of-exercises}

\end{document}


\item Soit $p$ un nombre premier, $G$ le groupe des
\'el\'ements inversibles de l'anneau $\Z/p\Z$ et
$f : G \ra G$ une application telle que $f(xy)=f(x) f(y)$
quels que soient $x,y\in G$. Montrer qu'il existe
un entier $a$ unique modulo $p-1$ tel que
$f(x)=x^a$ pour tout $x\in G$.













