\documentstyle{article}
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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}



%sublist
\newcounter{point}
\newenvironment{sublist}{
\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
\setlength{\itemsep}{0cm}\setlength{\leftmargin}{1.2em}}
}{\end{list}}
                                                                


%liste d'exercices
\newcounter{exo}
\newenvironment{list-of-exercises}{
\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
\setlength{\itemsep}{0cm}}                                      
}{\end{list}}                                                   
                                                                
\newcommand{\plus}{\oplus}
\newcommand{\pgcd}{\mbox{PGCD}\,}


% abbreviations
% Black Board Bold Face
\newcommand{\N}{{\mbox{\bf N}}}
\newcommand{\sN}{{\mbox{\bf \scriptsize N}}}
\newcommand{\Z}{{\mbox{\bf Z}}}
\newcommand{\sZ}{{\mbox{\bf \scriptsize Z}}}
\newcommand{\R}{{\mbox{\bf R}}}
\newcommand{\Q}{{\mbox{\bf Q}}}
%Comma, forall
\newcommand{\ko}{\: , \;}
\newcommand{\fa}{\forall \,}
%Overline, Underline
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\ul}{\underline}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\Del}{\Delta}
\newcommand{\del}{\partial}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\La}{\Lambda}
\newcommand{\lam}{\lambda}
\newcommand{\Ga}{\Gamma}
\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\Si}{\Sigma}
\newcommand{\si}{\sigma}


%Calligraphic letters
\newcommand{\ca}{{\cal A}}
\newcommand{\cb}{{\cal B}}
\newcommand{\cc}{{\cal C}}
\newcommand{\cd}{{\cal D}}
\newcommand{\ce}{{\cal E}}
\newcommand{\cf}{{\cal F}}
\newcommand{\cg}{{\cal G}}
\newcommand{\ch}{{\cal H}}
\newcommand{\ci}{{\cal I}}
\newcommand{\ck}{{\cal K}}
\newcommand{\cl}{{\cal L}}
\newcommand{\cm}{{\cal M}}
\newcommand{\cn}{{\cal N}}
\newcommand{\cp}{{\cal P}}
\newcommand{\cq}{{\cal Q}}
\newcommand{\cs}{{\cal S}}
\newcommand{\ct}{{\cal T}}
\newcommand{\cu}{{\cal U}}
\newcommand{\cv}{{\cal V}}
\newcommand{\cw}{{\cal W}}
\newcommand{\cx}{{\cal X}}



%Arrows
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\la}{\leftarrow}
\newcommand{\arr}[1]{\stackrel{#1}{\rightarrow}}
\newcommand{\longarr}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\longlarr}[1]{\stackrel{#1}{\longleftarrow}}
\newcommand{\iso}{\stackrel{_\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\liso}{\stackrel{_\sim}{\leftarrow}}
\newcommand{\larr}[1]{\stackrel{#1}{\leftarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



\newcommand{\E}[1]{E\,(#1)}

\begin{document}
\begin{center}
MT 282 	        \hfill Universit\'e Paris 7 \\
03/12/94	\hfill  U.F.R. de Math\'ematiques\\
\mbox{ }	\hfill B. Keller\\[0.5cm]
{\large\bf Examen partiel}
\end{center}

\begin{list-of-exercises}

\item Pour aller du centre de ville vers l'a\'eroport, 
on peut prendre le m\'etro, le RER ou le bus. Ces moyens de
transport circulent 24 heures sur 24 avec des intervalles
de 5' pour le m\'etro, 9' pour le RER, et 32' pour le bus. 
A midi, le m\'etro, le bus et le RER partent en m\^eme temps.
Assis \`a une terrasse de caf\'e, le dernier num\'ero de
la Gazette des math\'ematiciens entre les mains, 
un voyageur constate que le prochain m\'etro part dans
trois minutes, le RER dans six minutes et le bus
dans 31 minutes. A quelle heure part le prochain m\'etro~?


\item Soient $\rho$ et $\tau$ les \'el\'ements suivants
du groupe sym\'etrique $S_3$ 
\[
\rho=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array} \right)
;\quad \quad
\tau=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} \right).
\]
D\'eterminer l'ensemble des entiers $l$ tels que $\rho^l=\tau^l$. 


\item 
\begin{sublist} 
\item D\'eterminer tous les couples de groupes isomorphes
parmi
\[
A=\Z/8\plus \Z/15\ko B=\Z/4\plus \Z/15 \ko
C=\Z/6\plus \Z/20\ko D=\Z/3\plus \Z/20 .
\]
\item (facultatif) D\'eterminer tous les entiers $a,b\geq 2$
tels que $\Z/15\plus \Z/a$ soit isomorphe \`a $\Z/20\plus \Z/b$. 
\end{sublist}




\item 
\begin{sublist}
\item D\'eterminer l'ordre de $2$ et de $3$ dans le groupe 
$(\Z/31\Z)^*$. Ce groupe, est-il cyclique ?
\item R\'esoudre l'\'equation $x^{3}=1$ dans $\Z/31\Z$.
\end{sublist}

\item
\begin{sublist}
\item Soient $a$ un entier tel que
$\pgcd(a,10)=1$ et $\pgcd(a,3)$=1. Soit $c$ l'ordre
de $10$ dans $(\Z/a\Z)^*$. Montrer que $a$ divise le nombre
dont l'\'ecriture d\'ecimale est
\[
\underbrace{11\ldots 111}_c.
\]
\item Sous les hypoth\'eses de a), donner une condition n\'ecessaire
et suffisante sur l'entier $l\geq 1$ pour que $a$ divise le nombre
\[
\underbrace{11\ldots 111}_l .
\]
\end{sublist}


\item 
\begin{sublist}
\item Repr\'esenter graphiquement
la partie $C$ du plan $\R^2$ donn\'ee par
l'\'equation 
\[
x^2 -y^2=1 .
\]
\item Montrer que $C$ contient une infinit\'e de points
rationnels (i.e. de points $(x,y)$ tels que $x\in\Q$ et $y\in\Q$).
Indication : on pourra consid\'erer l'intersection de $C$
avec la droite d'\'equation $y=t(x-1)$, o\`u $t\in\Q$ est un
param\`etre. Marquer la droite dans l'esquisse de a). 


\item Etablir une bijection entre l'ensemble $C^+$ des
points rationnels $(x,y)$ de $C$ tels que $x>0$ et $y>0$ et l'ensemble
$\Q_{>1}$ des nombres rationnnels strictement plus grand que $1$.

\item Montrer que pour tout point rationnel $(x,y)$ de $C$ avec
$x>0$ et $y>0$ il existe des entiers $u>v\geq 1$ premiers entre eux
et tels que
\[
x=\frac{u^2+v^2}{u^2-v^2} \ko \quad y=\frac{2uv}{u^2-v^2}.
\]

\end{sublist}











\end{list-of-exercises}
\end{document}










