\documentstyle{article}
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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}



%sublist
\newcounter{point}
\newenvironment{sublist}{
\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
\setlength{\itemsep}{0cm}\setlength{\leftmargin}{1.2em}}
}{\end{list}}
                                                                


%liste d'exercices
\newcounter{exo}
\newenvironment{list-of-exercises}{
\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
\setlength{\itemsep}{0cm}}                                      
}{\end{list}}                                                   
                                                                
\newcommand{\plus}{\oplus}
\newcommand{\pgcd}{\mbox{PGCD}\,}


% abbreviations
% Black Board Bold Face
\newcommand{\N}{{\mbox{\bf N}}}
\newcommand{\sN}{{\mbox{\bf \scriptsize N}}}
\newcommand{\Z}{{\mbox{\bf Z}}}
\newcommand{\sZ}{{\mbox{\bf \scriptsize Z}}}
\newcommand{\R}{{\mbox{\bf R}}}
\newcommand{\Q}{{\mbox{\bf Q}}}
%Comma, forall
\newcommand{\ko}{\: , \;}
\newcommand{\fa}{\forall \,}
%Overline, Underline
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\ul}{\underline}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\Del}{\Delta}
\newcommand{\del}{\partial}
%\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\La}{\Lambda}
\newcommand{\lam}{\lambda}
\newcommand{\Ga}{\Gamma}
\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\Si}{\Sigma}
\newcommand{\si}{\sigma}


%Calligraphic letters
\newcommand{\ca}{{\cal A}}
\newcommand{\cb}{{\cal B}}
\newcommand{\cc}{{\cal C}}
\newcommand{\cd}{{\cal D}}
\newcommand{\ce}{{\cal E}}
\newcommand{\cf}{{\cal F}}
\newcommand{\cg}{{\cal G}}
\newcommand{\ch}{{\cal H}}
\newcommand{\ci}{{\cal I}}
\newcommand{\ck}{{\cal K}}
\newcommand{\cl}{{\cal L}}
\newcommand{\cm}{{\cal M}}
\newcommand{\cn}{{\cal N}}
\newcommand{\cp}{{\cal P}}
\newcommand{\cq}{{\cal Q}}
\newcommand{\cs}{{\cal S}}
\newcommand{\ct}{{\cal T}}
\newcommand{\cu}{{\cal U}}
\newcommand{\cv}{{\cal V}}
\newcommand{\cw}{{\cal W}}
\newcommand{\cx}{{\cal X}}



%Arrows
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\la}{\leftarrow}
\newcommand{\arr}[1]{\stackrel{#1}{\rightarrow}}
\newcommand{\longarr}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\longlarr}[1]{\stackrel{#1}{\longleftarrow}}
\newcommand{\iso}{\stackrel{_\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\liso}{\stackrel{_\sim}{\leftarrow}}
\newcommand{\larr}[1]{\stackrel{#1}{\leftarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



\newcommand{\E}[1]{E\,(#1)}
\newcommand{\Xs}{pistolets \`a eau}

\renewcommand{\thepage}{ }

\begin{document}
\begin{center}
MT 282 	        \hfill Universit\'e Paris 7 \\
03/12/95	\hfill  U.F.R. de Math\'ematiques\\
\mbox{ }	\hfill B. Keller\\[0.5cm]
{\large\bf Examen partiel}
\end{center}
{\bf Avertissement :} les calculettes sont autoris\'ees.
Les documents autres que le r\'esum\'e de cours distribu\'e
pendant l'\'epreuve sont interdits.

\begin{list-of-exercises}

\item Le petit Jean collectionne les 
\Xs. Il en a d\'ej\`a 
un bon nombre : s'il en donnait
$7$ \`a chacun de ses amis (ce qu'il n'a pas l'intention de
faire), il lui en resterait $9$.
Par contre, s'il voulait en donner $9$ \`a chacun, 
il lui en manquerait
$1$ pour le dernier. Sachant que Jean range ses
\Xs\  tous les soirs dans des bo\^{\i}tes de $8$ dont
la derni\`ere est remplie \`a moiti\'e, combien de 
\Xs\ poss\`ede Jean et combien a-t-il d'amis ?
(Il en a moins de $100$ ...)




\item D\'eterminer le {\em reste $r$} de la division euclidienne
de $a$ par $b$ dans chacun des cas suivants :
\begin{sublist}
\item $a=AAAAAABBBBBB$ (\'ecriture hexad\'ecimale), $b=7$,
\item $a=19^{330}$, $b=31$,
\item $a=532^{2160}$, $b=2025$,
\item $a=217^{18}$,  $b=437$.
\end{sublist}



\item Soit $n$ un entier $\geq 2$ et $p$ un nombre premier.
Montrer qu'on a
\[
\phi(p\,n) = 
\left\{ \begin{array}{ll} 
p\, \phi(n) & \mbox{si $p$ divise $n$} \\
(p-1)\, \phi(n) & \mbox{sinon}
\end{array}
\right.
\]
o\`u $\phi$ d\'esigne l'indicatrice d'Euler.



\item 
\begin{sublist}
\item  D\'eterminer toutes les classes $\ol{c}$ modulo $75$
pour lesquelles le syst\`eme suivant admet une solution.
\begin{eqnarray*}
x & \equiv & c \; (75) \\
x & \equiv & 6 \; (45)
\end{eqnarray*} 
\item D\'eterminer la solution du syst\`eme pour les classes
trouv\'ees dans a).
\end{sublist}



\item Pour un entier $n\geq 1$ soit $D(n)$ l'ensemble des
diviseurs positifs de $n$ et soit
\[
\sigma\,(n)= \sum_{d\in D(n)} d.
\]
\vspace*{-0.4cm}
\begin{sublist}
\item Calculer $\sigma(n)$ pour $1\leq n\leq 10$.
\item Si $p$ est un nombre premier et $k$ un entier $\geq 1$
montrer que
\[
\sigma(p^k)= \frac{p^{k+1}-1}{p-1}.
\]
\item Soient $r$ et $s$ deux entiers $\geq 2$ et qui
sont premiers entre eux. Montrer que l'application
\[
\psi : D(r) \times D(s) \longrightarrow D(rs) \ko (d,e) \mapsto de
\]
est bijective. Indication : consid\'erer les d\'ecompositions
de $r$ et $s$ en produits de puissances de nombres premiers.

\item Soient $r$ et $s$ deux entiers $\geq 2$ et qui sont
premiers entre eux. Montrer qu'on a 
\[
\sigma(r)\sigma(s)= \sigma(rs).
\]
\end{sublist}

\end{list-of-exercises}
\end{document}
