\documentstyle[12pt]{article}
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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}



%sublist
\newcounter{point}
\newenvironment{sublist}{
\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
\setlength{\itemsep}{0cm}\setlength{\leftmargin}{1.2em}}
}{\end{list}}
                                                                


%liste d'exercices
\newcounter{exo}
\newenvironment{list-of-exercises}{
\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
\setlength{\itemsep}{0cm}}                                      
}{\end{list}}                                                   
                                                                
\newcommand{\plus}{\oplus}
\newcommand{\pgcd}{\mbox{PGCD}\,}


% abbreviations
% Black Board Bold Face
\newcommand{\N}{{\mbox{\bf N}}}
\newcommand{\sN}{{\mbox{\bf \scriptsize N}}}
\newcommand{\Z}{{\mbox{\bf Z}}}
\newcommand{\sZ}{{\mbox{\bf \scriptsize Z}}}
\newcommand{\mult}[1]{(\Z/#1\Z)^*}
\newcommand{\R}{{\mbox{\bf R}}}
\newcommand{\Q}{{\mbox{\bf Q}}}
%Comma, forall
\newcommand{\ko}{\: , \;}
\newcommand{\fa}{\forall \,}
%Overline, Underline
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\ul}{\underline}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\Del}{\Delta}
\newcommand{\del}{\partial}
%\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\La}{\Lambda}
\newcommand{\lam}{\lambda}
\newcommand{\Ga}{\Gamma}
\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\Si}{\Sigma}
\newcommand{\si}{\sigma}


%Calligraphic letters
\newcommand{\ca}{{\cal A}}
\newcommand{\cb}{{\cal B}}
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\newcommand{\cd}{{\cal D}}
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\newcommand{\cf}{{\cal F}}
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\newcommand{\cp}{{\cal P}}
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\newcommand{\cs}{{\cal S}}
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\newcommand{\cv}{{\cal V}}
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\newcommand{\cx}{{\cal X}}



%Arrows
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\la}{\leftarrow}
\newcommand{\arr}[1]{\stackrel{#1}{\rightarrow}}
\newcommand{\longarr}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\longlarr}[1]{\stackrel{#1}{\longleftarrow}}
\newcommand{\iso}{\stackrel{_\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\liso}{\stackrel{_\sim}{\leftarrow}}
\newcommand{\larr}[1]{\stackrel{#1}{\leftarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



\newcommand{\E}[1]{E\,(#1)}
\newcommand{\Xs}{pistolets \`a eau}

%\renewcommand{\thepage}{ }

\begin{document}
\begin{center}
MT 282 	        \hfill Universit\'e Paris 7 \\
07/12/96	\hfill  U.F.R. de Math\'ematiques\\
\mbox{ }	\hfill B. Keller\\[0.5cm]
{\large\bf Examen partiel}
\end{center}
{\bf Avertissement :} les calculettes sont autoris\'ees.

\begin{list-of-exercises}

\item
A la fin des ann\'ees cinquante, 
trois satellites, $A$, $B$ et $C$, furent
mis en orbite. Le premier \'emettait un signal 
toutes les $37$ secondes, le second, toutes les $31$ secondes
et le troisi\`eme toutes les $30$ secondes. Un beau jour,
\`a midi pr\'ecis, dans son laboratoire, le professeur E.
re\c{c}ut les trois signaux au m\^eme instant.
Quelle heure \'etait-il quand, pour la premi\`ere fois apr\`es
cette co\"{\i}ncidence, le signal de $C$ fut re\c{c}u
une seconde apr\`es celui de $B$ qui avait \'et\'e
re\c{c}u une seconde apr\`es celui de $A$ ?


\item D\'eterminer le {\em reste $r$} de la division euclidienne
de $a$ par $b$ dans chacun des cas suivants :
\begin{sublist}
\item $a=1995^{1996}$, $b=1997$,
\item $a=995^{996}$, $b=1996$,
\item $a=17^{19^{12}}$, $b=29$,
\item $a=x^{80}$, $b=561$, o\`u $x$ est un entier premier 
avec $561$.
\end{sublist}


\item 
\begin{sublist}
\item Quel est le nombre d'\'el\'ements
$x\in \mult{17}$ tels que $x^4=1$ ?
\item  Quel est le nombre d'\'el\'ements
$x\in\mult{29}$ qui sont de la forme $x=y^5$ 
pour un $y\in\mult{29}$ ?
\item R\'esoudre l'\'equation $x^4=1$ dans $\mult{17}$.
\end{sublist}


\item Soit $p$ un nombre premier $>3$. On note
$M(2,\Z/p\Z)$ l'anneau des matrices $2\times 2$ \`a coefficients
dans $\Z/p\Z$. Soient $I, J\in M(2,\Z/p\Z)$ les matrices
\[
I=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \ko
J=\left[ \begin{array}{cc} 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{array} \right].
\]
Soit $A$ l'ensemble des matrices
\[
x\,I + y\, J = 
\left[\begin{array}{cc} x & 3y \\ y & x \end{array} \right].
\]
\begin{sublist}
\item Montrer que $A$ est un sous-groupe du groupe
additif $M(2, \Z/p\Z)$, que $I\in A$ et que 
le produit de deux matrices de la forme $x\,I + y\, J$, 
$x,y\in\Z/p\Z$, est encore de cette forme.
\end{sublist}
Il s'ensuit que l'ensemble $A$ des matrices de la forme
$x\,I+y\,J$ est un sous-anneau de $M(2,\Z/p\Z)$.
C'est donc un anneau pour l'addition et la multiplication
des matrices.
\begin{sublist}
\setcounter{point}{1}
\item  Soit $a=x\,I+y\,J\in A$. Montrer que $a$ est inversible
ssi $x^2-3y^2$ est non nul dans $\Z/p\Z$. 

\item Supposons que l'\'equation $z^2=3$ n'admet pas de
solution $z$ dans $\Z/p\Z$. Montrer que $A$ est un corps.
En d\'eduire qu'on a 
\[
a^{p^2 -1} = I
\]
pour tout \'el\'ement $a\in A\setminus\{0\}$.


\item Supposons qu'il existe un \'el\'ement $z\in\Z/p\Z$ tel que
$z^2=3$. Montrer que l'application
\[
f: A \rightarrow \Z/p\Z \times \Z/p\Z\ko x\,I + y\,J \mapsto 
(x+zy, x-zy)
\]
est un isomorphisme d'anneaux. En d\'eduire qu'on a
\[
a^{p-1} = I
\]
pour tout \'el\'ement inversible $a$ de $A$.


\item (facultatif) On suppose $p=17$. On va exhiber un
\'el\'ement d'ordre $17^2-1=288$ dans $A\setminus\{0\}$.
\begin{itemize}
\item[e1)] Montrer que $3$ n'est pas un carr\'e dans $\Z/p\Z$
(on pourra utiliser l'exercice~3).
Quel est l'ordre de la matrice inversible $J$  ? Indication : on se
souviendra du fait que $J^2=3\,I$.

\item[e2)] On consid\`ere la matrice
$a=-2\,I+J$. Montrer que $a$ est d'ordre $9$. 
En d\'eduire que la matrice
\[
a J= \left[\begin{array}{cc} 3 & -6 \\ -2 & 3 \end{array} \right]
\]
est d'ordre $288$.
\end{itemize}

\end{sublist}



\end{list-of-exercises}

\end{document}





\item 
\begin{sublist}
\item Rappeler la d\'efinition de l'exposant d'un groupe.
\item Soient $G$ et $H$ deux groupes finis. Exprimer l'exposant
de $G\times H$ en termes des exposants de $G$ et de $H$.
\item Pour un entier $n\geq 2$, on pose $\mu(n)=\exp (\mult{n})$.
Exprimer $\mu(rs)$ en termes de $\mu(r)$ et $\mu(s)$ si
$r$ et $s$ sont premiers entre eux.
\item Calculer $\mu(561)$.
\end{sublist}




