\documentstyle[12pt]{article}



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%theorems and such without numbers
%Put blank lines before Thms but not after
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%Pictures
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\newcommand{\apinf}{\al'_{p^\infty}}
\newcommand{\bpinf}{\be'_{p^\infty}}

\begin{document}
\begin{center}
Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot  \hfill 7 novembre 1994\\
U.F.R. de Math\'ematiques\hfill \mbox{B.~Keller } \\
D.E.U.G. Math\'ematiques : MT 282  \hfill \mbox{ }
\mbox{ }
\end{center}
\begin{center}
{\bf La pratique du lemme chinois}
\end{center}
\el
{\bf 1. Syst\`emes de congruences}
\el
On cherche \`a r\'esoudre le syst\`eme
\begin{eqnarray*}
x & \equiv & a_1 \; (n_1) \\
x & \equiv & a_2 \; (n_2) \\
x & \equiv & a_3 \; (n_3) 
\end{eqnarray*}
o\`u $x$, les $a_i$ et les $n_i$ sont des entiers (relatifs)
et les $n_i$ sont premiers entre eux deux \`a deux.
\el
{\bf Premi\`ere \'etape.} On cherche des entiers $x_1, x_2, x_3$
tels que
\[
\begin{array}{ccccccccccc}
x_1 & \equiv & 1\; (n_1) & \mbox{        } & x_2 & \equiv & 0 \; (n_1) & \mbox{       } & x_3 & \equiv & 0 \; (n_1) \\
x_1 & \equiv & 0\; (n_2) & \quad\mbox{     ;      }\quad & x_2 & \equiv & 1 \; (n_2) & \quad\mbox{     ;     }\quad & x_3 & \equiv & 0 \; (n_2) \\
x_1 & \equiv & 0\; (n_3) & \mbox{        } & x_2 & \equiv & 0 \; (n_3) & \mbox{       } & x_3 & \equiv & 1 \; (n_3). 
\end{array}
\]
Pour trouver $x_1$, on d\'etermine une solution $(u_1, v_1)\in\Z^2$ de
l'\'equation de B\'ezout
\[
n_2\, n_3\, u_1 + n_1\, v_1 =1
\]
Puisque $\pgcd(n_2\, n_3, n_1)=1$, une telle solution existe.
On voit que $x_1= n_2\, n_3\, u_1$ convient.
De m\^eme, pour trouver $x_2$ et $x_3$, on cherche des solutions
de
\begin{eqnarray*}
n_1\, n_3\, u_2 + n_2\, v_2 & = & 1 \\
n_1\, n_2\, u_3 + n_3\, v_3 & = & 1 .
\end{eqnarray*}
Alors $x_2= n_1\, n_3\, u_2$ et $x_3= n_1\, n_2 \, u_3$ conviennent.
\el
{\bf Seconde \'etape.} La solution g\'en\'erale du syst\`eme est
\[
x  \equiv  a_1\, x_1 + a_2\, x_2 + a_3\, x_3 
\;\;\; (n_1\, n_2\, n_3) \ko
\]
ou, sous une forme plus agr\'eable,
\[
\fbox{$x  \equiv  r\; \; (n_1\, n_2\, n_3)$}
\]
o\`u $r$ est le reste de la division euclidienne de $a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3$ par
$n_1 n_2 n_3$.
\el
\el
{\bf Exemple.} On cherche \`a r\'esoudre le syst\`eme
\begin{eqnarray*}
x & \equiv & 1 \; (7) \\
x & \equiv & 4 \; (9) \\
x & \equiv & 3 \; (5) 
\end{eqnarray*}
{\bf Premi\`ere \'etape.} Les \'equations et leurs solutions
particuli\`eres sont
\[
\begin{array}{rcccrcl}
45\, u_1 + 7\, v_1  =  1; & \mbox{sol. part.} & 
45\times (-2) + 7 \times 13  =  1. & \mbox{Donc } & x_1=-90. \\
35\, u_2 + 9\, v_2  =  1; & \mbox{sol. part.} &
35\times (-1) + 9 \times 4   =  1. & \mbox{Donc } & x_2=-35. \\
63\, u_3 + 5\, v_3  =  1; & \mbox{sol. part.} &
63\times 2 - 5 \times 25  =  1 & \mbox{Donc } &  x_3=126 .
\end{array}
\]
{\bf Seconde \'etape.} On a 
\[
a_1\, x_1 + a_2\, x_2 + a_3\, x_3 = 1\times (-90) + 4\times (-35)
+ 3\times 126 = 148.
\]
Ainsi, la solution g\'en\'erale du syst\`eme est
\[
\fbox{$x \equiv 148 \;\;\; (315).$}
\]
\el
\el
{\bf 2. Isomorphisme d'anneaux}
\el
Nous continuons \`a utiliser les notations et hypoth\`eses
du paragraphe ci-dessus. Nous cherchons \`a expliciter 
l'inverse $\psi$ de l'isomorphisme canonique
\begin{eqnarray*}
\phi : \Z/(n_1\, n_2\, n_3) & \iso & 
                   \Z/n_1\times \Z/n_2 \times \Z/n_3 \\
\;^{n_1 n_2 n_3}\ol{x} & \mapsto & 
                (\;^{n_1}\ol{x},\;^{n_2}\ol{x},\;^{n_3}\ol{x}).
\end{eqnarray*}
Pour cela, on d\'etermine des entiers $x_1, x_2, x_3$ comme
ci-dessus. Notons que les conditions impos\'ees sur
les $x_i$ sont \'equivalentes aux \'equations
\begin{eqnarray*}
\phi\,(\ol{x_1}) & = &  ( \ol{1}, \ol{0}, \ol{0}) \\
\phi\,(\ol{x_2}) & = &  ( \ol{0}, \ol{1}, \ol{0}) \\
\phi\,(\ol{x_3}) & = &  ( \ol{0}, \ol{0}, \ol{1}).
\end{eqnarray*}
L'inverse $\psi: \Z/n_1\times \Z/n_2 \times \Z/n_3 \ra \Z/(n_1 n_2 n_3)$ est donn\'e par
\[
\psi(\ol{a_1}, \ol{a_2}, \ol{a_3})= 
\;^{n_1 n_2 n_3}\ol{a_1 x_1 +a_2 x_2 + a_3 x_3}.
\]
\el
\el
{\bf 3. Remarques}
\el

a) Cette m\'ethode s'adapte, avec des modifications \'evidentes,
au cas de 2, 4, 5 ou plus de congruences (resp. facteurs).

b) Une autre m\'ethode consiste \`a proc\'eder par
r\'ecurrence sur le nombre de congruences. Dans le
cas de trois congruences, par exemple, il n'y a que 
deux \'equations de B\'ezout \`a r\'esoudre si on utilise
cette m\'ethode. 

\end{document}









