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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}


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%sublist
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}{\end{list}}
                                                                
%initialize point
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%Print point and step
\newcommand{\np}{\stepcounter{point}
\mbox{\quad\quad\alph{point})\,\,\,}\displaystyle}


%liste d'exercices
\newcounter{exo}
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\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
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}{\end{list}}                                                   
                                                                



% abbreviations
% Black Board Bold Face
\newcommand{\N}{{\mbox{\bf N}}}
\newcommand{\sN}{{\mbox{\bf \scriptsize N}}}
\newcommand{\Z}{{\mbox{\bf Z}}}
\newcommand{\sZ}{{\mbox{\bf \scriptsize Z}}}
\newcommand{\R}{{\mbox{\bf R}}}
%Comma, forall
\newcommand{\ko}{\: , \;}
\newcommand{\fa}{\forall \,}
%Overline, Underline
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\ul}{\underline}

%Greek letters
\newcommand{\eps}{\varepsilon}


%Calligraphic letters
\newcommand{\ca}{{\cal A}}
\newcommand{\cb}{{\cal B}}
\newcommand{\cc}{{\cal C}}
\newcommand{\cd}{{\cal D}}
\newcommand{\ce}{{\cal E}}
\newcommand{\cf}{{\cal F}}
\newcommand{\cg}{{\cal G}}
\newcommand{\ch}{{\cal H}}
\newcommand{\ci}{{\cal I}}
\newcommand{\ck}{{\cal K}}
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\newcommand{\cm}{{\cal M}}
\newcommand{\cn}{{\cal N}}
\newcommand{\cp}{{\cal P}}
\newcommand{\cq}{{\cal Q}}
\newcommand{\cs}{{\cal S}}
\newcommand{\ct}{{\cal T}}
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\newcommand{\cv}{{\cal V}}
\newcommand{\cw}{{\cal W}}
\newcommand{\cx}{{\cal X}}



%Arrows
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\la}{\leftarrow}
\newcommand{\arr}[1]{\stackrel{#1}{\rightarrow}}
\newcommand{\longarr}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\longlarr}[1]{\stackrel{#1}{\longleftarrow}}
\newcommand{\iso}{\stackrel{_\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\liso}{\stackrel{_\sim}{\leftarrow}}
\newcommand{\larr}[1]{\stackrel{#1}{\leftarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



%French terminology
\newcommand{\tg}{\mbox{tg}\,}
\newcommand{\arctg}{\mbox{arctg}\,}

\newcommand{\F}{{\mbox{\bf F}}}


%\renewcommand{\arraystretch}{2}




\begin{document}
\begin{center}
Universit\'e Paris 7  \hfill  9 janvier 1997\\
U.F.R. de Math\'ematiques\hfill \mbox{B.~Keller }\\[0.5cm]
{\bf D.E.U.G. Math\'ematiques : MT 282 \\[0.5cm]
            TEST N$^o$ 3}
\end{center}
\begin{flushleft}
\setlength{\baselineskip}{0.8cm}
{\bf Groupe de TD (indiquer le jour de la semaine) : \\
NOM : \\
Pr\'enom :}
\end{flushleft}
\setlength{\baselineskip}{0.5cm}
\begin{list-of-exercises}

\item Soient $A$, $B$ des anneaux commutatifs et
$f:A \ra B$ un homomorphisme d'anneaux. Montrer 
que l'application induite
\[
\ol{f}: A/\ker{f} \ra B \ko \ol{a} \mapsto f(a)
\]
est injective.


\item 
\begin{sublist}
\item Le polyn\^ome $X^2+X+1$ est-il r\'eductible sur $\F_2$ ?
Quel est le nombre d'\'el\'ements inversibles de l'anneau
$A= \F_2[X]/(X^2+X+1)$ ? Le groupe $A^*$ est-il cyclique ?

\item M\^emes questions pour le polyn\^ome $X^2+1$ sur $\F_{17}$
et l'anneau 
\[
B=\F_{17}[X]/(X^2+1).
\]
\end{sublist}

\item Soit $p>3$ un nombre premier.
Montrer que le polyn\^ome $X^2+X+1$ 
est r\'eductible sur $\F_p$ si $p$ est congru 
\`a $1$ modulo $3$. Indication : 
consid\'erer le polyn\^ome $(X-1)(X^2+X+1)$.

\end{list-of-exercises}
\end{document}








\item Notons $x$ l'image de $X$ dans
$\F_{73}[X]/(X^2+X+1)$. Montrer que les \'el\'ements
$24x+71$ et $26 x +16$ sont inverses l'un de l'autre.
\item D\'eduire qu'on a $(24x+71)^{72}=1$.







