Université Paris 7 23 mars 2002 U.F.R. de Mathématiques B. Keller

Maîtrise de Mathématiques : MT401S Algèbre

Un corrigé de l’examen partiel

Question de cours

1) Qu’est-ce qu’un anneau factoriel ?

Réponse — C’est un anneau intègre A tel que

(1) Tout élément non nul a ∈ A admet une décomposition en produit d’éléments irréductibles et

(2) Si l’on a

p_{1}p_{2} … p_{r} = q_{1}q_{2} … q_{s}

pour des éléments irréductibles p_{i} et q_{j} alors r = s et on peut renuméroter les q_{j} de telle manière que p_{i} soit associé à q_{i} pour tout 1 ≤ i ≤ r.

2) Soient A un anneau factoriel et F son corps des fractions. Qu’est-ce que le contenu d’un polynôme P à coefficients dans F ? Réponse — Le contenu de P est l’élément c(P) de F, unique à multiplication par des éléments inversibles de A près, tel qu’on ait P = c(P)pr (P), où pr (P) est un polynôme primitif (à coefficients dans A).

3) Soient A un anneau factoriel et F son corps des fractions. Soit P ∈ A[X] un polynôme primitif tel que P = QR pour deux polynômes Q, R à coefficients dans F de degré ≥ 1. Montrer que P est réductible dans A[X]. Réponse — On a

P = pr (P) = pr (QR) = pr (Q) pr (R)

d’après la propriété de multiplicativité de l’application qui, à S ∈ F [X], associe pr (S). Comme les polynômes pr (Q) et pr (R) sont de degré ≥ 1, le polynôme P est réductible dans A[X].

Exercice I

Soit α une racine complexe du polynôme X^{4} + 1. Soit B le sous-anneau de ℂ engendré par α/3.

1) Soit f : ℤ[X] → ℂ le morphisme d’anneaux tel que f(X) = α/3. Montrer que B est l’image de f. Réponse — Comme f est un morphisme d’anneaux, son image est un sous-anneau et ce sous-anneau contient α/3 = f(X). Donc B est contenu dans l’image de f. Réciproquement, on obtient tout élément de l’image de f à partir de 1 et α/3 en formant des produits et des sommes. Donc tout élément de l’image est contenu dans B. Il s’ensuit que l’image de f est égale à B.

2) Quel est la décomposition en facteurs irréductibles du polynôme P = 81X^{4} + 1 dans ℝ[X] ? Montrer que ce polynôme est irréductible dans ℚ[X]. En déduire qu’un polynôme R ∈ ℚ[X] s’annule en α/3 si et seulement si il est multiple de P dans ℚ[X]. Réponse — Nous avons

81X^{4} + 1 = (9X^{2} + 3\sqrt{2}X + 1)(9X^{2} − 3\sqrt{2}X + 1)

Les deux facteurs à droite sont irréductibles dans ℝ[X] car ils sont de degré deux sans racines réelles. Comme les deux facteurs à droite ne sont pas associés à des polynômes à coefficients rationnels, il s’ensuit que P est irréductible sur ℚ. Soit I l’idéal de ℚ[X] formé des polynômes R tels que R(α/3) = 0. Il est différent de ℚ[X] et contient l’idéal engendré par P. Or ce dernier idéal est maximal car P est irréductible et ℚ est un corps. Donc I est égal à P.

3) Montrer que f induit un isomorphisme de ℤ[X]/(81X^{4} + 1) sur B.

Réponse — Par le théorème d’isomorphisme, il suffit de montrer que le noyau de f est l’idéal de ℤ[X] engendré par 81X^{4}+1. Clairement le noyau de f contient cet idéal. Réciproquement, soit R un élément du noyau de f. Alors nous avons R = (81X^{4} + 1)Q pour un polynôme Q à coefficients dans ℚ d’après le point précédent. Comme le polynôme 81X^{4} + 1 est primitif, il s’ensuit que

pr (R) = pr (Q(81X^{4} + 1)) = pr (Q)(81X^{4} + 1)

et

R = c(R)pr (R) = c(R)pr (Q)(81X^{4} + 1).

Comme c(R) ∈ ℤ, il s’ensuit que R appartient bien à l’idéal de ℤ[X] engendré par 81X^{4} + 1.

4) Dans ce numéro et les suivants, on note p un nombre premier congru à 1 modulo 8. Montrer que l’équation x^{4} = −1 admet quatre solutions distinctes deux à deux dans 𝔽_{p}. Réponse — Le groupe des éléments inversibles de 𝔽_{p} est cyclique d’ordre p − 1. Pour tout diviseur d de p−1, ce groupe contient donc exactement ϕ(d) éléments d’ordre d. Les éléments x tels que x^{4} = −1 sont exactement ceux d’ordre 8. Comme d = 8 divise p − 1, il y en a exactement ϕ(8) = 4.

5) Montrer que B/(p) est isomorphe à un produit de quatre copies de 𝔽_{p}.

Réponse — Les isomorphismes suivants résultent du cours (on note π_{P} la projection canonique ℤ[X] → ℤ[X]/(81X^{4} + 1) et π_{p} la projection canonique ℤ[X] → ℤ[X]/(p))

B/(p) →^{∼} (ℤ[X]/(81X^{4} + 1))/(π_{P} (p)) →^{∼} (ℤ[X]/(p))/(π_{p}(81X^{4} + 1)) →^{∼} 𝔽_{p}[X]/(81X^{4} + 1).

D’après le point précédent, l’équation x^{4} = −1 admet exactement 4 solutions dans 𝔽_{p}. Comme 3 est inversible dans 𝔽_{p}, l’équation (3x)^{4} = −1 admet également quatre solutions. Notons-les α_{i}, i = 1, …, 4. Les polynômes (X − α_{i}) sont deux à deux premiers dans 𝔽_{p}[X]. Donc, par le théorème chinois, nous avons l’isomorphisme

𝔽_{p}[X]/(81X^{4} + 1) →^{∼} ∏_{i=1}^{4} 𝔽_{p} , (classe de P ) ↦ (P (α_{i})).

6) Soit u ∈ B et n ≥ 1 un entier. Montrer que si u^{n} est divisible par p dans B, alors u est divisible par p. Réponse — Soit π : B → B/(p) la projection canonique. Si u^{n} est divisible par p dans B alors π(u) est nilpotent dans B/(p). Or d’après le point précédent, B/(p) est isomorphe à un produit de corps. Donc B/(p) n’admet pas d’élément nilpotent autre que 0. Ainsi on a π(u) = 0 et u est divisible par p dans B.

Exercice II

1) Soit A un anneau intègre et F son corps des fractions. Soit b ∈ F tel que b vérifie une équation

unitaire

b^{n} + a_{n−1}b^{n−1} + … + a_{0} = 0

pour des a_{0}, …, a_{n−1} ∈ A et un n ≥ 1. Montrer que si A est factoriel, b appartient à A.

Réponse — Ecrivons b = r/s pour des éléments r, s ∈ A, s ≠ 0, tels que r n’est divisible par aucun facteur irréductible de s. Alors nous avons

r^{n} + a_{n−1}r^{n−1}s + a_{n−2}r^{n−2}s^{2} + … + a_{0}s^{n} = 0

et donc

r^{n} = −s(a_{n−1}rs^{n−2} + … + a_{0}s^{n−1}).

Il s’ensuit que si s a un diviseur irréductible, il apparaît dans r^{n} et donc dans r. Donc s n’a pas de diviseur irréductible, c’est-à-dire que s est inversible dans A et r/s ∈ A.

2) Soit k un corps et A = k[X, Y]/(Y^{2} − X^{3}). Montrer que A est intègre.

Réponse — Considérons Y^{2} − X^{3} comme un élément de (k[X])[Y]. Alors il est primitif (car unitaire) et il n’admet pas de racine dans k(X) car X^{3} n’est pas un carré dans k(X). Donc il est irréductible dans k(X)[Y] et k[X, Y]. Comme k[X, Y] est factoriel, il s’ensuit que Y^{2}−X^{3} engendre un idéal premier et que A est intègre.

3) Notons x et y les images de X et Y dans A. Montrer qu’il existe un morphisme de k-algèbres f : A → k[T] tel que f(x) = T^{2} et f(y) = T^{3}. Réponse — Par la propriété universelle de k[X, Y], il existe un (unique) morphisme de kalgèbres f̃: k[X, Y] → k[T] qui envoie X sur T^{2} et Y sur T^{3}. Par ce morphisme, le polynôme Y^{2} − X^{3} est envoyé sur 0. Par passage au quotient, f̃ induit un morphisme f : A → k[T] tel que f(x) = T^{2} et f(y) = T^{3}.

4) Montrer que tout élément de A s’écrit R_{1}(x)y + R_{0}(x) pour des polynômes R_{1}, R_{0} ∈ k[X] uniques. Déduire que les monômes x^{r}y^{s}, r ≥ 0, s = 0, 1, forment une base du k-espace vectoriel A. Réponse — Soit S(X, Y) ∈ k[X, Y]. Comme Y^{2} − X^{3} est unitaire en tant que polynôme dans (k[X])[Y], nous pouvons effectuer la division euclidienne par Y^{2} − X^{3} pour trouver des polynômes uniques Q(X, Y) ∈ k[X, Y] et R_{0}, R_{1} ∈ k[X] tels que

S(X, Y) = Q(X, Y)(Y^{2} − X^{3}) + (R_{1}(X)Y + R_{0}(X)).

Alors l’image de S dans A est égale à R_{1}(x)y + R_{0}(x). Si R_{1}(x)y + R_{0}(x) s’annule dans A, alors R_{1}(X)Y + R_{0}(X) est un multiple de Y^{2} − X^{3} et il doit s’annuler car Y^{2} − X^{3} est de degré 2 en Y et R_{1}(X)Y + R_{0}(X) de degré ≤ 1. La dernière affirmation en résulte car les coefficients de R_{1}(x) et R_{0}(x) sont uniques.

5) Montrer que f est injectif.

Réponse — L’application f envoie x^{r} sur T^{2r} et x^{r}y sur T^{2r+3}. Ces éléments forment une famille libre dans k[T]. Comme les x^{r}y^{s}, r ≥ 0, s = 0, 1 forment une base A, il s’ensuit que f est injective.

6) Déterminer l’image de f.

Réponse — Comme le montre l’argument du point précédent, l’image de f admet pour base les T^{2r+3s}, r ≥ 0, s = 0, 1, c’est-à-dire les monômes 1, T^{2}, T^{3}, T^{4}, . . .. Donc l’image est formée de tous les polynômes en T dont le coefficient de T s’annule.

7) Montrer que le corps des fractions de A est isomorphe à k(T).

Réponse — Comme l’application f est injective, elle induit un morphisme de corps de Frac A dans k(T). Un morphisme de corps est toujours injectif. Le morphisme induit par f est surjectif car son image contient T = f(y/x).

8) Montrer que A n’est pas factoriel. Indication : utiliser 1).

Réponse — L’élément b = y/x vérifie b^{2} − x = 0. L’élement b = y/x de Frac (A) n’appartient pas à A car son image T dans k(T) n’appartient pas à l’image de A. D’après 1), l’anneau A n’est pas factoriel.