Université Paris 7 – Denis Diderot 2001–02 UFR de Mathématiques, Second Cycle MT 401 (B. Keller)

DEVOIR

A rendre la semaine du 29 avril

1) Soit A un anneau, n ≥ 1 un entier et L = A^{n}. A toute matrice carrée B = (b_{ij}) de taille n×n à coefficients dans B, on associe l’application A-linéaire f_{B} : L → L telle que si y = f_{B}(x) alors

y_{i} = ∑_{j=1}^{n} b_{ij}x_{j} , i = 1, …, n.

Montrer qu’on a équivalence entre

i) l’homomorphisme f_{B} est inversible

ii) l’élément detB est inversible dans A

iii) les vecteurs colonnes de B forment une base de L.

(Indication : Montrer d’abord l’équivalence entre i) et iii). Montrer ensuite l’équivalence entre i) et ii). On pourra se servir de l’identité BB̃ = (det B)I_{n}, où B̃ désigne la transposée de la matrice des cofacteurs de B et I_{n} la matrice identité.)

Montrer que les matrices B vérifiant ces conditions forment un groupe pour la multiplication des matrices. On note GL(n, A) ce groupe.

2) a) Exhiber toutes les bases de Z^{2} dont le premier vecteur appartient au sous-module engendré par

[ \begin{matrix}1994 \\ 1995 \end{matrix} ] .

b) Montrer directement que si A est un anneau principal, alors

[ \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} ]

appartient à une base de A^{2} ssi PGCD (a_{1}, a_{2}) est inversible dans A.

3) Soit A un anneau principal, n ≥ 2 un entier et L = A^{n}. Notons e_{1}, …, e_{n} les vecteurs de la base canonique de L. Soit a ∈ A^{n}.

a) Montrer que si a appartient à une base de L, alors a est une base du sous-module Aa. Déduire que dans ce cas PGCD (a_{1}, …, a_{n}) est inversible.

b) Montrer qu’il existe une matrice B ∈ GL(n, A) telle que l’image b = Ba vérifie

b_{2} = PGCD (a_{1}, a_{2}) = PGCD (b_{1}, b_{2}).

Indication : Examiner d’abord le cas n = 2. Dans le cas général, on cherche B sous forme d’une matrice diagonale par blocs

[ \begin{matrix}B′ & 0 \\ 0 & I \end{matrix} ]

où B′ est une matrice 2 × 2 et I une matrice identité. c) Montrer par récurrence sur n qu’il existe une matrice B ∈ GL(n, A) telle que l’image

b = Ba vérifie

b_{n} = PGCD (a_{1}, …, a_{n}) = PGCD (b_{1}, …, b_{n}).

d) Montrer qu’il existe une matrice B ∈ GL(n, A) telle que Ba = ce_{n}, où c = PGCD (a_{1}, … a_{n}).

e) Déduire que a appartient à une base de A^{n} ssi PGCD (a_{1}, …, a_{n}) = 1.

4) Soit A un anneau intègre, M un A-module et M′ un sous-module. On dit que M′ est un facteur direct de M s’il existe un sous-module M′′ ⊂ M tel que M′ ⊕ M′′ = M.

a) Montrer que, si A est un corps, tout sous-module est un facteur direct.

b) Soit i : M′ → M l’inclusion. Montrer que M′ est un facteur direct ssi il existe un homomorphisme de A-modules p : M → M′ tel que pi = id_{M′}.

c) Montrer que M′ = 2Z n’est pas un facteur direct de M = Z sur A = Z.

d) Montrer qu’un idéal I est un facteur direct de A ssi I = 0 ou I = A.

e) Soit n un entier ≥ 1 et M = A^{n}. Montrer que le sous-module engendré par un élément non-nul a ∈ M est un facteur direct ssi il existe x_{1}, …, x_{n} ∈ A tels que

a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + … + a_{n}x_{n} = 1.

f) Déterminer les facteurs directs parmi les sous-modules suivants de M = Z^{2}

M_{1} = Z [ \begin{matrix}7 \\ 21 \end{matrix} ] , M_{2} = Z [ \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ] ∩ Z [ \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} ] , M_{3} = \{[ \begin{matrix}k \\ l \end{matrix} ] ∈ Z^{2} | k ≡ 0 (2) \} ,

M_{4} = Z [ \begin{matrix}1 \\ 3 \end{matrix} ] + Z [ \begin{matrix}3 \\ 1 \end{matrix} ] .

g) Exhiber deux facteurs directs M_{1} et M_{2} de Z^{2} sur A = Z tels que M_{1} + M_{2} ne soit pas un facteur direct. Qu’en est-il pour M_{1} ∩ M_{2} ?

h) Soit L un A-module libre de type fini et L′ ⊂ L un sous-module de même rang que L. Montrer qu’on a L = L′ ssi L′ est un facteur direct de L. Indication : localiser par rapport à S = A \ {0}.

i) Supposons A principal. Soit L un A-module libre de type fini. Montrer qu’un sousmodule L′ ⊂ L est un facteur direct ssi il est pur, c’est-à-dire que x ∈ L appartient à L′ s’il existe a ∈ A tel que ax ∈ L′. (Indication : Si p : L → L/L′ est la surjection canonique, montrer qu’il existe un homomorphisme s tel que ps = id_{L/L′}. Montrer ensuite que L = s(L/L′) ⊕ L′.) Déduire qu’une intersection de deux facteurs directs de L est un facteur direct.