\documentclass{article}
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\renewcommand{\thepage}{ }

\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}



%sublist
\newcounter{point}
\newenvironment{sublist}{
\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
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}{\end{list}}
                                                                


%liste d'exercices
\newcounter{exo}
\newenvironment{list-of-exercises}{
\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
\setlength{\itemsep}{0cm}}                                      
}{\end{list}}                                                   
                                                                
\newcommand{\plus}{\oplus}
\newcommand{\pgcd}{\mbox{PGCD}\,}
\newcommand{\GL}{\mbox{GL}}
\renewcommand{\vec}[2]{
\left[ \begin{array}{cc} #1 \\ #2 \end{array} \right] 
}

% abbreviations
% Black Board Bold Face
\newcommand{\N}{{\mbox{\bf N}}}
\newcommand{\sN}{{\mbox{\bf \scriptsize N}}}
\newcommand{\Z}{{\mbox{\bf Z}}}
\newcommand{\sZ}{{\mbox{\bf \scriptsize Z}}}
\newcommand{\R}{{\mbox{\bf R}}}
\newcommand{\C}{{\mbox{\bf C}}}
%Comma, forall
\newcommand{\ko}{\: , \;}
\newcommand{\fa}{\forall \,}
%Overline, Underline
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\ul}{\underline}



%Calligraphic letters
\newcommand{\ca}{{\cal A}}
\newcommand{\cb}{{\cal B}}
\newcommand{\cc}{{\cal C}}
\newcommand{\cd}{{\cal D}}
\newcommand{\ce}{{\cal E}}
\newcommand{\cf}{{\cal F}}
\newcommand{\cg}{{\cal G}}
\newcommand{\ch}{{\cal H}}
\newcommand{\ci}{{\cal I}}
\newcommand{\ck}{{\cal K}}
\newcommand{\cl}{{\cal L}}
\newcommand{\cm}{{\cal M}}
\newcommand{\cn}{{\cal N}}
\newcommand{\cp}{{\cal P}}
\newcommand{\cq}{{\cal Q}}
\newcommand{\cs}{{\cal S}}
\newcommand{\ct}{{\cal T}}
\newcommand{\cu}{{\cal U}}
\newcommand{\cv}{{\cal V}}
\newcommand{\cw}{{\cal W}}
\newcommand{\cx}{{\cal X}}



%Arrows
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\la}{\leftarrow}
\newcommand{\arr}[1]{\stackrel{#1}{\rightarrow}}
\newcommand{\longarr}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\longlarr}[1]{\stackrel{#1}{\longleftarrow}}
\newcommand{\iso}{\stackrel{_\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\liso}{\stackrel{_\sim}{\leftarrow}}
\newcommand{\larr}[1]{\stackrel{#1}{\leftarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



\begin{document}
\begin{center}
{\sc Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot \hfill 2001--02\\
UFR de Math\'ematiques, Second Cycle \hfill 
MT 401 (B.~Keller)\\[2cm] }
{\large\bf DEVOIR} \\[0.5cm]
{\sl A rendre la semaine du 29 avril}
\end{center}
\vspace*{1.5cm}
\begin{list-of-exercises}

\item
Soit A un anneau, $n\geq 1$ un entier et $L=A^n$. 
A toute matrice carr\'ee
$B=(b_{ij})$ de taille $n\times n$ \`a coefficients
dans $B$, on associe l'application $A$-lin\'eaire
$f_B : L \ra L$ telle que si $y=f_B(x)$ alors
\[
y_i= \sum_{j=1}^n b_{ij} x_j\ko i=1,\ldots, n .
\]
Montrer qu'on a \'equivalence entre
\begin{itemize}
\item[i)] l'homomorphisme $f_B$ est inversible 
\item[ii)] l'\'el\'ement $det B$ est inversible dans $A$ 
\item[iii)] les vecteurs colonnes de $B$ forment une base de $L$. 
\end{itemize}
(Indication : Montrer d'abord l'\'equivalence entre i) et iii).
Montrer ensuite l'\'equivalence entre i) et ii).
On pourra se servir de l'identit\'e $B\tilde{B}=(\det B) I_n$,
o\`u $\tilde{B}$ d\'esigne la transpos\'ee de la 
matrice des cofacteurs de $B$ et $I_n$ la matrice identit\'e.)


Montrer que les matrices $B$ v\'erifiant ces conditions
forment un groupe pour la multiplication des matrices. 
On note $\GL(n,A)$ ce groupe.

\item 
\begin{sublist}
\item Exhiber toutes les bases de $\Z^2$ dont le premier vecteur
appartient au sous-module engendr\'e par
\[
\vec{1994}{1995}.
\]
\item Montrer directement que si $A$ est un anneau principal,
alors 
\[
\vec{a_1}{a_2}
\]
appartient \`a une base de $A^2$ ssi
$\pgcd(a_1,a_2)$ est inversible dans $A$. 
\end{sublist}


\item Soit $A$ un anneau principal, $n\geq 2$ un entier
et $L=A^n$. Notons $e_1, \ldots, e_n$ les vecteurs de la
base canonique de $L$. Soit $a\in A^n$.
\begin{sublist}
\item Montrer que si $a$ appartient \`a une base de
$L$, alors $a$ est une base du sous-module $Aa$.
D\'eduire que dans ce cas $\pgcd(a_1, \ldots, a_n)$ 
est inversible.
\item Montrer qu'il existe une matrice  $B\in \GL(n,A)$
telle que l'image $b=Ba$
v\'erifie  
\[
b_2=\pgcd(a_1, a_2)=\pgcd(b_1,b_2).
\]
Indication : Examiner d'abord le cas $n=2$. Dans le cas
g\'en\'eral, on cherche $B$ sous forme d'une matrice
diagonale par blocs
\[
\left[
\begin{array}{cc}
B' & 0 \\
0   & I
\end{array}
\right]
\]
o\`u $B'$ est une matrice $2\times 2$ et $I$ une matrice identit\'e.
\item Montrer par r\'ecurrence sur $n$ 
qu'il existe une matrice $B\in\GL(n,A)$
telle que l'image $b=Ba$ v\'erifie
\[
b_n=\pgcd(a_1,\ldots, a_n)=\pgcd(b_1, \ldots, b_n).
\]
\item Montrer qu'il existe une matrice $B\in\GL(n,A)$
telle que $Ba= c e_n$, o\`u $c=\pgcd(a_1, \ldots a_n)$.
\item D\'eduire que $a$ appartient \`a une base de $A^n$
ssi $\pgcd(a_1, \ldots, a_n)=1$.
\end{sublist}



\item Soit $A$ un anneau int\`egre, $M$ un $A$-module
et $M'$ un sous-module. On dit que $M'$ est un {\em facteur direct}
de $M$ s'il existe un sous-module $M''\subset M$ 
tel que $M'\oplus M''=M$.
\begin{sublist} 
\item Montrer que, si $A$ est un corps, tout sous-module
est un facteur direct.
\item Soit $i: M'\ra M$ l'inclusion. Montrer que $M'$ est
un facteur direct ssi il existe un homomorphisme de
$A$-modules $p: M\ra M'$ tel que $p i = id_{M'}$.
\item Montrer que $M'=2\Z$ n'est pas un facteur direct
de $M=\Z$ sur $A=\Z$. 
\item Montrer qu'un id\'eal $I$  est un facteur direct 
de $A$ ssi $I=0$ ou $I=A$.
\item Soit $n$ un entier $\geq 1$ et $M=A^n$. Montrer
que le sous-module engendr\'e par un \'el\'ement non-nul
$a\in M$ est un facteur direct ssi il
existe $x_1, \ldots, x_n\in A$ tels que
\[
a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_n x_n =1.
\]
\item D\'eterminer les facteurs directs parmi les sous-modules
suivants de $M=\Z^2$
\[
M_1= \Z\vec{7}{21} \ko
M_2= \Z\vec{1}{2}\; \cap \;\Z\vec{2}{1} \ko
M_3= \{ \vec{k}{l}\in\Z^2 \; | \; k\equiv 0 \;(2)\;\}\ko
\]
\[
M_4= \Z\vec{1}{3} + \Z\vec{3}{1}.
\]

\item Exhiber deux facteurs directs $M_1$ et $M_2$ de 
$\Z^2$ sur $A=\Z$ tels que $M_1+ M_2$ 
ne soit pas un facteur direct. Qu'en est-il pour
$M_1\cap M_2$ ?

\item Soit $L$ un $A$-module libre de type fini
et $L'\subset L$ un sous-module de m\^eme rang que $L$.
Montrer qu'on a $L=L'$ ssi $L'$ est un facteur direct de $L$.
Indication : localiser par rapport \`a $S=A\setminus \{0\}$.


\item Supposons $A$ principal. Soit $L$ un $A$-module libre
de type fini. Montrer qu'un sous-module $L'\subset L$ est
un facteur direct ssi il est pur, c'est-\`a-dire que $x\in L$
appartient \`a $L'$ s'il existe $a\in A$ tel que $ax\in L'$. 
(Indication : Si $p : L \ra L/L'$ est la surjection canonique,
montrer qu'il existe un homomorphisme $s$ tel que $ps=id_{L/L'}$.
Montrer ensuite que $L=s(L/L')\oplus L'$.)
D\'eduire qu'une intersection de deux facteurs directs
de $L$ est un facteur direct. 

\end{sublist}


\end{list-of-exercises}
\end{document}















