Université Paris 7 26 mai 2002 U.F.R. de Mathématiques B. Keller

Maîtrise de Mathématiques : MT401S Algèbre

Examen de Juin 2002

Question de cours

Soient A un anneau principal et M un A-module de type fini.

1) Qu’est-ce que le sous-module de torsion M_{tors} de M ? Montrer que M/M_{tors} est sans torsion.

2) Que peut-on dire d’un A-module de type fini sans torsion ?

3) Montrer que M_{tors} est un facteur direct de M qui admet un supplémentaire libre. Montrer par un exemple que ce supplémentaire n’est pas unique en général.

4) Soit L ⊃ K une extension de corps finie. Qu’est-ce que le degré de L sur K? Qu’est-ce que le groupe de Galois Gal(L|K) ? Quand est-ce qu’on dit que l’extension est galoisienne ?

5) Supposons que L ⊃ K est galoisienne de groupe de Galois cyclique d’ordre 10. Quel est le nombre d’extensions intermédiaires L ⊃ E ⊃ K?

I. Décompositions

Soit M le ℤ-module ℤ/24ℤ ⊕ ℤ/36ℤ ⊕ ℤ/135ℤ.

1) Quelle est la composante 3-primaire M(3) ⊂ M ?

2) Quelle est la décomposition de M en ℤ-modules indécomposables ?

3) Quelle est la décomposition de Smith de M et quels sont ses facteurs invariants ?

II. Cayley-Hamilton

Soient A un anneau commutatif, n ≥ 1 et C une matrice n × n à coefficients dans A. Rappelons qu’on a

ĈC = CĈ = det(C)I_{n}

où (−1)^{i+j}Ĉ_{ij} est le déterminant de la sous-matrice de C obtenue en rayant la j-ième ligne et la i-ième colonne. Soit M le conoyau du morphisme f_{C} : A^{n} → A^{n}, x ↦ Cx.

1) Montrer qu’on a (det C)m = 0 pour tout m ∈ M.

2) Soient k un corps et B une matrice n × n à coefficients dans k. Soient C la matrice X I_{n} − B (à coefficients dans k[X]) et χ_{B}(X) = det(C) le polynôme caractéristique de B. Soit M_{B} le k[X]-module qui correspond à B. Montrer que χ_{B}(X) m = 0 pour tout m ∈ M_{B}.

3) En déduire que χ_{B}(B) = 0 (Cayley-Hamilton).

III. Idéaux maximaux de ℤ[X]

On se propose de déterminer les idéaux maximaux de l’anneau ℤ[X].

1) Montrer qu’aucun idéal principal de ℤ[X] n’est maximal.

2) Soit p un nombre premier et P ∈ ℤ[X] un polynôme dont l’image dans 𝔽_{p}[X] est irréductible. Montrer que l’idéal (p, P) est maximal dans ℤ[X]. Nous allons montrer dans la suite qu’on obtient ainsi tous les idéaux maximaux.

3) Soit I un idéal maximal de ℤ[X]. Montrer que I ∩ ℤ est un idéal premier de ℤ.

4) Supposons que I ∩ ℤ est un idéal non nul de ℤ. Montrer que I = (p, P) pour un nombre premier p et un polynôme P ∈ ℤ[X] dont l’image dans 𝔽_{p}[X] est irréductible.

Dans la suite, nous supposons que I ∩ ℤ est nul. Nous allons aboutir à une contradiction.

5) Montrer que le morphisme canonique ℤ → ℤ[X] se prolonge en un morphisme ℚ → ℤ[X]/I et que ce dernier se prolonge en un morphisme surjectif ϕ : ℚ[X] → ℤ[X]/I.

6) Montrer que ker(ϕ) est engendré par un polynôme irréductible Q(X) ∈ ℚ[X].

7) Montrer que I est engendré par le polynôme primitif P ∈ ℤ[X] associé à Q. Conclure.

IV. Modules semisimples sur un anneau principal

Soit A un anneau principal. Un A-module M est semi-simple si pour tout sous-module M′ ⊂ M, il existe un sous-module M′′ ⊂ M tel que M = M′ ⊕ M′′.

1) Soit k un corps. Montrer que tout k-module de type fini est semi-simple.

2) Soient p un irréductible de A et m ∈ ℕ. Montrer que (A/(p))^{m} est semi-simple.

3) Soient p un irréductible de A et n ∈ ℕ. Montrer que le module A/(p^{m}) est semi-simple si et seulement si m = 1.

4) Soit M un module semi-simple. Montrer que tout sous-module N ⊂ M est semi-simple.

5) Soient p un irréductible et M un A-module p-primaire de type fini. Montrer que M est semi-simple si et seulement si M est isomorphe à (A/(p))^{n} pour un n ∈ ℕ.

6) Soit M un A-module de torsion et de type fini. Montrer que M est semi-simple si et seulement si pour tout irréductible p de A, la composante p-primaire M(p) est semi-simple. Déduire que M est semi-simple si et seulement si M est isomorphe à une somme directe finie de modules de la forme A/(p), où p est irréductible.

7) Soient n ≥ 1 et B une matrice carrée n×n à coefficients réels. Soit f_{B} : ℝ^{n} → ℝ^{n} l’application x ↦ Bx. Montrer qu’on a équivalence entre

(i) Tout sous-espace U ⊂ ℝ^{n} stable par f_{B} admet un supplémentaire stable par f_{B}.

(ii) B est semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont de la forme

[a] , a ∈ ℝ, ou [ \begin{matrix}ρ cos θ & −ρ sin θ \\ ρ sin θ & ρ cos θ \end{matrix} ] , ρ > 0 , θ ∈ ℝ.