Université de Paris 7 Denis-Diderot

Maitrise de Mathématiques - Algèbre MT 401 EXAMEN DU 2 SEPTEMBRE 2002 Durée : 3 heures

Les exercises sont indépendants. On n’attend pas que l’ensemble des questions soit traité; le total des points du barême

dépassera 20/20. Il sera tenu grand compte de la qualité de la rédaction, de la précision des références éventuelles aux résultats du cours et de la lisibilité de la copie.

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Exercice I

Déterminer la décomposition en groupes abéliens indécomposables et les facteurs invariants de

M = Z/18Z ⊕ Z/48Z ⊕ Z/24Z ⊕ Z/4Z.

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Exercice II

Soit P (X) = X^{5} + 30X^{2} − 6X + 18. On considère les anneaux quotients

A = Q[X]/Q[X]P(X), B = Q[X]/Q[X]P(X^{2}), C = Q[X]/Q[X]P(X + 1).

1.a Est-ce que A est un corps ? Même question pour B et pour C.

1.b Est-ce que les anneaux A, B sont isomorphes ? Même question pour B, C et pour A, C.

On considère maintenant les anneaux quotients analogues à A, B, C obtenus en remplacant Q par Z

A′ = Z[X]/Z[X]P(X), B′ = Z[X]/Z[X]P(X^{2}), C′ = Z[X]/Z[X]P(X + 1).

1.a’ Même question que 1.a pour A′, B′, C′ au lieu de A, B, C.

1.b’ Même question que 1.b pour A′, B′, C′ au lieu de A, B, C.

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Exercice III

Le but de l’exercice est de décrire les corps contenus dans le 28-ième corps cyclotomique.

1.a Quel est le nombre de sous-groupes du groupe Z/6Z ? 1.b Faire la liste de tous les sous-groupes H du groupe Z/2Z × Z/6Z. 1.c Pour chaque sous-groupe H de Z/2Z×Z/6Z, déterminer la structure du groupe

quotient G/H.

2 Soit F = Q(e^{2iπ/7}) le 7-ième corps cyclotomique. 2.a Quel est le groupe de Galois Gal(F/Q) ? 2.b Trouver un nombre réel non rationnel α dans F, et un élément β de F tel que

Q(β) soit une extension quadratique de Q.

2.c Montrer que F a 4 sous-corps distincts: Q, Q(α), Q(β), F, et que Q(α) est une extension galoisienne cubique de Q (de degré 3).

3 Soit L = Q(e^{2iπ/28}) le 28-ième corps cyclotomique. 3.a Quel est le groupe de Galois Gal(L/Q) ? 3.b Trouver trois éléments x_{1}, x_{2}, x_{3} de L tels que les corps Q(x_{1}), Q(x_{2}), Q(x_{3})

soient distincts deux-à-deux, et quadratiques sur Q.

3.c Décrire tous les corps L′ contenus dans L, ainsi que les groupes de Galois Gal(L/L′) et Gal(L′/Q).

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Exercice IV

Soit k un corps. Pour deux k[X]-modules L et M, on note Hom(L, M) l’ensemble des applications k[X]-linéaires f : L → M.

1.a Définir une structure d’espace vectoriel sur Hom(L, M). Supposons que k est le corps des nombres complexes. Rappeler la forme des k[X]-modules indécomposables de type fini. Déterminer la dimension de Hom(L, M) lorsque L et M sont indécomposables de type fini.

1.b Montrer que si L et M sont de torsion et de type fini, l’espace Hom(L, M) est de dimension finie. Pour toute application k[X]-linéaire g : M_{1} → M_{2}, définir une application linéaire naturelle

g_{∗} : Hom(L, M_{1}) → Hom(L, M_{2}).

Montrer que si M = M_{1} ⊕ M_{2}, on a un isomorphisme d’espaces vectoriels

Hom(L, M_{1} ⊕ M_{2}) → Hom(L, M_{1}) ⊕ Hom(L, M_{2}).

Soit une suite exacte de k[X]-modules

0 → L →^{i} M →^{p} N → 0,

c’est-à-dire que i est injectif, p est surjectif et que le noyau de p est l’image de i. 2.a Montrer que la suite

0 → Hom(N, L) ⟶^{i_{∗}} Hom(N, M) ⟶^{p_{∗}} Hom(N, N)

est exacte, c’est-à-dire que i_{∗} est injectif et que son image est le noyau de p_{∗}.

Supposons que L, M et N sont de torsion et de type fini et qu’il existe un isomorphisme ϕ : L⊕N → M. On se propose de montrer qu’on peut choisir ϕ tel que p∘ϕ soit la projection canonique et ϕ^{−1} ∘ i l’injection canonique (c’est-à-dire que la suite est scindable).

2.b Montrer que l’application p_{∗} est surjective. Indication : on pourra montrer que son image a même dimension que Hom(N, N). Déduire que la suite est scindable.

3. Soit une matrice trigonale par blocs

T = [ \begin{matrix}A & B \\ 0 & C \end{matrix} ]

où A est carrée p × p et B est carrée q × q. Montrer, à l’aide de 2, que les conditions suivantes sont équivalentes

(i) Il existe une matrice inversible P telle que

P T P^{−1} = [ \begin{matrix}A & 0 \\ 0 & C \end{matrix} ] .

(ii) Il existe une matrice inversible

Q = [ \begin{matrix}I_{p} & X \\ 0 & I_{q} \end{matrix} ]

telle que

QT Q^{−1} = [ \begin{matrix}A & 0 \\ 0 & C \end{matrix} ] .

(iii) Il existe une matrice X de format p × q telle que B = AX − XC.