Université Paris 7 23 mars 2002 U.F.R. de Mathématiques B. Keller

Maîtrise de Mathématiques : MT401S Algèbre

Examen partiel

Question de cours

1) Qu’est-ce qu’un anneau factoriel ?

2) Soient A un anneau factoriel et F son corps des fractions. Qu’est-ce que le contenu d’un polynôme P à coefficients dans F ?

3) Soient A un anneau factoriel et F son corps des fractions. Soit P ∈ A[X] un polynôme primitif tel que P = QR pour deux polynômes Q, R à coefficients dans F de degré ≥ 1. Montrer que P est réductible dans A[X].

Exercice I

Soit α une racine complexe du polynôme X^{4} + 1. Soit B le sous-anneau de ℂ engendré par α/3.

1) Soit f : ℤ[X] → ℂ le morphisme d’anneaux tel que f(X) = α/3. Montrer que B est l’image de f.

2) Quel est la décomposition en facteurs irréductibles du polynôme P = 81X^{4} + 1 dans ℝ[X] ? Montrer que ce polynôme est irréductible dans ℚ[X]. En déduire qu’un polynôme R ∈ ℚ[X] s’annule en α/3 si et seulement si il est multiple de P dans ℚ[X].

3) Montrer que f induit un isomorphisme de ℤ[X]/(81X^{4} + 1) sur B.

4) Dans ce numéro et les suivants, on note p un nombre premier congru à 1 modulo 8. Montrer que l’équation x^{4} = −1 admet quatre solutions distinctes deux à deux dans 𝔽_{p}.

5) Montrer que B/(p) est isomorphe à un produit de quatre copies de 𝔽_{p}.

6) Soit u ∈ B et n ≥ 1 un entier. Montrer que si u^{n} est divisible par p dans B, alors u est divisible par p.

Exercice II

1) Soit A un anneau intègre et F son corps des fractions. Soit b ∈ F tel que b vérifie une équation

unitaire

b^{n} + a_{n−1}b^{n−1} + … + a_{0} = 0

pour des a_{0}, …, a_{n−1} ∈ A et un n ≥ 1. Montrer que si A est factoriel, b appartient à A.

2) Soit k un corps et A = k[X, Y]/(Y^{2} − X^{3}). Montrer que A est intègre.

3) Notons x et y les images de X et Y dans A. Montrer qu’il existe un morphisme de k-algèbres f : A → k[T] tel que f(x) = T^{2} et f(y) = T^{3}.

4) Montrer que tout élément de A s’écrit R_{1}(x)y + R_{0}(x) pour des polynômes R_{1}, R_{0} ∈ k[X] uniques. Déduire que les monômes x^{r}y^{s}, r ≥ 0, s = 0, 1, forment une base du k-espace vectoriel A.

5) Montrer que f est injectif.

6) Déterminer l’image de f.

7) Montrer que le corps des fractions de A est isomorphe à k(T).

8) Montrer que A n’est pas factoriel. Indication : utiliser 1).