Université Paris 7 26 février 2002 U.F.R. de Mathématiques B. Keller

Maîtrise de Mathématiques : Algèbre

TEST N^{o} 1

1) Soient A un anneau (commutatif) et B l’anneau ℤ/38ℤ.

a) Qu’est-ce qu’un idéal maximal de A ? Quels sont les idéaux maximaux de l’anneau B ?

b) Qu’est-ce qu’un élément inversible de A? Quels sont les éléments inversibles de l’anneau B ?

c) Montrer qu’un élément de A est non inversible si et seulement si il est contenu dans un idéal maximal de A.

d) La classe de 4 engendre-t-elle un idéal maximal de l’anneau B ?

2) Soit j une racine complexe du polynôme X^{2} + X + 1 et A le sous-anneau de ℂ engendré par j.

a) Montrer que A est formé des nombres n + mj où n, m sont des entiers.

b) Montrer que A est isomorphe à l’anneau B = ℤ[X]/(X^{2} + X + 1).

c) Soit p un nombre premier et 𝔽_{p} = ℤ/pℤ. Montrer que A/(p) est isomorphe à 𝔽_{p}[X]/(X^{2} + X + 1).

d) Montrer que l’anneau A/(p) est un corps si p = 2.

e) Montrer que l’anneau A/(p) est isomorphe à 𝔽_{p} × 𝔽_{p} si p = 7 et qu’il est isomorphe à 𝔽_{p}[T]/(T^{2}) si p = 3.