Université Paris 7 09 avril 2002 U.F.R. de Mathématiques B. Keller

Maîtrise de Mathématiques : Algèbre

TEST N^{o} 2

1) Soient A un anneau factoriel et n un entier ≥ 1. Soit B = A[X_{1}, …, X_{n}]^{𝔖_{n}} l’anneau des polynômes symétriques en X_{1}, …, X_{n}. Montrer que B est encore factoriel.

2) Soient n un entier au moins égal à trois et s_{1}, s_{2}, …, s_{n} les polynômes symétriques élémentaires en les X_{1}, …, X_{n}. Exprimer les polynômes symétriques suivants comme des polynômes à coefficients entiers en les s_{1}, …, s_{n}

∑_{i} X_{i}^{2} , ∑_{i} X_{i}^{3} , ∑_{i≠j} X_{i}^{2}X_{j}^{3}.

3) Soient A un anneau commutatif et M un A-module. Quand est-ce qu’on dit que M est de type fini ? Montrer que si, dans une suite exacte

L → M → N → 0 ,

les modules L et N sont de type fini, il en est de même de M.

4) Soit n un entier ≥ 2. Soient a ∈ ℤ et M le groupe abélien quotient de ℤ^{n} par le sous-groupe engendré par (a, …, a). Montrer que A est isomorphe à ℤ^{n−1} ⊕ ℤ/aℤ.