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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}


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%initialize point
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%Print point and step
\newcommand{\np}{\stepcounter{point}
\mbox{\quad\quad\alph{point})\,\,\,}\displaystyle}


%liste d'exercices
\newcounter{exo}
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\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
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% abbreviations
% Black Board Bold Face
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\newcommand{\sN}{{\mbox{\bf \scriptsize N}}}
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\newcommand{\sZ}{{\mbox{\bf \scriptsize Z}}}
\newcommand{\R}{{\mbox{\bf R}}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
%Comma, forall
\newcommand{\ko}{\: , \;}
\newcommand{\fa}{\forall \,}
%Overline, Underline
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\ul}{\underline}

%Greek letters
\newcommand{\eps}{\varepsilon}


%Calligraphic letters
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\newcommand{\cx}{{\cal X}}



%Arrows
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\newcommand{\longarr}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\longlarr}[1]{\stackrel{#1}{\longleftarrow}}
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\newcommand{\liso}{\stackrel{_\sim}{\leftarrow}}
\newcommand{\larr}[1]{\stackrel{#1}{\leftarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
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%French terminology
\newcommand{\tg}{\mbox{tg}\,}
\newcommand{\arctg}{\mbox{arctg}\,}


%\renewcommand{\arraystretch}{2}

\renewcommand{\vec}[1]{\stackrel{\longrightarrow}{#1}}


\begin{document}
\begin{center}
Universit\'e Paris 7  \hfill 09 avril 2002\\
U.F.R. de Math\'ematiques\hfill \mbox{B.~Keller }\\[0.5cm]
{\bf Ma\^{\i}trise de Math\'ematiques : Alg\`ebre \\[0.5cm]
              TEST N$^o$ 2}
\end{center}
\begin{list-of-exercises}
\item Soient $A$ un anneau factoriel et $n$ un entier $\geq 1$. 
Soit $B=A[X_1, \ldots, X_n]^{\mathfrak{S}_n}$ l'anneau des polyn\^omes sym\'etriques
en $X_1, \ldots, X_n$. Montrer que $B$ est encore factoriel.

\item Soient $n$ un entier au moins \'egal \`a trois et
$s_1, s_2, \ldots , s_n$ 
les polyn\^omes sym\'etriques
\'el\'ementaires en les $X_1, \ldots, X_n$.
Exprimer les polyn\^omes sym\'etriques suivants comme
des polyn\^omes \`a coefficients entiers en les 
$s_1, \ldots, s_n$
\[
\sum_i X_i^2 \ko  \sum_i X_i^3 \ko \sum_{i\neq j} X_i^2 X_j^3.
\]

\item Soient $A$ un anneau commutatif et $M$ un $A$-module.
Quand est-ce qu'on dit que $M$ est de type fini ? Montrer que
si, dans une suite exacte
\[
L \ra M \ra N \ra 0 \ko
\]
les modules $L$ et $N$ sont de type fini, il en est de m\^eme de $M$.

\item Soit $n$ un entier $\geq 2$. Soient $a\in \Z$ et $M$ le 
groupe ab\'elien quotient de $\Z^n$ par le sous-groupe engendr\'e par
$(a,\ldots, a)$. Montrer que $A$ est isomorphe \`a 
$\Z^{n-1}\oplus \Z/a\Z$. 


\end{list-of-exercises}

\end{document}






