C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. 1–??, 2001 - PXMA????.TEX - Géométrie algébrique/Algebraic geometry

Construction inconditionnelle de groupes de Galois motiviques

Yves André , Bruno Kahn ^{a},

a Institut de Mathématiques de Jussieu 175–179 rue du Chevaleret 75013 Paris France Courriel : andre@math.jussieu.fr, kahn@math.jussieu.fr

(Reçu le jour mois année, accepté après révision le jour mois année)

Résumé. On associe à toute cohomologie de Weil “classique” sur un corps un groupe de Galois motivique, défini à un automorphisme intérieur près. On traite aussi de la spécialisation des motifs numériques, et du comportement des groupes de Galois motiviques par spécialisation. \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

An unconditional construction of motivic Galois groups

Abstract. We attach to any “classical” Weil cohomology theory over a field a motivic Galois group, defined up to an inner automorphism. We also study the specialisation of numerical motives and the behaviour of motivic Galois group by specialisation. \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Abridged English version

Let k be a field, H a Weil cohomology over k and Mot_{H} the category of (pure) Q-linear motives over k modulo H-equivalence. We denote by Mot_{H}^{∗} the thick subcategory of Mot_{H} generated by those smooth projective varieties whose Künneth projectors are algebraic. Let Mot_{num} be the category of motives modulo numerical equivalence.

Theorem 1. – Suppose H classical (ℓ-adic, Betti, de Rham, or crystalline in characteristic p). Then a) For any M ∈ Mot_{H}, End(M) is an extension of a semi-simple Q-algebra by a nilpotent ideal. The full image Mot_{num}^{∗} of Mot_{H}^{∗} in Mot_{num} does not depend on the choice of H.

b) The projection functor π : Mot_{H}^{∗} → Mot_{num}^{∗} has monoidal sections, and any two such sections are monoidally conjugate.

Yves André et Bruno Kahn

By Jannsen [7], Mot_{num}, hence Mot_{num}^{∗}, is abelian semi-simple. Using the Künneth projectors, modify the commutativity constraint appropriately: then Mot_{num}^{∗} becomes Tannakian, and any monoidal section s of π defines a fibre functor H ∘ s : Mot_{num}^{∗} → V ec_{L}, where L is the field of coefficients of H. The corresponding Tannaka group G_{H} only depends on the choice of s up to inner automorphism: it deserves the name of motivic Galois group associated to H. It is a pro-reductive group over L, and the grading of H defines a central cocharacter G_{m} → G_{H}.

Note présentée par Christophe Soulé S0764-4442(00)0????-?/FLA \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 1

Theorem 2. – Let K be a complete discrete valuation field with residue field k. Choose a pair of compatible classical Weil cohomologies (H_{K}, H_{k}) (ℓ-adic with ℓ ≠ car k, or H_{K} = de Rham cohomology, H_{k} = crystalline cohomology in unequal characteristic). Let Mot_{H_{K},b}^{∗} be the full subcategory of Mot_{H_{K}}^{∗} consisting of motives with good reduction, Mot_{num,b}^{∗} its full image in Mot_{num}^{∗}, and G_{H_{K}}^{b} the quotient of G_{H_{K}} corresponding to Mot_{num,b}^{∗}. Then there exists a “cospecialisation” homomorphism G_{H_{k}} → G_{H_{K}}^{b}, compatible with the specialisation of correspondences and well-defined up to inner automorphism.

Proofs rely on the categorical results of [3].

1. Soient K un corps commutatif et 𝒜 une catégorie K-linéaire monoïdale symétrique (une ⊗-catégorie ACU K-linéaire dans la terminologie de [10]) et rigide. Tout endomorphisme d’un objet de 𝒜 possède alors une trace à valeurs dans End(1). On suppose de plus que End(1) = K. Pour deux objets A, B ∈ 𝒜, définissons

𝒩(A, B) = {f ∈ 𝒜(A, B) | ∀g ∈ 𝒜(B, A), tr(gf) = 0}.

La famille 𝒩 des 𝒩(A, B) est un idéal monoïdal de 𝒜: elle est stable par addition, multiplication scalaire, composition et produit à gauche et à droite [3, lemme 6.4.1].

On dispose aussi d’un autre idéal de 𝒜, le radical ℛ :

ℛ(A, B) = {f ∈ 𝒜(A, B) | ∀g ∈ 𝒜(B, A), 1_{A} − gf est inversible}.

Cet idéal n’est pas monoïdal en général (il l’est si et seulement si il coïncide avec 𝒩, cf. [3, 6.4.5]). Enfin, on dit que 𝒜 est semi-primaire si, pour tout A ∈ 𝒜, ℛ(A, A) est un idéal nilpotent de l’anneau 𝒜(A, A) et l’anneau quotient 𝒜(A, A)/ℛ(A, A) est une K-algèbre semi-simple.

On suppose désormais K de caractéristique nulle. Soit L une K-algèbre semi-simple commutative.

Théorème 1. – Supposons qu’il existe un foncteur K-linéaire monoïdal symétrique fidèle H de 𝒜 vers la catégorie 𝒱 = Modf_{L}^{±} (resp. 𝒱 = Modf_{L}) des super-modules^{1} (resp. modules) de type fini sur L. Alors ℛ ⊂ 𝒩 (resp. ℛ = 𝒩 et 𝒜 est semi-primaire), et 𝒜/𝒩 est semi-simple (donc son enveloppe pseudo-abélienne (𝒜/𝒩)^{♮} est abélienne semi-simple).

Cela résulte de [3, 6.7.3]. Pour passer du cas Z/2-gradué au cas non gradué, on dispose de :

Proposition 2. – Dans cette situation (avec 𝒱 = Modf_{L}^{±}), considérons, pour tout A ∈ 𝒜, la projection p_{A}^{+} ∈ End(H(A)) sur le facteur H^{+}(A). Soit 𝒜^{±} la sous-catégorie pleine de 𝒜 formée des objets A tels que p_{A}^{+} = H(π_{A}^{+}) pour un π_{A}^{+} ∈ 𝒜(A, A). On note ℛ^{±}, 𝒩^{±} la restriction de ℛ, 𝒩 à 𝒜^{±}. Alors 𝒜^{±} est une sous-catégorie monoïdale rigide de 𝒜, stable par facteurs directs, et il existe sur 𝒜^{±} une contrainte de commutativité telle que le foncteur monoïdal composé

𝒜^{±} → 𝒜 →^{H} Modf_{L}^{±} → Modf_{L}

où le dernier foncteur est le foncteur d’oubli, soit symétrique. Donc [par le théorème précédent] 𝒜^{±} est semi-primaire, ℛ^{±} = 𝒩^{±}, 𝒜^{±}/𝒩^{±} est semi-simple (et abélienne si et seulement si 𝒜 est pseudo-abélienne), et la projection 𝒜^{±} → 𝒜^{±}/𝒩^{±} est un foncteur conservatif.

Voir [3, 6.7.9 et 1.4.2.b].

Groupes de Galois motiviques

Application. Soient k un corps commutatif et H une cohomologie de Weil sur k à coefficients dans une Q-algèbre semi-simple L: formule de Künneth, dualité de Poincaré, application cycle. Soit 𝒜 = Mot_{H} = Mot_{H}(k) la catégorie des motifs purs sur k à coefficients rationnels modulo l’équivalence homologique définie par H, munie de la contrainte de commutativité “naïve” donnée par l’échange des facteurs ; H définit donc un foncteur Q-linéaire monoïdal symétrique fidèle Mot_{H} → Modf_{L}^{±}. Si l’on munit Mot_{H}^{±} de sa contrainte de commutativité modifiée (proposition 2), on a de plus un foncteur Q-linéaire monoïdal symétrique fidèle H^{∗} : Mot_{H}^{±} → Modf_{L}^{∗} vers la catégorie monoïdale symétrique des L-modules de type fini Z-gradués (contrainte de commutativité sans signe).

1Considérée comme catégorie monoïdale symétrique au moyen de la règle de Koszul.

L’idéal 𝒩 s’identifie à l’idéal des correspondances numériquement équivalentes à zéro ; (Mot_{H}/𝒩)^{♮} n’est autre que la catégorie Mot_{num} des motifs modulo l’équivalence numérique. Les résultats précédents (avec K = Q) entraînent alors :

Corollaire 3. – (i) (Jannsen [7]) Mot_{num} est abélienne semi-simple. (ii) Mot_{H}^{±} est semi-primaire et pseudo-abélienne, son image Mot_{num}^{±} dans Mot_{num} est abélienne semisimple, ℛ^{±} = 𝒩^{±} et le foncteur monoïdal Mot_{H}^{±} → Mot_{num}^{±} est conservatif.

Remarque 1. – On peut aussi considérer la sous-catégorie pleine (monoïdale symétrique rigide) Mot_{H}^{∗} ⊂ Mot_{H}^{±} formée des objets tels que les projecteurs de Künneth sur chaque H^{i}(X) soient algébriques, i.e. proviennent d’un endomorphisme π_{X}^{i} ∈ Mot_{H}(X, X). C’est encore une catégorie semi-primaire, et son image Mot_{num}^{∗} dans Mot_{num}^{±} est abélienne semi-simple. En outre les π^{i} définissent une Z-graduation sur le foncteur identique de Mot_{num}^{∗}, à laquelle H_{|Mot_{H}^{∗}}^{∗} est compatible.

Définition 4. – Une cohomologie de Weil H sur k est classique si

– car k = 0 et H est la cohomologie de Betti relative à un plongement de k dans C, la cohomologie de de Rham ou la cohomologie étale ℓ-adique relative à un nombre premier ℓ;

– car k ≠ 0, ℓ et H est la cohomologie étale ℓ-adique ou la cohomologie cristalline.

Remarques 2. – a) Si k est algébrique sur un corps fini et si H est classique, alors Mot_{H}^{∗} = Mot_{H}^{±} = Mot_{H} (à la contrainte de commutativité près) puisqu’alors tous les projecteurs de Künneth sont algébriques [8].

b) Si k est de caractéristique 0, les catégories Mot_{H}, Mot_{H}^{±} et Mot_{H}^{∗} ne dépendent pas du choix de la cohomologie classique H : cela résulte des théorèmes de comparaison (réduction au cas où k est de type fini).

Proposition 5. – Pour H classique, Mot_{H} elle-même est semi-primaire. En particulier, Mot_{num} = Mot_{H}/𝒩 (enveloppe pseudo-abélienne superflue). Démonstration. D’après [3, 4.1.7 et 4.1.8], il suffit de voir que les polynômes caractéristiques des H^{i}(a) sont à coefficients dans Q. Si car k = 0, cela résulte des théorèmes de comparaison. Sinon, on se réduit par spécialisation au cas d’un corps fini (dans le cas cristallin, voir [6]), et cela résulte alors de [8]. □

Proposition 6. – À isomorphisme canonique près, les catégories monoïdales symétriques Mot_{num}^{±} et Mot_{num}^{∗} ne dépendent pas de la cohomologie classique choisie. Démonstration. Si car k = 0, cela résulte de la remarque 2 b). En caractéristique p, traitons, pour fixer les idées, le cas de Mot_{num}^{±} et de deux cohomologies ℓ et ℓ′-adiques. Il s’agit de voir que si p_{X,ℓ}^{+} := p_{X,H_{ℓ}}^{+} ∈ Mot_{ℓ}(X, X) := Mot_{H_{ℓ}}(X, X), alors p_{X,ℓ′}^{+} ∈ Mot_{ℓ′}(X, X).

Si k est un corps fini, cela résulte de [8] : p_{X}^{+} est donnée par un polynôme en Frobenius, le même pour ℓ et ℓ′. En général, notons H_{ℓℓ′} la cohomologie de Weil H_{ℓ} × H_{ℓ′} (à valeurs dans Modf_{Q_{ℓ}×Q_{ℓ′}}) et Mot_{ℓℓ′} la catégorie associée : d’après la proposition 5 appliquée avec L = Q_{ℓ} × Q_{ℓ′}, elle est semi-primaire.

On peut supposer que k est de type fini sur F_{q} : on raisonne par récurrence sur le degré de transcendance de k sur F_{q}. Écrivons k comme corps de fonctions d’une variable sur un sous-corps k_{0}. On peut remplacer k_{0} par sa clôture séparable. On choisit une place de k/k_{0} où X a bonne réduction X_{0}. On a alors un isomorphisme canonique H_{ℓℓ′}(X × X) ≅ H_{ℓℓ′}(X_{0} × X_{0}) compatible aux classes de cycles, cf. [4, 20.3]. Par récurrence, p_{X_{0},ℓℓ′}^{+} est un endomorphisme de Mot_{ℓℓ′}(k_{0}) ; c’est un idempotent central, d’image dans Mot_{num}(k_{0}) notée p̄_{X_{0},ℓℓ′}^{+}.

Lemme 7. – Le noyau de Mot_{ℓℓ′}(k)(X, X) → Mot_{ℓ}(k)(X, X) est un idéal nilpotent.

En effet, ce noyau s’envoie injectivement dans 𝒩_{ℓ′}(k)(X, X), et même dans 𝒩_{ℓ′}(k_{0})(X_{0}, X_{0}) par spécialisation. Par récurrence, X_{0} ∈ Mot_{ℓ′}^{±}(k_{0}). D’après le corollaire 3 (ii), 𝒩_{ℓ′}(k_{0})(X_{0}, X_{0}) est donc nilpotent.

Ce lemme entraîne que l’idempotent p_{X,ℓ}^{+} ∈ Mot_{ℓ}(X, X) se relève dans Mot_{ℓℓ′}(X, X) en un idempotent π_{X,ℓℓ′}^{+} ∈ Mot_{ℓℓ′}(X, X). L’image π′_{0} de ce dernier dans Mot_{ℓℓ′}(X_{0}, X_{0}) est un idempotent, d’image dans Mot_{num}(X_{0}, X_{0}) égale à p̄_{X_{0},ℓℓ′}^{+}. Enfin, un raisonnement classique, utilisant la centralité de p_{X_{0},ℓℓ′}^{+} et la semi-primarité de Mot_{ℓℓ′}^{±}(k_{0}), montre que π′_{0} = p_{X_{0},ℓℓ′}^{+}. □

2. Groupes de Galois motiviques. Revenons à la situation générale d’une catégorie K-linéaire monoïdale symétrique rigide 𝒜, avec End(1) = K (de caractéristique nulle). D’après [3, 9.2.1, 9.7.3, 11.3.5] :

Théorème 8. – a) Supposons en outre 𝒜 semi-primaire et ℛ = 𝒩. Alors le foncteur monoïdal symétrique canonique π : 𝒜 → 𝒜/𝒩 admet une section monoïdale symétrique s, et deux telles sections sont conjuguées par un isomorphisme monoïdal.

b) On peut en outre exiger que s ∘ π soit l’identité sur une quelconque sous-catégorie monoïdale (non pleine) semi-simple 𝒮 ⊂ 𝒜, dès lors que tout objet de 𝒜 est facteur direct d’un objet de 𝒮.

En appliquant ceci à 𝒜 = Mot_{H}^{±}, et en posant ω_{H}^{∗} = H^{∗} ∘ s, on obtient par la théorie tannakienne :

Corollaire 9. – À toute cohomologie classique H (à coefficients dans L), on peut associer un foncteur Q-linéaire monoïdal symétrique exact fidèle ω_{H}^{∗} : Mot_{num}^{±} → V ec_{L}^{∗}, bien défini à isomorphisme monoïdal près, et appelé H-réalisation de Mot_{num}^{±}; d’où un foncteur fibre ω_{H} par oubli de la graduation. En particulier, le schéma en groupes d’automorphismes Aut(ω_{H}) est un L-groupe affine pro-réductif, bien défini à automorphisme intérieur près, et muni d’un homomorphisme G_{m} → Aut(ω_{H}).

Il mérite le nom de groupe de Galois motivique (attaché à Mot_{num}^{±}(K) et à H).

Remarques 3. – a) Pour tout M ∈ Mot_{num}^{±}, l’image de Aut(ω_{H}) dans GL(H(M)) se décrit en termes de ses invariants tensoriels ; c’est le groupe qui fixe les images par H des endomorphismes de M^{⊗n} qui sont dans l’image de la section s sur Mot_{num}^{±}(M^{⊗n}, M^{⊗n}), n ⩾ 0.

b) Le quotient de Aut(ω_{H}) correspondant à la sous-catégorie tannakienne Mot_{num}^{∗} de Mot_{num}^{±} n’est autre que le plus grand quotient de Aut(ω_{H}) dans lequel l’image de G_{m} est centrale (cf. [10, ch. IV, cor. 1.2.2.1 et 1.2.2.2]). Ce cocaractère central décrit la “graduation par le poids” de Mot_{num}^{∗}.

c) On peut d’autre part introduire pour tout schéma projectif X (non nécessairement connexe) le sousgroupe algébrique G_{X} de ΠGL(H^{i}(X)) qui fixe Mot_{H}(M, N) ⊂ Hom_{L}(H(M), H(N)) pour tous M, N dans la sous-catégorie tannakienne ⟨X⟩ de Mot_{H} engendrée par le motif de X. Si k est de caractéristique nulle, on peut montrer que ce groupe n’est autre que le groupe des “cycles motivés modelés sur ⟨X⟩” au sens de [2] ; d’après loc. cit., c’est donc un groupe réductif. Si π_{X}^{+} existe, ce groupe est contenu dans le groupe réductif image de Aut(ω_{H}) dans GL(H(X)), et ils coïncident si et seulement si l’équivalence numérique est l’équivalence homologique sur les puissances de X.

Proposition 10. – a) Le foncteur ^{♠}H^{∗}(X) = ω_{H}^{∗}(h_{num}(X)), défini sur les K-schémas projectifs lisses X pour lesquels π_{X}^{+} existe, possède les propriétés (1) à (4) des six propriétés attribuées à une “cohomologie de Weil” dans [9, §3]. De plus, l’équivalence ^{♠}H-homologique n’est autre que l’équivalence numérique.

b) Soit L l’opérateur de Lefschetz associé à une section hyperplane lisse de X (comme en a)). Alors la propriété (6) de loc. cit. (théorème de Lefschetz fort) pour ^{♠}H équivaut à la conjecture standard de type Lefschetz B(X) pour H (cf. [9, §4]).

c) Si de plus k est un corps fini, ces propriétés sont impliquées par la propriété (5) de loc. cit. (théorème de Lefschetz faible) pour^{♠}H, X et ses sections hyperplanes. Démonstration. a) (1) est évident, puisque ^{♠}H^{∗}(X) = H^{∗}(X) pour tout X en tant qu’espace vectoriel gradué. Cette identification est du reste compatible à la dualité (2) (dualité de Poincaré) Pour X de pure dimension d, h(X) et h(X)(d) sont duaux dans Mot_{num}^{±}, donc leur images par le foncteur monoïdal symétrique ω_{H}^{∗} sont duales dans V ec_{L}^{∗}. (3) (formule de Künneth) découle de même de l’identité h_{num}(X × Y) = h_{num}(X) ⊗ h_{num}(Y). Enfin, pour (4), on définit l’application cycle^{♠}γ_{X} : C^{i}(X) → ♠H^{2i}(X)(i) à partir de l’homomorphisme fonctoriel A_{num}^{i}(X) = Mot_{num}^{±}(1, h_{num}(X)(i)) ⟶^{ω_{H}^{0}} Hom(ω_{H}^{0}(1), ω_{H}^{0}(h_{num}(X)(i))) = ^{♠}H^{2i}(X)(i), et les conditions (i)–(iii) de loc. cit. sont alors automatiquement vérifiées. La dernière assertion est évidente.

b) On sait que B(X) entraîne l’algébricité des projecteurs de Künneth, et peut donc se traduire par : pour tout i ⩽ d = dim X, le morphisme L^{d−i} : h^{i}(X) → h^{2d−i}(X)(d − i) est inversible dans Mot_{H}^{∗}. Son image dans Mot_{num}^{∗} est donc inversible, et on conclut en appliquant ω_{H}. Réciproquement, la propriété (6) de loc. cit. pour ^{♠}H se traduit par : pour tout i ⩽ d = dim X, l’image par le foncteur ω_{H}^{i} du morphisme L^{d−i} de Mot_{num}^{±} est inversible. Soit M^{i} (resp. M^{2d−i}(d − i)) la somme des constituants irréductibles du morif numérique de X (resp. X(d − i)) sur lesquelles ω_{H}^{i} ne s’annule pas. Alors ω_{H}^{i} est conservatif sur la sous-catégorie pleine (semi-simple) de Mot_{num}^{±} formée des facteurs des sommes de copies de M^{i} et M^{2d−i}(d − i). On en déduit que L^{d−i} envoie M^{i} isomorphiquement sur M^{2d−i}(d − i). Tout relevé dans Mot_{H}^{±}(h(X)(d − i), h(X) de cet isomorphisme induit un isomorphisme H^{2d−i}(X)(d − i) → H^{i}(X), ce qui est une forme de la conjecture standard B(X).

c) La formule cohomologique pour la fonction zêta de X vaut pour toute cohomologie de Weil, en particulier ^{♠}H^{∗}. On déduit alors de [8, cor. 1 b), th.2] que “Lefschetz faible implique Lefschetz fort” pour ♠H, X et ses sections hyperplanes. □

Remarque 4. – (k fini) Le “Frobenius géométrique” définit un automorphisme F du foncteur identique de Mot_{H}^{∗} = Mot_{H}. Comme Mot_{H} est semi-primaire, on peut écrire de manière unique F = F^{ss} ∘ F^{u} = F^{u} ∘ F^{ss} avec, pour tout M ∈ Mot_{H}, F_{M}^{u} ∈ 1 + ℛ(M, M), F_{M}^{ss} engendrant une sous-algèbre semisimple de End(M) et F_{M}^{u}, F_{M}^{ss} donnés par des polynômes en F_{M}. Pour toute section monoïdale s de π : Mot_{H} → Mot_{num} et pour tout M, on a s ∘ π(F_{M}) = F_{M}^{ss} puisque F_{M} est central. Tant F^{ss} que F^{u} peuvent être vus comme des éléments de Aut(ω_{H})(L), et F^{ss} y est central.

3. Spécialisation des motifs numériques. Soient 𝔬 un anneau de valuation discrète, K son corps des fractions, k son corps résiduel. On désigne par H la cohomologie ℓ-adique (ℓ ≠ car k) tant sur K que sur k (autre choix en inégale caractéristique : la cohomologie de De Rham sur K et la cohomologie cristalline sur k, cf. [5, B.3.1]).

On dit qu’une K-variété projective lisse X a bonne réduction s’il existe un 𝔬-schéma projectif 𝒳 lisse de fibre générique X. La fibre spéciale 𝒳̄ de 𝒳 n’est pas uniquement déterminée, mais son motif de Chow l’est, à isomorphisme unique près.

Notons Mot_{H}(K)_{b} la sous-catégorie pleine de Mot_{H}(K) formée des motifs (X, p, n) tels que X ait bonne réduction : ce sont les motifs homologiques à bonne réduction. On a des catégories analogues Mot_{num}(K)_{b}, Mot_{H}^{±}(K)_{b}, Mot_{num}^{±}(K)_{b}.

Ces catégories sont pseudo-abéliennes et stables par produit tensoriel (prendre le produit fibré des modèles sur 𝔬). Il résulte de ce qui précède que Mot_{H}^{±}(K)_{b} est semi-primaire et vérifie ℛ = 𝒩, et Mot_{H}^{±}(K)_{b}/𝒩 = Mot_{num}^{±}(K)_{b} est abélienne semi-simple.

D’autre part, la théorie de la spécialisation des cycles algébriques [4, 20,3] et la compatibilité de H sur K et k fournissent aussi des foncteurs Q-linéaires monoïdaux symétriques fidèles “fibre spéciale”

sp_{H} : Mot_{H}(K)_{b} → Mot_{H}(k), Mot_{H}^{±}(K)_{b} → Mot_{H}^{±}(k)

définis à isomorphisme monoïdal unique près et munis d’un isomorphisme monoïdal canonique H ∘ sp_{H} ≈ H (changement de base propre et lisse, dans le cas ℓ-adique). Ces foncteurs ne passent pas, a priori, à l’équivalence numérique. On a toutefois :

Théorème 11. – Il existe un foncteur Q-linéaire monoïdal symétrique fidèle “fibre spéciale” sp : Mot_{num}^{±}(K)_{b} → Mot_{num}^{±}(k), bien défini à isomorphisme monoïdal près, tel que, une fois choisis les foncteurs fibres ω_{H}^{K} sur K et ω_{H}^{k} sur k comme ci-dessus, le diagramme de foncteurs

Mot_{num}^{±}(K)_{b} ⟶^{sp} Mot_{num}^{±}(k)
↓  ^{ω_{H}^{k}} ↓
Mot_{num}^{±}(K) ⟶^{ω_{H}^{K}} V ec_{L}

commute à isomorphisme monoïdal près. Démonstration. Notons π_{K} : Mot_{H}^{±}(K) → Mot_{num}^{±}(K) et π_{k} : Mot_{H}^{±}(k) → Mot_{num}^{±}(k) les foncteurs de projection. Le choix d’une section monoïdale symétrique s_{K} de π_{K} fixe le choix de ω_{H}^{K} et permet de définir sp = π_{k} ∘ sp_{H} ∘ s_{K,b}, où s_{K,b} est la restriction de s_{K} à Mot_{num}^{±}(K)_{b}. Notons Mot_{num}^{±}(𝔬, k) la sous-catégorie pleine pseudo-abélienne de Mot_{num}^{±}(k) engendrée par les objets de sp(Mot_{num}^{±}(K)_{b})) ; c’est une catégorie abélienne semi-simple. Grâce au théorème 8 b), choisissons maintenant une section s_{𝔬,k} partielle : Mot_{num}^{±}(𝔬, k) → Mot_{H}^{±}(k) de π_{k} respectant la sous-catégorie (non pleine) semi-simple sp_{H}(s_{K,b}(Mot_{num}^{±}(K)_{b})) dans Mot_{H}^{±}(k). On a alors s_{𝔬,k} ∘ sp = sp_{H} ∘ s_{K}. Comme toute autre section s′_{K} de π_{K} (resp. s_{k} de π_{k}) est isomorphe à s_{K} (resp. est de restriction à Mot_{num}^{±}(𝔬, k) isomorphe à s_{𝔬,k}) d’après le théorème 2, le diagramme de la proposition est bien commutatif à isomorphismes monoïdaux près. □

Corollaire 12. – On a une chaîne d’homomorphismes de groupes de Galois motiviques (vus comme “groupes pro-réductifs à conjugaison près”)

Aut(ω_{H}^{K}) ⟶ Aut((ω_{H}^{K})_{|Mot_{num}^{±}(K)_{b}}) ← Aut(ω_{H}^{k}).

Remarque 5. – Le théorème 11 s’applique à l’étude des relations algébriques entre valeurs p-adiques de fonctions hypergéométriques généralisées, cf. [1] (ces dernières étant vues comme coefficients de matrices de comparaison entre deux foncteurs fibres dont l’un est défini via sp).

Remerciements. Les auteurs remercient Ofer Gabber de leur avoir signalé une erreur dans la démonstration initiale de la proposition 6.

Références bibliographiques

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