COHOMOLOGIE NON RAMIFIÉE DES QUADRIQUES

BRUNO KAHN

Table des matières

1. Partie non ramifiée d’une théorie cohomologique 1 2. Pureté ; complexes de Cousin et complexes de Gersten 4 3. Conjecture de Gersten 5 4. Exemples de bonnes théories cohomologiques 7 5. Suite spectrale des poids 8 6. Poids 0, 1, 2 10 7. Cohomologie non ramifiée finie et divisible 15 8. Poids 3 15 9. Exemple : norme réduite 17 10. Exemple : quadriques 19 Références 21

1. Partie non ramifiée d’une théorie cohomologique

Définition 1.1 (pour ce mini-cours). a) Soit k un anneau de base (nœ thérien régulier). Nous utiliserons la catégorie P/k suivante :

• Les objets de P/k sont les couples (X, Z), où X est régulier de type fini sur k et Z est un fermé (réduit) de X.

• Un morphisme f : (X′, Z′) → (X, Z) est un morphisme f :

X′ → X tel que f^{−1}(Z) ⊂ Z′.

b) Une théorie cohomologique (à supports) sur P/k est une famille de foncteurs

(h^{q} : (P/k)^{o} → Ab)_{q∈Z}
(X, Z) ↦ h_{Z}^{q}(X)

vérifiant la condition suivante : pour tout triplet (Z ⊂ Y ⊂ X) avec (X, Y), (X, Z) ∈ P/k, on a une longue suite exacte

⋯ → h_{Z}^{q}(X) → h_{Y}^{q} (X) → h_{Y −Z}^{q}(X − Z) → h_{Z}^{q+1}(X) → …

fonctorielle en (X, Y, Z) en un sens évident.

Minicours donné à Lens en mai 2000.

On note h^{q}(X) = h_{X}^{q}(X) et on remarque que h_{∅}^{q}(X) = 0 pour tout (q, X).

Définition 1.2. La théorie h^{q} vérifie l’excision Zariski (resp. Nisnevich) si elle est additive :

h_{Z ∐ Z′}^{q}(X ∐ X′) = h_{Z}^{q}(X) ⊕ h_{Z′}^{q}(X′)

et si f^{∗} : h_{Z}^{q}(X) ⟶^{∼} h_{Z′}^{q}(X′) lorsque f : (X′, Z′) → (X, Z) est donnée par une immersion ouverte (resp. par un morphisme étale) tel que Z′ =

f^{−1}(Z) et f : Z′ ⟶^{∼} Z.

Si h^{∗} vérifie l”excision Zariski, pour tout recouvrement ouvert X = U ∪ V on a une longue suite exacte de Mayer-Vietoris :

⋯ → h^{q}(X) → h^{q}(U) ⊕ h^{q}(V) → h^{q}(U ∩ V) → h^{q+1}(X) → …

Si h^{∗} vérifie l’excision Zariski, on peut construire des complexes de Cousin et une suite spectrale de coniveau (Grothendieck) :

A) Soit Z^{→}= (∅ ⊂ Z_{d} ⊂ Z_{d−1} ⊂ ⋯ ⊂ Z_{0} = X) une chaîne de fermés. Les suites exactes

⋯ → h_{Z_{p+1}}^{p+q}(X) ⟶^{i^{p+1,q−1}} h_{Z_{p}}^{p+q}(X) ⟶^{j^{p,q}} h_{Z_{p}−Z_{p+1}}^{p+q}(X − Z_{p+1})

⟶^{k^{p,q}} h_{Z_{p+1}}^{p+q+1}(X) → …

définissent un couple exact

D^{p+1,q−1} ⟶^{i^{p+1,q−1}} D^{p,q}
[figure: k^{p,q}; j^{p,q}]
E^{p,q}

(où k^{p,q} est de degré (0, +1)), avec D^{p,q} = h_{Z_{p}}^{p+q}(X), E^{p,q} = h_{Z_{p}−Z_{p+1}}^{p+q}(X− Z_{p+1}). Cela donne une suite spectrale de type cohomologique qui converge vers D^{0,n} = h^{n}(X), la filtration associée étant

F^{p}h^{n}(X) = Im(h_{Z_{p}}^{n}(X) → h^{n}(X))

avec

E_{1}^{p,q} = E^{p,q}, d_{1}^{p,q} = kj.

B) On suppose X équidimensionnel de dimension d et on ne s’intéresse qu’aux Z^{→} tels que codim_{X} Z_{p} ≥ p. On passe à la limite sur ces Z^{→} : on obtient un nouveau couple exact, avec

D^{p,q} = \underrightarrow{lim}_{Z^{→}} h_{Z_{p}}^{p+q}(X) =: h_{≥p}^{p+q}(X)

E^{p,q} = \underrightarrow{lim}_{Z^{→}} h_{Z_{p}−Z_{p+1}}^{p+q}(X − Z_{p+1}).

En utilisant l’excision Zariski, on trouve un isomorphisme

\underrightarrow{lim}_{Z^{→}} h_{Z_{p}−Z_{p+1}}^{p+q}(X − Z_{p+1}) ≃ ⨁_{x∈X^{(p)}} h_{x}^{p+q}(X)

où X^{(p)} = \{x ∈ X | codim_{X} \overline{\{x\}} = p\} et

h_{x}^{p+q}(X) := \underrightarrow{lim}_{\begin{matrix}U∋x \\ U ouvert \end{matrix}} h_{\overline{\{x\}}∩U}^{p+q}(U)

(groupe de cohomologie locale), ce qui donne la forme classique du terme E_{1} de la suite spectrale de coniveau :

(1.1)  E_{1}^{p,q} = ⨁_{x∈X^{(p)}} h_{x}^{p+q}(X) ⇒ h^{p+q}(X).

La filtration à laquelle elle aboutit est la filtration par la codimension du support

N^{p}h^{n}(X) = ⋃_{codim_{X} Z≥p} Im(h_{Z}^{n}(X) → h^{n}(X))

= ⋃_{codim_{X} Z≥p} Ker(h^{n}(X) → h^{n}(X − Z)).

Définition 1.3. a) Le complexe de Cousin en degré q de h sur X est le complexe des termes E_{1} de la suite spectrale :

0 → ⨁_{x∈X^{(0)}} h_{x}^{q}(X) ⟶^{d_{1}^{0,q}} ⨁_{x∈X^{(1)}} h_{x}^{1+q}(X) ⟶^{d_{1}^{1,q}} …

⟶^{d_{1}^{p−1,q}} ⨁_{x∈X^{(p)}} h_{x}^{p+q}(X) ⟶^{d_{1}^{p,q}} …

b) La cohomologie non ramifiée de h sur X (en degré q) est le groupe

E_{2}^{0,q} = Ker( ⨁_{x∈X^{(0)}} h_{x}^{q}(X) ⟶^{d_{1}^{0,q}} ⨁_{x∈X^{(1)}} h_{x}^{1+q}(X)) =: h_{nr}^{q}(X).

Si X = X_{1} ∐ ⋯ ∐ X_{r}, on a h_{η_{i}}^{q}(X) = h_{η_{i}}^{q}(X_{i}) = \underrightarrow{lim}_{U⊂X_{i}} h^{q}(U), où η_{i} est le point générique de X_{i} : ce groupe ne dépend que de η_{i} et nous le noterons habituellement h^{q}(η_{i}) ou h^{q}(K_{i}) si η_{i} = Spec K_{i}. On a h_{nr}^{q}(X) = ⨁_{i} h_{nr}^{q}(X_{i}). Pour X connexe, on a donc

h_{nr}^{q}(X) = Ker(h^{q}(η) → ⨁_{x∈X^{(1)}} h_{x}^{1+q}(X)).

2. Pureté ; complexes de Cousin et complexes de Gersten

On se donne une théorie cohomologique graduée

h^{∗} : (X, Z) ↦ h_{Z}^{q}(X, n), q, n ∈ Z.

(L’entier n s’appelle le poids.)

Définition 2.1. h^{∗} est pure si, pour tout (X, Z) ∈ P_{k} avec X régulier et Z régulier purement de codimension c dans X, on s’est donné des isomorphismes

π_{X,Z} : h^{q−2c}(Z, n − c) ⟶^{∼} h_{Z}^{q}(X, n)

contravariants en les (X, Z) satisfaisant la condition ci-dessus (à c fixé).

(On dit que h^{∗} est faiblement pure si la pureté n’est exigée que pour X et Z lisses sur k.) Si k est raisonnable (par exemple un corps ou Spec Z), cette condition entraîne l’excision Nisnevich : c’est évident pour des couples comme dans la définition, et en général on s’y ramène par récurrence nœthérienne en considérant le lieu non régulier de Z, qui est fermé et différent de Z.

Si h^{∗} est pure, la suite spectrale (1.1) prend la forme peut-être plus familière

(2.1)  E_{1}^{p,q} = ⨁_{x∈X^{(p)}} h^{q−p}(κ(x), n − p) ⇒ h^{p+q}(X).

En particulier, les complexes de Cousin deviennent des complexes de Gersten (on suppose X connexe pour simplifier) :

0 → h^{q}(κ(X), n) → ⨁_{x∈X^{(1)}} h^{q−1}(κ(x), n−1) → ⨁_{x∈X^{(2)}} h^{q−2}(κ(x), n−2) …

et on retrouve une définition plus familière de h_{nr} :

h_{nr}^{q}(X, n) = Ker(h^{q}(κ(X), n) → ⨁_{x∈X^{(1)}} h^{q−1}(κ(x), n − 1)).

Remarque 2.1. Dans certains cas, on n’a pureté qu’à isomorphisme près ; pour obtenir des isomorphismes de pureté canoniques, on doit introduire des variantes de la théorie h, à coefficients dans des fibrés en droites. C’est le cas notamment pour les groupes de Witt triangulaires de Barge-Sansuc-Vogel, Pardon, Ranicki et Balmer-Walter ([3], voir aussi [35]).

3. Conjecture de Gersten

Définition 3.1. Pour tout (p, q), on note E_{1}^{p,q} le faisceau associé au préfaisceau Zariski

U ↦ E_{1}^{p,q}(U) = ⨁_{x∈U^{(p)}} h_{x}^{p+q}(U).

On a ainsi pour tout q un complexe de faisceaux

E_{1}^{0,q} → E_{1}^{1,q} → ⋯ → E_{1}^{p,q} → …

avec les E_{1}^{p,q} flasques pour la topologie de Zariski.

Définition 3.2. On dit que h vérifie la conjecture de Gersten sur X si ce complexe est exact pour tout q.

Si c’est le cas, il définit une résolution flasque de H^{q}, faisceau associé à U ↦ h^{q}(U), et on peut écrire le terme E_{2} de la suite spectrale de coniveau

E_{2}^{p,q} = H_{Zar}^{p}(X, H^{q}).

Théorème 3.1 (Gabber [6], essentiellement). Supposons que k soit un corps infini. Alors, pour que h vérifie la conjecture de Gersten sur tout X lisse sur k, il suffit que les deux conditions suivantes soient vérifiées :

(1) h vérifie l’excision Nisnevich.

(2) Lemme clé. Pour tout n, pour tout ouvert V de A_{k}^{n}, pour tout fermé F ⊂ V et pour tout q ∈ Z, le diagramme suivant est commutatif :

[figure: h_{A_{F}^{1}}^{q} (A_{V}^{1} ); π^{∗}; ↑^{j^{∗}}  h_{F}^{q} (V); s_{∞}^{∗}; h_{P_{F}^{1}}^{q} (P_{V}^{1} ); A_{V}^{1} ⟶^{j} P_{V}^{1}; π; ↓_{π̃}; ↑s_{∞}; V]

où s_{∞} est la section à l’infini.

b) La condition (2) est vérifiée dans les cas suivants :

(3) h est invariante par homotopie : pour tout V lisse, h^{∗}(V) ⟶^{∼} h^{∗}(A_{V}^{1} ) (il suffit que ce soit vrai pour V comme en (2)).

(4) Cohomologie de P^{1}. Il existe une théorie cohomologique e et, pour tout (X, Z) ∈ P_{k}, une application

Pic(X) → Hom(e_{Z}^{∗}(X), h_{Z}^{∗}(X))

naturelle en (X, Z), d’où un homomorphisme α_{V,F} (pour (X, Z) = (P_{V}^{1} , P_{Z}^{1}))

e_{P_{F}^{1}}^{∗} (P_{V}^{1} ) ⟶^{[O(1)]−[O]} h_{P_{F}^{1}}^{∗} (P_{V}^{1} )
↑_{π̃}  [figure: α_{V,F}]
e_{F}^{∗} (V).

Alors, pour (V, F) comme en (2), l’application :

h_{F}^{q} (V) ⊕ e_{F}^{q} (V) ⟶^{(π^{∗},α_{V,F})} h_{P_{F}^{1}}^{q} (P_{V}^{1} )

est un isomorphisme.

Démonstration. Voir [4]. Pour k fini, on s’en tire en supposant l’existence de transferts sur h (pour des revêtements étales provenant d’extensions du corps de base).

Conséquences pour la cohomologie non ramifiée.

Théorème 3.2. Sous les hypothèses (1) et (2) du théorème 3.1, pour toute variété X lisse sur k :

a) h_{nr}^{q}(X) ≃ H_{Zar}^{0}(X, H^{q}) ≃ H_{Nis}^{0}(X, H^{q}), où H_{Nis}^{∗} désigne la cohomologie de Nisnevich (ceci s’étend à tous les termes E_{2} de la suite spectrale de coniveau, et ne sera pas utilisé ici).

b) Si X est de plus propre, h_{nr}^{q}(X) est un invariant birationnel.

c) Soient X, Y lisses et intègres et p : X → Y un morphisme propre. Supposons que la fibre générique de p soit k(Y)-birationnelle à l’espace projectif P_{k(Y)}^{d}. Alors, h_{nr}^{q}(X) ⟶^{p^{∗}} h_{nr}^{q}(Y) est un isomorphisme.

Démonstration. [4].

Par conséquent, sous (1) et (2), X ↦ h_{nr}^{q}(X) est un invariant birationnel stable pour les k-variétés propres et lisses. On le notera souvent h_{nr}^{q}(k(X)/k), ou simplement h_{nr}^{q}(k(X)).

Définition 3.3. Pour K/k un corps de fonctions (ayant un modèle propre et lisse), on note η_{K,h}^{q} l’application

h^{q}(k) → h_{nr}^{q}(K/k).

Si K/k est stablement rationnelle (K(t_{1}, …, t_{r})/k est transcendante pure pour r assez grand), η_{K,h}^{q} est un isomorphisme pour tout q. On s’intéressera principalement à l’étude de η_{K,h}^{q} quand K/k est géométriquement stablement rationnelle.

4. Exemples de bonnes théories cohomologiques

Les exemples ci-dessous vérifient tous l’excision Nisnevich, sont invariants par homotopie et vérifient un théorème de pureté.

4.1. Cohomologie étale. h_{Z}^{q}(X, n) = H_{Z}^{q}(X_{ét}, μ_{N}^{⊗N}), (N, car k) = 1. Variantes : H_{Z}^{q}(X_{ét}, (Q/Z)′(n)), où (Q/Z)′(n) = \underrightarrow{lim}_{(N,car k)=1} μ_{N}^{⊗N}, H_{Z}^{q}(X_{ét}, Q_{l}/Z_{l}(n)),

où Q_{l}/Z_{l}(n) = \underrightarrow{lim} μ_{l^{ν}}^{⊗N} pour l premier ≠ car k, etc.

Le cas particulier le plus intéressant pour nous est q = n + 1.

4.2. K-théorie algébrique. h_{Z}^{q}(X) = K_{q}^{Z}(X) ≃ K′_{q}(Z) (Quillen).

4.3. Les groupes de Witt triangulaires de P. Balmer [3, 2]. (On prendra garde que ces groupes vérifient un théorème de pureté “tordu”).

4.4. Cohomologie motivique, Zariski ou étale. Suslin et Voevodsky [38] ont défini des complexes de faisceaux Z(n) sur (Sm/k)_{Zar} (catégorie des k variétés lisses munie de la topologie de Zariski). On prend

h_{Z}^{q}(X, n) = ℍ_{Z}^{q}(X_{Zar}, Z(n))

ou

h_{Z}^{q}(X, n) = ℍ_{Z}^{q}(X_{ét}, α^{∗}Z(n))

où α est la projection du site étale (Sm/k)_{ét} sur (Sm/k)_{Zar}. Variantes : on prend Z_{(l)}(n) := Z(n) ⊗ Z_{(l)}, etc. (Si on est en caractéristique p, ℍ_{Z}^{q}(X_{ét}, α^{∗}Z(n)) ne devient invariant par homotopie et ne vérifie un théorème de pureté qu’après avoir inversé p; toutefois, cette théorie a les propriétés (1) et (4) du théorème 3.1 même avant d’inverser p, donc vérifie la conjecture de Gersten.) Dans la suite, on notera en général les groupes de cohomologie motivique avec H plutôt que ℍ.

On a :

H^{q}((Spec k)_{Zar}, Z(n)) = \begin{cases}0 & si q > n \\ K_{n}^{M}(k) & si q = n; \end{cases}

en caractéristique 0^{1} et sous la conjecture de Bloch-Kato (par exemple pour l = 2 ou pour n ≤ 2) :

H^{n}((Spec k)_{ét}, Z_{(l)}(n)) = K_{n}^{M}(k) ⊗ Z_{(l)}
H^{n+1}((Spec k)_{ét}, Z_{(l)}(n)) = 0 (“Hilbert 90”).

Enfin, on a une longue suite exacte, pour l ≠ car k :

… H^{q}(X_{ét}, Z_{(l)}(n)) → H^{q}(X_{ét}, Q(n)) → H^{q}(X_{ét}, Q_{l}/Z_{l}(n))

⟶^{∂} H^{q+1}(X_{ét}, Z_{(l)}(n)) → …

où les groupes à coefficients Q_{l}/Z_{l} sont ceux de 4.1. Pour X = Spec k, on a H^{q}(X, Q(n)) = 0 pour q > n, donc ∂ est un isomorphisme dès que q ≥ n + 1. Le cas qui nous intéresse est q = n + 1.

5. Suite spectrale des poids

5.1. Construction de suites spectrales. Soit T une catégorie triangulée, et soit X ∈ T : une filtration sur X est une suite de morphismes

⋯ → X_{n−1} → X_{n} → ⋯ → X.

Une tour de sommet X est une suite de morphismes

X → ⋯ → X_{n} → X_{n−1} → …

On ne s’intéresse qu’aux filtrations et aux tours finies, c’est-à-dire telles que X_{n} → X (ou X → X_{n}) soit un isomorphisme pour n assez grand et que X_{n−1} → X_{n} (ou X_{n} → X_{n−1}) soit un isomorphisme pour n assez petit.

Si on se donne une filtration, on note X_{n/n−1} “le” cone de X_{n−1} → X_{n} : rappelons qu’il est défini à isomorphisme non unique près. Pour Y ∈ T , on a de longues suites exactes de groupes abéliens

⋯ → Hom(Y, X_{q−1}[n]) → Hom(Y, X_{q}[n]) → Hom(Y, X_{q/q−1}[n]) → Hom(Y, X_{q−1}[n + 1]) → …

d’où, comme au §1, un couple exact et une suite spectrale de type cohomologique

E_{2}^{p,q} = Hom(Y, X_{q/q−1}[p + q]) ⇒ Hom(Y, X[p + q]).

(La numérotation choisie ici est telle qu’on obtient un terme E_{2} et non pas un terme E_{1}.)

1Le travail de Geisser et Levine [7] et le fait que la cohomologie motivique de Spec k coïncide avec ses “groupes de Chow supérieurs” impliquent que cette restriction n’est pas nécessaire.

Si on se donne une tour, on obtient de même une suite spectrale de type homologique, aboutissant à Hom(X[p + q], Y).

5.2. La catégorie DM_{gm}^{eff}(k) de Voevodsky [40]. C’est une catégorie triangulée tensorielle munie d’un foncteur M : Sm/k → DM_{gm}^{eff}(k), vérifiant entre autres

• Mayer-Vietoris : Si X = U ∪ V est un recouvrement ouvert, on a un triangle exact

M(U ∩ V) → M(U) ⊕ M(V) → M(X) → M(U ∩ V)[1].

• Invariance par homotopie : M(A_{X}^{1}) ⟶^{∼} M(X).

Ceci permet de montrer une décomposition canonique (qui définit Z(1))

M(P^{1}) = Z ⊕ Z(1)[2]

où l’on a posé Z := M(Spec k).

• Pureté : si Z ⊂ X est un couple lisse de pure codimension c, on a un triangle exact

M(X − Z) → M(X) → M(Z)(c)[2c] → M(X − Z)[1]

où M(Z)(c) := M(Z) ⊗ Z(1)^{⊗c}. Sous la résolution des singularités, il y a aussi un foncteur M^{c} :

Sch/k → DM_{gm}^{eff}(k), où Sch/k est la catégorie des schémas de type fini sur k, covariant pour les morphismes propres, contravariant pour les morphismes étales, et vérifiant :

• Localisation : si Z ⟶^{i} X est une immerion fermée, d’immersion ouverte complémentaire X − Z ⟶^{j} X, on a un triangle exact

M^{c}(Z) ⟶^{i_{∗}} M^{c}(X) ⟶^{j^{∗}} M^{c}(X − Z) → M^{c}(Z)[1].

• Il existe un morphisme M(X) → M^{c}(X) qui est un isomorphisme si X est propre.

• Dualité de Poincaré : si X est lisse de dimension d, on a un isomorphisme

M(X)^{∗} ≃ M^{c}(X)(−d)[−2d]

où M(X)^{∗} est le dual de M(X) dans la catégorie rigide DM_{gm}(k), obtenue à partir de DM_{gm}^{eff}(k) en inversant l’objet de Tate Z(1).

Définition 5.1. a) Une variété réduite X ∈ Sch/k de dimension n est cellulaire (définition récursive) si elle contient un ouvert U isomorphe à A_{k}^{n} et tel que X − U soit cellulaire.

b) X ∈ Sch/k est géométriquement cellulaire si X̄ := X ⊗_{K} k̄ est cellulaire, où k̄ est une clôture algébrique de k.

Exemple 5.1. L’exemple principal de variétés géométriquement cellulaires projectives et lisses est celui des variétés projectives homogènes X, c’est-à-dire vérifiant X̄ ≃ G/P où G est un groupe réductif (défini sur k) et P est un sous-groupe parabolique de G (non nécessairement défini sur k). Cas particuliers : espaces projectifs, quadriques, variétés de Severi-Brauer, produits assortis d’iceux et icelles…

Supposons k de caractéristique 0, et soit X une variété géométriquement cellulaire. Dans [12], en utilisant une filtration convenable, on construit pour tout n ≥ 0 une suite spectrale

(5.1)  E_{2}^{p,q}(X, n) = H_{ét}^{p−q}(k, CH^{q}(X̄) ⊗ Z(n − q)) ⇒ H^{p+q}

munie de morphismes H^{p+q} → H_{ét}^{p+q}(X, Z(n)) bijectifs pour p+q ≤ 2n et injectifs pour p + q = 2n + 1. Ces suites spectrales ont des propriétés standard : fonctorialité, produits…Nous les appellerons (sans justifier cette expression) suites spectrales des poids.

Si X est projective homogène, les cycles de Schubert généralisés fournissent des Z-bases canoniques b_{q} des groupes CH^{q}(X̄), permutées par l’action de Galois. En particuler, CH^{q}(X̄) est canoniquement un G_{k}- module de permutation. À b_{q} correspond une k-algèbre étale E_{q}, et on peut récrire le terme E_{2}, grâce au lemme de Shapiro :

(5.2)  E_{2}^{p,q}(X, n) = H_{ét}^{p−q}(E_{q}, Z(n − q)).
6. Poids 0, 1, 2

On dispose de deux familles de suites spectrales convergeant vers la cohomologie motivique étale d’une variété géométriquement cellulaire lisse X : les suites spectrales de coniveau (2.1) et les suites spectrales des poids (5.1). La méthode utilisée ici pour obtenir des renseignements sur la cohomologie non ramifiée de X est de “mélanger” les informations fournies par ces deux suites spectrales. Dans cette section, nous examinons les cas particuliers des poids 0, 1 et 2 : le cas de poids 3 sera traité dans la section 8.

6.1. Poids 0 et 1. On peut montrer que, pour toute k-variété lisse X, on a des isomorphismes canoniques

H_{ét}^{q}(X, Z(0)) ≃ H_{ét}^{q}(X, Z)
H_{ét}^{q}(X, Z(1)) ≃ H_{ét}^{q−1}(X, 𝔾_{m})

où 𝔾_{m} est le groupe multiplicatif. En particulier, H_{ét}^{q}(X, Z(0)) = 0 pour q < 0 et H_{ét}^{q}(X, Z(1)) = 0 pour q ≤ 0 (cas triviaux de la conjecture de Beilinson-Soulé motivique). Le cas de Z(0) est peu intéressant…Pour Z(1), la suite spectrale des poids fournit une suite exacte (tous les groupes de cohomologie sont étales) (6.1)

0 → H_{ét}^{2}(X, Z(1)) → CH^{1}(\overline{X})^{G_{k}} ⟶^{d_{2}^{1,1}(1)} H^{3}(k, Z(1)) → H^{3}(X, Z(1))

qui s’identifie à la suite exacte bien connue

0→Pic(X)→Pic(\overline{X})^{G_{k}}→Br(k)→  Br(X)
≀↓
H_{Zar}^{0}(X, H^{2}(Q/Z(1))

où l’isomorphisme vertical provient de la suite spectrale de coniveau.

À partir de maintenant, pour alléger les notations nous écrirons H^{q}(X, n) à la place de H_{ét}^{q}(X, Q/Z(n)) ; de même H^{q}(n) := H_{ét}^{q}(Q/Z(n)). On suppose que X est une variété projective homogène.

6.2. Poids 2. En utilisant (2.1), (5.1) et (5.2), on obtient un diagramme commutatif [12, 5.3] :

0

↓

H_{Zar}^{1}(X, K_{2}) ⟶^{∼} H^{3}(X, Z(2))

↓

E_{1}^{∗}

↓^{d_{2}^{2,1}(2)}

H^{3}(F, 2)

↓  ↘η^{3}
0  ⟶ CH^{2}(X) ⟶ H^{4}(X, Z(2)) ⟶ H^{0}(X, H^{3}(2)) → 0
↘ξ^{3}  ↓
CH^{2}(X_{s})^{G_{k}}
↙d_{3}^{2,2}(2)  ↓^{d_{2}^{2,2}(2)}
H^{4}(F, 2)  Br(E_{1})
↙

H^{5}(X, Z(2)).

Dans ce diagramme, d_{3}^{2,2} n’est définie que sur le noyau de d_{2}^{2,2} ; les flèches η^{3} et ξ^{3} sont les flèches de fonctorialité évidentes. La suite horizontale est exacte (cf. aussi [10]). La suite verticale est exacte, sauf peut-être en CH^{2}(X_{s})^{G_{k}}. On en déduit des expressions de Ker η^{3} et Coker η^{3} en fonction de ξ^{3} ; plus précisément, une suite exacte

(6.2) 0 → H_{Zar}^{1}(X, K_{2}) → E_{1}^{∗} ⟶^{d_{2}^{2,1}(2)} Ker η^{3} → CH^{2}(X)_{tors} → 0

due originellement à Merkurjev-Peyre [24, 32] et un complexe

0 → Coker η^{3} → Coker ξ^{3} ⟶^{d_{2}^{2,2}(2)} Br(E_{1})

qui est exact sauf peut-être en Coker ξ^{3}. En particulier, Coker η^{3} est fini puisque Coker ξ^{3} l’est.

Exemple 6.1. X est la variété de Severi-Brauer d’une algèbre à division D. On a E_{q} = k pour tout q et on peut montrer que, pour tout n ≥ 0,

(6.3)  d_{2}^{p,q}(n)(x) = q[D] · x

avec [D] ∈ Br(k) = H^{3}(k, Z(1)) [12, th. 7.1]. La suite exacte et le complexe ci-dessus deviennent donc respectivement :

0 → H_{Zar}^{1}(X, K_{2}) → k^{∗} ⟶^{[D]} Ker η^{3} → CH^{2}(X)_{tors} → 0

0 → Coker η^{3} → Coker ξ^{3} ⟶^{2[D]} Br(k).

Supposons par exemple 2[D] = 0. En revenant au diagramme cidessus, on obtient une suite exacte

0 → Coker η^{3} → Coker ξ^{3} ⟶^{d_{3}^{2,2}(2)} H^{4}(k, 2).

Le groupe Coker ξ^{3} s’identifie à Z/N, avec

N = \begin{cases}1 & si ind(D) = 2 \\ 2 & si ind(D) = 4 \\ 4 & si ind(D) ≥ 8 \end{cases}

([21], [5, lemma 9.4]).

La nullité ou non de d_{2}^{3,2}(2) dépend peut-être de l’arithmétique de k : cette différentielle est évidemment nulle si cd_{2}(k) ≤ 3, mais j’ignore ce qu’il en est en général. (Est-il vrai que d_{2}^{3,2}(2)(1) = i([D]^{2}), où i est l’homomorphisme canonique H^{4}(k, Z/2) → H^{4}(k, Q/Z(2)) ?)

Le groupe CH^{2}(X)_{tors} a été étudié en grand détail par Karpenko dans le cas des variétés de Severi-Brauer [18].

Exemple 6.2. Supposons que X soit une quadrique de dimension N, définie par une forme quadratique de dimension N + 2. Alors

• Si N est impair, E_{q} = k pour tout q.

• Si N = 2m, E_{q} = k pour q ≠ m et E_{m} = E := k[t]/(t^{2} − d) où d ∈ k^{∗}/k^{∗2} = H^{1}(k, Z/2) est le discriminant à signe de q.

On aura aussi besoin de l’invariant de Clifford c(q) : c’est, selon que N est pair ou impair, la classe dans Br(k) de l’algèbre de Clifford de q ou de sa partie paire. Nous ne l’utiliserons que quand il ne dépend pas du choix de q (N impair ou N pair, d = 1) : nous le noterons alors c(X).

On a le résultat général suivant [12, cor. 8.6] :

Théorème 6.1. Pour tout n ≥ 0,

a) Si N ≠ 2q − 2, 2q − 1, 2q, on a d_{2}^{p,q}(X, n) = 0.

b) Si N = 2q, alors pour tout x ∈ E_{2}^{p,q}(X, n) = H^{p−q}(E, Z(n − q)), on a d_{2}^{p,q}(X, n)(x) = Cor_{E/k}(x · c(X_{E})) ∈ H^{p−q+3}(k, Z(n − q + 1)).

c) Si N = 2q − 1, alors pour tout x ∈ E_{2}^{p,q}(X, n) = H^{p−q}(k, Z(n − q)), on a d_{2}^{p,q}(X, n)(x) = x · c(X) ∈ H^{p−q+3}(k, Z(n − q + 1)).

c) Si N = 2q − 2, alors pour tout x ∈ E_{2}^{p,q}(X, n) = H^{p−q}(k, Z(n − q)), on a d_{2}^{p,q}(X, n)(x) = x_{E} · c(X_{E}) ∈ H^{p−q+3}(E, Z(n − q + 1)). Dans b), c) et d), le cup-produit (par exemple par c(X_{E})) est calculé en identifiant (par exemple) Br(E) avec H^{3}(E, Z(1)).

Ce théorème donne en particulier

d_{2}^{2,1}((2)(x) = \begin{cases}0 & si N > 2 \\ Cor_{E/k}(x · c(X_{E})) & si N = 2 \\ x · c(X) & si N = 1. \end{cases}

Le groupe CH^{2}(X)_{tors} a été entièrement calculé par Karpenko [17] : il trouve

CH^{2}(X)_{tors} = \begin{cases}Z/2 & si q est voisine d’une 3-forme de Pfister \\ 0 & sinon \end{cases}

On en déduit en particulier :

Corollaire 6.1. On a

Ker η^{3} = \begin{cases}0 & si N > 6 \\ Z/2 & si 2 < N ≤ 6 et q est une voisine de Pfister \\ 0 & si 2 < N ≤ 6 et q n’est pas une voisine de Pfister \end{cases}

Ces résultats sont dûs originellement à Arason [1]. Par cette méthode, on obtient d’autres résultats pour N ≤ 2, certains également connus antérieurement. En particulier, Corollaire 6.2. Pour toute quadrique X, Ker η_{2}^{3} est engendré par ses symboles.

Passons maintenant à Coker η^{3}. On peut supposer q anisotrope (sinon, k(X)/k est transcendante pure et η^{i} est bijective pour tout i). Le calcul de Coker ξ^{3} est facile : on trouve

Coker ξ^{3} = \begin{cases}0 & si N > 4 \\ 0 & si N = 4, d ≠ 1 \\ Z/4 & si N = 4, d = 1 \\ Z/2 & si N = 2, 3 \\ 0 & si N = 1. \end{cases}

D’autre part :

d_{2}^{2,2}(2)(x) = \begin{cases}0 & si N > 4 \\ Cor_{E/k}(x · c(X_{E})) & si N = 4 \\ x · c(X) & si N = 3 \\ x_{E} · c(X_{E}) & si N = 2 \\ 0 & si N = 1. \end{cases}

Cela donne Coker η^{3} = 0, sauf peut-être si N = 4, d = 1 (quadrique dite d’Albert). Dans ce cas, on trouve une suite exacte :

0 → Coker η^{3} → Z/2 ⟶^{d_{3}^{2,2}(2)} H^{4}(k, 2).

En fait, d_{3}^{2,2}(2) = 0 dans ce cas, donc Coker η^{3} = Z/2. Exhibons-en un générateur : soit K = k(X). On peut écrire q_{K} ∼ aπ, avec a ∈ K^{∗} et π une 2-forme de Pfister. Alors (a) · c(π) ∈ H^{3}(K, Z/2) est non ramifié et ne dépend que de X : c’est le générateur de Coker η^{3}.

Le calcul ci-dessus de Coker η^{3} a été fait originellement dans [13] par des méthodes plus compliquées mais plus élémentaires ; en particulier, il est aussi valable en caractéristique positive. Je ne connais pas de démonstration directe que d_{3}^{2,2}(2) = 0 dans le cas d’une quadrique d’Albert : la seule méthode que je connaisse est de démontrer directement que l’élément (a) · c(π) ci-dessus est non nul dans Coker η^{3}. C’est fait essentiellement dans [9], en utilisant entre autres le théorème de réduction d’indice de Merkurjev…

7. Cohomologie non ramifiée finie et divisible

Soient X une variété lisse sur k et m un entier premier à car k. On dispose des homomorphismes de comparaison

η_{m}^{i} : H^{i}(k, μ_{m}^{⊗(i−1)}) → H_{nr}^{i}(X, μ_{m}^{⊗(i−1)})
η^{i} : H^{i}(k, Q/Z(i − 1)) → H_{nr}^{i}(X, Q/Z(i − 1))

et d’homomorphismes

Ker η_{m}^{i} → Ker η^{i}, Coker η_{m}^{i} → Coker η^{i}.

Soit δ le pgcd de car k et des degrés des points fermés de X : alors Ker η_{m}^{i} et Ker η^{i} sont annulés par δ (argument de transfert). On suppose que δ | m.

Supposons la conjecture de Bloch-Kato vraie en degré i−1 pour tous les facteurs premiers de m. Alors la suite

0 → H^{i}(k, μ_{m}^{⊗(i−1)}) → H^{i}(k, i − 1) ⟶^{m} H^{i}(k, i − 1)

est exacte. On en déduit que Ker η_{m}^{i} ⟶^{∼} Ker η^{i}.

Pour les conoyaux, supposons pour simplifier que δ = 2 (on trouvera un énoncé général dans [13, §7]). Sous la conjecture de Milnor en degré i − 1, on a alors une suite exacte

(7.1)  0 → (Ker η_{2}^{i})_{0} → Coker η_{2}^{i} → Coker η^{i}

avec (Ker η_{2}^{i})_{0} = {x ∈ Ker η_{2}^{i} | (−1) · x = 0} [13, prop. 7.4]). De plus, la flèche de droite est surjective si μ_{2^{∞}} ⊂ k [14, th. 1].

8. Poids 3

Dans cette section, k est de caractéristique 0. On utilise la conjecture de Milnor en poids 3 prouvée par Rost et Merkurjev-Suslin [34, 28], la conjecture de Bloch-Kato en poirds 3 pour un nombre premier impair étant toujours ouverte à l’heure actuelle^{2}. Pour cette raison, tous les groupes apparaissant dans cette section sont localisés en 2. En particulier, pour toute extension K de k, on a H^{i+1}(K, Z(i)) = 0 pour i ≤ 3 (théorème 90 de Hilbert généralisé). Rappelons également les isomorphismes K_{i}^{M}(K) ≃ H^{i}(K, Z(i)) (i ≤ 3), K_{3}(K)_{ind} ≃ H^{1}(K, Z(2)).

On se donne une variété projective homogène X et on garde les notations des sections précédentes. Pour plus de détails sur les calculs fournissant les diagrammes ci-dessous, on pourra se référer à [12, 5.1].

2Malgré certaines annonces informelles faites ces 12 derniers mois

(8.1)

0

↓

H^{1}(X, K_{3}^{M}) ⟶^{∼} H^{4}(X, Z(3))

↓

K_{2}(E_{1})

↓^{d_{2}^{3,1}(3)}

H^{4}(k, 3)

↓  ↘η^{4}
0→ H^{2}(X, K_{3}^{M}) ⟶ H^{5}(X, Z(3)) → H^{0}(X, H^{4}(3))→ CH^{3}(X)
↘ξ^{4}  ↓  ↓
E_{2}^{∗}  H^{6}(X, Z(3))
↙d_{3}^{3,2}(3)  ↓^{d_{2}^{3,2}(3)}
H^{5}(k, 3)  H^{3}(E_{1}, 2)
↓

H^{6}(X, Z(3)).

D’après [29, prop. 11.11], H^{i}(X, K_{3}^{M}) → H^{i}(X, K_{3}) est un isomorphisme pour i = 1, 2, 3. Par fonctorialité, l’homomorphisme ξ^{4} s’identifie à l’homomorphisme

H^{2}(X, K_{3}) → H^{2}(\overline{X}, K_{3})^{G_{k}}.

Dans ce diagramme, d_{3}^{3,2} n’est définie que sur le noyau de d_{2}^{3,2}. La suite verticale est exacte, sauf peut-être en E_{2}^{∗}. La suite horizontale qui fourche vers le bas est exacte. On en déduit une suite exacte :

(8.2)  0 → H_{Zar}^{1}(X, K_{3}) → K_{2}(E_{1}) ⟶^{d_{2}^{3,1}(3)} Ker η^{4} → Ker ξ^{4} → 0

et un complexe

(8.3)  0 → Coker η^{4} → CH^{3}(X)_{tors} → Coker d_{2}^{3,2}(3).

Soit K une extension régulière de k (k est algébriquement fermé dans K). D’après Suslin [36, th. 3.6], K_{2}(E_{1}) → K_{2}(K ⊗_{k} E_{1}) est injectif.

On déduit de ceci et de (8.2) une injection

(8.4)  H_{Zar}^{1}(X, K_{3}) ↪ H_{Zar}^{1}(X_{K}, K_{3}).

Nous allons appliquer ces résultats généraux à l’étude de deux problèmes : la norme réduite pour les algèbres centrales simples et la cohomologie non ramifiée des quadriques en degré 4.

9. Exemple : norme réduite

Soit A une k-algèbre centrale simple de degré d. On a des applications norme réduite

Nrd : K_{i}(A) → K_{i}(k) (i ≤ 2).

Pour i = 0, 1, leur définition est classique. Pour i = 2 elle est due à Suslin [36, cor. 5.7]. Elles peuvent se décrire uniformément de la manière suivante : soit X la variété de Severi-Brauer de A. D’après Quillen [33], on a un isomorphisme

⨁_{r=0}^{d−1} K_{i}(A^{⊗r}) ⟶^{∼} K_{i}(X)

pour tout i ≥ 0. La norme réduite est alors donnée par la composition

K_{i}(A) → K_{i}(X) → H^{0}(X, K_{i}) ⟵^{∼} K_{i}(k).

Dans cette composition, l’isomorphisme de droite est évident pour i = 0, 1 et est dû à Suslin [36, cor. 5.6] pour i = 2. On définit

SK_{i}(A) = Ker(K_{i}(A) ⟶^{Nrd} K_{i}(k)) (i = 1, 2).

Un argument de transfert montre que eSK_{i}(A) = 0, où e est l’indice de A : comme SK_{i}(A) est Morita-invariant, c’est clair quand e = 1. En général, on peut supposer que A est un corps, donc que d = e. Choisissons un sous-corps commutatif maximal E de A : on a [E : k] = e. Comme A_{E} est neutre, SK_{i}(A_{E}) = 0 et donc ex = Cor_{E/k} Res_{E/k} x = 0 pour tout x ∈ SK_{i}(A).

Théorème 9.1 (Wang [42]). Si l’indice de A est sans facteur carré, SK_{1}(A) = 0.

Démonstration. On se réduit d’abord au cas où l’indice de A est un nombre premier p, puis (par un argument de transfert) à celui où toute extension finie de k est de degré une puissance de p. Soit x ∈ A tel que Nrd(x) = 1. Si x est radiciel sur k, on a Nrd(x) = x^{p}, donc x = 1. Si x est séparable, l’hypothèse sur k implique que E = k(x) est cyclique sur k. Soit g un générateur de Gal(E/k). Par le théorème 90 de Hilbert, on peut écrire x = gy/y pour un y ∈ E^{∗} convenable. Par le théorème de Skolem-Noether, g se prolonge en un automorphisme intérieur de A, donc x est un commutateur dans A^{∗}. □

Corollaire 9.1. Pour toute algèbre centrale simple A d’indice e, on a \frac{e}{∏ p_{i}} SK_{1}(A) = 0, où les p_{i} décrivent l’ensemble des facteurs premiers

de e.

Démonstration. On se réduit encore au cas où A est un corps, e est une puissance d’un nombre premier p et toute extension finie de k est de degré une puissance de p. Choisissons un sous-corps commutatif maximal séparable E de A. L’hypothèse sur k implique que E possède un sous-corps L de degré e/p sur k. Alors l’indice de A_{L} est égal à p, donc SK_{1}(A_{L}) = 0 par le théorème de Wang. On conclut par un autre argument de transfert. □

En ce qui concerne SK_{2}, les résultats sont plus maigres. On a :

Théorème 9.2 (Merkurjev [23]). Pour toute algèbre de quaternions A, on a SK_{2}(A) = 0.

Démonstration. Soit X la variété de Severi-Brauer de A : c’est une conique. La suite spectrale de Brown-Gersten-Quillen fournit donc dans ce cas une suite exacte courte :

0 → H^{1}(X, K_{3}) → K_{2}(X) → H^{0}(X, K_{2}) → 0

d’où une injection SK_{2}(A) ↪ H^{1}(X, K_{3}). Le théorème résulte donc de (8.4). □

On comparera cette démonstration avec celle de [23]. Malheureusement, même en admettant la conjecture de Bloch-Kato en poids 3, elle ne s’étend pas de manière évidente aux algèbres simples de degré p, p premier > 2. Je suis parvenu avec Marc Levine à démontrer le résultat correspondant pour p = 3, par une méthode entièrement différente (travail en préparation).

Exactement comme dans le corollaire 9.1, on déduit du théorème 9.2 que si l’indice e de A est pair, alors \frac{e}{2}SK_{2}(A) = 0.

Un problème important est de donner une interprétation cohomologique de SK_{i}(A) pour i = 1, 2 (Pour i = 0, K_{0}(A) et K_{0}(k) sont isomorphes à Z et Nrd s’identifie à la multiplication par l’indice e de A.) En particulier, on recherche des homomorphismes de SK_{1}(A) et SK_{2}(A) vers des groupes de cohomologie galoisienne convenables. Ceci a été fait pour SK_{1} par Suslin [37], et par Rost (resp. Merkurjev) lorsque A est une algèbre de biquaternions (resp. une algèbre de degré 4 quelconque) [25, 27]. Citons notamment le théorème de Rost :

Théorème 9.3 (Rost [25, th. 4]). Si A est une algèbre de biquaternions, on a une suite exacte

0 → SK_{1}(A) → H^{4}(k, Z/2) → H^{4}(k(Y), Z/2)

où Y est la quadrique définie par une forme d’Albert associée à A.

On trouvera dans [16] des simplifications et généralisations de ces constructions : elles utilisent les techniques développées ici, mais leur exposition dépasserait le cadre de ce minicours.

10. Exemple : quadriques

Soit X une quadrique de dimension N. Commençons par Ker η_{2}^{4}. D’après le théorème 6.1, on a :

d_{2}^{3,1}(X, 3)(x) = \begin{cases}0 & pour N > 2 \\ Cor_{E/k}(x · c(X_{E})) & pour N = 2 \\ x · c(X) & pour N = 1. \end{cases}

On en déduit

Ker η^{4} ⟶^{∼} Ker ξ^{4} pour N > 2

résultat dû à Rost [25]. En fait, on a :

Théorème 10.1 ([13, 14]). Pour toute quadrique X, Ker η_{2}^{4} est engendré par ses symboles. Pour N > 6, Ker η_{2}^{4} ≃ Z/2 si X est définie par une voisine d’une 4-forme de Pfister, et Ker η_{4}^{2} = 0 sinon.

Quelques indications sur la démonstration : le cas N ≤ 2 nécessite un traitement spécial [14]. Le cas le plus difficile est celui d’une quadrique de dimension 2 et de discriminant non trivial : nous utilisons des lemmes de [23] pour traiter ce cas. A. Vishik a démontré indépendamment que pour une telle quadrique, Ker η_{2}^{∗} est engendré par ses symboles [39].

Pour N ≥ 3, tout élément de Ker η_{2}^{4} est en fait un symbole. Pour le voir, on se réduit d’abord à N = 3, et on calcule alors dans le groupe de Clifford spécial [13] □

Passons maintenant à Coker η_{2}^{4} et Coker η^{4}. Nous avons besoin de décrire plus précisément l’homologie de (8.3) :

• en Coker η^{4} : Ker(Ker(Coker ξ^{4} ⟶^{d_{2}^{3,2}(X,3)} H^{3}(E_{1}, 2)) ⟶^{d_{3}^{3,2}(X,3)}

H^{5}(k, 3)).

• en CH^{3}(X)_{tors} : s’injecte dans Coker d_{3}^{3,2}(X, 3).

Le groupe Coker ξ^{4} s’“attrape” à l’aide du cup-produit CH^{2}(X) ⊗ k^{∗} → H^{2}(X, K_{3}). On trouve

Coker ξ^{4} = \begin{cases}0 & pour N > 4 [13] \\ des choses calculables & pour N = 2, 3, 4 [14] \\ 0 & pour N = 1 (évident). \end{cases}

En particulier, on a :

Théorème 10.2 (cf. [14, §3.1]). Pour N = 2, 3, la suite

H^{2}(X, K_{3}) ⟶^{ξ^{4}} k^{∗} ⟶^{d_{2}^{3,2}(X,3)} H^{3}(E_{1}, 2)

est exacte.

Corollaire 10.1. On a Coker η^{4} = 0 pour N < 4. Pour N > 4, Coker η^{4} s’injecte dans CH^{3}(X)_{tors}.

Ce corollaire rend particulièrement pertinent le théorème suivant de Karpenko :

Théorème 10.3 ([17, 19, 20]). Pour toute quadrique X, le groupe CH^{3}(X)_{tors} est d’ordre 1 ou 2. De plus, on a CH^{3}(X)_{tors} = 0 pour N > 10.

En particulier (cf. (7.1) et le théorème 10.1) :

Corollaire 10.2. Coker η^{4} = 0 pour N > 10 et Coker η_{2}^{4} = 0 pour N > 14.

Le cas manquant dans le corollaire 10.1 est N = 4. Pour cette dimension, il y a quatre types de quadriques anisotropes X (on garde les notations de l’exemple 6.2) :

a) Voisine : d ≠ 1, X_{E} hyperbolique.

b) Intermédiaire : d ≠ 1, X_{E} isotrope, non hyperbolique.

c) Albert : d = 1.

d) Albert virtuelle : d ≠ 1, X_{E} anisotrope.

Théorème 10.4 ([14]). Soit φ est une forme quadratique définissant X (avec dim X = 4). Dans les cas a) et b), Coker η^{4} = 0. Dans le cas c), Coker η^{4} ≃ k^{∗}/Sn(X), où Sn(X) est le sous-groupe de k^{∗} engendré par les φ(x)φ(y). Cet isomorphisme est induit par le cup-produit par le générateur de Coker η^{3} (cf. §6). Dans le cas d), on a une suite exacte

Coker η_{E}^{4} ⟶^{Cor_{E/k}} Coker η^{4} → P SO(φ, k)/R → 0

où R est la R-équivalence de Manin.

Notons que le cas d) est le “premier” où le groupe P SO(φ, k)/R peut être non trivial [26]. Ce cas est beaucoup plus dur à traiter que tous les autres réunis !

Pour N ≥ 7, Coker η^{4} a été calculé partiellement dans [15] et complètement par Izhboldin dans [8] : dans [15], nous obtenons aussi des cas particuliers en dimensions 5 et 6, non couvertes par Izhboldin. Les méthodes d’Izhboldin sont “meilleures” que celles de [15], sauf pour la démonstration de :

Théorème 10.5 ([15, 8]). L’application Coker η^{4} → CH^{3}(X)_{tors} est bijective pour N ≥ 7, sauf si X est définie par une forme quadratique du type π ⊥ ⟨a⟩ où π est une 3-forme de Pfister.

Citons pour terminer une résultat qui se démontre par les méthodes de [41], qui sortent donc du cadre de ce mini-cours (opérations de Steenrod en cohomologie motivique, etc.) :

Théorème 10.6 ([15]). a) Coker η^{n} = 0 pour tout n ≥ 0 si car k = 0 et X est définie par une voisine de Pfister.

b) Sous les mêmes hypothèses, l’application I^{n}k → I_{nr}^{n}(k(X)/k)) est surjective pour tout n ≥ 0.

La méthode de démonstration de ce théorème fournit d’ailleurs une démonstration de la conjecture de Milnor “quadratique” purement par les techniques de [41] (rappelons que cette conjecture est démontrée dans [30]), cf. [15, Remark 3.3].

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[40] V. Voevodsky Triangulated categories of motives over a field, in Cycles, transfers and motivic cohomology theories, Annals of Math. Studies 143, 2000.

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[42] S. Wang On the commutator group of a simple algebra, Amer. J. Math. 72 (1950), 323–334.

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