Nous montrons que si $f$ est une fonction complètement multiplicative vérifiant $$\int_0^1 \left| \sum_{n\le x} f(n)e(\alpha n) \right|\,d\alpha \ll \log x$$ pour tout $x$, alors $f$ est exactement de la forme $\chi(n) n^{it}.$ Travail coécrit avec Oleksiy Klurman.