Jeremy Dousselin, Université de Lorraine, Nancy

Zéros de combinaisons linéaires de fonctions L de Dirichlet sur la droite critique

Soient N ≥ 1 et χ₁, ..., χ_N des caractères de Dirichlet primitifs, pairs et deux à deux distincts de
conducteur q₁, ..., q_N respectivement. Posons

                                          F(s) := Σ_{1 ≤ j ≤ N}  c_j ε_j q_j^s/2 L(s, χ_j)

où les ϵ_j sont des complexes de module 1 tels que F satisfasse à une équation fonctionnelle et les
c_j sont dans R^*. Nous séparons les zéros de F en deux catégories : des zéros dits triviaux, impliqués
par cette équation fonctionnelle, et des zéros dits non-triviaux, confinés dans une bande verticale V.
Nous notons N(T) le nombre de zéros de F dans le rectangle {z ∈ V | Im(z) ∈ [0, T]} et N₀(T) le nombre
nombre de ces zéros sur la droite critique.

À la fin des années 90, Selberg donna les grandes lignes d'un raisonnement prouvant qu'une proportion
positive de zéros non-triviaux de F sont sur la droite critique, en établissant que

                        κ_F := liminf_T (N₀(2T) - N₀(T)) / (N(2T) - N(T)) ≥ c N ^-2   pour un c positif.

Nous nous proposons d'améliorer et d'expliciter cette minoration, en démontrant en particulier que
                                                κ_F ≥ 2.16 10^-6 / N log N   pour tout N assez grand.