En 2000, Shiu a démontré qu'il existe une infinité
de nombres premiers se terminant par 1 et pour lesquels le
nombre premier suivant se termine aussi par 1. En revanche, c'est une question ouverte
de montrer qu'il existe
une infinité de nombres premiers se terminant par 1 pour lesquels
le nombre premier suivant se termine par 3.
Dans cette présentation, on va considérer une autre suite, la
suite des sommes de deux carrés par ordre croissant.
En particulier, on va montrer qu'il existe une infinité de sommes de
deux carrés se terminant par 1 pour lesquels
la somme de deux carrés suivante se termine par 3. On va montrer
aussi que tout motif de longueur 3 apparaît
infiniment souvent : pour tout module q, tout motif
(a mod q, b mod q, c mod q)
apparaît infiniment souvent
parmi les sommes de deux carrés consécutives. On va aussi discuter
les idées de la démonstration, et expliquer
pourquoi la démonstration ne marche pas pour les nombres premiers.