Bruno Martin, Université du Littoral

Comportement local moyen de la fonction de Brjuno

Ceci est un travail en commun avec Michel Balazard.
Posant X = R \ Q, on considère l'application α de X vers X définie par α(x) := {1/x},
où {.} désigne la fonction partie fractionnaire. Pour j ≥ 0, on désigne par α_j la j^ème
itérée de α. La fonction Φ de Brjuno est définie sur X par

          Φ(x) := ∑_j≥0 α₀(x) α₁(x) ... α_j-1(x) log(1/α_j(x)),

la somme étant convergente ou valant +∞ suivant les propriétés diophantiennes de
x. Cette fonction, introduite à l'origine dans le cadre de l'étude de certains systèmes
dynamiques complexes, peut être vue comme un modèle simplifié d'une fonction
d'auto-corrélation intervenant dans le critère de Nymann pour l'hypothèse de
Riemann. Dans ce travail, nous caractérisons notamment les points de Lebesgue
de la fonction de Brjuno, c'est-à-dire les points x pour lesquels

          lim_h→0 (2h)^-1 ∫_{t∈[x-h,x+h]} |Φ(t)-Φ(x)| dt = 0.