PUBLICATIONS (preprint et  notes)
[30] Logarithms and Deformation Quantization A Alekseev, CA Rossi, C Torossian, T. Willwacher, axXiv1401.3200

We prove the statement conjecture of M. Kontsevich on the existence of the logarithmic
formality morphism Ulog. This question was open since 1999, and the main obstacle was
the presence of dr/r type singularities near the boundary r=0 in the integrals over compactified configuration spaces.
The novelty of our approach is the use of local torus actions on configuration spaces of points in the
upper half-plane. It gives rise to a version of Stokes’ formula for differential forms with singularities at the boundary which implies the formality property of Ulog.
We also show that the logarithmic formality morphism admits a globalization from Rd
to an arbitrary smooth manifold.

[29]The logarithmic formality quasi-isomorphism, A Alekseev, J Löffler, CA Rossi, C Torossian, 2012 (this version is an informal note)

In this paper we give a detailed proof of a famous statement of
M. Kontsevich in [11, Subsection 4.1], where it is claimed that replacing the standard angular function by a logarithmic one in the formulæ for the integral weights in the L^\infty-quasi-isomorphism U constructed in [12, Section 6] yields a different L^\infty-quasi-isomorphism U^log. In particular, we prove the convergence of the integral weights appearing in U^log and the L^\infty-relations for U^log,  which follow from a variant of Stokes’ Theorem on compact, oriented manifolds with corners for differential forms
with poles of order 1 along the boundary. Finally, we prove that U^log stisfies the globalization requirements.

[28] 
A Stokes theorem in présence of poles and logarithmic singularities, A Alekseev, J Löffler, CA Rossi, C Torossian, 2012 (this version is an informal note)

The aim of this paper is to present a version of Stokes Theorem on compact orientable manifolds with corners which applies to differential forms admitting poles
of order 1 and logarithmic singularities. A central notion in our study is the regularization morphism along the boundary strata inspired by the work of F. Brown [3, Section 4]. As a direct application of the Stokes Theorem, we re-prove the Kontsevich Vanishing Lemma which is one of the central pieces in the construction of the L^\infty -quasi-isomorphism in [10, Section 6].

[27]  Biquantization of symmetric pairs and the quantum shift
 arXiv:1105.5973 avec  Alberto S. Cattaneo, Carlo A. Rossi
The biquantization of symmetric pairs was studied in \cite{CT} (Quantification pour les paires symétriques et diagrammes de Kontsevich,
 (C. Torossian and A. Cattaneo
Annales Sci. de l'Ecole Norm. Sup.  (5) 2008, 787--852.)  in terms of Kontsevich-like graphs. This note, also in view of recent results in \cite{CFFR} (Damien Calaque, Giovanni Felder, Andrea Ferrario, and Carlo A. Rossi : Bimodules and branes in deformation quantization, Comp. Math. (to appear) (2009), available at arXiv:0908.2299) amends a minor mistake that did not spoil the main results of the paper. The mistake consisted in ignoring a regular term in the boundary contribution of some propagators. On the other hand, its correction brings back the quantum shift, present in the approaches by the orbit method, that was otherwise puzzlingly missing. In addition a detailed comparison of the two, equivalent, ways of defining biquantization working on the upper half plane or on one quadrant is presented, as well as a more conceptual approach to biquantization and the due corrections of some results of \cite{CT} in view of the aforementioned correction by the quantum shift.


[26]   Flat connection and trivalent graphs   (avec Alekseev)

Dans cette note, qui a vocation à rester informelle, on montre que le résultat sur les algèbres quadratiques peut se comprendre simplement en termes de graphes trivalents.

[25]  On triviality of the Kashiwara-Vergne problem for quadratic Lie algebras  
(avec A. Alekseev) C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

Dans le cas des algèbres de Lie quadratiques, c'est à dire munies d'une forme bilinéaire invariante et non dégénérée, on montre que la première équation de KV implique automatiquement la seconde.

Abstract : We show that the Kashiwara-Vergne (KV) problem for quadratic Lie algebras (that is, Lie algebras admitting an invariant scalar product) reduces to a trivial problem o representing the Campbell-Hausdorffseries in the form  $\ln(e^xe^y)=x+y+[x,a(x,y)]+[y,b(x,y)]$, where $a(x,y)$ and $b(x,y)$ are Lie series in $x$ and $y$. This observation explains the existence of explicit rational solutions of the quadratic KV problem \cite{V,AMquad} whereas constructing an explicit rational solution of the full KV problem would probably require the knowledge of a rational Drinfeld associator. It also gives, in the case of quadratic Lie algebras, an easy and direct proof of the Duflo theorem (implied by the KV problem).

[24]  A simple proof of a Furusho's result
  (avec A. Alekseev)

Cette note est informelle et n'a pas vocation à être publiée. Merci de m'adresser vos remarques. On introduit différentes projections et symétries. On retrouve, entre autres choses,  le résultat de Furusho, Pentagone implique Hexagone et Symétrie.  



[23]   Drinfeld associators, braid groups and an explicit solution  of Kashiwara-Vergne equations (avec B. Enriquez et A. Alekseev) Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. No. 112 (2010), 143–189,

The Kashiwara-Vergne (KV) conjecture is a pair of equations [KV] which encode an important property of the Campbell-Baker-Hausdorff
(CBH) series. The existence of solutions has been proved in [AM] over \R,  and in [AT] over an arbitrary field of characteristic zero.
In this paper, we give a simple and explicit formula for a map from the set of Drinfeld associators to the set of solutions of the Kashiwara-Vergne conjecture. Moreover, both sets are torsors under the action of prounipotent groups, and we show that this map is  a morphism of torsors. The main tool used in the proof is  the Bar-Natan's theory of parenthesized braids.



[22]
 Solution non universelle pour la conjecture KV-78  (avec Pascale Harinck et Luc Albert)   Journal of Lie Theory vol 18 (2), pages 617-626.

Dans l'article de 78, où est énoncée la conjecture KV, M. Vergne et M. Kashiwara ont en outre proposé une solution explicite à leur problème dans le cas résoluble. Grace aux outils informatiques nous avons pu vérifier que cette solution ne résout pas la deuxième équation en degré 8 pour les algèbres de Lie générales. Par contre cette deuxième équation est vérifiée pour les algèbres de Lie quadratiques en degré 8 et 10. On peut donc conjecturer que cette solution convient pour les algèbres quadratiques. Rappelons que dans ce cas quadratiques, Vergne (99) et Alekseev-Meinrenken (00) avaient déjà exhibé des solutions.  Par ailleurs ces mêmes programmes ont  permis aux auteurs  C. T.  et L. A.  de vérifier jusqu'en degré 16 la conjecture de Alekseev-Torossian concernant  GRT_1 et KV_2.  On trouve ci-dessous les matrices compressées sous forme sparse pour N=13, 14, 15, 16.  

Progamme Maple   Programme CAML     Matrice kv_2 N=16   (fichier compressé, 7MB)  Matrice kv_2 N=15  (comp, 2,5MB) Matrice kv_2 N=14  Matrice kv_2 N=13


 [21]  Kontsevich deformation  quantization and flat connections   (avec A. Alekseev),  arxiv0906.0187,  Comm. Math. Phys. 300 (2010), no. 1, 47–64, 

Dans ce preprint (coté géométrique de [20]), on montre en particulier que la connexion introduite dans [10] est sans courbure. On en déduit une simplification de la preuve d'Alekseev-Meinrenken de la conjecture KV.  On illustre géométriquement les symétries introduites dans [20] sur les solutions du problème KV. La $R$ matrice apparaît comme transport parallèle sur la paupière de $C_{2, 0}$.
On montre ensuite que la connexion à trois points $\Omega_3$ définit à l'infini une connexion sans courbure. Le transport parallèle fabrique alors une solution paire et réelle pour les associateurs de $KV_3$. C'est l'associateur $\Phi_AT$. Les équations des associateurs résultent uniquement du fait que notre connexion est sans courbure.
Notre conjecture reliant $grt_1$ et $\widehat{kv_2}$, assurerait  que notre associateur est un associateur de Drinfeld pair réel.
Sevara et Willwacher arxiv0905.1789 on montré récemment que  notre connexion était à valeurs dans l'algèbre des tresses pures. L'associateur $\Phi_AT$ est donc bien un vrai associateur de Drinfeld.




[20]   The Kashiwara-Vergne conjecture and Drinfeld's associators, (avec A. Alekseev), Annals of Mathematics 175 (2012), 415--463

On définit de nouvelles algèbres de Lie: $kv_n$ et $\widehat{kv_2}$.
Nous montrons que l'algèbre de Grothendick-Teichmuller, $grt_1$ est une sous-algèbre de Lie $\widehat{kv_2}$.
Nous définissons les associateurs des équations $KV_3$.  On montre que
$\widehat{KV_2}$ le groupe associé à $\widehat{kv_2}$agit transitivement sur les associateurs de $KV_3$. Tout associateur définit une solution symétrique du problème de Kashiwara-Vergne et réciproquement. En particulier l'associateur KZ fournit une solution au problème KV (avec fonction de Duflo $1/\Gamma(1-x/(2i\pi))$ au lieu de $j^{1/2}(x)).
On conjecture que $grt_1$ est en fait isomorphe à $\widehat{kv_2}$. Cette conjecture a été vérifiée jusqu'en degré 16, (voir article avec Albert). De fait notre conjecture implique la construction nouvelle d'associateurs de Drinfeld pair. Les arguments sont essentiellement d'ordre homologiques.
Cette publication est fondamentale, contient des résulats très  importants.

[19]   Application de la bi-quantification à la théorie de Lie.
Higher structures in geometry and physics, 315–342, Progr. Math., 287, Birkhäuser/Springer, New York, 2011,

This article is a survey about applications of bi-quantization theory  in Lie theory. We focus on a conjecture of M. Duflo.
Most of the applications are coming from our article with Alberto Cattaneo  and some extensions are relating  discussions with my student.
The end of the article is completely new. We prove that the conjecture $E=1$ implies the Kashiwara-Vergne conjecture.
Our deformation is non geometric but use a polynomial deformation of the coefficients.

NB: Dans les formules qui utilisent la bi-(tri)-quantification il manque les termes de boucles (déjà absent dans l'article de Cattaneo-Felder); un correctif est en cours d'écriture avec Cattaneo et Rossi: ce terme fait apparaître le shift des espaces homogènes, et c'est tant mieux!

[18]   La conjecture de Kashiwara-Vergne [d'après Alekseev-Meinrenken], séminaire Bourbaki, juin 2007.   arXiv:0706.2595 , 24 pages.
Vol. 2006/2007. Astérisque No. 317 (2008), Exp. No. 980, ix, 441-465.

C'est le texte que je présente à Bourbaki le 16 juin 2007. On explique la preuve de la conjecture de Kashiwara-Vergne due aux auteurs cités. La preuve est basée sur mon travail [10].  Dans la version définitive à paraître chez Astérisque, il y a une actualisation du texte en rapport avec nos travaux postérieurs à Juin 2007. Je vous invite à regarder le texte définitif publié.

[17]   Quantification pour les paires symétriques et diagrammes de Kontsevich, (avec A. Cattaneo). (Annales Sci. de l'Ecole Norm. Sup.  (5) 2008, 787--852.) 

Cette version diffère de  de RT/0609693, on a comprimé  les termes  à l'ordre 4 de la fonction $E(X, Y)$ et on a regroupé des figures (ou supprimé certaines d'entre elles). Les encadrements ont disparu,  les tables de matière aussi.  On a changé le paragraphe 3.7 par le paragraphe 4.4, ce qui rend plus cohérent la partie 4. Le paragraphe 3.8 est supprimée car les i et ii sont intégrés dans le 4.4, tandis que iii se retrouve en remarque 13.
Cette publication est fondamentale.
Elle finalise la quantification des paires symétriques, mais les outils développés s'appliquent à un cadre plus général, notamment le cas homogène. L'article est long. mais contient des méthodes nouvelles en théorie de Lie. Très novateur !!

NB: Dans les formules qui utilisent la bi-(tri)-quantification il manque les termes de boucles (déjà absent dans l'article de Cattaneo-Felder); un correctif est en cours d'écriture avec Cattaneo et Rossi: ce terme fait apparaître le shift des espaces homogènes, et c'est tant mieux.


[16]   LIVRE :   Déformation, Quantification, Théorie de Lie,  (avec A. Cattaneo, B. Keller et A. Bruguières),
 Panoramas et Synthèses 20 (2005), viii+186  pages.


Livre que tout mathématicien doit acheter. J'explique dans ma partie, comment calculer les diagrammes avec les formules de Stokes, on détaille les signes et les concentrations. Les applications concernant l'isomorphisme de Duflo.

[15]   Deux résultats autour du théorème de restriction de Chevalley, math.RT/0511699,  Journal of Lie Theory, vol17 (2007), 583-590.

On donne une nouvelle preuve du théorème de restriction de Chevalley. Le point difficile est la surjectivité. On montre qu'elle se déduit facilement des opérateurs de Dunkl, qui permettent de calculer les parties radiales. On étend ces résultats au cas des paires symétriques de Takiff. Le résultat est très similaire au cas des super-algèbres de Lie. Ce n'est pas étonnant car on a remarqué depuis longtemps que les super algèbres de Lie se comportent un peu comme des paires symétriques.


[14]   Isomorphisme de Duflo et cohomologie tangentielle: (avec M. Pevzner), Journal of Geometry and Physics  Volume 51, Issue 4, August 2004, Pages 486-505.

Dans cet article on montre que la formule de Duflo s'étend à toute la cohomologie. Kontsevich avait montré que les cohomologies étaient isomorphismes, on vérifie que l'isomorphisme est celui de Duflo. Pour cela on doit utiliser un résultat sur la cohomologie des algèbres de Lie et l'antisymétrisation de Cartan-Eilenberg.


[13]  
Paires symétriques orthogonales et Isomorphisme de Rouvière:  septembre 2003. arXiv: math.RT/0309212 , Journal of Lie Theory, vol 15 (1) (2005), 79-87.

Cet article étend des résultats anciens concernant la construction de caractères pour les algèbres d'opérateurs différentiels invariants pour les espaces symétriques. On montre que si G/K est une paire symétrique dans laquelle les éléments génériques de k^perp=p*  admettent des polarisations sigma-stables alors la formule de Rouvière s'applique. C'est le cas par exemple pour les  paires quadratiques telle que k* est isomorphe à p.  Ce qu'il faut retenir c'est que la situation est un peu comme celle des groupes.

[12]   Méthodes de Kashiwara-Vergne-Rouvière pour certains espaces symétriques.,  dans  Ed P. Delorme et M. Vergne, Non commutative Harmonic Analysis,   Birkhauser, Progress In Mathematics vol. 220 (2004),  459-486.

 Dans ce travail, on explore pour la première fois ce que donne les théories de Kontsevich pour les paires symétriques générales. L'idée est la suivante, on sait que pour G/K espace symétrique, il existe une sorte de formule de Campbell-Hausdorff, disons Z_sym (X, Y). Elle se déduit de celle du groupe par le fait que pour X, Y dans p=T_e(G/K), on a exp(X)exp(2Y)exp(X)=exp(2Z_sym(X,Y)). On effectue des déformations symétriques et on en déduit dans le cas des paires très symétriques, ou dans le cas résoluble que la formule de Rouvière donne bien un isomorphisme entre D(G/K) et S(p)^k. 

[11]   Cohomologie tangente et cup-produit pour la quantification de Kontsevich (avec D. Manchon), Annales Mathématiques Blaise Pascal, Vol 10 (1), 2003, 75-106.

            Erratum  : Annales Mathématiques Blaise Pascal, Vol 11 (1), 123-130 (2004).


            Dans cet article on donne les détails d'un résultat de Kontsevich sur la cohomologie tangente dans le cadre Poisson. 

[10]   Sur la conjecture combinatoire de Kashiwara-Vergne, Journal of Lie Theory, vol 12 (2) (2002), 597-616.

Dans cet article, on montre que l'argument d'homotopie écrit dans l'article de Kontsevich permet de déformer la formule de Campbell-Hausdorff. Ce fait n'est pas nouveau. Ce qui est nouveau c'est que l'on explique que cette déformation suit des équations analogues à celles qui sont écrites dans l'article de Kashiwara-Vergne (1978). En fait on introduit Omega_xi=(F_xi, G_xi) une 1-forme à valeurs dans les fonctions de g\times g dans g\times g et qui contrôle par les champs adjoints la déformation. On a aussi un contrôle de la fonction de densité et on fait apparaître la divergence des champs. Ce résultat montre, comme dans l'article KV78, que l'application exponentielle modifiée par la racine carrée du jacobien  transporte la convolution sur g en la convolution sur G.

[9]    Convolution of Invariant Distributions : Proof of the Kashiwara-Vergne conjecture , (avec S. Sahi et M. Andler) Letters in Mathematical Physics 69, 177-203  (2004).

Cet article généralise un résultat précédent de Andler-Dvorski-Sahi. On utilise toutefois que la déformation homogène est analytique en t. On calcule les dérivées en t=0 et on montrent qu'elles sont nulles en suivant les arguments de ADS.  Cet article fut écrit en 2000 dans une première version, mais ne fut publié qu'en 2004.

[8]    L'homomorphisme  d'Harish Chandra pour les paires  symétriques orthogonales et parties radiales des opérateurs différentiels invariants sur les espaces symétriques . Bull. Soc. math. France 126 (1998),  295-354.

Cet article est comme toujours long et peu connu, malheureusement. On développe deux théories. La première concerne la théorie des parties radiales pour les opérateurs différentiels invariants sur un espace symétrique quelconque. J'ai introduit dans ma thèse, une notion de petite paire symétrique, que personne ne semble connaître. Il s'agit s'une extension du groupes AM/M dans le cas des groupes semi-simples. Si G est nilpotent alors le petit espace symétrique est égale à G. Dans la deuxième partie, on montre que notre conjecture polynomiale est vraie pour les paires symétriques quadratiques. La méthode utilise une récurrence et on examine les cas limites. On trombe sur les paires de Takiff.

[6]    Une application des opérateurs de Cherednik à l'isomorphisme d 'Harish-Chandra pour les espaces symétriques . CRAS, Paris 320 (1995), 139-144.

Dans cette note originale, on montre que les opérateurs de Cherednik, qui permettent d'exprimer les parties radiales des opérateurs différentiels invariants sur les espaces symétriques rienmanniens, permettent de donner une formule d'inversion globale pour l'homomorphisme d'Harish-Chandra. En utilisant la note suivante, qui donne une formule pour l'inversion de l'application de restriction de Chevalley, nous sommes en mesure de donner une formule, certes compliquée, pour un  isomorphisme entre S(p)^k et (U/Uk)^k. Comme on le sait la théorie d'Harish-Chandra fait toujours appel aux sous-espaces de Cartan. or il est utile de comprendre une formule globale, cette formule devrait être utile pour une isomorphisme dans le cadre de la théorie générale.

[5]   Une application des opérateurs de Dunkl au théorème de restriction de Chevalley.  CRAS, Paris 318, (1994), 895-898.

Dans cette note originale, nous proposons une formule pour l'inversion de l'application de restriction de Chevalley en utilisant les opérateurs de Dunkl. Donnons un exemple: Soit f  une fonction d'une variable et paire. Utilisons le groupe SO(2) agissant dans R^2 pour trouver une fonction SO(2) invariante dont la restriction à (x;0) soit exactement f(x). On peut bien-sûr considérer f(x) comme une fonction de deux variables, ne dépendant pas de y. Une idée naive serait de penser que moyenner cette fonction sous l'action de SO(2) suffit. Il n'en est rien!! En fait si on regardait se problème dans R^3, ça serait plus facile. Il suffirait avant de moyenner de considérer l'opérateur f ---> d/dx (x f ). Pour SO(2) il faut appliquer un opérateur pseudo-différentiel avant de moyenner. La théorie de Dunkl permet de comprendre cet opérateur. 

[4]   Opérateurs différentiels invariants sur les espaces symétriques 2. CRAS, Paris 317 (1993), 817-819.  

On étend les résultats de [1] au cas des paires symétriques non algébriques.

[3]    Opérateurs différentiels invariants sur les espaces symétriques II-  L'homomorphisme d'Harish-Chandra généralisé. Journal of Functional Analysis,  vol 117(1993),         174-214.    

Dans cette publication, qui est ma thèse 1991 sous la direction du Pr Duflo,  on s'intéresse à la généralisation de l'isomorphisme de Duflo au cas des paires symétriques générales (ni réductives, ni nilpotentes). On construit des polarisations pour les éléments génériques de p*. Ces polarisations permettent de fabriquer des caractères. On introduit la notion du petit espace symétrique,  c'est l'analogue des sous-espaces de Cartan du cas réductif,  et on montre dans ce cas que la formule de Rouvière est bien un isomorphisme entre S(p_o)^k_o et (U/Uk_o)^k, pour le petit espaces symétrique G_o/K_o. Pour atteindre ce résultat on suit la méthode des orbites initiées par Kirillov. Dans le petit espace symétrique on fabrique des polarisations sigma-stables, ce qui permet d'introduire un vecteur  distribution invariant, dont on peut calculer le coefficient. Il se trouve que l'on trouve essentiellement la transformée de Fourier de la K-orbite. Ceci montre que la formule de Rouvière va être un isomorphisme. 

On essaie ensuite de définir l'analogue de l'homomorphisme d'Harish-Chandra pour envoyer (U/Uk)^k dans les opérateurs différentiels invariants du petit espace symétrique.  On montre que cette application est bien définie. Il y a bien sûr une rho-shift. On montre en étendant la notion de groupe de Weyl que l'image est invariante par un groupe fini. Il existe aussi une version infinitésimal de ce résultat. La restriction des fonctions K-invariantes sur p  fournit des fonctions K_o-invariante sur p_o qui sont en plus invariantes par ce groupe fini W. On en déduit qu'au niveau des corps de fractions tout se passe bien. Notre diagramme d'Harish-Chandra définit donc un morphisme injectif dans le corps des fractions K-invariante. Notre conjecture "conjecture polynomiale" toujours ouverte est que cette application  que nous avons définie une une application à valeurs polynomiales. 

[2]    Opérateurs différentiels invariants sur les espaces symétriques I- Méthodes des orbites. Journal of Functional Analysis, vol 117 (1993), 118-173.

 cf. commentaires de [3].

[1]    Opérateurs différentiels invariants sur les espaces symétriques. CRAS, Paris 313 (1991), 159-162.

Cette note annonce les résultats de [2] et [3]