REPRÉSENTABILITÉS

Table des matières

Introduction 2 Objectif 2 Construction du Schéma de Siegel-Mumford 2 Schéma de Picard 4 Références 4

partie 1. Critères de représentabilité et exemples 4 1. Critères de Représentabilité 4 1.1. Morphismes relativement représentables 4 1.2. Faisceaux et Représentabilité, I 4 2. Premiers exemples de foncteurs représentables 6 2.1. Représentabilité de conditions sur des morphismes 6 2.2. Schémas Affines 7 2.3. Fibrés vectoriels 7 2.4. Fibrés projectifs et Grassmaniennes 8

partie 2. Le schéma de Hilbert 9 3. Les Théorèmes principaux 9 3.1. Le schéma de Hilbert 9 3.2. Les polynômes de Hilbert 9 3.3. Exemples 10 4. Preuve du Théorème 25 10 4.1. Réduction à X = P_{ℤ}^{N} 10 4.2. Caractère borné de Hilb_{X/S}^{ϕ} 11 4.3. Plongement dans une Grassmanienne 11 5. Vérifications Cohomologiques 12 5.1. Cohomologie des schémas affines et applications 12 5.2. Cohomologie des schémas projectifs et applications 13 5.3. Faisceaux m-réguliers et applications 15 5.4. Bornes 16 5.5. Cohomologie et changement de base 17 5.6. Preuve du lemme 26. 18 5.7. Preuve du lemme 28 19

partie 3. Le schéma de Picard 20 6. Le foncteur Pic_{X/S} 20 7. Le foncteur Div_{X/S} 21 7.1. Définition 21 7.2. Le morphisme Div_{X/S} ↪ Hilb_{X/S} 22 7.3. Le morphisme Div_{X/S} → Pic_{X/S} 22 8. Fin de la Preuve du Théorème 51 23 8.1. Analyse 23 8.2. Surjectivité 24 8.3. Quotients 25 8.4. Conclusion 26 9. Propriétés du schémas de Picard 26

partie 4. Schémas abéliens 27 10. Schémas Abéliens 27 10.1. Rigidité et applications 27 10.2. Le morphisme Λ 29 10.3. Le théorème du cube 30 10.4. Le noyau de Λ 31 10.5. La composante neutre 32 10.6. Les théorèmes 32 10.7. Le cas d’un corps algébriquement clos 33 10.8. Preuves sur S quelconque 40

partie 5. Le schéma de Siegel/Mumford 41 11. Le théorème de Mumford 41 12. Rigidification 41 12.1. Analyse 41 12.2. Le foncteur de Mumford rigidifié 43 13. Le morphisme RM_{d,n}^{g} → M_{d,n}^{g} 45 13.1. Fibrés principaux 45 13.2. La technique de Mumford 45 13.3. Conclusion 47

partie 6. Compléments 47 14. Algèbres de Lie 47 15. Faisceaux amples 48 16. Descente 49 16.1. Abstract nonsense 49 16.2. Descente fpqc 50 Références 52

Introduction

Objectif. L’objectif de cette première partie du cours est de construire un espace de module pour les variétés abéliennes polarisées munies de quelques structures additionnelles, le schéma de Siegel-Mumford. C’est dans un avatar de cet espace que nous découperons, dans un second temps, des variétés de Shimura (de type PEL, c’est-à-dire classifiant des variétés abéliennes munies de Polarisations, d’Endomorphismes, et de structures de niveaux (Level structures en anglais)).

Construction du Schéma de Siegel-Mumford. La construction de cet espace de module est un véritable légo, dont voici les grands acteurs.

Le foncteur A_{d,n}^{g}. Il classifie les schémas abéliens f : A → S de dimension relative g, munis d’une polarisation λ : A → A^{t} de degré d^{2}, et d’une structure de niveau n naïve κ : (ℤ/nℤ)_{S}^{2g} ≃ A[n]. La polarisation λ permet de construire un faisceau inversible L(λ) sur A qui est ample sur S et tel que E(λ) = f_{∗}(L(λ)^{⊗3}) est un faisceau localement libre sur S de rang N +1, où N = N(g, d) est un entier que l’on explicitera. Le morphisme d’adjonction f^{∗}E(λ) → L(λ)^{⊗3} est surjectif, et définit un plongement ι(λ) : A ↪ P(E(λ)).

Le foncteur RA_{d,n}^{g}. Il classifie les quadruplets (A, λ, κ, ϕ) où (A, λ, κ) est comme cidessus, et où ϕ : E(λ) ≃ O_{S}^{N+1} est une rigidification. Cette rigidification nous fournit un isomorphisme P(E(λ)) ≃ P(O_{S}^{N+1}) = P_{S}^{N}, et le triplet (A, λ, ϕ) induit donc un plongement ι(λ, ϕ) : A ↪ P_{S}^{N}. L’oubli de ϕ donne un morphisme RA_{d,n}^{g} → A_{d,n}^{g}.

Le foncteur Hilb_{N}^{2g}. Il classifie les couples formés d’un sous-schéma fermé Z de P_{S}^{N} qui est plat sur S et de 2g sections κ_{i} : S → Z. Le choix d’une base e_{i} de (Z/nZ)^{2g} permet de définir un morphisme RA_{d,n}^{g} → Hilb_{N}^{2g} qui à (A, λ, κ, ϕ) associe le sousschéma fermé S-plat Z = ι(λ, ϕ)(A) ⊂ P_{S}^{N} muni des 2g-sections ι(λ, ϕ) ∘ κ(e_{i}).

Le foncteur Hilb_{N}. Il classifie les sous-schémas fermés Z de P_{S}^{N} qui sont plats sur S. L’oubli des 2g-sections fournit un morphisme Hilb_{N}^{2g} → Hilb_{N}.

Les foncteurs Hilb_{N}^{ϕ}. Ce sont des sous-foncteurs ouverts et fermés de Hilb_{N} qui classifient les sous-schémas fermés S-plats Z de X = P_{S}^{N} dont le polynôme de Hilbert ϕ_{Z} est constant sur S, égal à un polynôme fixé ϕ. Pour de tels sous-schémas, on montre qu’il existe un entier m(ϕ) tel que pour tout m ≥ m(ϕ), la surjection O_{X}(m) ↠ O_{Z}(m) induit une surjection π_{∗}O_{X}(m) ↠ π_{∗}O_{Z}(m) entre faisceaux localement libres sur S, le rang de π_{∗}O_{Z}(m) étant égal à ϕ(m).

Le foncteur Grass(F, r). Pour F = π_{∗}O_{X}(m) et r = ϕ(m) (avec m ≥ m(ϕ)), le foncteur Grass(F, r) classifie les quotients F → Q qui sont localement libres de rang r sur S. La construction ci-dessus Z ↦ Q = π_{∗}(O_{Z}(m)) donne donc un morphisme Hilb_{N}^{ϕ} → Grass(F, r).

La construction. Pour résumer, on a donc le diagramme suivant :

Grass(F, r) ← Hilb_{N}^{ϕ} ↪ Hilb_{N} ← Hilb_{N}^{2g} ← RA_{d,n}^{g} → A_{d,n}^{g}.

Nous démontrons la représentabilité de ces foncteurs “de gauche à droite”. En chemin, nous expliquerons un peu les techniques qui permettent de “transférer” la propriété pour un foncteur (sur une catégorie de schémas) d’être représentable à travers un morphisme de foncteurs F : X → Y. Il y a un critère simple pour que Y représentable implique X représentable : il faut que F soit relativement représentable, cf. proposition 1. Il est beaucoup plus difficile d’aller dans l’autre sens : X représentable implique Y représentable. Nous verrons quelques critères pour cette descente, et tâcherons de l’appliquer au cas de RA_{d,n}^{g} → A_{d,n}^{g}.

Schéma de Picard. Pour la formulation même du problème A_{d,n}^{g}, nous devons savoir définir le schéma abélien dual A^{t}/S de A/S. Il nous faut pour cela étudier encore un autre foncteur, le foncteur de Picard Pic_{X/S} d’un schéma X/S (dans le cas où X est projectif et lisse sur S, et muni d’une section). Sans entrer dans trop de détails, celui-ci s’obtient par un légo du type suivant :

D(ϕ) → Pic_{X/S}^{ϕ}
∩  ∩
Hilb_{X/S} ← Div_{X/S} → Pic_{X/S}

où Div_{X/S} classifie les diviseurs effectifs sur X qui sont plats sur S, Hilb_{X/S} tous les sous-schémas fermés Z de X plats sur S, et où Pic_{X/S} = ∐ Pic_{X/S}^{ϕ} est un découpage par des polynômes de Hilbert associés au choix d’un plongement X ↪ P(E). Comme dans le cas précédent, la partie la plus difficile de la preuve est la descente D(ϕ) → Pic_{X/S}^{ϕ}.

Références. La référence principale pour la construction de A_{d,n}^{g} est le livre [12] de Mumford, qui s’appuie sur [10] pour la théorie des variétés abéliennes sur un corps, et sur [6] pour l’existence des schémas de Hilbert et de Picard. La construction de ceux-ci a été réactualisée avec beaucoup plus de détail dans [5]. La preuve de Mumford est aussi exposée dans un chapitre du très dense livre [8] de Hida.

Première partie 1. Critères de représentabilité et exemples

1. Critères de Représentabilité

1.1. Morphismes relativement représentables. Soit α : F → G un morphisme de foncteur F, G : (Sch/S)^{0} → Ens. Pour tout T/S et g ∈ G(T), on note F_{g} le sous-foncteur de la restriction F|T : (Sch/T)^{0} → Ens qui est défini par

F_{g}(T′) = {f ∈ F(T′) : α(f) = g|T′} .

On dit que α est relativement représentable si et seulement si pour tout T/S et tout g ∈ G(T), le foncteur F_{g} : (Sch/T)^{0} → Ens est représentable.

Proposition 1. Supposons que G est représentable. Alors F est représentable si et seulement si α est relativement représentable.

Démonstration. Supposons que F et G sont représentables par des S-schémas F et G, et soit F → G le morphisme correspondant à α. Soit T/S et g ∈ G(T), correspondant à un morphisme T → G. Alors F_{g} est représentable par F ×_{G} T, donc α est relativement représentable. Supposons ensuite que G est représentable par un S-schéma G. Soit g ∈ G(G) l’élément universel. Si F_{g} est représentable par un G-schéma F, alors le S-schéma sous-jacent à F représente F et α correspond au morphisme structural F → G. □

1.2. Faisceaux et Représentabilité, I. Soit F : (Sch/S)^{0} → Ens un foncteur. On dit que F est un faisceau (pour la topologie de Zariski) si et seulement si pour tout S-schéma T sur S et pour tout recouvrement ouvert T_{i} de T,

F(T) = ker (∏_{i} F(T_{i}) ⇒ ∏_{i,j} F(T_{i,j})) où T_{i,j} = T_{i} ∩ T_{j} = T_{i} ×_{T} T_{j}.

Si T′ = ∐ T_{i}, on a donc F(T′) = ∏ F(T_{i}), F(T′ ×_{T} T′) = ∏_{i,j} F(T_{i,j}) et

(1.1)  F(T) = ker (F(T′) ⇒ F(T′ ×_{T} T′))

On vérifie facilement que tout foncteur représentable est un faisceau. Inversement :

Proposition 2. Soit F : (Sch/S)^{0} → Ens un foncteur, (S_{i}) un recouvrement ouvert de S et S′ = ∐ S_{i}. Si F est un faisceau pour la topologie de Zariski, les conditions suivantes sont équivalentes.

(1) F est représentable,

(2) Pour tout i, F_{i} = F|S_{i} : (Sch/S_{i})^{0} → Ens est représentable,

(3) F′ = F|S′ : (Sch/S′)^{0} → Ens est représentable.

Démonstration. (1) ⇒ (2) ⇔ (3) sont faciles. Pour (2) ⇒ (1) : soit X_{i}/S_{i} représentant F_{i}, f_{i} : X_{i} → S_{i} le morphisme structural, S_{ij} = S_{i} ∩ S_{j} et X_{ij} = f_{i}^{−1}(S_{ij}). Alors X_{ij}/S_{ij} et X_{ji}/S_{ij} représentent F_{i}|S_{ij} = F|S_{ij} = F_{j}|S_{ij}, ce qui nous fournit une donnée de recollement ϕ_{ij} : X_{ij} ≃ X_{ji}. En considérant de même des intersections de trois ouverts, on voit que ces données de recollement vérifient une condition naturelle de compatibilité qui permettent de recoller tous les X_{i}/S_{i} en un schéma X/S. Soit G le foncteur représenté par ce schéma, de sorte que F|S_{i} ≃ G|S_{i} pour tout i. Pour tout T → S, soit T_{i} et T_{ij} les images inverses de S_{i} et S_{ij}. Puisque F et G sont des faisceaux, on a

F(T) = ker (∏ F(T_{i}) → ∏ F(T_{ij})) = ker (∏ G(T_{i}) → ∏ G(T_{ij})) = G(T)

donc F ≃ G, i.e. X représente F. □

Remark 3. On dit aussi souvent d’un foncteur F : (Sch/S)^{0} → Ens qui est un faisceau (pour la topologie de Zariski) qu’il est local sur S (pour cette même topologie). Nous rencontrerons plus tard d’autres “topologies”, plus fines que la topologie de Zariski, et pour lesquelles à nouveau tous les foncteurs représentables sont des faisceaux. Les plus classiques de ces topologies sont

top ∈ {fpqc, fppf, et}.

On dit que F est un faisceau pour la topologie top si et seulement si pour toute famille (T_{i})_{i} de S-schémas F(∐ T_{i}) = ∏ F(T_{i}) et si de plus (1.1) est valide pour tout S-morphisme T′ → T qui est fidèlement plat et quasi-compact, ou fidèlement plat et de présentation finie, ou étale respectivement. Un faisceau pour la topologie fpqc est a fortiori un faisceau pour la topologie fppf, et de même tout faisceau fppf est un faisceau étale, et tout faisceau étale est un faisceau pour la topologie de Zariski. On montre que tout foncteur F qui est représentable est un faisceau pour chacune de ces topologies. Dans la suite du texte, un faisceau (pour une topologie non précisée) est un faisceau pour la topologie de Zariski.

Definition 4. On dit d’une famille de sous-foncteurs {F_{i} ⊂ F} de F que c’est un recouvrement ouvert de F si et seulement si (1) pour tout i, l’inclusion F_{i} ↪ F est relativement représentable par des immersions ouvertes, et (2) pour tout S-schéma ponctuel x (i.e. dont l’espace sous-jacent est un point), F(x) = ∪F_{i}(x).

Proposition 5. Soit (F_{i} ⊂ F)_{i} un recouvrement ouvert d’un faisceau F. Alors F est représentable si et seulement si tous les F_{i} le sont.

Démonstration. Soit X_{i} représentant F_{i}, α_{i} ∈ F_{i}(X_{i}) ⊂ F(X_{i}) l’élément universel, X_{i,j} l’ouvert de X_{i} représentant (F_{j})_{α_{i}} et α_{i,j} ∈ F_{j}(X_{i,j}) ⊂ F(X_{i,j}) l’élément universel. Alors α_{i,j} = α_{i}|X_{i,j} et (X_{i,j}, α_{i,j}) représente F_{i} ∩ F_{j}. Il existe donc un (unique) isomorphisme ϕ_{i,j} : X_{i,j} → X_{j,i} qui envoie α_{i,j} sur α_{j,i}. Ces isomorphismes vérifient la condition de cocycle, et les X_{i} se recollent en un S-schéma X. Puisque F est un faisceau, les α_{i} se recollent aussi en une section α de F sur X. Vérifions que (X, α) représente F. Soit donc T/S et γ ∈ F(T). Soient T_{i} les ouverts qui représentent (F_{i})_{γ}, et γ_{i} = γ|T_{i}. Alors γ_{i} correspond à un morphisme f_{i} : T_{i} → X_{i} tel que γ_{i} = f^{∗}α_{i} et f_{i}^{−1}(X_{i,j}) = T_{i} ∩ T_{j} et f_{i} = f_{j} sur T_{i} ∩ T_{j} : les morphismes f_{i} se recollent en un morphisme f : ∪T_{i} → X. Puisque les F_{i} recouvrent F, ∪T_{i} = T. Enfin f^{∗}α = γ car F est un faisceau et f^{∗}α|T_{i} = f_{i}^{∗}α_{i} = γ_{i} = γ|T_{i}. Le morphisme f est unique car ses restrictions aux T_{i} le sont. □

2. Premiers exemples de foncteurs représentables

2.1. Représentabilité de conditions sur des morphismes.

Lemma 6. Soit f, g : S → X deux sections d’un S-schéma X. La condition f = g est représentable par le sous-schéma S(f = g) = (f, g)^{−1}(Δ_{X}) de S, où l’on a noté Δ_{X} : X → X ×_{S} X la diagonale. Si X/S est séparé, S(f = g) est un sous-schéma fermé de S.

Démonstration. C’est essentiellement une tautologie. □

Lemma 7. Soient S un schéma, X et Y deux S-schémas propres et plats sur S et f : X → Y un S-morphisme. Les conditions suivantes sont représentables par des ouverts de S : (1) f est plat, (2) f est fini, (3) f est un isomorphisme.

Démonstration. (1) Soit S′ = S − π_{X}(X − X′) où X′ = {x ∈ X|f est plat en x}. D’après [1, IV, 11.3.1], X′ est ouvert, donc X − X′ est fermé, π_{X}(X − X′) aussi puisque π_{X} est propre donc fermé, donc S′ est ouvert. Par construction, pour tout s ∈ S′, X_{s} ⊂ X′ donc f_{s} : X_{s} → Y_{s} est plat. D’après [1, IV, 11.3.10], f est alors plat au-dessus de S′. Soit maintenant T → S tel que f_{T} : X_{T} → Y_{T} est plat. Pour t ∈ T ↦ s ∈ S, f_{t} : X_{t} → Y_{t} est plat, donc f_{s} : X_{s} → Y_{s} est plat d’après [1, IV, 2.5.1]. Une nouvelle application de [1, IV, 11.3.10] montre alors que f est plat en tout point de X_{s} (puisque π_{X} est plat), i.e. X_{s} ⊂ X′ et s ∈ S′. Donc T se factorise par S′.

(2) Soit S′ = S − π_{X}(X − X′) où X′ = {x ∈ X|x est isolé dans f^{−1}f(x)}. Puisque X et Y sont propres sur S, f : X → Y est propre d’après [1, II, 5.4.3]. Donc X′ est ouvert dans X, X − X′ est fermé, π_{X}(X − X′) aussi puisque π_{X} est propre donc fermé et S′ est ouvert. Par construction, pour tout s ∈ S′, X_{s} ⊂ X′ donc f_{s} : X_{s} → Y_{s} est quasi-fini. Puisque f : X → Y est propre, f est propre et quasi-fini au-dessus de S′, donc fini d’après [1, IV, 8.11.1]. Soit maintenant T → S tel que f_{T} : X_{T} → Y_{T} soit fini. Pour t ∈ T ↦ s ∈ S, f_{t} : X_{t} → Y_{t} est fini, donc f_{s} : X_{s} → Y_{s} est fini d’après [1, IV, 2.7.1, xv]. Ainsi X_{s} ⊂ X′ et s ∈ S′, i.e. T → S se factorise par S′.

(3) On peut déjà supposer que f est plat et fini. Soit S′ = S−π_{Y} (Y −Y′) où Y′ = {y ∈ Y : f^{−1}(y) ≃ y}. C’est l’ouvert de Y où f_{∗}O_{X} est de rang 1 sur O_{Y}. Puisque π_{Y} est propre donc fermé, S′ est ouvert dans S. Par construction, π^{−1}(S′) ⊂ Y′, donc f : X → Y est de rang 1 au-dessus de S′, i.e. c’est un isomorphisme. Soit maintenant T → S tel que f_{T} : X_{T} → Y_{T} soit un isomorphisme. Pour t ∈ T ↦ s ∈ S, f_{t} : X_{t} → Y_{t} est un isomorphisme, donc f_{s} : X_{s} → Y_{s} est un isomorphisme d’après [1, IV, 2.7.1, viii]. En particulier, Y_{s} ⊂ Y′, donc s ∈ S′ et T → S se factorise par S′, CQFD. □

2.2. Schémas Affines.

Proposition 8. Soit B une O_{S}-algèbre quasi-cohérente. Alors

(Sch/S)^{0} → Ens : (T →^{π} S) ↦ Hom_{O_{T} −alg}(B_{T} , O_{T}) = Hom_{O_{S}−alg}(B, π_{∗}O_{T})

est représentable par un S-schéma affine que l’on note SpecB.

Démonstration. Le problème est local sur S, on peut donc supposer que S = SpecA et B = B̃ où B est une A-algèbre, et le résultat résulte alors du lemme suivant. □

Lemma 9. Pour tout S-schéma T, on a

Hom_{O_{S}−alg}(B̃, π_{∗}O_{T}) = Hom_{A−alg} (B, Γ(T, O_{T})) = Hom_{S}(T, SpecB).

Démonstration. Ce problème là est local sur T, que l’on peut donc supposer affine, et le lemme résulte alors de l’anti-équivalence de catégorie entre anneaux et schémas affines, où plus précisément entre A-algèbres et S-schémas affines. □

2.3. Fibrés vectoriels.

Proposition 10. Soit F un O_{S}-module quasi-cohérent. Alors

(Sch/S)^{0} → Ab : T ↦ Γ(T, F_{T}^{∨}) = Hom_{O_{T}} (F_{T} , O_{T})

est représentable par un S-schéma affine V(F) = Spec(S(F)).

Démonstration. En effet, soit S(F) l’algèbre symétrique définie par F, qui est quasicohérente sur S et de formation compatible au changement de base. Alors

Hom_{O_{T}} (F_{T} , O_{T}) = Hom_{O_{T} −alg} (S(F_{T}), O_{T}) = Hom_{O_{T} −alg} (S(F)_{T} , O_{T})

Donc V(F) = Spec (S(F)) convient. □

Remark 11. Ce foncteur atterrit dans la catégorie des groupes abéliens : le S-schéma qui le représente est donc notre premier exemple de S-schéma en groupes (abéliens). Pour F = O_{S}^{n}, on trouve V(F) = A_{S}^{n}.

Proposition 12. Soit f : X → S un morphisme propre et de présentation finie, F et G des O_{X}-modules cohérents, avec G plat sur S et F localement sur S conoyau d’un morphisme de O_{X}-modules localement libres de rang fini. Alors

(Sch/S)^{0} → Ab : T ↦ Hom_{O_{X_{T}}} (F_{T} , G_{T})

est représentable par un S-schéma affine \underline{Hom}_{X/S}(F, G).

Démonstration. On se ramène au cas où S est affine, avec une suite exacte de O_{X}-modules E_{1} → E_{0} → F → 0 où E_{1} et E_{0} sont localement libres. Alors

\underline{Hom}_{X/S} (F, G) = ker (\underline{Hom}_{X/S} (E_{0}, G) → \underline{Hom}_{X/S} (E_{1}, G))

est représentable et affine sur S si \underline{Hom}_{X/S} (E_{⋆}, G) = \underline{Hom}_{X/S} (O_{X}, E_{⋆}^{∨} ⊗ G) l’est pour ⋆ ∈ {0, 1}, ce qui nous ramène au cas où F = O_{X}. D’après le corollaire 48 ci-dessous, il existe un faisceau cohérent Q sur S tel que

\underline{Hom}_{X/S} (O_{X}, G) = π_{∗}(G) = Q^{∨} = \underline{Hom}_{S/S} (Q, O_{S})

sur Sch/S : ce foncteur est donc représentable par V(Q) = Spec (S(Q)). □

Corollary 13. Avec les hypothèses ci-dessus, soient x, y : F → G deux morphismes de O_{X}-modules. La condition x = y définit un sous-schéma fermé S(x = y) de S.

Démonstration. On applique le lemme 6 aux sections x et y du S-schéma affine (donc séparé sur S) que l’on vient juste de construire. □

Lemma 14. Soit f : X → S un morphisme propre, F et G deux O_{X}-modules localement libres de rang fini, et α : F → G un morphisme de O_{X}-modules. La condition “α est un isomorphisme” définit un sous-schéma ouvert de S.

Démonstration. Puisque un morphisme propre est fermé, il suffit de traiter le cas où X = S. La question étant locale sur S, on peut supposer que F et G sont libres et de même rang sur S affine, alors α a un déterminant, et on veut que ce déterminant soit inversible : c’est bien une condition ouverte. □

2.4. Fibrés projectifs et Grassmaniennes.

Proposition 15. Soit E un O_{S}-module localement libre et r un entier. Alors

(Sch/S)^{0} → Ens : T ↦ {quotients E_{T} ↠ Qde E_{T} localement libres de rang r}

est représentable par un S-schéma que l’on note Grass(E, r).

Démonstration. On commence par réécrire ce foncteur

T ↦ P(T) = {G ⊂ E_{T} |E_{T} /G localement libre de rang r} .

Le foncteur est local sur S, et l’on peut donc supposer que S est affine et E libre, disons E = O_{S}^{m}. Soit J l’ensemble des parties de I = {1, ⋯, m} de cardinal r, et pour tout J ∈ J, soit

P_{J}(T) = {G ⊂ O_{T}^{m}|G ⊕ O_{T}^{J} = O_{T}^{m}} .

C’est un sous-foncteur de P. On a

P_{J}(T) ≃ Hom_{O_{T}} (O_{T}^{I−J}, O_{T}^{J})

via G ↦ π_{G}|O_{T}^{I−J} où π_{G} : O_{T}^{I} = G ⊕ O_{T}^{J} → O_{T}^{J} est la deuxième projection. La bijection inverse est (ϕ : O_{T}^{I−J} → O_{T}^{J}) ↦ G = ker(ϕ + Id : O_{T}^{I−J} ⊕ O_{T}^{J} → O_{T}^{J}). On voit donc que ce sous-foncteur est représentable : par V(O_{S}^{J×I−J}) = A_{S}^{r·(m−r)}. On conclut d’après la proposition 5 avec le lemme suivant. □

Lemma 16. Les P_{J} ↪ P forment un recouvrement ouvert de P.

Démonstration. Soit G ∈ P(T), i.e. G ⊂ O_{T}^{m} et O_{T}^{m}/G est localement libre de rang r. Soit T_{J} ⊂ T le lieu où G ∈ P_{J} : c’est le lieu où O_{T}^{J} → O_{T}^{m}/G est un isomorphisme, et c’est donc un ouvert de T d’après le lemme 14. De plus, pour tout point t de T, t ∈ T_{J} pour au moins un J. □

Example 17. On note P(E) = Grass(E, 1) et P_{S}^{n} = P(O_{S}^{n+1}). Si E est localement libre de rang 1, P(E) = S. En général, il y a sur P = P(E) un faisceau inversible universel quotient de E_{P} : on le note E_{P} ↠ O_{P}(1). Par définition, se donner un morphisme f : X → P revient à se donner un quotient E_{X} ↠ L, et ce quotient est alors le pull-back de E_{P} ↠ O_{P}(1). En particulier, L = f^{∗}O_{P}(1).

Proposition 18. Soit F un O_{S}-module quasi-cohérent. Alors

(Sch/S)^{0} → Ens : T ↦ {quotients inversibles F_{T} ↠ Lde F_{T} }

est représentable par un S-schéma P(F) = Proj_{S} (S(F)).

Démonstration. (sketch) Soit F_{T} ↠ L un quotient avec L inversible sur T. Il induit un morphisme surjectif de O_{T} -algèbres graduées S(F_{T}) ↠ S(L), donc une immersion fermée dans le sens inverse :

T ≃ Proj_{T} (S(L)) → Proj_{T} (S(F_{T})) = P(F)_{T} .

Composant avec P(F)_{T} → P(F), on obtient le S-morphisme T → P(F). □

Deuxième partie 2. Le schéma de Hilbert

3. Les Théorèmes principaux

3.1. Le schéma de Hilbert.

Theorem 19. Soient S un schéma, E un O_{S}-module localement libre, et X un sous-schéma fermé de P(E) de présentation finie sur S. Le foncteur

(Sch/S)^{0} → Ens : T ↦ \{Z| \begin{matrix}Z sous-schéma fermé de X_{T} \\ plat de présentation finie sur T \end{matrix} \}

est représentable par un S-schéma que l’on note Hilb_{X/S}.

Corollary 20. Soient X et Y des S-schémas comme ci-dessus, avec X plat sur S. Le foncteur

(Sch/S)^{0} → Ens : T ↦ Hom_{T} (X_{T} , Y_{T})

est représentable par un S-schéma que l’on note Hom_{S}(X, Y).

Démonstration. L’application qui à un morphisme associe son graphe induit une bijection entre Hom_{T} (X_{T} , Y_{T}) et l’ensemble des sous-schémas fermés (car Y_{T} → T est séparé) Z de X_{T} ×_{T} Y_{T} = (X ×_{S} Y)_{T} tels que la projection X_{T} ×_{T} Y_{T} → X_{T} induise un isomorphisme de Z sur X_{T}. Puisque X_{T} est plat sur T, de tels sousschémas le sont également. On obtient ainsi un plongement

Hom_{S}(X, Y) ↪ Hilb_{X×_{S}Y/S}.

Le lemme 7 montre qu’il est représentable par des immersions ouvertes. □

3.2. Les polynômes de Hilbert. Le schéma Hilb_{X/S} est typiquement énorme, mais on peut le découper en morceaux plus petits en utilisant des invariants discrets. Le plus fin de ces invariants est le polynôme de Hilbert.

Definition 21. Pour tout faisceau coherent F sur X et tout point s ∈ S, on pose

χ(F_{s}) = ∑_{i}(−1)^{i} dim_{k(s)} H^{i}(X_{s}, F_{s})

C’est la caractéristique d’Euler-Poincaré de F_{s}.

Lemma 22. C’est bien définie et la fonction

n ↦ ϕ(F_{s})(n) = χ (F_{s}(n)) = ∑_{i}(−1)^{i} dim_{k(s)} H^{i} (X_{s}, F_{s}(n))

est polynomiale, de degré majoré par la dimension du support de F_{s}.

Démonstration. Voir plus bas. □

Lemma 23. Si F est S-plat, les fonctions

s ↦ χ(F)(s) = χ(F_{s}) et s ↦ ϕ(F)(s) = ϕ(F_{s})

sont localement constantes sur S.

Démonstration. Voir plus bas. □

Pour tout sous-schéma fermé Z de X qui est de présentation finie sur S, le O_{X}-faisceau O_{Z} est cohérent, et plat sur S si et seulement si Z l’est. On pose

ϕ(Z) = ϕ(O_{Z}) : S → ℚ[x].

Pour tout polynôme ϕ ∈ ℚ[x], on définit un sous-foncteur de Hilb_{X/S} par

Hilb_{X/S}^{ϕ}(T) = {Z ∈ Hilb_{X/S}(T) : ϕ(Z) ≡ ϕ sur T } .

Il résulte alors immédiatement du lemme précédent que :

Proposition 24. Les Hilb_{X/S}^{ϕ} forment un recouvrement ouvert de Hilb_{X/S}.

Le théorème 19 résulte donc de sa variante, plus précise, que voici.

Theorem 25. Pour tout polynôme ϕ ∈ ℚ[x], le foncteur (Sch/S)^{0} → Ens

Hilb_{X/S}^{ϕ}(T) = \{Z| \begin{matrix}Z sous-schéma fermé de X_{T} , \\ plat de présentation finie sur T, \\ avec ϕ(Z) constant égal à ϕsur T \end{matrix} \}

est réprésentable par un S-schéma projectif que l’on note encore Hilb_{X/S}^{ϕ}.

3.3. Exemples. Voir [5, p 111].

4. Preuve du Théorème 25

4.1. Réduction à X = P_{ℤ}^{N}. Le problème est local sur S, et l’on peut donc supposer que S = SpecA et E ≃ O_{S}^{N+1}, i.e. P(E) ≃ P_{A}^{N}. Comme X est de présentation finie sur A, tout est déjà défini sur un sous-anneau de A qui est de type fini sur ℤ, donc noethérien : on remplace A par ce sous-anneau. Le morphisme

Hilb_{X/S} → Hilb_{P_{S}^{N} /S} = Hilb_{P_{ℤ}^{N} /ℤ}|_{S}

est injectif, et relativement représentable par des immersions fermées. En effet, soit T un S-schéma et Z un sous-schéma fermé de P_{T}^{N} qui est plat et de présentation finie sur T. Pour tout U → T, l’immersion Z_{U} ↪ P_{U}^{N} se factorise par l’immersion X_{U} ↪ P_{U}^{N} si et seulement si le morphisme I_{X_{U}} ↪ O_{P_{U}^{N}} ↠ O_{Z_{U}} est nul. Bien que la formation de I_{X} ⊂ O_{P_{S}^{N}} ne commute pas au changement de base (en l’abscence d’une hypothèse de platitude sur X/S), il revient au même de demander que

((I_{X} → O_{P_{S}^{N}} )_{T} → O_{Z})_{U} = 0.

Les faisceaux (I_{X})_{T} et O_{Z} sont cohérents sur P_{T}^{N}, et le second est T -plat. On peut donc utiliser la proposition 12, qui identifie (I_{X})_{T} → O_{Z} à une section s du T -schéma en groupes \underline{Hom}_{X_{T} /T} ((I_{X})_{T} , O_{Z}). La condition Z_{U} ⊂ X_{U} est alors équivalente à : U → T se factorise par le sous-schéma fermé T (s = 0) de T.

4.2. Caractère borné de Hilb_{X/S}^{ϕ}. On fixe un polynôme de Hilbert ϕ ∈ ℚ[x].

Lemma 26. Il existe m(ϕ) ≥ 0 tel que pour tout m ≥ m(ϕ), tout S-schéma T et tout Z ∈ Hilb_{X/S}^{ϕ}(T) correspondant à une suite exacte de O_{X_{T}} -modules

0 → I_{Z} → O_{X_{T}} → O_{Z} → 0,

les propriétés suivantes sont vérifiées :

(1) la suite de O_{T} -modules

0 → f_{∗} (I_{Z}(m)) → f_{∗} (O_{X_{T}} (m)) → f_{∗} (O_{Z}(m)) → 0

est exacte,

(2) f_{∗} (O_{X}(m)) est localement libre et f_{∗} (O_{X_{T}} (m)) = (f_{∗}O_{X}(m))_{T},

(3) f_{∗} (O_{Z}(m)) est localement libre de rang ϕ(m), et

(4) f^{∗}f_{∗} (I_{Z}(m)) → I_{Z}(m) est surjective.

Démonstration. Voir plus bas. □

4.3. Plongement dans une Grassmanienne. Soit m ≥ m(ϕ) comme ci-dessus et r = ϕ(m). Alors E = f_{∗} (O_{X}(m)) est localement libre. D’après (1 − 3) ci-dessus, tout Z ∈ Hilb_{X/S}^{ϕ}(T) définit une suite exacte

0 → f_{∗} (I_{Z}(m)) → f_{∗} (O_{X_{T}} (m)) ≃ E_{T} → f_{∗} (O_{Z}(m)) → 0

où le quotient Q(Z) = f_{∗} (O_{Z}(m)) de E_{T} est localement libre de rang r. On obtient donc ainsi un point Q(Z) de Grass(E, r)(T). Cette construction est fonctorielle : on en déduit un morphisme

(4.1)  Hilb_{X/S}^{ϕ} → Grass(E, r).

D’après (4), ce morphisme est injectif : la connaissance de Q(Z) permet d’abord de reconstruire f_{∗} (I_{Z}(m)) → f_{∗} (O_{X_{T}} (m)), puis donc aussi

f^{∗}f_{∗} (I_{Z}(m)) → f^{∗}f_{∗} (O_{X_{T}} (m)) → O_{X_{T}} (m)

et (4) nous dit que l’image de ce morphisme n’est autre que I_{Z}(m). Il ne reste plus qu’à tordre par (−m) pour obtenir I_{Z}, donc le point Z de Hilb_{X/S}^{ϕ}(T). Soit d’autre part Q un élément quelconque de Grass(E, r)(T), correspondant à une suite exacte

0 → K → E_{T} = f_{∗} (O_{X_{T}} (m)) → Q → 0.

Définissons un idéal cohérent I(Q) de O_{X_{T}} par la formule

I(Q)(m) = image de f^{∗}f_{∗}K → f^{∗}f_{∗} (O_{X_{T}} (m)) → O_{X_{T}} (m).

Soit Z(Q) le sous-schéma fermé de X_{T} défini par cet idéal. Alors Q appartient à l’image de Hilb_{X/S}^{ϕ}(T) si et seulement si (1) Z(Q) est plat sur T et (2) ϕ(Z(Q)) ≡ ϕ.

Remark 27. La première condition définit un ouvert T_{1} de T d’après [1, IV, 11.3.1] et la seconde un ouvert T_{2} de T_{1} par continuité du polynôme de Hilbert : notre morphisme serait-il donc relativement représentable par des immersions ouvertes ? Non : il y a une subtilité. L’ouvert T_{1} ci-dessus est

T_{1} = T − f (Z(Q) − Z(Q)_{1}) ,
où Z(Q)_{1} = {z ∈ Z(Q) : Z(Q) est plat sur Sen z} .

C’est bien le plus gros ouvert de T au-dessus duquel Z(Q) est plat, mais cet ouvert ne représente pas la condition “Z(Q) est plat sur T ” : si t ∈ T − T_{1}, Z(Q)_{t} est plat sur t = Speck(t) puisque tout est plat sur un corps ! Il faut donc travailler simultanément avec les deux conditions ci-dessus.

Lemma 28. Soit T un schéma noethérien, Z un sous-schéma fermé de X_{T} = P_{T}^{N}. Alors Φ(Z) = {ϕ(Z_{t}) : t ∈ T } est fini et pour tout ϕ ∈ Φ(Z), la condition

(1) Z_{U} est plat sur U et (2) Φ(Z_{U}) = {ϕ} (U ∈ Sch/T)

est représentable par un sous-schéma T^{ϕ} de T.

Démonstration. Voir plus bas. □

En appliquant ce lemme au sous-schéma fermé Z(Q) de P_{T}^{N} au-dessus du schéma noetherien T = Grass(E, r) où E_{T} ↠ Q est le quotient universel, on en déduit que Hilb_{X/S}^{ϕ} est représentable par le sous-schéma T^{ϕ} de T = Grass(E, r). On sait

donc à ce stade que Hilb_{X/S}^{ϕ} est représentable par un S-schéma quasi-projectif, en particulier de type fini sur S. Pour conclure, il reste à voir que l’immersion Hilb_{X/S}^{ϕ} → Grass(E, r) est fermée, ou encore que Hilb_{X/S}^{ϕ} est propre sur S. Il

suffit pour cela de démontrer le critère valuatif de propreté pour Hilb_{X/S}^{ϕ}, qui résulte aisément du lemme suivant.

Lemma 29. Soit S un schéma de Dedekind irréductible de point générique η. Pour tout S-schéma X, l’application Z ↦ Z_{η} induit une bijection de l’ensemble des sousschémas fermés S-plats de X sur l’ensemble des sous-schémas fermés de X_{η}.

Démonstration. [1, IV, 2.8.5] On peut supposer que S = SpecA et X = SpecB, où A est un anneau de Dedekind intègre. Soit K le corps des fractions de A. Il s’agit de vérifier que l’application I ↦ J(I) = IB_{K} est une bijection de l’ensemble des idéaux I de B tels que B/I est un A-module plat, c’est-à-dire sans torsion, sur l’ensemble des ideaux J de B_{K} = B ⊗_{A} K. La bijection inverse envoit tout simplement J sur le noyau I(J) de B → B_{K} → B_{K}/J. □

5. Vérifications Cohomologiques

On se propose ici de vérifier ce que nous avons admis plus haut concernant la cohomologie des schémas propres ou projectifs. On commence par quelques rappels.

5.1. Cohomologie des schémas affines et applications.

Proposition 30. Soit X un schéma affine et F un O_{X}-module quasi-cohérent. Alors H^{i}(X, F) = 0 pour tout i > 0.

Démonstration. Voir [7, III.3] pour X = SpecA avec A noethérien, et [1, IIII, 1.3.1] dans le cas général. Il suffit de montrer que si I est un A-module injectif, alors Ĩ est acyclique. En effet : si F = M̃, on choisit une résolution injective 0 → M → I^{•} du A-module M, alors 0 → M̃ → Ĩ^{•} est une résolution acyclique du faisceau M̃, donc

H^{⋆}(X, F) = H^{⋆}Γ(X, Ĩ^{•}) = H^{⋆}(I^{•}) = [M, 0, ⋯].

Dans le cas Noethérien, Hartshorne montre que Ĩ est flasque. □

Corollary 31. Soit f : X → Y un morphisme affine et F un O_{X}-module quasicohérent. Alors R^{q}f_{∗}F = 0 pour q > 0.

Démonstration. C’est le faisceau associé au préfaisceau U ↦ H^{q}(f^{−1}(U), F), lequel est trivial sur les ouverts affines pour q > 0. □

Corollary 32. Soit f : X → Y un morphisme affine et F un O_{X}-module quasicohérent. Alors H^{q}(X, F) = H^{q}(Y, f_{∗}F) pour tout q ≥ 0.

Démonstration. La suite spectrale

E_{2}^{p,q} = H^{p}(Y, R^{q}f_{∗}F) ⇒ H^{p+q}(X, F)

dégénère ! □

Proposition 33. Soit X un schéma séparé quasi-compact et F un O_{X}-module quasi-cohérent. Alors H^{q}(X, F) se calcule par la cohomologie de Cech d’un recouvrement ouvert affine fini.

Démonstration. Le complexe de Cech faisceautisé est une résolution de F par des faisceaux de la forme ι_{∗}(F|U) pour des ouverts ι : U ↪ X. Ces ouverts sont des intersections finies des ouverts affines du recouvrement, et ils sont donc affines puisque X est séparé. Cette même hypothèse garantit que ι : U ↪ X est un morphisme affine, donc H^{j}(X, ι_{∗}F|U) = H^{j}(U, F) = 0 pour j > 0 d’après le corollaire ci-dessus et la proposition. □

5.2. Cohomologie des schémas projectifs et applications.

Proposition 34. Soit A un anneau noethérien et X = P_{A}^{N}. Alors

(1) H^{i}(X, O_{X}(j)) = 0 si i ≠ 0, N,
(2) H^{0}(X, O_{X}(j)) ≃ {P ∈ A[s_{0}, ⋯, s_{N}] : deg P = j},
(3) H^{N}(X, O_{X}(j)) ≃ {P ∈ (s_{0} ⋯ s_{N})^{−1}A[s_{0}^{−1}, ⋯, s_{N}^{−1}] : deg P = j}.

Démonstration. On calcule la cohomologie du faisceau quasi-cohérent

F = ⊕_{j∈ℤ}O_{X}(j)

sur X, en utilisant la résolution de Cech du recouvrement ouvert standard de X par les X(s_{i}) ≃ SpecA[\frac{s_{0}}{s_{i}} , ⋯, \frac{s_{N}}{s_{i}}]. Ce qui nous ramène à un calcul explicite d’algèbre linéaire, pour lequel on renvoie à [7, III.5] (ou à [1, III, 2.1]). □

Corollary 35. Soit F un faisceau cohérent sur un sous-schéma fermé X de P_{A}^{N}. Alors H^{i}(X, F) est un A-module de type fini, H^{i}(X, F) = 0 pour tout i > N et H^{i}(X, F(j)) = 0 pour tout i > 0 et j ≫ 0.

Démonstration. Puisque H^{i}(X, F) = H^{i}(P_{A}^{N}, ι_{∗}F) d’après le corollaire 32, on peut supposer que X = P_{A}^{N}. En calculant la cohomologie de H^{i}(X, F) à la Cech comme ci-dessus, on voit que H^{i}(X, F) = 0 pour tout i > N. D’après la lemme suivant, il existe une suite exacte de O_{X}-module cohérent

(5.1)  0 → G → O_{X}(n)^{R} → F → 0

qui donne pour tout j ∈ ℤ une suite exacte longue

⋯ → H^{i}(X, O_{X}(n + j))^{R} → H^{i}(X, F(j)) → H^{i+1}(X, G(j)) → ⋯

On conclut facilement par récurrence. □

Lemma 36. Soit F un faisceau cohérent sur X ⊂ P_{A}^{N}. Il existe alors un entier n tel que F(n) est engendré par ces sections globales.

Démonstration. C’est un résultat dû à Serre, cf. [7, II, 5.17]. On se ramène immédiatement à X = P_{A}^{N}, on recouvre X par les X(s_{i}), on écrit F|X_{i} = M̃_{i} pour un module M_{i} de type fini sur A[\frac{s_{0}}{s_{i}} , ⋯, \frac{s_{N}}{s_{i}}], on choisit des générateurs m_{i,j} de M_{i}. Le point clé est : il existe un entier n tel que la section s_{i}^{n} ⊗m_{i,j} de O_{X}(n)⊗F = F(n) sur X_{i} s’étend en une section globale (pour tout i, j). L’ensemble de ces sections globales permet alors de définir un morphisme O_{X}^{R} → F(n). La restriction de ce morphisme à X(s_{i}) est trivialement surjective. □

Corollary 37. La caractéristique d’Euler-Poincaré χ(F) est bien définie et additive sur les suites exactes courtes de faisceaux cohérents.

Dans la suite de ce numéro, on suppose que k est un corps, X un sous-schéma fermé de P_{k}^{N} et F un faisceau cohérent sur X. Pour toute fonction ϕ : ℤ → ℤ, on pose Δϕ(n) = ϕ(n) − ϕ(n − 1). On a donc ϕ ∈ ℚ[X] ⟺ Δϕ ∈ ℚ[X] et alors deg ϕ = deg Δϕ + 1, avec la convention deg 0 = −1.

Proposition 38. La fonction ϕ(F)(j) = χ(F(j)) est polynomiale en j de degré d(F) inférieur ou égal à la dimension dim(F) du support de F.

Démonstration. On peut supposer k algébriquement clos, puisque cohomologie et dimension du support commutent aux changements de bases k → k^{alg}. On raisonne alors par récurrence sur la dimension du support de F. Si F = 0, la proposition est trivialement vraie. Sinon, il existe d’après le lemme suivant une suite exacte 0 → F(−1) → F → G → 0 avec dim G < dim F. Par récurrence, on sait donc que ϕ(G) est un polynôme de degré d(G) ≤ dim G (en convenant que dim ∅ = −1). Mais l’additivité de χ sur les suites exactes courtes de faisceaux cohérents montre par ailleurs que Δ(ϕ(F)) = ϕ(G), donc ϕ(F) est un polynôme de degré

d(F) = d(G) + 1 ≤ dim G + 1 ≤ dim F.
□

Lemma 39. Soit k un corps algébriquement clos, X ⊂ P_{k}^{N} et F ≠ 0 un faisceau cohérent sur X. Alors il existe une section s de O_{X}(1) induisant une suite exacte 0 → F(−1) → F → G → 0 avec dim G < dim F.

Démonstration. On peut supposer X = P_{k}^{N}. Il suffit de choisir s tel que l’hyperplan H(s) = X − X(s) de P_{k}^{N} ne contienne aucun des points associés de F. Pour chaque point associé x de F, choisissons un point fermé y(x) dans \overline{x}, et soit 0 → W (x) → k^{N+1} → Q(x) → 0 la suite exacte associée à y(x). La réunion des hyperplans W (x) est distincte de k^{N+1} (car k est infini). Tout élément s de k^{N+1} = Γ(X, O_{X}(1)) qui n’est pas dans la réunion de ces W (x) convient. En effet, y(x) ∉ H(s) par construction, donc a fortiori x ∉ H(s) pour tout point associé x de F. □

Le polynôme de Hilbert ϕ(F) est déterminé par les dimensions de tous les groupes de cohomologie H^{i}(X, F(j)). A l’inverse, nous verrons que la connaissance de ce polynôme permet au moins de borner ces dimensions. D’ores et déjà, notons que :

Proposition 40. On a H^{i}(X, F(j)) = 0 pour tout i > d(F).

Démonstration. On peut derechef supposer k algébriquement clos. On raisonne par récurrence sur d(F). Si d(F) = −1, i.e ϕ(F) = 0, alors F = 0. En effet,

∀j ≫ 0 : ϕ(F)(j) = dim H^{0}(X, F(j))

d’après le corollaire 35, et pour l’un quelconque de ces j ≫ 0, il existe k ∈ ℕ tel que F(j + k) soit engendré par ses sections globales : ces dernières étant nulles, F(j+k) = 0 donc F = 0. Si d(F) ≥ 0, F ≠ 0 et l’on peut utiliser le lemme précédent pour obtenir une suite exacte 0 → F(−1) → F → G → 0 avec d(G) = d(F) − 1. Cette suite exacte donne une suite exacte

⋯ → H^{i−1}(X, G(j + 1)) → H^{i}(X, F(j)) → H^{i}(X, F(j + 1)) → H^{i}(X, G(j + 1)) → · · · .

Pour i > d(F), i − 1 > d(G) et les deux termes extrêmes sont triviaux d’après l’hypothèse de récurrence, donc H^{i}(X, F(j)) ne dépend pas de j. Mais on a déjà vu que c’est trivial pour j ≫ 0 : c’est donc trivial pour tout j. □

Example 41. Pour P = P_{k}^{N}, la proposition 34 montre que

ϕ(O_{P})(j) = ( \begin{matrix}N + j \\ N \end{matrix} ) = \frac{1}{N!}(j + 1)(j + 2) ⋯ (j + N).

Pour X ⊂ P = P_{k}^{N} une hypersurface de degré D, la suite exacte

0 → O_{P}(−D) → O_{P} → O_{X} → 0

donne alors

ϕ(O_{X})(j) = ( \begin{matrix}N + j \\ N \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}N + j − D \\ N \end{matrix} ) .

5.3. Faisceaux m-réguliers et applications. On dit d’un faisceau F qu’il est m-régulier si et seulement si dim_{k} H^{i}(X, F(j)) = 0 pour tout i + j = m avec i > 0. Tout F est donc m-régulier pour tout m ≫ 0. Si d(F) = 0, F est m-régulier pour tout m ∈ ℤ. D’après 34, O_{X} est m-régulier pour tout m ≥ 0 lorsque X = P^{N}.

Lemma 42. Si F est m-régulier, alors

(1) F est n-régulier pour tout n ≥ m,

(2) H^{0}(X, F(n)) ⊗ H^{0}(X, O(1)) → H^{0}(X, F(n + 1)) est surjectif, et

(3) F(n) est engendré par ses sections globales.

Démonstration. Comme ci-dessus, on peut supposer k algébriquement clos et raisonner par récurrence sur dim F, le cas F = 0 ou dim F = 0 étant trivial. Si F ≠ 0, on fixe une suite exacte 0 → F(−1) → F → G → 0 comme ci-dessus, avec dim G < dim F. Considérant

⋯ → H^{i}(X, F(j)) → H^{i}(X, G(j)) → H^{i+1}(X, F(j − 1)) → ⋯

on voit que G est m-régulier, et vérifie donc (1−3) d’après l’hypothèse de récurrence. Considérant alors

⋯ → H^{i−1}(X, G(j+1)) → H^{i}(X, F(j)) → H^{i}(X, F(j+1)) → H^{i}(X, G(j+1)) → ⋯

on voit par récurrence sur n que F est bien n-régulier pour tout n ≥ m, i.e. (1). Pour (2), on utilise le diagramme commutatif suivant, avec toujours n ≥ m :

H^{0}(X, F(n)) ⊗ H^{0}(X, O(1)) → H^{0}(X, G(n)) ⊗ H^{0}(X, O(1))
↗  ↓  ↓
0 → H^{0}(X, F(n)) →  H^{0}(X, F(n + 1))  →  H^{0}(X, G(n + 1))

Dans le carré, la première flèche horizontale est surjective car H^{1}(X, F(n−1)) = 0, la deuxième flèche verticale est surjective par l’hypothèse de récurrence, et il en résulte facilement que la première flèche verticale est également surjective, i.e. (2). Enfin pour (3), il s’agit de vérifier que H^{0}(X, F(n)) ⊗ O_{X} → F(n) est surjective, ou encore en tensorisant par O_{X}(1), que la dernière flèche verticale du diagramme suivant est surjective :

H^{0}(X, F(n)) ⊗ H^{0}(X, O_{X}(1)) ⊗ O_{X} → H^{0}(X, F(n)) ⊗ O_{X}(1)
↓  ↓
H^{0}(X, F(n + 1)) ⊗ O_{X}  →  F(n + 1)

Mais la première flèche verticale l’est d’après (2), donc (3)_{n+1} ⇒ (3)_{n} lorsque n ≥ m. Or on sait qu’existe k ∈ ℕ tel que F(n)(k) = F(n + k) est engendré par ses sections globales, et on conclut par une récurrence descendante de n + k à n. □

5.4. Bornes. Le but de cette sous-section est de montrer le résultat suivant :

Lemma 43. Il existe une fonction (ϕ_{1}, ϕ_{2}) ↦ m(ϕ_{1}, ϕ_{2}) telle que pour tout corps k, pour tout N et tout couple de sous-schémas fermés Z ⊂ X ⊂ P_{k}^{N}, les trois faisceaux de la suite exacte 0 → I_{Z} → O_{X} → O_{Z} → 0 sont m-réguliers pour tout m ≥ m(ϕ(Z), ϕ(X)) où ϕ(Z) = ϕ(O_{Z}) et ϕ(X) = ϕ(O_{X}).

Démonstration. Puisque O_{P} est 0-régulier d’après 34, le diagramme

0 → I_{X}^{0} → O_{P} → O_{X} → 0
↓ ∥ ↓
0 → I_{Z}^{0} → O_{P} → O_{Z} → 0

(qui donne I_{Z} ≃ I_{Z}^{0}/I_{X}^{0}) montre qu’il suffit de prouver le lemme suivant. □

Lemma 44. Il existe une fonction ϕ ↦ m(ϕ) telle que pour tout corps k, pour tout N et tout sous-schéma fermé X de P = P_{k}^{N}, le faisceau I_{X} ⊂ O_{P} est m-régulier pour tout m ≥ m(ϕ(X)).

Démonstration. On peut supposer k-algébriquement clos, X ≠ ∅, et raisonner par récurrence sur d(X) = deg ϕ(X). Soit donc X avec Φ = ϕ(X) non constant. Appliquant le lemme 39 au O_{P} -faisceau cohérent O_{X}, on obtient une section s de Γ(P, O_{P}(1)) qui donne un diagramme à ligne et colonne exacte

I(−1) → O_{P}(−1) → O_{X}(−1)
↓  ↓  ↓
I  →  O_{P}  →  O_{X}
↓  ↓  ↓
I′ → O_{P′} → O_{X′}

où P′ ≃ P_{k}^{N−1}, I = I_{X} et I′ = I_{X′}. D’après ce diagramme, ϕ(X′) = ΔΦ, et on peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence à X′. Soit m ≥ max(m(ΔΦ), 1). Puisque I′ est m-régulier, l’exactitude de la première colonne donne immédiatement H^{i}(P, I(j)) = H^{i}(P, I(j + 1)) = ⋯ = 0 pour i + j ≥ m et i ≥ 2, ainsi que

0 → H^{0}(P, I(j − 1)) → H^{0}(P, I(j)) ⟶^{α(j)} H^{0}(P, I′(j)) → H^{1}(P, I(j − 1)) → H^{1}(P, I(j)) → 0

pour 1 + j ≥ m. Or d’après 42, la flèche β(j) du diagramme commutatif

H^{0}(P, I(j)) ⊗ H^{0}(P, O_{P}(1)) ⟶^{α(j)⊗Id} H^{0}(P, I′(j)) ⊗ H^{0}(P, O_{X}(1))
↓  ↓ β(j)
H^{0}(P, I(j + 1))  ⟶^{α(j+1)}  H^{0}(P, I′(j + 1))

est alors surjective, d’où l’on tire que α(j) surjective implique α(j + 1) surjective. Par conséquent, la dimension de H^{1}(P, I(j − 1)) est, pour j + 1 ≥ m, strictement décroissante puis stationnaire égale à 0. En particulier, H^{1}(P, I(j −1)) = 0 dès que j ≥ m + dim_{k} H^{1}(P, I(m − 1)). Comme H^{i}(P, F(m − 1)) = 0 pour i ≥ 2,

ϕ(I)(m − 1) = dim_{k} H^{0}(P, I(m − 1)) − dim_{k} H^{1}(P, I(m − 1))

avec H^{0}(P, I(m − 1)) ⊂ H^{0}(P, O_{P}(m − 1)) de dimension ≤ ϕ(O_{P})(m − 1), donc

dim_{k} H^{1}(P, F(m − 1)) ≤ ϕ(O_{P})(m − 1) − ϕ(I)(m − 1) = Φ(m − 1).

Finalement, I est m + k-régulier pour tout k ≥ Φ(m − 1). On peut donc prendre

m(Φ) = m(ΔΦ) + ϕ(m(ΔΦ) − 1)

en initialisant par m(cst) = 1. □

5.5. Cohomologie et changement de base. D’après Mumford [10, §5], qui résume merveilleusement bien les résultats les plus utiles de [1, III, 2].

Lemma 45. Soit A un anneau noethérien, S = SpecA et X un S-schéma propre. Pour tout O_{X}-faisceau cohérent F plat sur S, il existe un complexe fini de Amodules localement libres de rang fini

C^{0} → C^{1} → ⋯ → C^{r}

tel que pour toute A-algèbre B,

H^{•}(X, F ⊗ B) = H^{•}(C^{•} ⊗ B).

Démonstration. On part du complexe de Cech de F lié à un recouvrement de X par des ouverts affines. C’est un complexe fini et plat C^{0} → C^{1} → ⋯ → C^{r}, et par construction, H^{•}(C^{•} ⊗ B) = H^{•}(X, F ⊗ B) pour toute A-algèbre B. Il s’agit de trouver un complexe homotopes C^{•} → C^{•} vérifiant les conditions de l’énoncé. C’est là un résultat de pure algèbre homologique, pour lequel on renvoie à la preuve de Mumford, cf [10, §5]. □

Corollary 46. Soit S un schéma, X un S-schéma propre et de présentation finie, F un O_{X}-module cohérent et plat sur S. Alors

s ↦ χ(F_{s}) = ∑(−1)^{i} dim_{k(s)} H^{i}(X_{s}, F_{s})

est localement constante sur S.

Démonstration. C’est local sur S et ça descend au cas noethérien, i.e. on peut supposer que S = SpecA est noethérien, appliquer le lemme précédent pour obtenir un complexe fini C^{•} de A-modules localement libres de rangs finis calculant la cohomologie de F, et alors χ(F_{s}) = ∑(−1)^{i}rangC_{s}^{•}, qui est localement constant parce que chacun des termes l’est. □

Corollary 47. Soit S un schéma, X un S-schéma propre et de présentation finie, F un O_{X} -module cohérent et plat sur S. Soit i ∈ ℕ tel que pour tout s ∈ S,

∀j > i : H^{j}(X_{s}, F_{s}) = 0.

Alors R^{j}f_{∗}F = 0 pour tout j > i et R^{j}f_{∗}F est de formation compatible au changement de base pour tout j ≥ i. Si de plus i = 0, alors f_{∗}F est localement libre.

Démonstration. Le problème est local sur S et descend au cas noethérien, donc on peut supposer que S = SpecA avec A noethérien. On applique alors le lemme, qui fournit un complexe fini C^{•} de A-modules localement libres de rangs finis (que l’on peut si l’on veut supposer libres en passant à un S plus petit), calculant la cohomologie de F ⊗ B sur X ⊗ B pour toute A-algèbre B. On choisit ce complexe de longueur minimale, disons r. L’hypothèse de la proposition devient : pour tout s ∈ S et tout j > i, H^{j}(C^{•} ⊗ k(s)) = 0. Si r > i, cette hypothèse implique que C^{r−1} → C^{r} est surjectif (d’après Nakayama). On peut donc en choisir un scindage, C^{r−1} = D^{r−1} ⊕ C^{r}, et le complexe C^{0} → C^{1} → ⋯ → C^{r−2} → D^{r−1} est alors homotope à C^{•} : cela contredit la minimalité de r, donc r ≤ i.

Soit T un S-schéma. Alors R^{j}f_{T,∗}F_{T} est le faisceau associé au préfaisceau

U ↦ H^{j}(f_{T}^{−1}(U), F_{T}).

Pour U = SpecB, on a H^{j}(f_{T}^{−1}(U), F_{T}) = H^{j}(X_{B}, F_{B}) = H^{j}(C^{•} ⊗ B), qui est nul si j > i. Si j = i,

H^{i}(C^{•}⊗B) = coker (C^{i−1} ⊗ B → C^{i} ⊗ B) = coker (C^{i−1} → C^{i})⊗B = H^{i}(C^{•})⊗B

d’où l’on déduit aisément que R^{i}f_{T,∗}F_{T} = R^{i}f_{∗}F_{T} = { \atop H^{i}(C^{•})}_{T}. Si i = 0, C^{•} = C^{0} est libre de rang fini et f_{∗}F est le O_{S}-module libre associé a C^{0}. □

Corollary 48. Soit S un schéma, X un S-schéma propre et de présentation finie, F un O_{X} -module cohérent et plat sur S. Alors il existe un faisceau cohérent Q sur S tel que f_{∗}F = Q^{∨} sur Sch/S.

Démonstration. C’est local sur S, et l’on suppose derechef que S = SpecA avec A noethérien. On applique le lemme 45, qui nous donne un complexe fini C^{•} de A-modules localement libres de rangs finis (et même libres si l’on restreint encore S) calculant la cohomologie de F. En particulier pour toute A-algèbre B,

(f_{B})_{∗}F_{B} = (ker(C^{0} ⊗ B → C^{1} ⊗ B))^{∼} .

Définissons Q = coker (Hom_{A}(C^{1}, A) → Hom_{A}(C^{0}, A)). Donc

Hom_{A}(C^{1}, A) ⊗ B → Hom_{A}(C^{0}, A) ⊗ B → Q ⊗_{A} B → 0.

Mais Hom_{A}(C^{⋆}, A)⊗B = Hom_{B}(C^{⋆} ⊗B, B) puisque C^{⋆} est libre de rang fini, donc

Hom_{B}(C^{1} ⊗ B, B) → Hom_{B}(C^{0} ⊗ B, B) → Q ⊗_{A} B → 0.

En appliquant encore Hom_{B}(−, B), on trouve donc

0 → Hom_{B}(Q ⊗_{A} B, B) → C^{0} ⊗ B → C^{1} ⊗ B.

On en déduit que

(f_{B})_{∗}F_{B} = (Hom_{B}(Q ⊗_{A} B, B))^{∼} = Γ(SpecB, Q^{∨})

où l’on note Q = Q̃ le faisceau cohérent associé à Q sur S = SpecA. □

5.6. Preuve du lemme 26. Soit S = SpecA avec A noethérien et X un sousschéma fermé et S-plat de P_{S}^{N}.

Lemma 49. Il existe m(ϕ) ≥ 0 tel que pour tout m ≥ m(ϕ), tout S-schéma T et tout Z ∈ Hilb_{X/S}^{ϕ}(T) correspondant à une suite exacte de O_{X_{T}} -modules

0 → I_{Z} → O_{X_{T}} → O_{Z} → 0,

les propriétés suivantes sont vérifiées :

(1) la suite de O_{T} -modules

0 → f_{∗}I_{Z}(m) → f_{∗}O_{X_{T}} (m) → f_{∗}O_{Z}(m) → 0

est exacte,

(2) f_{∗}O_{X}(m) est localement libre et f_{∗}O_{X_{T}} (m) = f_{∗}O_{X}(m)_{T},

(3) f_{∗}O_{Z}(m) est localement libre de rang ϕ(m), et

(4) f^{∗}f_{∗}I_{Z}(m) → I_{Z}(m) est surjective.

Démonstration. D’après le lemme 43, il existe une constante m(ϕ) ne dépendant que du polynôme ϕ tel que dans la situation de l’énoncé, pour tout i > 0, tout G ∈ {I_{Z}, O_{X}, O_{Z}}, tout m ≥ m(ϕ) et tout t ∈ T, G_{t} est m-régulier, et en particulier H^{i}(X_{s}, G_{s}(m)) = 0. Alors R^{i}f_{∗}G(m) = 0 pour tout i > 0, et chacun des f_{∗}G(m) est localement libre sur T, de formation compatible au changement de base. De plus,

ϕ(m) = χ(O_{Z}(m)_{t}) = dim_{k(t)} H^{0}(Z_{t}, O_{Z_{t}}(m)) = rangf_{∗}O_{Z}(m).

Enfin, (4) peut se vérifier localement sur T, où cela résulte par Nakayama de l’énoncé analogue du lemme 42. □

5.7. Preuve du lemme 28. Rappelons son énoncé.

Lemma. Soit S un schéma noethérien, Z un sous-schéma fermé de X = P_{S}^{N}. Alors Φ(Z) = {ϕ(Z_{s}) : s ∈ S} est fini et pour tout ϕ ∈ Φ(Z), la condition

(1) Z_{T} est plat sur T et (2) Φ(Z_{T}) = {ϕ} (T ∈ Sch/S)

est représentable par un sous-schéma S^{ϕ} de S.

Commençons par choisir une stratification finie de S par des sous-schémas localement fermés réduits S_{i} de S tels que la restriction Z_{i} = Z|S_{i} de Z à chacun des S_{i}, un sous-schéma fermé de X_{i} = P_{S_{i}}^{N}, soit plat sur S_{i}. L’existence d’une telle filtration n’a rien à voir avec la projectivité de X, c’est une conséquence facile du théorème de platitude générique [1, IV, 6.9.3]. Ayant fixé cette stratification, posons S′ = ∐ S_{i}, de sorte que le sous-schéma fermé Z′ = Z_{S′} de X′ = P_{S′}^{N} est maintenant plat sur S′. Puisque S′ → S est une bijection ensembliste, Φ(Z′) = Φ(Z), et Φ(Z′) est fini puisque s ↦ ϕ(Z′_{s}) est localement constante sur S′, ce qui prouve déjà la première assertion du lemme.

Puisque Φ = Φ(Z) est fini, il existe d’après le lemme 43 une constante m(Φ) tel que pour tout m ≥ m(Φ) et tout s ∈ S, le faisceau cohérent O_{Z_{s}} sur X_{s} = P_{s}^{N} est m-régulier, et en particulier H^{i}(X_{s}, O_{Z_{s}}(m)) = 0 pour tout i ≥ 1, tandis que dim_{k(s)} H^{0}(X_{s}, O_{Z_{s}}(m)) = ϕ(Z_{s})(m). Comme précédemment, on en déduit que R^{i}f′_{∗}(O_{Z′}(m)) = 0 pour tout i ≥ 1, tandis que f′_{∗}O_{Z}(m) est localement libre de rang ϕ(Z_{s})(m), et de formation compatible au changement de base (au-dessus de S′).

Mais d’autre part, il existe une constante m′ telle que pour tout m ≥ m′, f_{∗}(O_{Z}(m))_{S′} = f′_{∗}(O_{Z′}(m)), cf. [5, p. 118]. Donc pour tout s ∈ S et tout m ≥ M = max(m(Φ), m′),

(f_{∗}(O_{Z}(m)))_{s} = (f′_{∗}(O_{Z′}(m)))_{s} = (f_{s})_{∗}(O_{Z_{s}}(m)) = H^{0}(X_{s}, O_{Z_{s}}(m)).

Posons E_{j} = f_{∗} (O_{Z}(M + j)) pour j ≥ 0. Soit S_{k}^{ϕ} le sous-schéma de S où E_{j} est localement libre de rang ϕ(M + j) pour j = 0, ⋯, k, de sorte que S_{k}^{ϕ} est une suite décroissante de sous-schémas de S. Pour tout s ∈ S_{N}^{ϕ} et 0 ≤ j ≤ N, on a

ϕ(Z_{s})(M + j) = dim_{k(s)} H^{0}(X_{s}, O_{Z_{s}}(M + j))
= dim_{k(s)} (f_{∗}(O_{Z}(M + j)))_{s}
= dim_{k(s)} E_{j,s} = ϕ(M + j)

donc ϕ(Z_{s}) = ϕ puisque les degrés des polynômes ϕ(Z_{s}) et ϕ sont majorés par N. On en déduit que les espaces sous-jacents aux S_{j}^{ϕ} sont tous égaux dès que j ≥ N, et la suite est donc stationnaire. Notons S^{ϕ} sa limite et Z^{ϕ} la restriction de Z à X^{ϕ} = P_{S^{ϕ}}^{N}. Il existe une constante m′′ tel que pour tout m ≥ m′′,

f_{∗}(O_{Z}(m))_{S^{ϕ}} = f_{∗}^{ϕ}(O_{Z^{ϕ}}(m)).

En particulier f_{∗}^{ϕ}(O_{Z^{ϕ}}(M + j)) = E_{j}|S^{ϕ} est localement libre pour j ≫ 0, donc O_{Z^{ϕ}} est plat sur S^{ϕ}, et ϕ(Z_{s}^{ϕ}) = ϕ pour tout s ∈ S^{ϕ}. Si maintenant T est un S-schéma qui vérifie les conditions (1) et (2) de l’énoncé, alors f_{T,∗}(O_{Z_{T}} (m)) est localement libre de rang ϕ(m) pour tout m ≥ m(Φ), donc T → S se factorise par S^{ϕ} : CQFD.

Troisième partie 3. Le schéma de Picard

6. Le foncteur Pic_{X/S}

Pour tout schéma X, on note Pic(X) le groupe des classes d’isomorphismes de faisceaux inversibles L sur X. Pour X/S, on définit un foncteur contravariant

P_{X/S} : (Sch/S)^{0} → Ens P_{X/S}(T) = Pic(X ×_{S} T).

Ce foncteur n’a aucune chance d’être représentable : ce n’est pas un faisceau (pour la topologie de Zariski sur Sch/S). Par exemple, un faisceau inversible de la forme f^{∗}L ∈ Pic(X) pour L ∈ Pic(S) n’est pas nécessairement trivial, mais il le devient après passage à un recouvrement ouvert suffisamment fin de S. Cela nous condurait à étudier plutôt

Pic_{X/S}^{?} : (Sch/S)^{0} → Ens Pic_{X/S}^{?}(T) = Pic(X ×_{S} T)/f_{T}^{∗}Pic(T),

mais est-ce vraiment le bon choix ? La réponse est oui, sous certaines hypothèses.

En fait, le bon choix serait bien sûr, et en toute circonstance, de considérer le faisceau associé au préfaisceau P_{X/S}, un faisceau que l’on notera Pic_{X/S}. De l’isomorphisme (classique) Pic(X ×_{S} T) ≃ H^{1}(X ×_{S} T, G_{m}), on déduit une formule aussi compacte que difficile à exploiter, à savoir

Pic_{X/S}(T) = H^{0}(T, R^{1}(f_{T})_{∗}G_{m}).

Pour aller plus loin, on considère la suite spectrale de Leray

H^{i}(T, R^{j}f_{∗}G_{m}) ⇒ H^{i+j}(X ×_{S} T, G_{m})

qui marche si X/S est quasi-compact et quasi-séparé, et donne

0 → H^{1}(T, f_{∗}G_{m}) → H^{1}(X ×_{S} T, G_{m}) ≃ Pic(X ×_{S} T) →
→ Pic_{X/S}(T) → H^{2}(T, f_{∗}G_{m}) → H^{2}(X ×_{S} T, G_{m}).

Le groupe H^{1}(T, f_{∗}G_{m}) est en général plus gros que f^{∗}Pic(T) ≃ f^{∗}H^{1}(T, G_{m}). La suite exacte ci-dessus montre donc que le morphisme Pic_{X/S}^{?}(T) → Pic_{X/S}(T) n’est en général ni injectif ni surjectif, mais nous permet de donner des critères pour qu’il le soit : si f_{∗}O_{X} = O_{S} universellement (i.e. (f_{T})_{∗}O_{X×_{S}T} = O_{T}) cette suite exacte se raccourcit en

0 → Pic_{X/S}^{?}(T) → Pic_{X/S}(T) → H^{2}(T, G_{m}) → H^{2}(X ×_{S} T, G_{m}).

Si de plus f : X → S a une section e : S → X, la dernière flèche est un isomorphisme donc Pic_{X/S}^{?} = Pic_{X/S}. En ce qui concerne la première propriété : elle est vraie pour X = P_{S}^{N}, et plus généralement dans le cadre suivant.

Lemma 50. Si f : X → S est surjectif, propre, plat, de présentation finie, à fibre géométriquement intègres, alors f_{∗}O_{X} = O_{S} universellement.

Démonstration. Les hypothèses étant stables par changement de base, il suffit de voir que le morphisme d’adjonction O_{S} → f_{∗}f^{∗}O_{S} = f_{∗}O_{X} qui définit la structure de O_{S}-algèbre de f_{∗}O_{X} est un isomorphisme. Il suffit pour cela de vérifier que f_{∗}O_{X} est un O_{S}-module localement libre de rang 1. On peut donc supposer que S est affine, et même local. On sait d’autre part d’après le corollaire 48 du lemme 45 que f_{∗}O_{X} ≃ Q^{∨} sur Sch/S, pour un O_{S}-module cohérent Q : il suffit donc de vérifier que Q est localement libre de rang 1, et même libre de rang 1 puisque S = SpecA avec A local. Soit s = Spec(k) le point fermé de S et Q = Γ(S, Q). On a donc

\begin{aligned}H^{0}(S, O_{S}) & → & H^{0}(X, O_{X}) \\ ↓ & & ↓ \\ H^{0}(s, O_{s}) & → & H^{0}(X_{s}, O_{X_{s}}) \end{aligned} ≡ \begin{aligned}A & → & Hom_{A}(Q, A) \\ ↓ & & ↓ \\ k & → & Hom_{k}(Q_{k}, k) \end{aligned}

Soit \overline{s} = Spec(\overline{k}) un point géométrique au-dessus de s. Puisque X\overline{s} est non-vide, propre et intègre sur \overline{s}, la \overline{k}-algèbre H^{0}(X\overline{s}, O_{X\overline{s}}) est de dimension finie, et intègre, donc égale à \overline{k}. Puisque \overline{s} → s est plat, H^{0}(X\overline{s}, O_{X\overline{s}}) = H^{0}(X_{s}, O_{X_{s}}) ⊗_{k} \overline{k}, donc H^{0}(X_{s}, O_{X_{s}}) = k = Hom_{k}(Q_{k}, k). En particulier, (1) dim_{k} Q_{k} = 1 et (2) l’application Hom_{A}(Q, A) → Hom_{k}(Q_{k}, k) est surjective. Mais (1) implique que Q ≃ A/I pour un idéal I de A d’après le lemme de Nakayama, et (2) implique alors que I = 0, donc Q ≃ A, CQFD. □

Nous allons montrer :

Theorem 51. Soit S un schéma, X ⊂ P(E) un sous-schéma fermé qui est plat, de présentation finie, à fibre géométriquement intègre sur S, et qui admet une section e : S ↪ X. Alors le foncteur

Pic_{X/S} : (Sch/S)^{0} → Ab : T ↦ Pic(X ×_{S} T)/f^{∗}Pic(T)

est représentable par un S-schéma que l’on note encore Pic_{X/S}.

7. Le foncteur Div_{X/S}

7.1. Définition. Soit X un S-schéma. Un diviseur de Cartier effectif relatif (dCer) sur X/S est un sous-schéma fermé D de X qui est plat sur S et dont l’idéal I_{D} ⊂ O_{X} est un O_{X}-faisceau inversible. On note

Div_{X/S} : (Sch/S)^{0} → Ens

le foncteur qui à T associe l’ensemble des dCer sur X ×_{S} T/T. Il n’est d’ailleurs pas tout à fait clair que c’est un foncteur : il faut pour cela utiliser la platitude de O_{D} sur S, qui implique que la formation de I_{D} commute au changement de base. L’intérêt pour nous de ce foncteur est qu’il est muni de deux morphismes

Pic_{X/S} ← Div_{X/S} ↪ Hilb_{X/S}

qui à tout D sur X_{T} /T associent respectivement l’image de O_{X}(D) = I_{D}^{−1} dans Pic_{X/S}(T) et le sous-schéma fermé D ⊂ X dans Hilb_{X/S}(T). Ce dernier est en effet plat sur T par définition, et de présentation finie puisque I_{D} est inversible (et donc localement sur X engendré par un élément).

Si L est un faisceau inversible sur X, on dit d’une section s ∈ Γ(X, L) qu’elle est régulière lorsque le morphisme O_{X} → L qu’elle définit est injectif (c’est par exemple automatiquement le cas dès lors que s ≠ 0 si X est intègre). On dit de la section s qu’elle est S-régulière lorsque s_{T} ∈ Γ(X_{T} , L_{T}) est une section régulière de L_{T} pour tout S-schéma T, i.e. lorsque le morphisme O_{X} → L reste injectif après tout changement de base T → S. Si D est un dCer sur X/S, alors X est plat sur S en tous les points de D (ce n’est pas évident), et l’injection de conoyau S-plat I_{D} ↪ O_{X} induit une injection de conoyau S-plat O_{X} ↪ O_{X}(D) (par tensorisation avec O_{X}(D) = I_{D}^{−1}), donc une section S-réguliere s_{D} ∈ Γ(X, O_{X}(D)).

7.2. Le morphisme Div_{X/S} ↪ Hilb_{X/S}.

Proposition 52. Pour X propre, de présentation finie et plat sur S, le morphisme Div_{X/S} → Hilb_{X/S} est relativement représentable par des immersions ouvertes.

Démonstration. Soit Z ⊂ X plat et de présentation finie sur S, I ⊂ O_{X} l’idéal de Z, ϕ : Hom_{O_{X}} (I, O_{X}) ⊗ I → O_{X} le morphisme canonique et Y la réunion des supports du noyau et conoyau de ϕ. Alors Y est fermé dans X, donc U = S − f(Y) est ouvert dans S puisque f : X → S est propre. Sur U, ϕ est un isomorphisme donc I est inversible, et H est un diviseur de Cartier effectif relatif. Si maintenant T → S est un morphisme quelconque tel que H_{T} ⊂ X_{T} est effectif relatif sur T, alors H_{t} ⊂ X_{t} est effectif pour tout t ∈ T, donc I_{t} ⊂ O_{X_{t}} est inversible, donc ϕ_{t} est un isomorphisme, Y_{t} = ∅ (ce n’est pas évident), et T → S se factorise par U. □

Corollary 53. Soit S un schéma, X ⊂ P(E) un sous-schéma fermé et plat de présentation finie sur S. Alors Div_{X/S} est représentable par un S-schéma.

7.3. Le morphisme Div_{X/S} → Pic_{X/S}. On reprend les hypothèses et notations du théorème. Soit L un faisceau inversible sur S et D_{L} ⊂ Div_{X/S} le sous-foncteur de Div_{X/S} qui à T/S associe l’ensemble des diviseurs de Cartier effectifs relatifs D de X ×_{S} T/T tels que O_{X}(D) = L_{T} dans Pic_{X/S}(T), i.e. O_{X}(D) ≃ L_{T} ⊗ f_{T}^{∗}M sur X ×_{S} T pour un faisceau inversible M sur T. Soit Q le faisceau cohérent sur S tel que f_{∗}L = Q^{∨} sur Sch/S (corollaire 48 du lemme de Mumford).

Proposition 54. Le foncteur D_{L} : (Sch/S)^{0} → Ens est représentable par le Sschéma projectif P(Q).

Corollary 55. Le morphisme Div_{X/S} → Pic_{X/S} est relativement représentable par des morphismes projectifs.

Remark 56. Si S = Spec(k) est le spectre d’un corps k, alors Q = Q̃ où Q est le k-espace vectoriel dual de Γ(X, L) et D_{L}(k) est le “système linéaire complet” des diviseurs (effectifs, de Cartier) D ⊂ X tels que O_{X}(D) ≃ L. Si D est un tel divisieur et si ϕ : O_{X}(D) ≃ L est un isomorphisme, on obtient une section ϕ(s_{D}) ∈ Γ(X, L) qui est régulière (c’est-à-dire non nulle – puisque X est intègre par hypothèse), et qui comme ϕ, est bien définie à multiplication près par un élément de

Aut_{O_{X}} (O_{X}(D)) = Γ(X, O_{X}^{×}) = k^{×}.

On obtient ainsi la bijection classique de D_{L}(k) dans l’ensemble Γ(X, L) − {0}/k^{×}. C’est l’ensemble des k-droites de Γ(X, L), qui s’identifie bien à l’ensemble P(Q)(k) des quotients de k-dimension 1 du dual Q de Γ(X, L).

Démonstration. (de la proposition) Soient T un S-schéma et M un faisceau quasicohérent sur T. L’adjoint du morphisme

f_{T}^{∗} (f_{T,∗}L_{T} ⊗ M) = f_{T}^{∗}f_{T,∗}L_{T} ⊗ f_{T}^{∗}M → L_{T} ⊗ f_{T}^{∗}M

que l’on obtient en tensorisant f_{T}^{∗}f_{T,∗}L_{T} → f_{T,∗}L_{T} par f_{T}^{∗}M est un morphisme

f_{T,∗}L_{T} ⊗ M → f_{T,∗}(L_{T} ⊗ f_{T}^{∗}M)

qui est l’identité lorsque M = O_{T}, et qui est donc plus généralement un isomorphisme lorsque M est localement libre sur T. Si donc M est inversible (ou même seulement localement libre de rang fini), on obtient finalement un isomorphisme

\underline{Hom}_{O_{T}} (Q_{T} , M) ≃ Q_{T}^{∨} ⊗ M ≃ f_{T,∗}L_{T} ⊗ M ≃ f_{T,∗}(L_{T} ⊗ f_{T}^{∗}M).

Cela étant, fixons D ∈ D_{L}(T) et choisissons un faisceau inversible M sur T et un isomorphisme ϕ : O_{X_{T}} (D) ≃ L_{T} ⊗ f_{T}^{∗}M. La section T -régulière s_{D} de O_{X_{T}} (D) induit une section T -régulière ϕ(s_{D}) de L_{T} ⊗f_{T}^{∗}M, et donc un morphisme Q_{T} → M, dont la formation est évidemment compatible au changement de base sur T. Pour tout point t de T, la restriction de s_{D} à X_{t} est non-nulle, le morphisme Q_{t} → M_{t} l’est donc également, et il est ainsi surjectif puisque M_{t} ≃ k(t)^{∼} sur Spec(k(t)). Le lemme de Nakayama implique alors que Q_{T} → M est surjectif. Le quotient inversible de Q_{T} ainsi définit ne dépend pas du choix de M ou ϕ (exercice !). Inversement, un tel quotient induit une section T -régulière de L_{T} ⊗ f_{T}^{∗}M, qui fournit à son tour un dCer D ∈ D_{L}(T), donc D_{L}(T) = P(Q)(T), CQFD. □

8. Fin de la Preuve du Théorème 51

8.1. Analyse. On ne sait toujours pas que Pic_{X/S} est représentable, mais on sait maintenant que les trois autres foncteurs du diagramme cartésien

Div_{X/S} ×_{Pic_{X/S}} Div_{X/S} → Div_{X/S}
↓  ↓
Div_{X/S}  → Pic_{X/S}

le sont. Peut-on reconstruire Pic_{X/S} à partir des trois autres termes ?

Example 57. Considérons une situation analogue dans la catégorie des ensembles. On se donne donc une application f : D → P et on forme le produit fibré

D ×_{P} D → D
↓  ↓
D  → P

Le sous-ensemble R = D ×_{P} D de D × D définit sur D une relation d’équivalence, l’application f : D → P se factorise en une injection D/R ↪ P et le diagramme

\begin{aligned}R & → & D \\ ↓ & & ↓ \\ D & → & D/R \end{aligned}

est cartésien et cocartésien. Le diagramme d’origine est donc co-cartésien si et seulement si f : D → P est surjective.

8.2. Surjectivité. On voudrait donc que Div_{X/S} → Pic_{X/S} soit surjectif dans un certain sens. Il y a d’abord une obstruction élémentaire à cette surjectivité. Si l’on prend par exemple X = P_{S}^{1} sur S = Speck, le faisceau inversible O_{X}(−1) est de degré −1, et il n’est donc linéairement équivalent à aucun diviseur effectif. Plus généralement, les faisceaux O_{X}(D) ont au moins une section globale, ce qui n’est pas le cas de tous les faisceaux inversibles L sur X. Avec les notations de la section précédente, il se peut tout simplement que f_{∗}L = 0, donc Q = 0 et D_{L} = P(Q) = ∅!

On remédie à cette obstruction en utilisant la structure de groupe sur Pic_{X/S}. Soit ξ ∈ Pic_{X/S} l’élément qui correspond au faisceau inversible O_{X}(1) provenant du plongement X ⊂ P(E). Découpons Pic_{X/S} en fonction du polynôme de Hilbert ϕ = ϕ(L), calculé relativement au plongement X ↪ P(E) (ce polynôme ne change pas si l’on remplace L par f^{∗}M, puisqu’il se calcule de toute façon sur les fibres). On obtient comme précédemment pour le schéma de Hilbert un recouvrement ouvert et fermé Pic_{X/S} = ∐ Pic_{X/S}^{ϕ} : pour notre problème de départ, il suffit maintenant

de vérifier que chacun des Pic_{X/S}^{ϕ} est représentable. Or

Pic_{X/S}^{ϕ} + m · ξ = Pic_{X/S}^{ϕ[m]} où ϕ[m](x) = ϕ(m + x)

et il suffit donc de montrer que Pic_{X/S}^{ϕ[n]} est représentable pour n ≫ 0. Mais, pour un polynome de Hilbert ϕ fixé, on montre comme dans la section 5.6 le lemme suivant.

Lemma 58. Il existe un entier m(ϕ) tel que pour tout m ≥ m(ϕ), les faisceaux inversibles L qui apparaissent dans (les points géométriques de) Pic_{X/S}^{ϕ} sont tous m-réguliers.

Démonstration. Cf [2, 6, Exp. XIII, Lemma 2.11]. Si l’on survole la preuve que l’on a donnée pour le schéma de Hilbert, on voit qu’il y a été fait usage - en plus des techniques applicables à tous les faisceaux cohérents - de deux hypothèses : les polynômes de Hilbert étaient fixés, et les faisceaux cohérents concernés étaient des sous-faisceaux d’un faisceau fixé (à savoir O_{X}). Ici, on relâche la seconde hypothèse, mais on restreint notre attention aux faisceaux cohérents qui sont inversibles. Des techniques de dualité sont alors applicables, qui permettent de mieux contrôler les polynômes de Hilbert qui apparaissent dans les récurrences ! □

Remark 59. Dans l’article de [5] où Kleiman revisite [3], le lemme ci-dessus est remplacé dans la preuve de l’existence du schéma de Picard par un autre argument plus simple mais moins précis. Pour tout m ∈ ℤ, on note Pic_{X/S}^{ϕ,m} le sous-foncteur de

Pic_{X/S}^{ϕ} qui correspond aux faisceaux inversibles dont toutes les fibres géométriques sont m-régulières. On montre que ces sous-foncteurs sont relativement représentables par des immersions ouvertes, et qu’ils forment un recouvrement ouvert croissant de Pic_{X/S}^{ϕ}. Pour continuer dans la démonstration, il suffit alors de montrer que chacun de ces sous-foncteurs est représentable : il est donc inutile de savoir que Pic_{X/S}^{ϕ,m} = Pic_{X/S}^{ϕ} pour tout m ≥ m(ϕ).

Remplaçant ϕ par ϕ[m] avec m ≫ m(ϕ), on peut donc supposer que tous les faisceaux inversibles L qui apparaissent dans les Pic_{X/S}^{ϕ}(T) vérifient : R^{i}f_{∗}L = 0 pour i > 0 et f_{∗}L est localement libre sur T de rang ϕ(0) > 0, et de formation compatible au changement de base. Le faisceau Q de la section précédente est alors le dual Q = (f_{∗}L)^{∨} de f_{∗}L, et la fibre D_{L} ≃ P(Q) ≠ ∅ est projective lisse sur T.

Soit D(ϕ) ⊂ Div_{X/S} l’image inverse de Pic_{X/S}^{ϕ} ⊂ Pic_{X/S}. Le morphisme

ℓ : D(ϕ) → Pic_{X/S}^{ϕ}

est surjectif dans le sens habituel pour les faisceaux (pour la topologie de Zariski), à savoir : pour tout T sur S et L ∈ Pic_{X/S}^{ϕ}(T), il existe un recouvrement ouvert T_{i}

de T tel que L|T_{i} ∈ Pic_{X/S}^{ϕ}(T_{i}) se relève dans D(ϕ)(T_{i}) : il suffit avec les notations précédentes de choisir un recouvrement ouvert T_{i} qui trivialise le faisceau localement libre Q sur T, puis de choisir une section de P(Q)|T_{i} ≃ P_{T_{i}}^{ϕ(0)−1} au-dessus de T_{i}. On en déduit aisément que le diagramme cartésien

D(ϕ) ×_{Pic}{ϕ \atop X/S} D(ϕ) → D(ϕ)
↓  ↓
D(ϕ)  → Pic_{X/S}^{ϕ}

est maintenant aussi co-cartésien dans la catégorie des faisceaux (pour la topologie de Zariski) sur Sch/S. Le faisceau Pic_{X/S}^{ϕ} y est donc maintenant uniquement déterminé par les deux autres, ce qui est de bon augure pour sa représentabilité.

8.3. Quotients.

Theorem 60. Soit S un schéma noethérien, X un S-schéma quasi-projectif, et R ⊂ X ×_{S} X une relation d’équivalence dans X tel que p_{1} : R → X soit propre et plat. Alors (1) le S-schéma quotient X/R existe et il est quasi-projectif sur S, (2) f : X → X/R est surjectif, propre et plat, et (3) R = X ×_{X/R} X.

C’est un théorème de Grothendieck [6, III, Théorème 6.1], dont voici la preuve in extenso : on se ramène au cas fini par des quasi-sections convenables de X pour R, la démonstration étant analogue à la construction des groupes algébriques dans le Séminaire Chevalley. Le cas fini est effectivement assez élémentaire, puisqu’alors tout est affine : les constructions de conoyaux pour des morphismes affines sont équivalentes à des constructions de noyaux pour des morphismes d’anneaux ! Mais l’explication de Grothendieck est bien courte... Heureusement, il y a une autre preuve, décrite dans [4, §8, Théorème 12] qui provient de [3, Theorem 2.9]. L’idée sous-jacente est expliquée par la remarque suivante :

Remark 61. Soit X un ensemble, H = P(X) l’ensemble des sous-ensembles de X, et Z ⊂ X × H le sous-ensemble universel de X, c’est-à-dire Z = ∪_{P ∈H}P × {P } : pour tout ensemble T, pour tout sous-ensemble Q de X × T, il existe une unique application f : T → H tel que Q = (Id, f)^{−1}(Z), à savoir f(t) = {x : (x, t) ∈ Q}. Soit maintenant R ⊂ X ×X une relation d’équivalence sur X et f : X → H l’unique morphisme tel que R = (Id, f)^{−1}(Z). Alors X/R = f(X) ⊂ H et l’image inverse de f(X) ⊂ H par X × H → H est le graphe Γ_{f} ⊂ Z de f.

Ceci suggère la construction suivante. Soit H = Hilb_{X/S}, soit Z le sous-schéma universel fermé de X ×_{S} H (Z est propre et plat sur H), et soit f : X → H l’unique morphisme tel que (Id, f)^{−1}(H) = R ⊂ X ×_{S} X, qui est bien un sous-schéma fermé de X ×_{S} X qui est propre et plat sur X. Le graphe de f est un sous-schéma fermé de X ×_{S} H, et même de Z, et on voudrait construire le quotient X/R comme l’image de f dans H, ou encore comme un sous-schéma fermé X/R ⊂ H dont l’image inverse via Z → H serait ce graphe de f, ce qui nous ramène à un problème de descente déjà plus abordable. Mais de toute façon : il faut pour mener à bien ce programme déjà connaître l’existence d’une variante de Hilb_{X/S} dans le cas où X/S est seulement quasi-projectif, ce que font Altman et Kleinman dans [3].

8.4. Conclusion. En appliquant le théorème ci-dessus à la relation d’équivalence R = D(ϕ)×_{Pic}{ϕ \atop X/S} D(ϕ) sur le S-schéma quasi-projectif D(ϕ), on obtient un schéma

quasi-projectif P′ sur S et un S-morphisme propre, surjectif et plat ℓ′ : D(ϕ) → P′ qui fait de P′ le conoyau de la double flèche R ⇒ D(ϕ) dans la catégorie des schémas sur S. Or nous avons vu que ℓ : D(ϕ) → P faisait de même de P = Pic_{X/S}^{ϕ} le conoyau de cette même double flèche, mais dans la catégorie beaucoup plus grosse Fais/S_{Zar} des faisceaux sur Sch/S pour la topologie de Zariski. Dans cette catégorie, on a donc un morphisme P → P′, mais on ignore encore s’il s’agit d’un isomorphisme.

Pour conclure, il faut travailler dans une catégorie intermédiaire :

Sch/S ⊂ Fais/S_{fppf} ⊂ Fais/S_{Zar}

C’est la catégorie des faisceaux fppf, i.e. les faisceaux F (pour la topologie de Zariski) qui vérifient en outre la propriété suivante : pour tout morphisme T′ → T qui est fidèlement plat et de présentation finie, F(T) est le noyau de la double flèche F(T′) ⇒ F(T′ ×_{T} T′). C’est une sous-catégorie pleine de Fais/S_{Zar}. Il n’est ni trivial, ni trop difficile de démontrer que tous les foncteurs représentables sont effectivement des faisceaux fppf.

On montre alors que (1) P est un faisceau fppf, et (2) tout morphisme fppf (dans Sch/S) est un épimorphisme (dans Fais/S_{fppf}). On en déduit que ℓ : D(ϕ) → P et ℓ′ : D(ϕ) → P′ sont des épimorphismes dans Fais/S_{fppf}, puis que ℓ et ℓ′ sont toutes deux égales au conoyau de la double flèche R ⇒ D(ϕ). En particulier, P = P′ est représentable.

9. Propriétés du schémas de Picard

Proposition 62. Si X → S est propre, lisse, à fibres géométriquement connexes (et admet une section), alors Pic_{X/S} vérifie les critères valuatifs de séparation et de propreté.

Démonstration. Il s’agit de voir que si S est le spectre d’un anneau de valuation discrète R de corps des fractions K, alors Pic_{X/S}(R) → Pic_{X/S}(K) est bijective, ou encore puisque Pic(R) = Pic(K) = 0, de voir que Pic(X) → Pic(X_{K}) est bijective. Soit L un faisceau inversible sur X tel que L|X_{K} est trivial. Il existe donc dans H^{0}(X_{K}, L|X_{K}) = H^{0}(X, L) ⊗_{R} K une section s qui engendre L|X_{K} en tous les points de X_{K}, et on peut supposer que cette section est dans le Rmodule H^{0}(X, L). Soit η le point générique de la fibre spéciale (laquelle est lisse et connexe, donc bien irréductible) ; l’anneau local O_{X,η} est un anneau de valuation discrète, une extension non-ramifiée R ↪ O_{X,η} de R, et L_{η} est un O_{X,η}-module libre de rang 1, et L_{η} ⊗_{R} K est engendré par s_{η} sur O_{X,η} ⊗_{R} K : on peut donc aussi supposer que s engendre L en η : elle engendre alors L en tous les points de codimension 1 dans X, ce qui est suffisant pour vérifier qu’elle engendre L partout. Donc O_{X} → L est surjective, puis bijective, et L est trivial. Dans l’autre sens : les groupes Pic(X) et Pic(X_{K}) sont tous les deux engendrés par les diviseurs de Weil, et tout diviseur de Weil sur X_{K} s’étend bien sûr en un diviseur de Weil sur X, donc Pic(X) → Pic(X_{K}) est également surjective. □

Lemma 63. Avec les mêmes hypothèses, Lie(Pic_{X/S}) ≃ R^{1}f_{∗}O_{X}.

Démonstration. Par définition,

Lie(Pic_{X/S})(T) = ker (Pic_{X/S}(T [ϵ]) → Pic_{X/S}(T))

où T [ϵ] est le T -schéma SpecO_{T} [ϵ] et O_{T} [ϵ] = O_{T} ⊕ O_{T} ϵ avec ϵ^{2} = 0. Donc

Lie(Pic_{X/S}) = ker (R^{1}f_{∗}(O_{X}[ϵ]^{×}) → R^{1}f_{∗}(O_{X}^{×})) .

Mais on a une suite exacte 0 → O_{X} → O_{X}[ϵ]^{×} → O_{X}^{×} → 1, qui donne

0 → f_{∗}O_{X} → f_{∗}O_{X}[ϵ]^{×} → f_{∗}O_{X}^{×} → R^{1}f_{∗}O_{X} → Lie(Pic_{X/S}) → 0

Les trois premiers termes sont

0 → O_{S} → O_{S}[ϵ]^{×} → O_{S}^{×} → 0

puisque f_{∗}O_{X} = O_{S}, cqfd. □

Quatrième partie 4. Schémas abéliens

10. Schémas Abéliens

Definition 64. Un schéma abélien sur S est un schéma en groupes A/S qui est propre, de présentation finie, lisse, à fibres géométriquement connexes.

10.1. Rigidité et applications.

Proposition 65. Soient S un schéma connexe noethérien et α : X → Y un morphisme de S-schéma. On suppose que (1) π_{X} : X → S est propre, plat, vérifie π_{X,∗}O_{X} = O_{S} universellement, et admet une section e_{X} : S → X, et que (2) π_{Y} : Y → S est séparé. On note e_{Y} = α ∘ e_{X}, une section de π_{Y}. Alors : si α est constant sur une fibre, i.e. α(X_{s}) = {e_{Y} (s)} pour un point s de S, alors α est constant sur S, i.e. α = e_{Y} ∘ π_{X}.

Démonstration. Soit Z ⊂ X le schéma des coïncidences de α et β = e_{Y} ∘ π_{X}. C’est un sous-schéma fermé de X, puisque Y est séparé sur S. Soit s un point du complémentaire de π_{X}(X − Z) dans S, c’est-à-dire un point s de S tel que X_{s} ⊂ Z ensemblistement, ou encore tel que α(X_{s}) = β(X_{s}) = {e_{Y} (s)}. Soit n ≥ 1 un entier, S(n) = Spec (O_{S,s}/m_{s}^{n}) le n-ième voisinage infinitésimale de s dans S, et X(n), Y (n), α(n), β(n), e_{X(n)} et e_{Y (n)} les objets obtenus à partir des objets homonymes par le changement de base S(n) ↪ S. Par hypothèse, α(n) et β(n) induisent la même application (constante) sur l’espace topologique sous-jacent à X(n). On note γ(n) cette application commune. Les morphismes α(n) et β(n) sont alors uniquement caractérisés par les morphismes de faisceaux sur Y (n)

α(n)^{#} et β(n)^{#} : O_{Y (n)} → γ(n)_{∗}(O_{X(n)}).

Ces deux morphismes sont compatibles avec les filtrations scindées

\begin{aligned}& 0 & → & I_{Y (n)} & → & O_{Y (n)} & → & e_{Y (n),∗}O_{S(n)} & → & 0 \\ et & 0 & → & I_{X(n)} & → & O_{X(n)} & → & e_{X(n),∗}O_{S(n)} & → & 0 \end{aligned}

induites par les sections e_{X(n)} et e_{Y (n)}. Puisque π_{X(n),∗}O_{X(n)} = O_{S(n)},

γ(n)_{∗}(O_{X(n)}) = β(n)_{∗}(O_{X(n)}) = e_{Y (n),∗}(O_{S(n)})

donc γ(n)_{∗}(I_{X(n)}) = 0, et

α(n)^{#} = β(n)^{#} = e_{Y (n)}^{#} : O_{Y (n)} ↠ e_{Y (n),∗}(O_{S(n)}).

Le morphisme de schémas X(n) ↪ X se factorise donc par l’immersion fermée Z ↪ X. Pour tout point x de X_{s}, on a alors

I_{Z,x} ⊂ m_{s}^{n}O_{X,x} ⊂ m_{x}^{n}

où m_{s} et m_{x} sont les idéaux maximaux de O_{S,s} et O_{X,x}, tandis que I_{Z} ⊂ O_{Z} est l’idéal de Z. Donc I_{Z,x} ⊂ ∩_{n}m_{x}^{n} = 0 d’après Nakayama, et I_{Z} = 0 sur tout un voisinage de x dans X. Ainsi Z contient un voisinage ouvert (dans X) de chacun des points x de X_{s}, donc X contient tout un voisinage tubulaire de la fibre X_{s} dans X, puisque π_{X} est propre donc fermé. En particulier, S − π_{X}(X − Z) est un ouvert de S. Mais puisque π_{X} est fidèlement plat, donc ouvert, S − π_{X}(X − Z) est également fermé, et non vide par hypothèse. Puisque S est connexe, π_{X}(X − Z) = ∅, donc Z = X ensemblistement, puis enfin Z = X schématiquement car Z contient un voisinage ouvert de chacune des fibres de π_{X} : X → S. □

Corollary 66. Soient S un schéma, A/S un schéma abélien, G/S un schéma en groupes séparé et de présentation finie, f : A → G un S-morphisme qui envoie le neutre de A sur celui de G. Alors f est un morphisme de S-schémas en groupes.

Démonstration. La question est locale sur S, que l’on peut supposer affine, connexe et noethérien. Alors A est aussi connexe, puisque π_{∗}O_{A} = O_{S}. On considère le morphisme de A-schémas α : A ×_{S} A → G ×_{S} A défini par

(x, y) ↦ (f(xy)f(y)^{−1}f(x)^{−1}, y) .

Ce morphisme est constant égal à (e_{G}, e_{A}) sur la fibre A × {e_{A}}. On applique la proposition à ce A-morphisme, avec la section A → A ×_{S} A défini par y ↦ (e_{A}, y) : on obtient α(x, y) = (e_{G}, y), donc f(xy) = f(x)f(y) pour tout x, y. □

Corollary 67. Tout schéma abélien A/S est commutatif.

Démonstration. On applique le corollaire précédent à f : A → A, f(x) = x^{−1}. □

Corollary 68. La structure de groupe sur A/S est uniquement déterminée par sa section neutre e_{A} : S → A.

Démonstration. S’il existe deux structures de groupes m et m′ ayant e_{A} pour élément neutre, on applique le corollaire à l’identité Id : (A, m) → (A, m′) : c’est un morphisme de groupe, donc m = m′. □

Proposition 69. Soient A et B deux S-schémas abéliens projectifs. Le foncteur

\underline{Hom}_{Gr}(A, B) : (Sch/S)^{0} → Ens T ↦ Hom_{T −gr}(A_{T} , B_{T})

est représentable par un S-schéma en groupes commutatifs discret sans torsion que l’on note \underline{Hom}_{Gr}(A, B).

Démonstration. Pour la représentabilité, il suffit de montrer que le morphisme

\underline{Hom}_{Gr}(A, B) → \underline{Hom}(A, B)

est relativement représentable, d’après la proposition 1 et le corollaire 20. Soit donc f : A → B un morphisme de S-schéma. Pour tout T/S, f_{T} : A_{T} → B_{T} est un morphisme de T -schéma en groupe si et seulement si f_{T} (e_{A}) = e_{B}, d’après le corollaire 66, i.e. si et seulement si T → S se factorise à travers le sous-schéma (fermé) des coincidences de f ∘ e_{A} et e_{B} : S → B. Donc \underline{Hom}_{Gr}(A, B) est un Sschéma en groupes (commutatifs), notons le H et soit F : A_{H} → B_{H} le morphisme universel. Montrons que H/S est discret, i.e. la section triviale e_{H} : S → H est une immersion ouverte et fermée. Pour tout point s de e_{H}(S), F_{s} : A_{s} → B_{s} est trivial, donc F : A_{H} → B_{H} est trivial au-dessus de toute la composante connexe de s dans H, laquelle est donc contenue dans e_{H}(s), qui est donc bien une réunion de composantes connexes de H. Montrons enfin que \underline{Hom}_{Gr}(A, B)(T) est sans torsion : il s’agit de montrer que si f : A_{T} → B_{T} est un T -morphisme (de T -schémas en groupes) tel que [n]f = 0 pour un entier n ≥ 1, alors f = 0. Or sur un point géométrique quelconque s de S, [n]f_{s} = 0, donc f_{s}(A_{s}) ⊂ B_{s}[n] qui est fini, donc f_{s}(A_{s}) = 0 car A_{s} est connexe, donc f_{s} = 0. Alors f = 0 sur toute la composante connexe de s, et finalement f = 0. D’ailleurs, on peut faire encore plus simple : si [n] ∘ f = 0, alors f ∘ [n] = 0, donc f = 0 car [n] : A → A est fidèlement plat et de présentation finie, donc un épimorphisme dans la catégorie des schémas. □

10.2. Le morphisme Λ. Soit L un faisceau inversible sur A, et

M = m^{∗}(L) ⊗ p_{1}^{∗}(L)^{−1} ⊗ p_{2}^{∗}(L)^{−1} sur A ×_{S} A

où m, p_{1}, p_{2} : A ×_{S} A → A sont la multiplication, la première et la seconde projections. Notant [0] = e ∘ f : A → A, on a donc sur A

(e_{A}, Id)^{∗}M = M|e_{A}(S) ×_{S} A ≃ [0]^{∗}L ≃ M|A ×_{S} e_{A}(S) = (Id, e_{A})^{∗}M

Posons, pour y voir plus clair, T = A et considérons

A ×_{S} A = A ×_{S} T = A_{T}

comme un T -schéma abélien, en particulier comme un T -schéma, sur lequel on a donc un faisceau inversible M qui donne un élément de Pic_{A/S}(T). Soit P le S-schéma qui représente Pic_{A/S} – on suppose qu’il existe – et P ∈ Pic_{A/S}(P) l’élément universel. Il existe alors un unique S-morphisme Λ(L) : T → P tel que Λ(L)^{∗}(P) = M dans Pic_{A/S}(T). Revenant à nos notations T = A et P = Pic_{A/S}, on a ainsi obtenu un S-morphisme

Λ(L) : A → Pic_{A/S}.

Vérifions que c’est un morphisme de S-schémas en groupes : puisque Pic_{A/S} est séparé d’après la proposition 62, il suffit de vérifier que Λ(L) envoie la section neutre e_{A} : S → A sur la section neutre de Pic_{A/S}, ce qui résulte de

(Id, e_{A})^{∗}M = [0]^{∗}L = 0 dans Pic_{A/S}(S).

Plus généralement, l’image d’un point s ∈ A(S) par Λ(L) est le pull-back de P par

(Id, Λ(L)) ∘ (Id, s) : A = A ×_{S} S → A ×_{S} A → A ×_{S} H

ou encore le pull-back de M par (Id, s) : A → A ×_{S} A. Puisque

\{ \begin{matrix}m ∘ (Id, s) : A → A \\ p_{1} ∘ (Id, s) : A → A \\ p_{2} ∘ (Id, s) : A → A \end{matrix} est \{ \begin{matrix}la translation par s, T_{s}(x) = x + s, \\ l’identité de A, \\ le morphisme constant s ∘ f, \end{matrix}

on trouve donc Λ(L)(s) = T_{s}^{∗}L ⊗ L^{−1} dans Pic_{A/S}(S). Plus généralement, pour tout T/S et t ∈ A(T), on obtient :

Λ(L)(t) = T_{t}^{∗}(L_{T}) ⊗ L_{T}^{−1} dans Pic_{A/S}(T).

On déduit immédiatement de cette formule d’une part que pour tout x, y ∈ A(T),

T_{x+y}^{∗}L ⊗ L^{−1} = T_{x}^{∗}L ⊗ L^{−1} ⊗ T_{y}^{∗}L ⊗ L^{−1} dans Pic_{A/S}(T)

(c’est le théorème du carré), et d’autre part que l’application qui à L associe Λ(L) est un morphisme de groupes,

Λ : Pic(A) → Hom_{S−Gr} (A, Pic_{A/S}) .

En faisceautisant ce dernier, on obtient finalement un morphisme

Λ : Pic_{A/S} → \underline{Hom}_{Gr} (A, Pic_{A/S}) .

Vérifions que Λ ∘ Λ = 0 : il s’agit de voir que pour tout T/S, L ∈ Pic_{A/S}(T), U/T, x ∈ A(U), V/U et y ∈ A(V), Λ (Λ(L)(x)) (y) = 0 dans Pic_{A/S}(V). Et en effet,

Λ (Λ(L)(x)) (y) = T_{y}^{∗}(T_{x}^{∗}L_{U} ⊗ L_{U}^{−1})_{V} ⊗ (T_{x}^{∗}L_{U} ⊗ L_{U}^{−1})_{V}^{−1}
= T_{y}^{∗}T_{x_{V}}^{∗} L_{V} ⊗ T_{y}^{∗}L_{V}^{−1} ⊗ T_{x_{V}}^{∗} L_{V}^{−1} ⊗ L_{V}
= T_{x_{V} +y}^{∗}L_{V} ⊗ T_{y}^{∗}L_{V}^{−1} ⊗ T_{x_{V}}^{∗} L_{V}^{−1} ⊗ L_{V}
= 0 dans Pic_{A/S}(V)

d’après le théorème du carré. Vérifions enfin que si f : A → B est un morphisme de S-schémas abéliens, le diagramme suivant est commutatif :

Pic_{B/S} ⟶^{Λ} \underline{Hom}_{Gr} (B, Pic_{B/S})
f^{∗} ↓  ↓ f^{∗} ∘ − ∘ f
Pic_{A/S} ⟶^{Λ} \underline{Hom}_{Gr} (A, Pic_{A/S})

En effet, pour tout L sur B et x ∈ A,

Λ(f^{∗}L)(x) = T_{x}^{∗}f^{∗}L ⊗ f^{∗}L^{−1}
= f^{∗}T_{f(x)}^{∗}L ⊗ f^{∗}L^{−1}
= f^{∗} (T_{f(x)}^{∗}L ⊗ L^{−1})
= (f^{∗} ∘ Λ(L) ∘ f) (x)

donc Λ ∘ f^{∗}(−) = f^{∗} ∘ Λ(−) ∘ f.

10.3. Le théorème du cube. Pour J ⊂ {1, 2, 3}, on note p_{J} : A^{3} → A^{J} la projection évidente et s_{J} : A^{3} → A la somme des J-èmes composantes. Soit également T = A ×_{S} A et q_{1}, q_{2} : T → A les deux projections, de sorte que q_{1} + q_{2} = m est l’addition dans A. Pour tout Q dans Pic(A_{T}),

T_{q_{1}}^{∗}Q ⊗ T_{q_{2}}^{∗}Q = T_{m}^{∗}Q ⊗ Q dans Pic_{A/S}(T).

Pour Q = p_{1}^{∗}L = s_{1}^{∗}L sur A_{T} = A ×_{S} A ×_{S} A, on trouve :

s_{1,2}^{∗}L ⊗ s_{1,3}^{∗}L = s_{1,2,3}^{∗}L ⊗ s_{1}^{∗}L ⊗ p_{2,3}^{∗}M dans Pic(A^{3})

pour M sur T = A ×_{S} A. Tirant en arrière par (b, c) ↦ (0, b, c), il vient

q_{1}^{∗}L ⊗ q_{2}^{∗}L = m^{∗}L ⊗ 0^{∗}L ⊗ M dans Pic(A^{2})

d’où l’on déduit que

s_{1,2,3}^{∗}L ⊗ s_{1}^{∗}L ⊗ s_{2}^{∗}L ⊗ s_{3}^{∗}L = s_{1,2}^{∗}L ⊗ s_{1,3}^{∗}L ⊗ s_{2,3}^{∗}L ⊗ s_{∅}^{∗}L dans Pic(A^{3}).

Pour tout S-schéma T et toutes sections x, y, z : T → A,

(x + y + z)^{∗}L ⊗ x^{∗}L ⊗ y^{∗}L ⊗ z^{∗}L = (x + y)^{∗}L ⊗ (x + z)^{∗}L ⊗ (y + z)^{∗}L ⊗ 0_{T}^{∗} L

dans Pic(T). Appliquant ceci à x = [n], y = [1] et z = [−1], on obtient

[n]^{∗}L^{2} ⊗ [−1]^{∗}L ⊗ L = [n + 1]^{∗}L ⊗ [n − 1]^{∗}L ⊗ 0_{A}^{∗}L^{2} dans Pic(A).

On en déduit par récurrence sur n que

(10.1)  [n]^{∗}L ⊗ [0]^{∗}L^{n^{2}−1} = L^{\frac{n^{2}+n}{2}} ⊗ [−1]^{∗}L^{\frac{n^{2}−n}{2}} dans Pic(A).

En particulier,

[n]^{∗}L ⊗ [0]^{∗}L^{n^{2}−1} = \begin{cases}L^{n^{2}} & si [−1]^{∗}L ≃ L \\ L^{n} & si [−1]^{∗}L ≃ L^{−1} \end{cases}

10.4. Le noyau de Λ.

Lemma 70. Le noyau de Λ est ouvert et fermé dans Pic_{A/S}.

Démonstration. Il s’agit de voir que pour tout S-schéma T (que l’on peut supposer noethérien) et tout morphisme T → Pic_{A/S}, c’est-à-dire pour tout L ∈ Pic_{A/S}(T), l’image inverse de ker Λ dans T, c’est-à-dire l’ensemble des point t de T tels que Λ(L)_{t} = 0, est ouvert et fermé dans T. Cela résulte du théorème de rigidité, d’après lequel cet ensemble est une réunion de composantes connexes de T. □

Lemma 71. Pour L ∈ Pic(A), les conditions suivantes sont équivalentes :

(1) Λ(L) = 0.
(2) m^{∗}L = p_{1}^{∗}L ⊗ p_{2}^{∗}L dans Pic_{A/S}(A).
(3) m^{∗}L = p_{1}^{∗}L ⊗ p_{2}^{∗}L ⊗ p_{2}^{∗}[0]^{∗}L^{−1} dans Pic(A ×_{S} A).
(4) Pour tout n ∈ ℤ, [n]^{∗}L = L^{n} ⊗ [0]^{∗}L^{1−n} dans Pic(A).
(5) [−1]^{∗}L = L^{−1} ⊗ [0]^{∗}L^{⊗2} dans Pic(A).
(6) [−1]^{∗}L = L^{−1} dans Pic_{A/S}(S).
(7) Pour tout T/S et tout x ∈ A(T), T_{x}^{∗}L_{T} ⊗ L_{T}^{−1} = 0 dans Pic_{A/S}(T).

Démonstration. Les équivalences (7) ⇔ (1) ⇔ (2) sont tautologiques, et (2) est équivalent à l’existence d’un M ∈ Pic(A) tel que

m^{∗}L = p_{1}^{∗}L ⊗ p_{2}^{∗}L ⊗ p_{2}^{∗}M dans Pic(A ×_{S} A).

On vérifie qu’alors M = [0]^{∗}L^{−1} dans Pic(A) en tirant en arrière par a ↦ (0, a). Donc (2) ⇔ (3). En tirant en arrière (3) par a ↦ (na, a), on obtient

[n + 1]^{∗}L = [n]^{∗}L ⊗ L ⊗ [0]^{∗}L^{−1} dans Pic(A)

d’où l’on déduit facilement (4) par récurrence sur n. L’équivalence (4) ⇔ (5) résulte de (10.1), et bien sûr (5) ⇒ (6). Montrons enfin que (6) ⇒ (1). On sait que

Λ([−1]^{∗}L) = [−1]^{∗} ∘ Λ(L) ∘ [−1].

On sait aussi que pour tout T/S et x ∈ A(T), Λ(L)(x) ∈ Pic_{A/S}(T) est dans le noyau de Λ, donc d’après l’implication (1) ⇒ (6) déjà démontrée,

[−1]^{∗} (Λ(L)(x)) = (Λ(L)(x))^{−1} = Λ(L)(−x) dans Pic_{A/S}(T)

i.e. [−1]^{∗} ∘ Λ(L) = Λ(L) ∘ [−1], donc finalement

Λ([−1]^{∗}L) = Λ(L).

En particulier, (6) implique que Λ(L) = −Λ(L), donc Λ(L) ∘ [2] = 0 et Λ(L) = 0 puisque [2] : A → A est une isogénie, donc un épimorphisme. □

10.5. La composante neutre. Soit G un S-schéma en groupes qui est localement de présentation finie. Pour tout s ∈ S, on obtient donc un k(s)-schéma en groupes G_{s} qui est localement de type fini, et en particulier localement noethérien : ces composantes connexes sont donc ouvertes (et fermées), i.e. des sous-schémas ouverts et fermés de G_{s}. L’élément neutre 1_{s} ∈ G_{s}(k(s)) est un point k(s)-rationnel, donc fermé. On note G_{s}^{0} la composante neutre de G_{s} : c’est un sous-schéma en groupe ouvert et fermé de G_{s}, connexe et même géométriquement connexe puisqu’il contient un point k(s)-rationnel. On note enfin G^{0} = ∪_{s}G_{s}^{0}, qui n’est à priori... qu’une partie de l’ensemble sous-jacent au schéma G.

Soit maintenant A un S-schéma abélien projectif. La discussion ci-dessus s’applique au S-schéma en groupes G = Pic_{A/S} : on a construit ce dernier en le recouvrant par des ouverts fermés Pic_{A/S}^{ϕ} qui sont quasi-projectifs et de présentation finie, et même projectifs puisque Pic_{A/S} vérifie le critère valuatif de propreté. On obtient ainsi un sous-ensemble Pic_{A/S}^{0} de Pic_{A/S}. On peut d’ailleurs être plus précis. L’application qui à s ∈ S associe le polynôme de Hilbert ϕ(A_{s}) (calculé relativement à un S-plongement A ↪ P(E)) est localement constante. Donc sur chaque composante connexe C de S, il existe un polynôme ϕ_{C} tel que ϕ(A_{s}) ≡ ϕ_{C} pour tout s ∈ C, et le même argument de continuité montre alors qu’au dessus de cette composante, Pic_{A/S}^{0} ⊂ Pic_{A_{S}/S}^{ϕ_{C}}.

L’ensemble Pic_{A/S}^{0} est coincé entre le noyau de Λ (qui est ouvert et fermé, donc contient la composante neutre de chaque fibre), et l’image de Λ(L) : A → Pic_{A/S}, pour tout L ∈ Pic_{A/S} (puisque les fibres de A sont connexes) :

Λ(L) ⊂ Pic_{A/S}^{0} ⊂ ker Λ ⊂ Pic_{A/S}.

10.6. Les théorèmes. Nous allons montrer simultanément les résultats suivants.

Theorem 72. (1) Pic_{A/S}^{0} = ker Λ, (2) Pic_{A/S}^{0} est un S-schéma abélien.

Le S-schéma abélien dual de A est A^{t} = Pic_{A/S}^{0}. Le S-schéma en groupes de Néron-Séveri est NS_{A/S} = Pic_{A/S}/Pic_{A/S}^{0}. On a donc une factorisation

Pic_{A/S} →^{Λ} \underline{Hom}_{Gr} (A, Pic_{A/S})
↓  ↑
NS_{A/S} ↪^{Λ}  \underline{Hom}_{Gr} (A, A^{t})

La preuve du théorème ci-dessus repose en définitive sur la construction de certains éléments non-triviaux de NS_{A/S}, les polarisations, qui joueront un rôle essentiel dans la suite. Ces éléments sont fournis par la théorie des faisceaux inversibles S-amples sur A, via le troisième point du théorème suivant.

Theorem 73. Si L est un faisceau inversible S-ample sur A,

(1) R^{i}f_{∗}L = 0 pour tout i > 0,

(2) f_{∗}L est localement libre de formation compatible au changement de base, et

(3) Λ(L) : A → A^{t} est une isogénie de degré (rang(f_{∗}L))^{2}.

(4) Pour tout n ≥ 3, f^{∗}f_{∗}L^{⊗n} → L^{⊗n} est surjectif et induit une immersion fermée ι(L^{⊗n}) : A ↪ P(f_{∗}L^{⊗n}) (i.e. L^{⊗n} est très ample relativement à S).

Identifions Pic_{A/S}(T) = Pic(A ×_{S} T)/p_{2}^{∗}Pic(T) au sous-groupe de Pic(A ×_{S} T) formé des faisceaux inversibles L sur A ×_{S} T qui sont normalisés par la condition

(e_{A}, Id)^{∗}L = L|e_{A}(S) ×_{S} T ≃ O_{T} .

Soit P le faisceau inversible ainsi rigidifié sur A ×_{S} A^{t} qui correspond à l’inclusion A^{t} ↪ Pic_{A/S}. Puisque cette dernière est un morphisme de S-schémas en groupes,

(Id, e_{A^{t}})^{∗}P = P|A ×_{S} e_{A^{t}}(S) ∈ f^{∗}Pic(S).

On en déduit alors facilement que, compte-tenu de notre rigidification,

(e_{A}, Id)^{∗}P = P|e_{A}(S) ×_{S} A^{t} ≃ O_{A^{t}} et (Id, e_{A^{t}})^{∗}P = P|A ×_{S} e_{A^{t}}(S) ≃ O_{A}.

Ce faisceau inversible s’appelle le faisceau de Poincaré. On peut le voir aussi comme un faisceau inversible... sur le A-schéma abélien A ×_{S} A^{t}, ce qui nous donne un morphisme de S-schémas A → Pic_{A^{t}/S}. Ce dernier est compatible avec les sections neutres par construction, et c’est donc un morphisme de S-schémas en groupes. Il se factorise nécessairement à travers le sous-schéma en groupes ouvert A^{tt} = Pic_{A^{t}/S}^{0} : on obtient donc ainsi un morphisme canonique δ : A → A^{tt}.

Theorem 74. C’est un isomorphisme δ : A → A^{tt}.

10.7. Le cas d’un corps algébriquement clos. On suppose ici que S = Speck où k est algébriquement clos. Soit A/k une variété abélienne de dimension g.

10.7.1. Cohomologie de 0 ≠ M ∈ ker Λ et applications.

Lemma 75. Si 0 ≠ M ∈ ker Λ, alors H^{i}(A, M) = 0 pour tout i ≥ 0.

Démonstration. On le montre par récurrence sur i. Si H^{0}(A, M) ≠ 0, alors aussi H^{0}(A, M^{−1}) ≠ 0 puisque M^{−1} = [−1]^{∗}M, donc M = 0^{1}, une contradiction. Supposons ensuite que H^{j}(X, M) = 0 pour tout j < i ≠ 0. Puisque

m^{∗}M ≃ p_{1}^{∗}M ⊗ p_{2}^{∗}M dans Pic(A × A),

la formule de Kunneth donne

H^{i}(A × A, m^{∗}M) = ⊕_{j_{1}+j_{2}=i}H^{j_{1}}(A, M) ⊗ H^{j_{2}}(A, M) = 0.

Mais l’identité de A se factorise en A ↪ A × A ↠ A donnée par a ↦ (a, 0) et (a, b) ↦ a + b, et cette factorisation induit

H^{i}(A, M) → H^{i}(A × A, m^{∗}M) → H^{i}(A, M)

donc H^{i}(A, M) = 0. □

Corollary 76. Si L est un faisceau ample sur A, alors

(1) Le noyau de Λ(L) : A → Pic_{A/S} est fini.

(2) L’image de Λ(L) est le noyau de Λ : Pic_{A/S} → \underline{Hom}_{Gr}(A, Pic_{A/S}).

1. Soit (U_{i}) un recouvrement ouvert de A trivialisant M, f_{i} ∈ K(A) tel que M|U_{i} = O_{U_{i}}f_{i}, donc aussi M^{−1}|U_{i} = O_{U_{i}}f_{i}^{−1}. Si x et y sont des sections non-nulles de M et M^{−1}, il existe x_{i} ∈ Γ(U_{i}, O_{U_{i}}) et y_{i} ∈ Γ(U_{i}, O_{U_{i}}) tels que x = x_{i}f_{i} et y = y_{i}f_{i}^{−1}, donc xy = x_{i}y_{i} est dans K(A)^{×} ∩ Γ(A, O_{A}) = k^{×}. Mais alors x_{i} et y_{i} sont dans Γ(U_{i}, O_{U_{i}}^{×}) et M|U_{i} = O_{U_{i}}f pour tout i, donc M ≃ O_{A}.

Démonstration. (1) Soit B = ker Λ(L)_{red}^{0} la composante connexe réduite de ker Λ(L). C’est un sous-schéma en groupes de A qui est fermé donc propre sur k, connexe, et réduit donc génériquement lisse donc lisse : bref, c’est une sous-variété abélienne de A. Pour tout b ∈ B, T_{b}^{∗}L ≃ L sur A, donc à fortiori T_{b}^{∗}(L|B) ≃ L|B sur B, i.e. L|B est dans le noyau de Λ, ainsi que (L|B)^{⊗n} pour tout n ≥ 0. Puisque L est ample, L|B l’est encore et H^{0}(B, (L|B)^{⊗n}) ≠ 0 pour n ≫ 0 d’après le lemme 42, donc (L|B)^{⊗n} est trivial pour n ≫ 0 d’après le lemme précédent. Donc O_{B} est un faisceau ample, ce qui implique que B = 0^{2}, donc ker Λ(L) est fini.

(2) Soit M ∈ Pic(A) tel que Λ(M) = 0. On considère sur A × A le faisceau inversible K = m^{∗}L ⊗ p_{1}^{∗}L^{−1} ⊗ p_{2}^{∗}(L^{−1} ⊗ M^{−1}). On a donc

K|{a} × A = T_{a}L ⊗ L^{−1} ⊗ M^{−1} et K|A × {a} = T_{a}L ⊗ L^{−1}

qui sont encore dans le noyau de Λ, puisque A étant connexe

Λ(L)(a) = T_{a}L ⊗ L^{−1} ∈ Pic_{A/S}^{0} ⊂ ker Λ

Supposons que pour tout a ∈ A, K|{a} × A ≠ O_{A}. D’après le lemme précédent et le yoga du changement de base (corollaire 47), on a donc R^{i}p_{1∗}K = 0 pour tout i ≥ 0. La suite spectrale de Leray

H^{i}(A, R^{j}p_{1∗}K) ⇒ H^{i+j}(A × A, K)

nous donne alors H^{i}(A × A, K) = 0 pour tout i ≥ 0. D’autre part, nous avons vu que le noyau de Λ(L) est fini. En dehors de ce noyau, K|A × {a} = Λ(L)(a) est non-trivial, de sorte que par le même raisonnement, R^{i}p_{2∗}K|A − K(L) = 0 pour tout i ≥ 0 : le faisceau cohérent R^{i}p_{2∗}K est concentré sur le schéma fini K(L). La deuxième suite spectrale de Leray

H^{i}(A, R^{j}p_{2∗}K) ⇒ H^{i+j}(A × A, K)

dégénère donc en

H^{0}(A, R^{j}p_{2∗}K) = H^{j}(A × A, K)

d’où l’on tire enfin que R^{i}p_{2∗}K = 0 pour tout i. Le yoga du changement de base nous donne à nouveau que H^{i}(A × {a}, K|A × {a}) = 0 pour tout i et tout a. On obtient finalement une contradiction en prenant i = 0 et a = 0. □

Corollary 77. Pic_{A/S}^{0} = ker Λ.

Démonstration. On admet que A est projective : il existe un faisceau inversible ample L sur A (voir [9, Theorem 5.4]). Les extrémités de

Λ(L)(A) ⊂ Pic_{A/S}^{0} ⊂ ker Λ

coïncident d’après le corollaire précédent, donc Pic_{A/S}^{0} = ker Λ. □

On note A^{t} = Pic_{A/S}^{0} = ker Λ. C’est un sous-schéma en groupes (ouvert et fermé) de Pic_{A/S}, qui est géométriquement connexe, et propre sur k. Il ne lui manque donc plus que la lissité pour être une variété abélienne. Or, on sait que

Lie(A^{t}) ≃ H^{1}(A, O_{A}) et dimA^{t} = dim A.

La première assertion vient de 63, et la seconde résulte du corollaire ci-dessus. La lissité de A^{t} résultera donc du calcul de la cohomologie de O_{A}, l’élément trivial du noyau de Λ : il nous faut voir que dim_{k} H^{1}(A, O_{A}) = g.

2. Si O_{B} est ample, l’ouvert de B où 1 ∈ Γ(B, O_{B}) est inversible, c’est-à-dire B, est un schéma quasi-affine, c’est-à-dire un sous-schéma ouvert de SpecΓ(B, O_{B}) = Speck.

10.7.2. Cohomologie de O_{A} = 0 ∈ ker Λ et applications.

Lemma 78. Pour tout i ≥ 0, dim_{k} H^{i}(A, O_{A}) = C_{g}^{i}.

Remark 79. La caractéristique d’Euler-Poincaré varie continuement sur Pic_{A/S}, elle est donc constante sur Pic_{A/S}^{0}, et nulle en dehors de 0 d’après le lemme 75, donc nulle aussi en 0. Et en effet, ∑_{i=0}^{g}(−1)^{i}C_{g}^{i} = 0. Lorsque g = 1, cet argument démontre le lemme : dim_{k} H^{1}(A, O_{A}) = dim_{k} H^{0}(A, O_{A}) = 1.

Démonstration. Soit P le faisceau de Poincaré sur A × A^{t}. C’est donc le faisceau inversible normalisé sur A×A^{t} qui correspond à l’inclusion A^{t} = Pic_{A/S}^{0} → Pic_{A/S}. Il vérifie P|{0} × A^{t} = 0 (par normalisation) et P|A × {a} = P_{a} où a ↦ P_{a} est exactement l’identification A^{t} = Pic_{A/S}^{0}.

Puisque p_{2} : A × A^{t} → A^{t} est propre, lisse et surjectif, ce faisceau inversible (donc cohérent) P de A × A^{t} est plat sur A^{t}, de sorte que l’on peut appliquer à cette situation le yoga du changement de base propre. Le lemme 75 montre que

∀a ∈ A^{t} − {0}, ∀i ≥ 0, H^{i}(A × {a}, P|A × {a}) = 0

donc R^{i}p_{2∗}P|A^{t} − {0} = 0, i.e. tous les faisceaux cohérents R^{i}p_{2∗}P sur A^{t} sont concentrés en 0 ∈ A^{t}, et la suite spectrale de Leray

H^{i}(A^{t}, R^{j}p_{2∗}P) ⇒ H^{i+j}(A × A^{t}, P)

dégénère en

H^{i}(A × A^{t}, P) = H^{0}(A^{t}, R^{i}p_{2∗}P) = H^{i}(A × SpecR, P|A × SpecR)

où R = O_{A^{t},0} est l’anneau local de A^{t} en 0, un anneau local noethérien de dimension g et de corps résiduel k. Soit C^{0} → C^{1} → ⋯ → C^{g} le complexe de R-modules localement libres (donc libres) de rang fini qui calcule la cohomologie de P|A×SpecR universellement sur R, comme dans le lemme 45. On a donc

(10.2)  H^{i}(A × A^{t}, P) = H^{i}(A × SpecR, P|A × SpecR) = H^{i}(C^{•}),
(10.3) et H^{i}(A, O_{A}) = H^{i}(A × {0}, P|A × {0}) = H^{i}(C^{•} ⊗_{R} k).

La première formule nous dit notamment que les H^{i}(C^{•}) sont déjà des k-espaces vectoriels, et en particulier, des R-modules artiniens (=de longueur finie). Or :

Lemma 80. Soit R un anneau local régulier de dimension g et C^{•} un complexe de R-modules libres de rang fini tel que H^{i}(C^{•}) est artinien. Alors

0 → C^{0} → C^{1} → ⋯ → C^{g} → H^{g}(C^{•}) → 0

est exacte.

Démonstration. [10, Page 127] Si g = 0, il n’y a rien à démontrer, mais le cas g = 1 (trivial) est déjà plus éclairant. Lorsque g > 0, on choisit un élément x ∈ m_{R} tel que R/Rx = \overline{R} soit régulier de dimension g −1 (il suffit de prendre x ≠ 0 mod m_{R}^{2}), et on suppose le résultat démontré pour \overline{R}. La suite exacte de complexes

0 → C^{•} ⟶^{x} C^{•} → \overline{C}^{•} → 0

donne alors une suite exacte longue

⋯ → H^{i−1}(\overline{C}^{•}) → H^{i}(C^{•}) ⟶^{x} H^{i}(C^{•}) → H^{i}(\overline{C}^{•}) → H^{i+1}(C^{•}) → ⋯

d’où l’on déduit d’abord que H^{i}(\overline{C}^{•}) est artinien pour tout i, donc H^{i}(\overline{C}^{•}) = 0 pour tout i < g − 1 d’après l’hypothèse de récurrence, puis également H^{i}(C^{•}) = 0 pour tout i < g − 1 d’après Nakayama, et même H^{g−1}(C^{•}) = 0 puisque la multiplication par x est injective sur ce R-module artinien. C’est fini ! □

On ne peut malheureusement pas appliquer directement ce lemme, parce que l’on ne sait pas encore que notre anneau R est régulier : c’est même presque exactement ce que l’on veut démontrer, à savoir, la lissité de A^{t}. En revanche, l’anneau réduit R_{red} est régulier : c’est en effet l’anneau local en 0 de A_{red}^{t}, qui est un groupe algébrique réduit, donc (génériquement lisse donc) lisse. D’ailleurs, en remplaçant partout dans l’argument ci-dessus A^{t} par A_{red}^{t}, on trouve de même que

H^{i}(A × A_{red}^{t}, P) = H^{i}(A × SpecR_{red}, P|A × SpecR_{red}) = H^{i}(C^{•} ⊗ R_{red}).

Les groupes de cohomologies du complexe C_{red}^{•} = C^{•} ⊗ R_{red} sont donc des kespaces vectoriels de dimension finie, et on vérifie facilement qu’il en est de même pour le complexe dual C_{red}^{•∨} = Hom_{R_{red}}(C_{red}^{•}, R_{red}). Le lemme nous dit alors que ce complexe est une résolution libre du R-module artinien H^{g}(C_{red}^{•∨}). Mais

H^{g}(C_{red}^{•∨}) ⊗ k = coker (Hom_{R_{red}} (C_{red}^{1}, R_{red}) → Hom_{R_{red}} (C_{red}^{0}, R_{red})) ⊗ k
= coker (Hom_{k} (C^{1} ⊗ k, k) → Hom_{k} (C^{0} ⊗ k, k))
= Hom_{k} (ker (C^{0} ⊗ k → C^{1} ⊗ k) , k)

est le k-dual de H^{0}(C^{•} ⊗ k) = H^{0}(A, O_{A}) = k, donc C_{red}^{•∨} est une résolution libre de k. Ce complexe est donc homotope à la résolution de Koszul K^{•}(s_{1}, ⋯, s_{g}) définie par une suite régulière de paramètres de R_{red} (des éléments s_{i} ∈ m_{R_{red}} dont les images dans m_{R_{red}}/m_{R_{red}}^{2} forment une k-base de ce k-espace vectoriel). Cette résolution de Koszul est auto-duale, et donnée par les formules

K^{i}(s_{1}, ⋯, s_{g}) = Λ^{i} (R_{red} · e_{1} ⊕ ⋯ ⊕ R_{red} · e_{g}) ,
d(e_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{j_{i}}) = ∑_{k=1}^{i}(−1)^{k}s_{k}e_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ ê_{j_{k}} ∧ ⋯ ∧ e_{j_{i}}.

On en déduit immédiatement que

H^{i}(A, O_{A}) = H^{i}(C^{•} ⊗ k) = H^{i}(K^{•}(s_{1}, ⋯, s_{g}) ⊗ k) = K^{i}(s_{1}, ⋯, s_{g}) ⊗ k

donc dim_{k} H^{i}(A, O_{A}) = C_{g}^{i} pour tout i ≥ 0, ce qu’il fallait démontrer. □

Remark 81. En particulier, A^{t} est lisse puisque

dim_{k} LieA^{t}(k) = dim_{k} H^{1}(A, O_{A}) = g = dim A^{t}

donc R_{red} = R dans tout l’argument ci-dessus.

Lemma 82. La cohomologie de P sur A × A^{t} est donnée par

H^{i}(A × A^{t}, P) = \begin{cases}0 & si i ≠ g, \\ k & si i = g. \end{cases}

Démonstration. Cela résulte de la formule (10.2). □

Corollary 83. Le morphisme de bidualité δ : A → A^{tt} est un isomorphisme.

Démonstration. Par définition de ce morphisme δ, le faisceau de Poincaré P sur A × A^{t} est le pull-back par (δ, Id) de son analogue Q sur A^{tt} × A^{t}. Si δ n’est pas une isogénie, son noyau contient des sous-schémas en groupes finis F de A de degré d(F) arbitrairement grand. Mais alors P est le pull-back d’un faisceau inversible par le morphisme fini plat A × A^{t} → A/F × A^{t} de rang d(F), donc d(F) divise χ(P) = (−1)^{g}, une contradiction. Le même argument montre que l’isogénie δ est de degré 1, c’est-à-dire un isomorphisme. □

10.7.3. Cohomologie des faisceaux amples. Pour tout L ∈ Pic(A) et n ∈ ℤ,

[n]^{∗}L = L^{\frac{n^{2}+n}{2}} ⊗ [−1]^{∗}L^{\frac{n^{2}−n}{2}} = L^{n^{2}} dans NS_{A/S}

d’après le théorème du cube, puisque aussi [−1]^{∗}L = L dans NS_{A/S}. Si de plus Λ(L) : A → A^{t} est surjective, par exemple si L est ample, alors Λ(L^{n^{2}}) l’est également, et il existe donc un élément x_{n} ∈ A tel que

Λ(L^{n^{2}})(x_{n}) = [n]^{∗}L ⊗ L^{−n^{2}} dans Pic(A),

c’est-à-dire tel que T_{x_{n}}^{∗}L^{n^{2}} ≃ [n]^{∗}L dans Pic(A).

Lemma 84. Si L est inversible ample sur A, alors H^{i}(A, L) = 0 si i > 0.

Démonstration. Puisque L est ample,

H^{i}(A, [n]^{∗}L) ≃ H^{i}(A, T_{x}^{∗}L^{n^{2}}) ≃ H^{i}(A, L^{n^{2}}) = 0

pour tout n ≫ 0 et i > 0 d’après le corollaire 35. Puisque [n] : A → A est fini,

H^{i}(A, [n]^{∗}L) ≃ H^{i}(A, [n]_{∗}[n]^{∗}L) = 0

pour tout n ≫ 0 et i > 0. Mais si n est premier à la caractéristique de k, alors L est un facteur direct de [n]_{∗}[n]^{∗}L, donc H^{i}(A, L) = 0 si i > 0. □

Le calcul du degré de Λ(L) pour L ample résulte alors immédiatement du lemme suivant, valable plus généralement pour tout L non-dégénéré, i.e. tel que le morphisme Λ(L) : A → A^{t} soit une isogénie.

Lemma 85. Si L est non-dégénéré, deg Λ(L) = χ(L)^{2}.

Démonstration. Posons α = (Id, Λ(L)) : A × A → A × A^{⊥}. On a donc

α^{∗}P = m^{∗}L ⊗ p_{1}^{∗}L^{−1} ⊗ p_{2}^{∗}L^{−1}

par définition de Λ(L), donc puisque α est fini et plat,

χ(α^{∗}P) = deg α · χ(P) = χ(m^{∗}L ⊗ p_{1}^{∗}L^{−1} ⊗ p_{2}^{∗}L^{−1}).

On voit comme plus haut que tous les

R^{i}p_{1,∗}(m^{∗}L ⊗ p_{1}^{∗}L^{−1} ⊗ p_{2}^{∗}L^{−1}) = R^{i}p_{1,∗}(m^{∗}L ⊗ p_{2}^{∗}L^{−1}) ⊗ L^{−1}

sont à support dans ker Λ(L) qui est fini, donc R^{i}p_{1,∗}(m^{∗}L ⊗ p_{2}^{∗}L^{−1}) aussi, et

H^{i}(A × A, m^{∗}L ⊗ p_{1}^{∗}L^{−1} ⊗ p_{2}^{∗}L^{−1}) ≃ H^{0}(A, •) ≃ H^{i}(A × A, m^{∗}L ⊗ p_{2}^{∗}L^{−1}).

Mais l’isomorphisme θ : A × A → A × A donné par θ(a, b) = (a + b, b) vérifie

θ^{∗} (p_{1}^{∗}L ⊗ p_{2}^{∗}L^{−1}) = m^{∗}L ⊗ p_{2}^{∗}L^{−1}

d’où l’on tire en utilisant la formule de Künneth que

H^{i}(A × A, m^{∗}L ⊗ p_{1}^{∗}L^{−1} ⊗ p_{2}^{∗}L^{−1}) ≃ ⊕_{j+j′=i}H^{j}(A, L) ⊗ H^{j′}(A, L^{−1}).

Il en résulte que χ(m^{∗}L ⊗ p_{1}^{∗}L^{−1} ⊗ p_{2}^{∗}L^{−1}) = χ(L) · χ(L^{−1}). On a donc :

χ(L) · χ(L^{−1}) = χ(P) · deg Λ(L) = (−1)^{g} · deg Λ(L).

En appliquant ceci à L^{⊗n}, n > 0, on trouve

χ(L^{⊗n}) · χ(L^{−⊗n}) = (−1)^{g}n^{2g} · deg Λ(L).

Pour L ample, nous avons vu que n ↦ χ(L^{⊗n}) est un polynôme, et la formule cidessus montre qu’il est homogène de degré g. En particulier χ(L^{−1}) = (−1)^{g}χ(L), donc deg Λ(L) = χ(L)^{2}. Pour le cas général, il faut encore savoir que n ↦ χ(L^{⊗n}) est un polynôme : c’est ce que l’on appelle le lemme de Krasner. □

Remark 86. On a vu dans la preuve ci-dessus que pour L ample et n > 0,

χ(L^{⊗n}) = dim_{k} H^{0}(A, L^{⊗n}) = n^{g}χ(L).

10.7.4. Rappels. Soit X/k une variété propre et lisse, L un faisceau inversible sur X et E = H^{0}(X, L). Le support du conoyau du morphisme E ⊗ O_{X} → L est un fermé de X. On note X(L) l’ouvert complémentaire. Par construction, le morphisme canonique E ⊗ O_{X(L)} → L|X(L) est surjectif : on obtient donc un morphisme ι(L) : X(L) → P(E) tel que L ≃ ι(L)^{∗}O_{P}(1). D’autre part, nous avons vu que l’ensemble |L| des diviseurs effectifs D qui sont linéairement équivalents à L (i.e. tels que L ≃ O_{X}(D)) est en bijection avec l’ensemble (l’espace projectif) des droites de E, via l’application qui à s ∈ E associe le diviseur D(s) de s, à savoir le lieu (fermé) de X où le morphisme O_{X} → L n’est pas surjectif. Cette bijection permet de décrire diverses propriétés de ι(L). On dit que |L| est (1) sans point base, (2) sépare les points, (3) sépare les vecteurs tangents ssi (1) pour tout x ∈ X, il existe D ∈ |L| tel que x ∉ D, (2) pour tout x, y ∈ X avec x ≠ y, il existe D ∈ |L| tel que x ∈ D mais y ∉ D ou l’inverse, et (3) pour tout x ∈ X et t ∈ T_{x}X avec t ≠ 0, il existe D ∈ |L| tel que x ∈ D mais t ∉ T_{x}D. Alors (1) ⟺ X(L) = X, (1 + 2) ⟺ X(L) = X et ι(L) est injective, et (1 + 2 + 3) ⟺ X(L) = X et ι(L) est une immersion fermée. Cf. [7, Chap III, Prop. 7.3].

10.7.5. Application. On revient au cas qui nous intéresse : X/k = A/k est une variété abélienne. Pour appliquer les résultats ci-dessus, il faut savoir construire des éléments dans |L| : on utilise pour cela le lemme suivant.

Lemma 87. Soit D ∈ |L| et x_{1}, ⋯, x_{r} ∈ A. Alors

∑_{i=1}^{r} x_{i} = 0 dans A ⟹ ∑_{i=1}^{r} T_{x_{i}}^{∗}D ∈ |L^{⊗r}|.

Démonstration. Cela résulte de Λ(L)(x_{1} + ⋯ + x_{r}) = 0, puisque

Λ(L)(x) ≃ T_{x}^{∗}L ⊗ L^{−1} ≃ T_{x}^{∗}O(D) ⊗ O(D)^{−1} = O(T_{x}^{∗}D) ⊗ O(D)^{−1}

donc ∑_{i=1}^{r} T_{x_{i}}^{∗}D ≃ rD ∈ |L^{⊗r}|. □

Proposition 88. Soit L un faisceau inversible. Les conditions suivantes sont équivalentes : (1) L est ample, (2) Λ(L) est une isogénie et H^{0}(A, L) ≠ 0, (3) |L^{⊗2}| est sans point base et ι(L^{⊗2}) : A → P(H^{0}(A, L^{⊗2})) est un morphisme fini.

Démonstration. (3) ⇒ (1) est un résultat général de géométrie algébrique, cf. [1, III 2.6.1 ou 4.4.2]. Pour (1) ⇒ (2), supposons que L est ample. On sait alors que Λ(L) est une isogénie (corollaire 76), que χ(L^{⊗n}) = n^{g}χ(L) = dim_{k} H^{0}(A, L^{⊗n}) (remarque 86), et que χ(L^{⊗n}) > 0 pour n ≫ 0 (lemme 36), donc dim_{k} H^{0}(A, L) ≠ 0. Pour (2) ⇒ (3), on choisit D ∈ |L|, qui existe d’après (2). Alors pour tout x ∈ A, T_{x}^{∗}D + T_{−x}^{∗}D ∈ |L^{⊗2}| d’après le lemme précédent. Soit alors y ∈ A. En comparant simplement les dimensions, on voit que le support de [±1](D − y) est distinct de A. Si x ∈ A n’est pas dans ce support, alors y n’est pas dans celui de T_{x}^{∗}D + T_{−x}^{∗}D, donc |L^{⊗2}| est sans point base. Soit ensuite H = H^{0}(A, L^{⊗2}), ι : A → P(H) le morphisme ι(L^{⊗2}). Pour tout x ∈ A, notons C(x) la composante connexe de x dans ι^{−1}ι(x). Le lemme de rigidité appliqué au A-morphisme C(x) × A → P × A défini par (y, a) ↦ (ι(y + a), a)) montre que ι(y + a) = ι(x + a) pour tout a ∈ A et y ∈ C(x). Donc ι est invariant par T_{x−y}, donc L^{⊗2} aussi, et x−y ∈ ker Λ(L^{⊗2}) pour tout x ∈ A, y ∈ C(x). En particulier, tous les C(x) sont finis (donc C(x) = {x}) puisque ker Λ(L^{⊗2}) l’est. Donc ι(L^{2}) est quasi-fini (et propre) donc fini. □

Proposition 89. Pour tout L ample sur A et tout n ≥ 3, |L^{⊗n}| sépare les points et les vecteurs tangents, de sorte que

ι(L^{⊗n}) : A ↪ P(H^{0}(A, L^{⊗n}))

est une immersion fermée.

Démonstration. On commence par choisir D ∈ |L| (qui existe d’après le point (2) de la proposition précédente). Soient x et y deux points de A, avec x ≠ y. Choisissons x_{1} ∈ D −x tel que x_{1} ∉ D −y. Le complémentaire U de D −y dans A est un ouvert non vide et donc dense dans A. Choisissons arbitrairement x_{2}, …, x_{n−2} dans U, puis un point

−x_{n} = (x_{1} + ⋯ + x_{n−2}) + x_{n−1} dans − U ∩ (x_{1} + ⋯ + x_{n−2} + U)

avec donc x_{n−1} et x_{n} dans U. Alors ∑ T_{x_{i}}^{∗}D ∈ |L^{⊗n}| avec

x ∈ T_{x_{1}}^{∗}D = D − x_{1} et ∀i : y ∉ T_{x_{i}}^{∗}D = D − x_{i}.

Le système linéaire |L^{⊗n}| est donc sans point base et sépare les points. Pour montrer qu’il sépare les vecteurs tangents, il suffit par translation de montrer que pour tout vecteur tangent t ≠ 0 en 0 ∈ A, il existe D ∈ |L^{⊗n}| tel que 0 ∈ D mais t ∉ T_{0}D. On suppose donc qu’il existe un vecteur t ≠ 0 tel que t ∈ T_{0}D pour tout D. Alors pour tout x = x_{1} ∈ D ∈ |L|, pour x_{2}, ⋯, x_{n−2} choisis arbitrairement dans U = A−D et pour tout x_{n−1} et x_{n} dans U choisis comme ci-dessus, on obtient ∑ T_{x_{i}}^{∗}D ∈ |L^{⊗n}| avec 0 = x_{1} − x_{1} ∈ T_{x_{1}}^{∗}D et 0 ∉ T_{x_{i}}^{∗}D pour i ≥ 2, donc t ∈ T_{0}(T_{x}^{∗}D), i.e. T_{x}t ∈ T_{x}D pour tout x ∈ D ∈ |L|. On en déduit que

t ∈ Lie (ker (Λ(L))) = ker (Lie(Λ(L)) : Lie(A) → Lie(A^{t}))

On obtient ainsi directement une contradiction si Lie (ker (Λ(L))) = 0, par exemple si ker(Λ(L)) = 0 ou car(k) = 0. Le cas général est plus difficile, voir [10, §17]. □

Remark 90. Les mêmes techniques permettent de démontrer que toute variété abélienne est projective : on construit d’abord une famille finie de diviseurs irréductibles D_{i} ⊂ A telles que (1) ∩D_{i} = {0} et (2) ∩T_{0}(D_{i}) = 0. On prend alors L = O_{A}(∑ D_{i}), et on montre que L^{⊗3} vérifie (1), (2) et (3).

Example 91. Montrons comment tout cela marche lorsque A = E est une courbe elliptique. On sait que |2 · 0| contient D_{x} = (x) + (−x) pour tout x ∈ E. Donc si x, y ∈ E avec x ≠ ±y, x ∈ D_{±x} et y ∉ D_{±x} : on en déduit que |2 · 0| est sans point base, et

ι(2 · 0) : E → P (H^{0} (E, O_{E}(2 · 0)))

est un morphisme fini qui a pour fibres les couples (x, −x), donc L = O(0) est ample. Puisque dim_{k} H^{0}(E, L) = 1, l’isogénie Λ(L) : E → E^{t} est un isomorphisme : E est auto-duale. On sait que |3 · 0| contient D_{x,y} = (x) + (y) + (−x − y). Donc si x, y ∈ A avec x ≠ y, on peut choisir z ≠ x, y, −x − y. Alors x ∈ D_{x,z} mais y ∉ D_{x,z}, donc |3 · 0| sépare les points. On montre de même que |3 · 0| sépare les vecteurs tangents, donc ι(3 · 0) est un plongement projectif. Mais on peut faire mieux : on sait que dim_{k} H^{0}(E, L^{n}) = n pour n > 0, et 1 pour n = 0 (d’après la remarque 86 et le calcul évident de X (L) = 1), et ces espaces vectoriels forment une suite croissante. Choisissons donc

X ∈ H^{0}(E, O_{E}(2 · 0)) − H^{0}(E, O_{E}(1 · 0)),
et Y ∈ H^{0}(E, O_{E}(3 · 0)) − H^{0}(E, O_{E}(2 · 0)).

En considérant l’ordre du pole en 0, on voit que

H^{0}(E, O_{E}(1 · 0)) = k · 1
H^{0}(E, O_{E}(2 · 0)) = k · 1 ⊕ k · X
H^{0}(E, O_{E}(3 · 0)) = k · 1 ⊕ k · X ⊕ k · Y
H^{0}(E, O_{E}(4 · 0)) = k · 1 ⊕ k · X ⊕ k · Y ⊕ k · X^{2}
H^{0}(E, O_{E}(5 · 0)) = k · 1 ⊕ k · X ⊕ k · Y ⊕ k · X^{2} ⊕ k · XY
H^{0}(E, O_{E}(6 · 0)) = k · 1 ⊕ k · X ⊕ k · Y ⊕ k · X^{2} ⊕ k · XY ⊕ k · \begin{cases}X^{3} & ou \\ Y^{2} \end{cases}

d’où l’on déduit que Y^{2} = aX^{3} + bXY + cX + dY + e avec a, b, c, d, e ∈ k, a ≠ 0. Utilisant la base (X, Y, 1) de H^{0}(E, O_{E}(3 · 0)) = H pour identifier P(H) ≃ P^{2}, on voit que l’image du plongement ι(3 · 0) : E ↪ P(H) ≃ P^{2} est la courbe elliptique (plongée) définie par cette équation de Weierstrass.

10.8. Preuves sur S quelconque. Soit A un schéma abélien sur S. Tous les énoncés sont locaux sur S, que l’on peut donc supposer affine, et même noethérien, et tel que A se plonge dans un P_{S}^{N}. Le théorème 73 résulte immédiatement des résultats ci-dessus, d’après le yoga du changement de base. De même, Pic_{A/S}^{0} = ker Λ : c’est donc un sous-schéma ouvert et fermé de Pic_{A/S}. Pour tout s ∈ S,

(Pic_{A/S}^{0})_{s} = Pic_{A_{s}/s}^{0}

est connexe, donc contenu dans un unique sous-schéma ouvert et fermé Pic_{A_{s}/s}^{ϕ} de Pic_{A_{s}/s}, à savoir celui pour lequel ϕ = ϕ(A_{s}). Puisque s ↦ ϕ(A_{s}) est localement constant sur S qui est quasi-compact, Pic_{A/S}^{0} est donc entièrement contenu dans la réunion (disjointe) d’un nombre fini de certains Pic_{A/S}^{ϕ}. Ces derniers étant de type fini sur S, il en est de même de Pic_{A/S}^{0}. Puisque Pic_{A/S}^{0} est fermé dans Pic_{A/S}, Pic_{A/S}^{0} vérifie le critère valuatif de propreté local : c’est donc un S-schéma en groupes propre sur S, dont on sait déjà que les fibres sont lisses et géométriquement connexes. Choisissons un faisceau inversible et S-ample sur A, par exemple celui qui est induit par le plongement A ↪ P_{S}^{N}. Alors Λ(L) : A → Pic_{A/S} induit un morphisme surjectif Λ(L) : A → Pic_{A/S}^{0} qui est une isogénie fibre à fibre, et en particulier plat par fibres. Il résulte alors de [1, IV, 11.3.11] que Pic_{A/S}^{0} est plat sur S, donc aussi lisse d’après [1, IV, 17.5.1] : c’est donc bien un S-schéma abélien.

Cinquième partie 5. Le schéma de Siegel/Mumford

11. Le théorème de Mumford

Soit A/S un schéma abélien. Une structure de niveau n sur A est un isomorphisme κ du S-schéma en groupes constant (ℤ/Nℤ)_{S}^{2g} sur le S-schéma en groupes A[n]. Une polarisation de degré d^{2} est une isogénie λ : A → A^{t} de degré d^{2} (il faut donc que A^{t}/S existe) telle que pour tout point géométrique s de S, λ_{s} est de la forme Λ(L_{s}) pour un faisceau inversible ample sur L_{s}.

Theorem 92. Soit g, d, N > 0 des entiers. On considère le foncteur M_{d,n}^{g}

(Sch/ℤ)^{0} → Ens : S ↦ \{(A, κ, λ) | \begin{matrix}A/S schéma abélien de dim g \\ κ : (ℤ/nℤ)_{S}^{2g} ≃ A[n] struct. niv. n \\ λ : A → A^{t} polarisation de deg d^{2} \end{matrix} \} / ∼

Si n ≥ 3, ce foncteur est représentable par un ℤ-schéma que l’on note M_{d,n}^{g}.

Remark 93. Ce schéma n’a pas de points en caractéristique p | n : le schéma ainsi obtenu est donc en fait un ℤ[\frac{1}{n}]-schéma !

12. Rigidification

12.1. Analyse. Soit S un schéma, A/S un schéma abélien projectif et λ : A → A^{t} un morphisme de schémas en groupes. Le composé du morphisme λ : A → A^{t} avec l’inclusion A^{t} = Pic_{A/S}^{0} ↪ Pic_{A/S} est un A-point du S-schéma Pic_{A/S}, et correspond donc à un faisceau inversible normalisé P(λ) sur A = A×_{S} A (normalisé par P(λ)|e_{A}(S) ×_{S} A ≃ O_{A}). C’est le pull-back du faisceau de Poincaré P par

(Id, λ) : A ×_{S} A → A ×_{S} A^{t}.

L’image inverse de P(λ) par la diagonale Δ : A → A×_{S} A est un faisceau inversible L(λ) = Δ^{∗}P(λ) sur A vérifiant e_{A}^{∗}L(λ) ≃ O_{S}. Ce faisceau inversible définit donc un morphisme Λ(L(λ)) : A → A^{t} de S-schéma en groupes. En faisceautisant cette construction, on obtient un diagramme :

\underline{Hom}_{Gr}(A, A^{t}) ⟶^{L} Pic_{A/S} ⟶^{Λ} \underline{Hom}_{Gr}(A, A^{t}).

Proposition 94. On a 2Λ = Λ ∘ L ∘ Λ.

Démonstration. Il faut montrer que 2Λ(x) = Λ ∘ L ∘ Λ(x) pour tout S-schéma T et tout x ∈ Pic_{A/S}(T). Par changement de base, on se ramène au cas où S = T, et on peut supposer que x est représenté par un faisceau inversible L sur A, normalisé par e_{A}^{∗}L ≃ O_{A}. Soit λ = Λ(L). Alors P(λ) = m^{∗}L ⊗ p_{1}^{∗}L^{−1} ⊗ p_{2}^{∗}L^{−1}, donc

L(λ) = [2]^{∗}L ⊗ L^{−2}.

Mais Λ([2]^{∗}L) = 4Λ(L) = 4λ et Λ(L^{2}) = 2Λ(L) = 2λ, donc Λ(L(λ)) = 2λ. □

Corollary 95. Si λ : A → A^{t} est une polarisation de degré d^{2}, alors (0) Λ(L(λ)) = 2λ, (1) L(λ) est S-ample, (2) le O_{S}-module E(λ) = f_{∗}(L(λ)^{⊗3}) est localement libre de rang 6^{g}d, et (3) le morphisme canonique f^{∗}E(λ) → L(λ)^{⊗3} est surjectif et il induit une immersion fermée ι(λ) : A ↪ P(E(λ)).

Démonstration. Pour (0), il suffit (par rigidité) de le vérifier en un point géométrique s de chaque composante connexe de S, ou cela résulte du fait que par hypothèse, λ_{s} = Λ(L_{s}) pour un faisceau inversible ample L_{s} sur A. Donc

2λ_{s} = 2Λ(L_{s}) = Λ ∘ L ∘ Λ(L_{s}) = Λ(L(λ_{s})).

Pour (1) : En utilisant [1, IV, 9.6.4] (qui dit que l’amplitude peut se vérifier sur les fibres), et [1, IV, 2.7.2] (qui dit que l’amplitude descend par les morphismes fidèlement plats), on est à nouveau ramené au cas des points géométriques s de S comme ci-dessus, où λ_{s} = Λ(L_{s}), donc L(λ_{s}) = [2]^{∗}L_{s} ⊗ L_{s}^{−2}, avec [2]^{∗}L_{s} ∼ L_{s}^{4}. Or on sait aussi que Λ(L_{s}^{2}) est surjective, de sorte qu’il existe x ∈ A_{s} (ou plutôt A(s)) tel que T_{x}^{∗}L_{s}^{2} ⊗ L_{s}^{−2} ≃ [2]^{∗}L_{s} ⊗ L_{s}^{−4}, donc L(λ_{s}) ≃ T_{x}^{∗}L_{s}^{2}, qui est bien ample. Donc L(λ)^{⊗n} est ample pour tout n ≥ 1, R^{i}f_{∗}(L(λ)^{⊗n}) = 0 pour tout i, n ≥ 1, et f_{∗}(L(λ)^{⊗n}) est localement libre de formation compatible avec le changement de base. Soit d_{n} son degré. Alors Λ(L(λ)^{⊗n}) = nΛ(L(λ)) = 2nλ est de degré (2n)^{2g}d^{2} = d_{n}^{2}, donc d_{n} = (2n)^{g}d. De plus, L(λ)^{⊗n} est très ample si n ≥ 3, i.e. est engendré par ses sections globales et induit une immersion fermée

ι(L(λ)^{⊗n}) : A ↪ P(f_{∗}(L(λ))^{⊗n}).

On conclut avec n = 3. □

Definition 96. Une rigidification de (A, λ) est un S-isomorphisme

θ : P(E(λ)) ≃ P_{S}^{N}

où N = 6^{g}d − 1. On note ι(λ, θ) = θ ∘ ι(λ) le plongement correspondant :

ι(λ, θ) : A ↪ P_{S}^{N}.

On obtient ainsi un sous-schéma fermé de P_{S}^{N} qui est plat sur S, i.e. un S-point ι(A, λ, ϕ) du S-schéma de Hilbert Hilb_{P_{S}^{N} /S}. Son polynome de Hilbert est

ϕ(s, r) = ∑_{i=0}^{g}(−1)^{i} dim H^{i} (A_{s}, ι(λ, θ)^{∗}O_{P_{s}^{N}} (r)) .

Notons que sur P(E(λ)), on a maintenant deux quotients remarquables :

f^{∗}E(λ) ↠ O_{P(E(λ))}(1) et O_{P(E(λ))}^{N+1} ↠ θ^{∗}(O_{P_{S}^{N}} (1)).

On sait d’autre part que : si S est connexe, tous les faisceaux inversibles sur P_{S}^{N} sont de la forme O_{P_{S}^{N}} (r) ⊗ f^{∗}L pour un faisceau inversible L sur S, cf. [11, Lecture 13]. Cet énoncé est d’ailleurs équivalent à Pic_{P_{S}^{N} /S} ≃ Z_{S}, et on peut déjà noter avec les techniques dont on dispose qu’effectivement

Lie (Pic_{P_{S}^{N} /S}) = R^{1}f_{∗}O_{S} = 0

d’après 63 et 34. On en déduit facilement que θ^{∗}(O_{P_{S}^{N}} (1)) ≃ O_{P(E)}(1) ⊗ f^{∗}L pour un faisceau inversible L sur S. Le pull-back par ι(λ) : A → P(E) donne

ι(λ, θ)^{∗}(O_{P_{S}^{N}} (1)) ≃ L(λ)^{⊗3} ⊗ f^{∗}L dans Pic(A)

et en prenant le pull-back par la section e_{A} : S → A, on trouve finalement

e(λ, θ)^{∗}(O_{P_{S}^{N}} (1)) ≃ L dans Pic(S)

où e(λ, θ) = ι(λ, θ) ∘ e_{A}. Dans tous les cas, on a donc (pour r ≥ 1)

ϕ(s, r) = ∑_{i=0}^{g}(−1)^{i} dim_{k(s)} H^{i} (A_{s}, L(λ_{s})^{⊗3r}) = dim_{k(s)} H^{0} (A_{s}, L(λ_{s})^{⊗3r})

Mais (dim_{k(s)} H^{0}(A_{s}, L(λ_{s})^{⊗3r}))^{2} = deg Λ(L(λ_{s})^{⊗3r}) = deg 6rλ = (6r)^{2g}d^{2}, donc

ϕ(s, r) ≡ ϕ(r) où ϕ(X) = 6^{g}d · X^{g}.

Donc ι(A, λ, θ) ∈ Hilb_{P_{S}^{N} /S}^{ϕ}(S).

12.2. Le foncteur de Mumford rigidifié. Les considérations précédentes permettent de définir, pour tout g, d, n ≥ 1, un foncteur de Mumford rigidifié,

RM_{d,n}^{g} : Sch^{0} → Ens : S ↦ \{(A, κ, λ, θ) | \begin{matrix}A/S schéma abélien de dim g \\ κ : (ℤ/nℤ)_{S}^{2g} ≃ A[n] struct. niv. n \\ λ : A → A^{t} polarisation de deg d^{2} \\ θ : P(E(λ)) ≃ P_{S}^{N} rigidification \end{matrix} \} / ∼

avec N = 6^{g}d − 1. Posant ϕ(X) = 6^{g}d · X^{g}, on dispose alors de morphismes

M_{d,n}^{g} ⟵ RM_{d,n}^{g} ⟶ RM_{d,1}^{g} = RM_{d}^{g} ⟶^{ι} Hilb_{P^{N}}^{ϕ}

où les flèches sont respectivement l’oubli de la rigidification θ, l’oubli de la structure de niveau κ, et la dernière (A, λ, θ) ↦ ι(A, λ, θ) = ι(λ, θ)(A) ⊂ P_{S}^{N}.

Lemma 97. RM_{d}^{g} → Hilb_{P^{N}}^{ϕ} est relativement représentable.

Corollary 98. RM_{d}^{g} est représentable.

Démonstration. (du lemme) Il est utile de décomposer ce morphisme en deux, en introduisant d’une part

Hilb_{P^{N}}^{ϕ,1} : Sch^{0} → Ens S ↦ {(Z, e) : Z ∈ Hilb_{P^{N}}^{ϕ} (S) et e : S → Z section}

et les morphisme ι′(A, λ, θ) = ι(λ, θ)(A, e_{A}), (Z, e) ↦ Z, de sorte que

(RM_{d}^{g} ⟶^{ι} Hilb_{P^{N}}^{ϕ} ) = (RM_{d}^{g} ⟶^{ι′} Hilb_{P^{N}}^{ϕ,1} → Hilb_{P^{N}}^{ϕ} )

Le morphisme Hilb_{P^{N}}^{ϕ,1} → Hilb_{P^{N}}^{ϕ} est relativement représentable : c’est une tautologie. Plus précisément, Hilb_{P^{N}}^{ϕ,1} est représentable par le sous-schéma fermé plat universel de P^{N} × Hilb_{P^{N}}^{ϕ}. Pour ce qui concerne ι′ : RM_{d}^{g} → Hilb_{P^{N}}^{ϕ,1} , j’affirme tout d’abord que c’est un monomorphisme. En effet, (pour tout schéma S), si l’on connaît (1) le plongement ι : A ↪ P_{S}^{N} et (2) la section neutre e_{A} : S → A, on peut successivement reconstruire : (a) la structure de S-schéma en groupes sur A, puisqu’elle est déterminée uniquement par e_{A}, (b) le faisceau inversible

L(λ)^{⊗3} = ι^{∗}O_{P_{S}^{N}} (1) ⊗ f^{∗}L L = e^{∗}O_{P_{S}^{N}} (−1)

donc aussi (c) le morphisme 6λ = Λ(L(λ)^{⊗3}) et la polarisation λ : A → A^{t}, puisque Hom_{S−Gr}(A, A^{t}) est sans torsion et (d) le faisceau inversible E(λ) = f_{∗}(L(λ)^{⊗3}) sur S. Mais on a aussi : (e) l’épimorphisme O_{A}^{N+1} ↠ ι^{∗}O_{P_{S}^{N}} (1), que l’on peut tordre par f^{∗}L pour obtenir f^{∗}L^{N+1} ↠ L(λ)^{⊗3}, puis pousser sur S pour obtenir

L^{N+1} → f_{∗}f^{∗}L^{N+1} → E(λ) = f_{∗} (L(λ)^{⊗3}) ,

un morphisme auquel on peut enfin (f) appliquer P pour retrouver notre

θ : P(E(λ)) → P(L^{N+1}) ≃ P^{N}.

On va maintenant définir des sous-foncteurs intermédiaires

RM_{d}^{g} = H_{5} ↪ H_{4} ↪ ⋯ ↪ H_{1} ↪ H_{0} = Hilb_{P^{N}}^{ϕ,1}

et montrer que chaque étape est relativement représentable.

1: H_{1}(S) = {(X, e) ∈ H_{0}(S)|f : X → S est propre et lisse}.

Soit (X, e) ∈ H_{0}(S) et S′ = S − f(X − U) où U est l’ouvert de X des points où f est lisse. Alors S′ est ouvert dans S car f est propre donc fermé et f est lisse sur S′. Si T → S et f_{T} : X_{T} → T est lisse, alors pour tout point t de T sur s de S, f_{t} : X_{t} → t est lisse, donc f_{s} : X_{s} → s est lisse (d’après [1, IV, 17.7.1] pour faire court), donc f : X → S est lisse aux points de X_{s} (d’après [1, IV, 17.5.1]), donc X_{s} ⊂ U, s ∈ S′ et T → S se factorise par S′. Le morphisme H_{1} ↪ H_{0} est donc représentable par des immersions ouvertes.

2: H_{2}(S) = {(X, e) ∈ H_{1}(S)|f : X → S est propre, lisse et géo. connexe}.

Soit (X, e) ∈ H_{1}(S). La fonction s ↦ c(s) = dim_{k(s)} H^{0}(X_{s}, O_{X_{s}}) est semi-continue du bon côté d’après le yoga du changement de base, donc S′ = c^{−1}(1) est ouvert dans S. Les fibres de f sont connexes (et lisses) donc géométriquement connexes au-dessus de S′. Si T → S et f_{T} : X_{T} → T est à fibres géométriquement connexes, alors c(t) = 1 pour tout t de T, donc c(s) = 1 pour tout s dans l’image de T → S, i.e. T → S se factorise par S′. Le morphisme H_{2} ↪ H_{1} est donc représentable par des immersions ouvertes.

3: H_{3}(S) = {(X, e) ∈ H_{2}(S)|X/S est un schéma abélien de neutre e}.

Soit (X, e) ∈ H_{2}(S). Soit H le S-schéma universel pour l’existence de morphismes m : X ×_{S} X → X et i : X → X et m_{H} : X_{H} ×_{H} X_{H} → X_{H}, i_{H} : X_{H} → X_{H} les morphismes universels. Les conditions qui expriment le fait que m_{H} est une loi de groupe sur X_{H} de neutre e_{H} et d’inverse i_{H} s’expriment par la commutativité de certains diagrammes de morphismes de S-schémas propres et plats construits à partir de m_{H}, i_{H} et e_{H}, et sont donc représentables par des sous-schémas de coincidences de sections des H-schémas qui représentent ces types de morphismes. Considérons par exemple le H-schéma H′ qui est universel pour l’existence de morphismes X_{H} → X_{H}. Les deux morphismes x ↦ m(x, i(x)) et x ↦ e définissent des sections H → H′, et le sous-schéma des coincidences de ces deux sections représente la condition “i est un inverse à droite pour m”. Le morphisme H_{3} → H_{2} est donc relativement représentable.

Pour (ι : A ↪ P_{S}^{N}) ∈ H_{3}(S), on pose M = ι^{∗}O_{P_{S}^{N}} (1) et L = e^{∗}O_{P_{S}^{N}} (−1).

4: H_{4}(S) = {(A, λ : A → A^{t})|A ∈ H_{3}(S) et L(λ)^{⊗3} ≃ M ⊗ L}.

Soit A ∈ H_{3}(S). Soit H le schéma universel pour les morphismes λ : A → A^{t}. Sur A_{H}, on a maintenant deux faisceaux inversibles normalisés, à savoir L(λ)^{⊗3} et M ⊗ L. Ils donnent deux sections H → Pic_{A/S}. Le sous-schéma des coincidences de ces deux sections représente la fibre de H_{4} → H_{3} sur A.

5: H_{5}(S) = {(A, λ, θ)|(A, λ) ∈ H_{4}(S), θ : P(E(λ)) ≃ P_{S}^{N} t.q. ι(λ, θ) = ι}

Soit (A, λ) ∈ H_{4}(S). Soit H le S-schéma universel pour l’existence de

θ : P(E(λ)) → P_{S}^{N} et θ′ : P_{S}^{N} → P(E(λ)).

Soit H′ le sous-schéma de H où θ ∘ θ′ = Id et θ′ ∘ θ = Id (c’est un schéma de coincidence). Soit H′′ le sous-schéma de H′ où θ ∘ι(λ) : A → P_{H′}^{N} est le plongement de départ (c’est encore un schéma de coincidence). Alors H′′ représente la fibre de H_{5} → H_{4} sur (A, λ). CQFD. □

Lemma 99. Le morphisme RM_{d,n}^{g} → RM_{d}^{g} est relativement représentable.

Corollary 100. RM_{d,n}^{g} est représentable.

Démonstration. (du lemme) Soit (A, λ, θ) ∈ RM_{d}^{g}(S), H le schéma universel pour les morphismes κ : (ℤ/nℤ)^{2g} → A_{H}[n] et κ′ dans l’autre sens, H′ le sous-schéma de H où θθ′ = Id et θ′θ = Id. Alors H′ représente la fibre de RM_{d,n}^{g} → RM_{d}^{g} sur (A, λ, θ). On peut aussi partir de H = A[n]^{2g} et découper dedans l’ouvert A[n]^{2g×} des ℤ/nℤ-générateurs. □

13. Le morphisme RM_{d,n}^{g} → M_{d,n}^{g}

C’est la partie la plus difficile de la construction : on sait que RM_{d,n}^{g} est représentable (pour tout n), et il faut maintenant descendre cette représentabilité à M_{d,n}^{g} (pour n ≥ 3). Il faut donc se débarrasser du choix de l’isomorphisme θ : P(E(λ)) → P_{S}^{N} : on le fait en divisant par le groupe des automorphismes PGL_{N+1,S} de P_{S}^{N}. Les notes ci-dessus donnent quelques informations rudimentaires sur cette construction de Mumford, qui lui valut la médaille Fields. Pour plus de détails, il faut lire [12] !

13.1. Fibrés principaux. Soit S un schéma que l’on supposera noethérien, G un S-schéma en groupe plat et de type fini sur S, X un S-schéma sur lequel G agit par ρ : G ×_{S} X → X. On dit que X est un G-fibré principal de base \overline{X} si et seulement si p : X → \overline{X} est un S-morphisme fidèlement plat et quasi-compact tel que (g, x) ↦ (g · x, x) induit un S-isomorphisme G ×_{S} X ≃ X ×\overline{X} X.

Prenons pour G le groupe des automorphismes G = P GL(V) des automorphismes de P(V) où V est un O_{S}-module libre de rang N + 1 (donc P(V) ≃ P_{S}^{N+1} et G = P GL_{N+1,S}), et faisons agir G diagonalement sur X = (P(V))^{r}. Si r est trop petit, tous les points de X ont un stabilisateur non-trivial dans G, donc X n’est pas un G-fibré principal. Si r est suffisamment grand, en revanche, il y a un ouvert X_{reg} de X qui est essentiellement défini par la condition suivante : (D_{1}, ⋯, D_{r}) ∈ X_{reg}(T) si et seulement si pour toute décomposition V_{1} ⊕ V_{2} = V_{T} telle que pour tout i, D_{i} ⊂ V_{1} ou D_{i} ⊂ V_{2}, alors V_{1} = 0 ou V_{2} = 0. Les points géométriques de X_{reg} sont les points dont le stabilisateur dans G est trivial, ce qui signifie que X_{reg} est le plus gros sous-espace de X qui a quelque chance d’être un G-fibré principal. En utilisant la définition ci-dessus, Mumford parvient à recouvrir X_{reg} par des ouverts affines stables sous G dont il montre que ce sont bien des G-fibrés principaux (de base affine). On en déduit par recollement que X_{reg} est bien un G-fibré principal, mais la base \overline{X}_{reg} de ce fibré n’est pas séparée ! Mumford définit alors un ouvert X_{st} de X_{reg}, dont il montre qu’il est G-stable, et un G-fibré principal de base quasi-projective sur S [12, Chapter 3]. La définition de la condition de stabilité qui définit cet ouvert stable est l’un des apports essentiels de Mumford.

13.2. La technique de Mumford. La technique de Mumford pour démontrer la représentabilité de RM_{d,n}^{g} lorsque n ≫ 0 repose sur les deux propositions suivantes.

Proposition 101. S’il existe un morphisme de schémas π : RM_{d,n}^{g} → X qui fait de RM_{d,n}^{g} un PGL_{N+1}-fibré principal, avec X quasi-projectif sur Specℤ. Alors

(1) les données universelles (RA_{u}, Rλ_{u}, Rκ_{u}) sur RM_{d,n}^{g} descendent à X et

(2) les données descendues (A_{u}, λ_{u}, κ_{u}) font de X un schéma qui représente M_{d,n}^{g}.

Démonstration. Admettons (1), qui relève des techniques de descente : on veut descendre les données universelles (RA_{u}, Rλ_{u}, Rκ_{u}) le long du morphisme fidèlement plat et quasi-compact RM_{d,n}^{g} → X. Les données de recollement proviennent de l’action de G = PGL_{N+1} sur RM_{d,n}^{g}, RA_{u} etc, cf. [12, Proposition 7.6]... Montrons (2). On commence par :

(2a) Si (A, λ, κ, θ) ∈ RM_{d,n}^{g}(S), alors Aut_{S}(A, λ, κ, θ) = {1}. En effet, de tels automorphismes sont dans le groupe Aut_{S}(A) et doivent préserver le plongement ι(λ, θ) : A ↪ P_{S}^{N} (ainsi d’ailleurs que toutes les sections de κ).

(2b) Si (A, λ, κ, θ) ∈ RM_{d,n}^{g}(S), alors Aut_{S}(A, λ, κ) = {1}. En effet, soit γ un tel automorphisme. Alors γ(A, λ, κ, θ) = (A, λ, κ, gθ) pour un automorphisme g ∈ PGL_{N+1}(S) de P_{S}^{N}. Donc (A, λ, κ, gθ) ≃ (A, λ, κ, θ) dans RM_{d,n}^{g}(S), i.e. g · (A, λ, κ, θ) = (A, λ, κ, θ) pour l’action de PGL_{N+1}(S) sur RM_{d,n}^{g}(S). Mais alors g = 1 (puisque l’action est libre par hypothèse) donc gθ = θ et γ ∈ Aut_{S}(A, λ, κ, θ), donc γ = 1.

(2c) Si (A, λ, κ) ∈ M_{d,n}^{g}(S), il existe au plus un morphisme f : S → X et au plus un isomorphisme F : (A, λ, κ) → f^{∗}(A_{u}, λ_{u}, κ_{u}). En effet, soit (f_{1}, F_{1}) et (f_{2}, F_{2}) deux telles paires. Supposons d’abord que les f_{i} se factorisent par g_{i} : S → RM_{d,n}^{g}. Alors les deux g_{i}^{∗}(RA_{u}, Rλ_{u}, Rκ_{u}, Rθ_{u}) sont isomorphes au θ-près, i.e. les deux g_{i} sont conjugués par un élément de PGL_{N+1}(S), donc les deux f_{i} = π ∘ g_{i} sont égaux, disons à f, et F_{1} = F_{2} : (A, λ, κ) → f^{∗}(A_{u}, λ_{u}, κ_{u}) par 2c. Dans le cas général, on note que π : RM_{d,n}^{g} → X admet des sections après un changement de base fidèlement plat et quasi-compact, par exemple par π lui-même. Donc (f_{1}, F_{1}) = (f_{2}, F_{2}) après un tel changement de base, et (f_{1}, F_{1}) = (f_{2}, F_{2}) par descente.

(2d) Si (A, λ, κ) ∈ M_{d,n}^{g}(S), il existe un unique morphisme f : S → X et un unique isomorphisme F : (A, λ, κ) → f^{∗}(A_{u}, λ_{u}, κ_{u}). En effet, on montre l’existence localement en recouvrant S par des ouverts S_{i} qui trivialisent E(λ), et le choix sur chaque S_{i} d’une telle trivialisation E(λ)|S_{i} ≃ O_{S_{i}}^{N+1} fournit un relèvement local (A|S_{i}, λ|S_{i}, κ|S_{i}, θ_{i}) ∈ RM_{d,n}^{g}(S_{i}), donc un g_{i}, F_{i} puis un (f_{i} = π ∘ g_{i}, F_{i}) comme ci-dessus. L’unicité de (2c) permet de tout recoller.

A fortiori : si (A, λ, κ) ∈ M_{d,n}^{g}(S), il existe un unique morphisme f : S → X tel que (A, λ, κ) ≃ f^{∗}(A_{u}, λ_{u}, κ_{u}), i.e. X représente M_{d,n}^{g}. □

Proposition 102. Soient S un schéma noethérien, X, Y des S-schémas de type fini muni d’une action d’un même S-schéma en groupe G, plat et de type fini sur S, ϕ : X → Y un G-morphisme de S-schémas. On suppose que : (1) Y est un Gfibré principal de base \overline{Y} quasi-projective sur S, (2) X admet un faisceau inversible L ∈ Pic^{G}X qui est ample sur Y. Alors X est un G-fibré principal de base \overline{X} quasi-projective sur S.

Démonstration. [12, Proposition 7.1] On veut descendre le Y schéma X en un \overline{Y} - schéma \overline{X}, i.e. on veut faire de la descente relativement au morphisme fpqc Y → \overline{Y}. Il nous faut pour cela une donnée de recollement sur ce Y -schéma X, c’est-à-dire un isomorphisme entre p_{1}^{⋆}X et p_{2}^{⋆}X, où p_{i} : Y ×\overline{Y} Y → Y sont les deux projections. Or le diagramme commutatif

G ×_{S} X ⇒ X ⋯ ?\overline{X}?
↓  ↓  ⋮
G ×_{S} Y ⇒ Y → \overline{Y}

où les flèches ⇒ sont l’action et la seconde projection est une telle donnée de recollement, puisque G ×_{S} Y ≃ Y ×\overline{Y} Y et que les deux carrés donnés par les flèches doubles sont cartésiens. On vérifie que cette donnée de recollement est une donnée de descente. L’hypothèse (2) permet alors de descendre simultanément la paire (X, L) en une paire (\overline{X}, \overline{L}) qui vérifie toutes les propriétés requises. □

On veut appliquer cette proposition à G = PGL_{N+1} = Aut(P^{N}) agissant sur X = RM_{d,n}^{g}. On prend d’abord Y = (P^{N})^{n^{2g}} avec l’action diagonale de G, et pour ϕ le morphisme défini par les n^{2g}-sections de la structure de niveau :

(A, λ, κ, θ) ∈ RM_{d,n}^{g}(S) ⟼ _{∏x∈(Z/nZ)_{2g}}ι(λ, θ)(κ(x)) ∈ Y_{1}(S) = (P^{N})^{n^{2g}}(S).

Ce morphisme est évidemment G-linéaire. Mumford montre que pour n ≫ 0 ce morphisme atterrit dans l’ouvert Y_{st} ⊂ Y_{reg} de Y [12, Proposition 7.7], qui vérifie bien les hypothèses de l’énoncé (il faut encore dire ce que l’on prend pour faisceau inversible L sur RM_{d,n}^{g}, et comment on définit dessus des données de recollement, cf. [12, Proposition 7.4]).

13.3. Conclusion. Au final, les techniques ci-dessus permettent de montrer que M_{d,n}^{g} est représentable pour n ≫ 0, plus précisément pour n > 6^{g}d\sqrt{g!}, cf. [12, Theorem 7.9]. Pour conclure, il faut choisir des entiers k auxiliaires et travailler avec le morphisme M_{d,nk}^{g} → M_{d,n}^{g} au-dessus de ℤ[\frac{1}{nk}]. Pour k ≫ 0, M_{d,nk}^{g} est représentable, et la représentabilité de M_{d,n}^{g} s’en déduit en quotient par l’action du groupe fini, constant

ker (GL(2g, ℤ/nkℤ) → GL_{2g}(ℤ/nℤ)) .

(Ce passage au quotient n’est pas trop difficile à analyser). On obtient ainsi la représentabilité de M_{d,n}^{g} pour n ≥ 3, mais seulement au dessus de ℤ[\frac{1}{nk}]. Il reste à recoller ces modèles en choisissant k_{1}, k_{2} ≫ 0 avec (k_{1}, k_{2}) = 1 !

Sixième partie 6. Compléments

14. Algèbres de Lie

Soit f : X → S un S-schéma. Si M est un O_{X}-module quasi-cohérent, on note Der_{O_{S}}(O_{X}, M) le groupe des O_{S}-dérivations d : O_{X} → M. Ce sont les morphismes de f^{−1}O_{S}-modules d : O_{X} → M tels que d(ab) = a · d(b) + b · d(a) pour tout ab ∈ Γ(U, O_{X}). Le foncteur M ↦ Der_{O_{S}}(O_{X}, M) est représentable par un O_{X}-module quasi-cohérent que l’on note Ω_{X/S}^{1} : c’est le faisceau des 1-formes différentielles sur X relativement à S, qui vérifie donc

Hom_{O_{X}} (Ω_{X/S}^{1}, M) ≃ Der_{O_{S}}(O_{X}, M).

On a : Ω_{X/S}^{1} = Δ^{−1}(I_{Δ}/I_{Δ}^{2}), où I_{Δ} est l’idéal qui définit Δ : X → X ×_{S} X. En

effet, si S = SpecA , X = SpecB, et M = M̃, alors

Der_{O_{S}}(O_{X}, M) = Der_{A}(B, M) ⊂ Hom_{A} (B, M) = Hom_{B} (B ⊗_{A} B, M)

via d ↦ D où D(b_{1} ⊗b_{2}) = b_{1}d(b_{2}). Mais B ⊗_{A} B = B ⊗_{A} A⊕I où I est le noyau de la multiplication, et D est nulle sur le premier facteur (car D(b_{1} ⊗1) = b_{1}d(1) = 0), et nulle sur I^{2} car I est engendré par x ⊗ 1 − 1 ⊗ x et

D ((x ⊗ 1 − 1 ⊗ x) · (y ⊗ 1 − 1 ⊗ y)) = D (xy ⊗ 1 − y ⊗ x − x ⊗ y + 1 ⊗ xy)
= d(xy) − yd(x) − xd(y) = 0.

La même formule montre en fait que

Der_{A}(B, M) = Hom_{B} (I/I^{2}, M) .

Supposons maintenant que T est un S-schéma quasi-séparé et quasi-compact, et N un O_{T} -module quasi-cohérent. On note T [N] = Spec (O_{T} [N]) où N^{2} = 0. C’est donc un T -schéma avec une section, et

X (T [N]) = {(x, δ) : x ∈ X(T), δ ∈ Der_{O_{S}} (O_{X}, x_{∗}N)}

est muni de X(T) → X(T [N]) → X(T). Supposons enfin que X = G est un S-schéma en groupes. On a alors une suite exacte scindée

0 → H(T, N) → G (T [N]) → G(T) → 0

où l’on vérifie que, si I ⊂ O_{G} est l’idéal d’augmentation et π : T → S,

H(T, N) = Der_{O_{S}} (O_{G}, e_{∗}π_{∗}N) = Hom_{O_{S}} (I/I^{2}, π_{∗}N ) .

Bien sûr, pour tout x ∈ G(T), on a aussi

H(T, N) ≃ H(T, N)x ≃ Der_{O_{S}} (O_{G}, x_{∗}N) .

En particulier, pour T = G et x = Id, on trouve

Hom_{O_{S}} (I/I^{2}, f_{∗}N ) = Der_{O_{S}} (O_{X}, N) = Hom_{O_{G}} (Ω_{G/S}^{1}, N )

et donc par adjonction, Ω_{G/S}^{1} ≃ f^{∗}(I/I^{2}), puis I/I^{2} = e^{∗}(Ω_{G/S}^{1}). Pour T = S et N = O_{S},

Lie (G) (S) = ker (G(S[O_{S}]) → G(S)) = Hom_{O_{S}} (I/I^{2}, O_{S}) .

15. Faisceaux amples

Soit X un S-schéma quasi-séparé et quasi-compact. Un faisceau inversible L sur X est S-ample si et seulement si il existe un recouvrement ouvert affine de S au-dessus duquel X est ample. Si S est affine, X est un schéma quasi-séparé et quasi-compact (on dit aussi : concentré). Sur un tel schéma, un faisceau inversible est ample si et seulement si il vérifie les équivalentes conditions suivantes : (1) les ouverts X_{f} pour f ∈ Γ(X, L^{⊗n}), n > 0 forment une base de la topologie de X, (2) il y a des sections f ∈ Γ(X, L^{⊗n}) telles que les X_{f} forment une base de la topologie de X, et sont affines, (3) il y a des sections f ∈ Γ(X, L^{⊗n}) telles que les X_{f} sont affines et recouvrent X, (4) pour tout faisceau quasi-cohérent de type fini F sur X, le faisceau F(n) est engendré par ses sections globales pour tout n ≫ 0.

Vérifions ces équivalences. Pour (1) ⇒ (2), on choisit pour tout x ∈ X un voisinage ouvert affine U de x, puis un f tel que x ∈ X_{f} ⊂ U. Puisque X_{f} ↪ X est affine, X_{f} est affine. Pour (2) ⇒ (3), c’est trivial. Pour (3) ⇒ (4), on commence par choisir k et f_{1}, ⋯, f_{r} des sections globales de L^{⊗k} tels que ∪X_{f_{i}} = X, avec X_{f_{i}} affine, puis des sections globales g_{i,j} de F|X_{f_{i}} qui engendrent F|X_{f_{i}}, puis un entier m tel que g_{i,j} ⊗ f_{i}^{m} se relève en une section globale h_{i,j} de F(mk), lesquels engendrent alors F(mk) presque par construction, et de même g_{i,j} ⊗ f_{i}^{M} engendre F(Mk) pour tout M ≥ m. En appliquant le même processus à F, F(1), …, F(k−1), on voit que F(Mk + j) est engendré par ces sections globales pour tout M ≥ m et tout 0 ≤ j < k, d’où (4). Pour (4) ⇒ (1), soit x ∈ X, U un voisinage de x dans X, I un idéal définissant X−U, J ⊂ I un sous-idéal de type fini tel que J_{x} = I_{x} = O_{X,x}, n un entier tel que J (n) soit engendré par ses sections globales, f ∈ J (n) tel que f(x) ≠ 0. Alors x ∈ X(f) et f(z) = 0 pour tout z ∈ V (f) ⊃ V (J) ⊃ V (I) = X−U, donc X_{f} ⊂ U.

Supposons toujours f : X → S quasi-compact et quasi-séparé. Soit L un faisceau inversible sur X. Alors f_{∗}(L^{⊗n}) est quasi-cohérent pour tout n et S = ⊕f_{∗}(L^{⊗n}) est une O_{S}-algèbre graduée, ce qui nous donne donc un S-schéma P = Proj(S). D’autre part, les adjonctions donnent un morphisme de O_{X}-algèbre graduées quasicohérentes f^{∗}S → ⊕L^{⊗n}, ce qui nous donne un S-morphisme ϕ : U(L) → P,

X = Proj(⊕L^{⊗n}) ⊃ U(L) → Proj(f^{∗}M) = P ×_{S} X → P

où U(L) est la réunion des ouverts de X où f^{∗}f_{∗}(L^{⊗n}) → L^{⊗n} est surjective. Supposons d’abord que S est affine. Pour toute section f de L^{⊗n} sur X, vu comme une section de O_{P}(n) sur P, on a ϕ^{−1}(P_{f}) = X_{f} et

Γ(X_{f}, O_{X}) = (⊕Γ(X, L^{⊗n}))_{f}^{deg=0} = Γ(P_{f}, O_{P})

d’après [1, I,9.3.2]. La restriction de ϕ à X_{f} ⊂ U(L) y est donnée par

X_{f} → SpecΓ(X_{f}, O_{X}) = SpecΓ(P_{f}, O_{P}) = P_{f} ↪ P.

Si L est ample, on peut choisir des sections f telles que les X_{f} forment un recouvrement ouvert affine de X, donc U(L) = X, X_{f} = P_{f}, et X ↪ P est une immersion. Revenant au cas général, on voit de même que X ↪ P est une immersion si L est S-ample, et on vérifie sans trop de difficulté que c’est là une nouvelle caractérisation des faisceaux amples.

16. Descente

Une bonne référence : [4, Chapter 6]. Pour un formalisme plus avancé (catégories fibrés, gerbes et champs/stacks), il faut SGA !

16.1. Abstract nonsense. Etant donné un morphisme f : S′ → S, il y a de nombreux contextes dans lesquels on a une notion de changement de base : à un objet X sur S, on peut associer un objet X′ = f^{∗}X sur S′. Par exemple, X pourrait être un faisceau sur S, un morphisme de faisceaux sur S, un schéma sur S, un morphisme de schémas sur S, ou même une structure beaucoup plus complexe, tel que : une classe d’isomorphismes de variétés abéliennes polarisées munies d’endomorphismes et/ou de structures de niveau... Il y a une première gamme de questions récurrentes pour le changement de base : si X/S a une propriété P, est-ce que X′/S′ a aussi cette même propriété ? Est-ce que telle ou telle construction commute à ce changement de base ? La descente envisage typiquement les questions inverses, par exemple : si X′/S′ à une propriété P, est-ce que X/S a aussi cette même propriété ? Et pour commencer : si l’on dispose seulement de l’objet X′/S′, existe-t-il un objet X/S tel que X′ ≃ f^{∗}X. Autrement dit : quelle est l’image essentielle du foncteur X ↦ f^{∗}X?

On voit tout de suite que cette question est mal posée. Soit en effet S” = S′×_{S} S′ et p_{i} : S” → S′ les deux projections. Alors pour tout objet X′ = f^{⋆}X sur S′, les deux objets p_{1}^{∗}X′ et p_{2}^{∗}X′ sur S” sont canoniquement isomorphes. On introduit alors la catégorie des objets X′ sur S′ qui sont munis d’une donnée de recollement, i.e. d’un isomorphisme ϕ : p_{1}^{∗}X′ ≃ p_{2}^{∗}X′. Notre question devient : quelle est l’image essentielle de X ↦ f^{∗}X dans cette nouvelle catégorie ?

On voit aussi tout de suite qu’il y a une condition nécessaire pour que (X′, ϕ) appartienne à cette image. En effet pour X′ sur S′ et ϕ : p_{1}^{∗}X′ ≃ p_{2}^{∗}X′ une donnée de recollement, on peut encore faire le pull-back de ϕ par les trois projections p_{12}, p_{13}, p_{23} : S′′′ → S”, où S′′′ = S′ ×_{S} S′ ×_{S} S′. On obtient des isomorphismes p_{12}^{∗}ϕ : q_{1}^{∗}X′ → q_{2}^{∗}X′, p_{13}^{∗}ϕ : q_{1}^{∗}X′ → q_{3}^{∗}X′ et p_{23}^{∗}ϕ : q_{2}^{∗}ϕ → q_{3}^{∗}ϕ où q_{1}, q_{2}, q_{3} : S′′′ → S′ sont les trois projections. Lorsque X′ = f^{∗}X et ϕ est la donnée de recollement canonique, la condition de cocycle p_{13}^{∗}ϕ = p_{23}^{∗}ϕ ∘ p_{12}^{∗}ϕ : q_{1}^{∗}ϕ → q_{3}^{∗}ϕ est vérifiée. En général, on dit que ϕ est une donnée de descente si et seulement si cette condition de cocycle est vérifiée. La catégorie qui nous intéresse sera donc plutôt la catégorie des objets sur X′ munie d’une donnée de descente (c’est une sous-catégorie pleine de la précédente). Notre question devient : quelle est l’image essentielle de X ↦ f^{∗}X dans cette nouvelle catégorie ? On dit que la descente est effective si X → f^{∗}X est essentiellement surjectif. Dans tous les cas intéressants, ce sera même une équivalence de catégorie (je ne connais pas de terminologie adaptée à ce cas).

Example 103. Soit S un espace topologique, S_{i} un recouvrement ouvert de S, S′ = ∐ S_{i}, f : S′ → S et pour objets : les faisceaux d’ensembles. Un faisceau F′ sur S′ est une famille de faisceaux (F′_{i}), où F′_{i} est un faisceau sur S_{i}. Le foncteur F ↦ f^{∗}F = F′ associe à F la famille de ces restrictions F′_{i} = F|S_{i}. On a S” = ∐ S_{i,j}, où S_{i,j} = S_{i} ∩ S_{j}, et les deux projections sont p_{1} : S_{i,j} ↪ S_{i} et p_{2} : S_{i,h} ↪ S_{j}. Une donnée de recollement sur F′ = (F′_{i}) est donc une collection d’isomorphismes ϕ_{i,j} : F′_{i}|S_{i,j} ≃ F′_{j}|S_{i,j}, et la condition de cocycle est ϕ_{j,k}|S_{i,j,k} ∘ ϕ_{i,j}|S_{i,j,k} = ϕ_{i,k}|S_{i,j,k}, où S_{i,j,k} = S_{i} ∩S_{j} ∩S_{k}. Si F′ = f^{⋆}F, la donnée de descente canonique est l’identité F|S_{i,j} = F|S_{i,j}. Dans ce cas, il est bien connu que F ↦ f^{∗}F est une équivalence de catégorie : la descente des faisceaux pour S′ → S est effective.

16.2. Descente fpqc.

Theorem 104. Soit f : S′ → S un morphisme fidèlement plat et quasi-compact. Alors

(1) Pour les faisceaux quasi-cohérents : F ↦ f^{∗}F est une équivalence de catégorie.

(2) Pour les schémas relativement affines : X ↦ f^{∗}X est une équivalence de catégorie.

(3) Pour les schémas relativement quasi-affines : X ↦ f^{∗}X est une équivalence de catégorie.

(4) Pour les schémas généraux : X ↦ f^{∗}X est pleinement fidèle.

(5) (Pour S′ et S affines) Une donnée de descente ϕ : p_{1}^{∗}X′ ≃ p_{2}^{∗}X′ est effective si et seulement si X′ admet un recouvrement par des ouverts affines stabilisés par ϕ.

(6) (Pour S′ et S affines) Une donnée de descente ϕ : p_{1}^{∗}X′ ≃ p_{2}^{∗}X′ est effective si et seulement si X′ admet un recouvrement par des ouverts quasi-affines stabilisés par ϕ.

Démonstration. On se borne ici à considérer le cas où S′ et S sont affines : le cas général s’en déduit grosso modo en considérant un recouvrement ouvert affine S_{i} de S et pour chaque i un recouvrement ouvert affine fini S′_{i,j} du quasi-compact f^{−1}(S_{i}) ; les techniques élémentaires de recollement sur des recouvrements ouverts (comme dans l’exemple ci-dessus) permettent de passer de S à ∐ S_{i}, de S′ à ∐ S′_{i,j}, et le cas affine s’applique à ∐ S′_{i,j} → S_{i} (c’est là que l’on se sert de l’hypothèse de quasi-compactité : pour que ∐ S′_{i,j} soit affine). Soit donc S = SpecA et S′ = SpecB. Les hypothèses sont alors : B est une A-algèbre fidèlement plate.

Montrons que F ↦ f^{∗}F est pleinement fidèle. Il faut donc voir que pour F et G quasi-cohérent sur S, si ϕ′ : f^{∗}F → f^{∗}G est un morphisme compatible avec les données canoniques de recollement, alors ϕ′ = f^{∗}ϕ pour un unique morphisme ϕ : F → G, ce qui se traduit par l’exactitude de

Hom_{S}(F, G) → Hom_{S′}(f^{∗}F, f^{∗}G) ⇒ Hom_{S”}(g^{∗}F, g^{∗}G)

où S” = S′ ×_{S} S′ = SpecB ⊗_{A} B et g : S” → S est le morphisme structural. Posant F = M̃, G = Ñ, il faut donc montrer l’exactitude de

Hom_{A}(N, M) → Hom_{B}(N⊗_{A}B, M⊗_{A}B) ⇒ Hom_{B⊗_{A}B}(N⊗_{A}B⊗_{A}B, M⊗_{A}B⊗_{A}B)

Il suffit pour cela de montrer l’exactitude, pour tout A-module M, de

M → M ⊗_{A} B ⇒ M ⊗_{A} B ⊗_{A} B.

Puisque A → B est fidèlement plat, il suffit de vérifier l’exactitude de

(M ⊗_{A} B) → (M ⊗_{A} B) ⊗_{A} B ⇒ (M ⊗_{A} B ⊗_{A} B) ⊗_{A} B.

Posons A = B, B = B ⊗_{A} B vu comme A-algèbre par b ↦ 1 ⊗ b, et M = M ⊗_{A} B vu comme A-module par b · m = m ⊗ b. Le diagramme ci-dessus est alors

M → M ⊗_{A} B ⇒ M ⊗_{A} B ⊗_{A} B

qui est donc du même type que précédemment. On a pourtant avancé, puisqu’on sait maintenant que A → B admet une section, à savoir le produit B = B⊗_{A}B → B = A (qui correspond bien sur à la diagonale Δ : S′ → S′ ×_{S} S′ du diagramme de départ). Notant I le noyau de cette section, notre diagramme est maintenant

M → M ⊕ M ⊗_{A} I ⇒ M ⊕ M ⊗_{A} I ⊕ M ⊗_{A} I ⊕ M ⊗_{A} I^{⊗2}

où les flèches sont m ↦ (m, 0) et (m_{1}, m_{2} ⊗ i) ↦ (m_{1}, m_{2} ⊗ i, 0, 0) ou (m_{1}, 0, m_{2} ⊗ i, 0) : c’est trivialement exact.

Exercise 105. Formaliser l’argument final ci-dessus en montrant que si f : S′ → S admet une section e : S → S′, alors X′ ↦ e^{∗}X′ est un quasi-inverse de X ↦ f^{∗}X, qui est donc une équivalence de catégorie (entre “objets sur X” et “objets sur X′ munis d’une donnée de descente relative à S′ → S”) !

Montrons ensuite que F ↦ f^{∗}F est essentiellement surjectif. Il faut donc voir que si M est un B-module muni d’une donnée de descente ϕ : M ⊗_{B,p_{1}} (B ⊗_{A} B) ≃ M ⊗_{B,p_{2}} (B ⊗_{A} B), i.e. d’un isomorphisme B ⊗_{A} B-linéaire ϕ entre M ⊗_{A} B et B ⊗_{A} M qui vérifie une certaine condition de cocycle, alors M ≃ N ⊗_{A} B pour un A-module N. Vu le calcul précédent, il est clair qu’il faut poser

N = ker ((ϕ ∘ ι_{1}, ι_{2}) : M ⇒ B ⊗_{A} M)

où ι_{1} : M → M ⊗_{A} B et ι_{2} : M → B ⊗_{A} M sont les morphismes évidents. Il faut vérifier que l’application canonique N ⊗_{A} B → M est un isomorphisme de B-modules (ce morphisme étant compatible avec les données de descente par construction même de N) . Il suffit à nouveau de le vérifier après le changement de base fidèlement plat A → B, i.e. on peut supposer que A → B admet une section. Toute donnée de descente étant alors effective, on peut donc aussi supposer que M est déjà de la forme M = N′ ⊗_{A} B, et que ϕ est l’identité de N′ ⊗_{A} B ⊗_{A} B. Alors

N = ker ((ι_{1}, ι_{2}) : N′ ⊗_{A} B ⇒ N′ ⊗_{A} B ⊗_{A} B) = N′

donc M = N ⊗_{A} B!

On a donc montré le (1) de la proposition. On en déduit le (2) en utilisant (l’anti)-équivalence de catégorie A → SpecA entre les faisceaux quasi-cohérents de O_{S}-algèbres et les S-schémas affines (et bien sûr, idem sur S′). Le (4) et le (5) en résultent assez facilement. Pour le (3), on note que X′ est quasi-affine sur S′ ssi X′ → X′_{aff} = Specf_{∗}O_{X′} est une immersion ouverte quasi-compacte : une donnée de descente sur X′ induit une donnée de descente sur X′_{aff}, qui descend donc en un schéma affine X_{aff} sur S d’après (2). Le morphisme q : X′_{aff} → X_{aff} vérifie q^{−1}q(X′) = X′ (cela résulte formellement de la compatibilité des données de recollement sur X′ et X′_{aff}), et q(X′) est ouvert puisque q : X′_{aff} → X_{aff} est fidèlement plat. Le (6) résulte de (3) comme le (5) de (2). □

Remark 106. La forme la plus utilisée du (6) est la suivante : supposons toujours que S′ → S est fidèlement plat et quasi-compact. On considère les paires (X, L) formées d’un S-schéma quasi-compact et d’un faisceau inversible S-ample L sur X. Alors (X, L) ↦ (f^{∗}X, f^{∗}L) est une équivalence de catégorie. Partant d’une paire (X′, L′) munie d’une donnée de descente, l’idée est grosso modo d’utiliser la donnée de descente sur L′ pour découper dans X′ des ouverts quasi-affines stables par la donnée de descente sur X′.

Références

[1] A. Grothendieck et J. Dieudonné, Eléments de géométrie algébrique. Publications Mathématiques de l’IHES n°4, 8, 11, 17, 20, 24, 28 et 32.

[2] A. Grothendieck et Coll. Séminaires de géométrie algébrique.

[3] A. Altman et S. Kleiman, Compactifying the Picard Scheme. Adv. Math 35 (1980).

[4] S. Bosh, W. Lutkebohmert, M. Raynaud, Néron Models. Ergebenisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 3. Folge, Band 21.

[5] B. Fantechi...

[6] A. Grothendieck, Techniques de descentes et théorèmes d’existence en géométrie algébrique. I, II, III, IV, V et VI. (Séminaire Bourbaki).

[7] R. Hartshorne, Algebraic Geometry. GTM 52.

[8] Haruzo Hida, p-adic Automorphic Forms on Shimura Varieties. Springer Monographs in Mathematics.

[9] Milne, Abelian Varieties.

[10] D. Mumford, Abelian Varieties.

[11] D. Mumford, Lectures on curves on an algebraic surface. Annals of Math. Studies 59 (1966)

[12] D. Mumford, Geometric Invariant Theory. Ergebnisse der Mathematik 34 (1965)