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Table des matières

partie 1. Endomorphismes 2 1. Endomorphismes 2

partie 2. Modules de Tate 2 2. Le groupe fondamental 3 3. Modules de Tate 5 3.1. Définition 5 3.2. Dualité 6 3.3. Compléments 10 4. Structures de niveaux 10 4.1. Définition 11 4.2. Représentabilité 12 4.3. Variantes 14 5. Schémas Abéliens à Isogénie Près 14 5.1. Définition 14 5.2. Sur un corps parfait 15 5.3. Variantes 15 6. Problemes de type PEL, I 16 6.1. Le problème de module sur ℚ 16 6.2. Le problème de module sur ℤ_{(p)} 19 6.3. Comparaison des deux problèmes de module sur ℚ 20

partie 3. Structures de niveaux en p 21 7. Normes [To be Added] 21 8. Full Set of Sections [To be Added] 21

partie 4. Algèbres de Lie 21 9. Algèbres de Lie 21 9.1. Rappels 21 9.2. Modules sur les algèbres d’Azumaya 22 9.3. Rigidification des algèbres de Lie 23 9.4. Corps réflexe 23 Références 24

Dans cette seconde partie du cours, nous allons envisager diverses structures supplémentaires que l’on peut rajouter à nos problèmes de modules. Cela aboutira à la définition des problèmes de modules de type PEL.

Première partie 1. Endomorphismes

1. Endomorphismes

Soit O une ℤ-algèbre qui est un ℤ-module libre de rang fini. Une action de O sur un S-schéma abélien A est un morphisme d’anneau ι : O → End_{S}(A). On dit aussi que A/S est un O-schéma abélien. La proposition suivante nous permettra d’ajouter de telles structures sur nos problèmes de modules.

Proposition 1. Soit A/S un schéma abélien. Le foncteur F : (Sch/S)^{0} → Ens qui à un S-schéma T associe Hom_{Ann} (O, End_{T} (A_{T})) est représentable.

Démonstration. Soient e_{1}, ⋯, e_{r} une ℤ-base de O, e_{i}e_{j} = ∑ α_{ijk}e_{k} la table de multiplication de O, S_{0} le schéma qui représente T ↦ End_{T} (A_{T}), S_{1} = S_{0}^{r} le schéma qui représente T ↦ Hom_{Gr}(O, End_{T} (A_{T})), ι_{u} : O → End_{S_{1}}(A_{S_{1}}) le morphisme de groupe universel, E_{i,j} = ι_{u}(e_{i}e_{j}) et F_{i,j} = ∑_{k} α_{ijk}ι_{u}(e_{k}). Ce sont des endomorphismes A_{S_{1}} → A_{S_{1}}. Soit S_{2} le sous-schéma ouvert et fermé de S_{1} où E_{i,j} = F_{i,j} pour tout i, j. Alors S_{2} représente T ↦Hom_{Ann}(O, End_{T} (A_{T})). □

Remark 2. Si A/S est un O-schéma abélien projectif, A^{t} est naturellement muni d’une action de l’anneau opposé O^{opp}. Si ⋆ est une involution de O, on peut donc à nouveau considérer A^{t}/S comme un O-schéma abélien. Dans ce contexte, on dira d’un morphisme λ : A → A^{t} qu’il est (O, ⋆)-linéaire s’il est compatible avec ces structures, i.e. λ(ox) = o^{⋆t}λ(x). Dans les problèmes de modules où apparaissent à la fois des O-structures et des polarisations, on demandera toujours que la polarisation soit ainsi (O, ⋆)-linéaire.

Deuxième partie 2. Modules de Tate

Si A est une variété abélienne de dimension g sur un corps de caractéristique ≠ p, son module de Tate T_{p}A = \underleftarrow{lim}A[p^{n}] est un ℤ_{p}-module libre de rang 2g muni d’une action de Gal_{k}. Cet énoncé n’est pas très précis : il faut fixer d’abord une clotûre séparable k^{sep}/k pour définir T_{p}(A, k^{sep}) = \underleftarrow{lim}A[p^{n}](k^{sep}) et l’action de Gal(k^{sep}/k) sur T_{p}(A, k^{sep}) : la classe d’isomorphisme du couple (T_{p}(A, k^{sep}), Gal(k^{sep}/k)) ne dépend pas du choix de la clotûre algébrique.

Si maintenant A est un schéma abélien sur une base S plus générale, on peut de même choisir un point géométrique s de S et former T_{p}(A, s) = \underleftarrow{lim}A[p^{n}](s) : si p ≠ car(k(s)), c’est encore un ℤ_{p}-module libre de rang 2g, et l’on peut faire agir dessus le groupe des automorphismes de k(s)/k(s_{0}), où s_{0} ∈ S est le point base de s. Mais il est évident que ce groupe d’automorphismes dépend fortement du choix de s. Par exemple, supposons que S est le spectre d’un anneau de valuation discrète O de corps des fractions K et de corps résiduel k (avec cark ≠ p). Le groupe d’automorphismes ci-dessus peut alors être Gal_{K} ou Gal_{k}, selon que l’on prend s = K^{sep} ou s = k^{sep} au-dessus respectivement du point générique et du point fermé de S = SpecO. Cependant, on sait dans cette situation que la réduction définit un isomorphisme T_{p}(A, K^{sep}) → T_{p}(A, k^{sep}) qui est compatible avec le morphisme de groupe Gal(K^{sep}/K) → Gal(k^{sep}/k) induit par Gal(K^{nr}/K) ≃ Gal(k^{sep}/k), où K^{nr} est l’extension maximale non-ramifiée de K dans K^{sep}. Ceci suggère que le bon couple serait plutot (T_{p}(A, K^{nr}), Gal(K^{nr}/K)).

Et en effet, sur n’importe quelle base S connexe où p est inversible, il existe un groupe fondamental π(S, s) qui agit sur T_{p}(A, s), tel que la classe d’isomorphisme de la paire (T_{p}(A, s), π(S, s)) est bien définie. Dans les deux exemples précédents, le groupe π(S, s) est exactement celui que l’on veut, à savoir Gal(k^{sep}/k) si S = Speck, ou Gal(K^{nr}/K) si S = SpecO.

2. Le groupe fondamental

Definition 3. Soit S un schéma connexe, REt/S la catégorie des revêtements étales de S, s un point géométrique de S, et F(s) : (REt/S) → Ens le foncteur (covariant, pour une fois) qui à E/S associe E(s). Le groupe fondamental de S de point base s est le groupe des automorphismes de ce foncteur : π(S, s) = AutF(s).

Un élément σ ∈ π(S, s) est donc donné par une collection (σ_{E})_{E} où pour chaque revêtement étale E → S, σ_{E} est un automorphisme de l’ensemble fini E(s), ces automorphismes étant compatibles avec les flèches de REt/S. En particulier : pour tout E ∈ REt/S, l’application σ ↦ σ_{E} munit E(s) d’une structure de π(S, s) ensemble. On obtient ainsi une factorisation F(s) = O ∘ G(s) où

G(s) : (REt/S) → π(S, s) − EnsFini

et O est le foncteur d’oubli de la π(S, s)-structure.

Proposition 4. Le foncteur G(s) est équivalence de catégorie.

Pour construire le foncteur quasi-inverse, nous avons besoin de la notion de revêtement galoisien. Soit donc π : E → S un revêtement étale connexe et G = Aut_{S}(E) le groupe des S-automorphismes de E. Montrons tout d’abord que le S-morphisme

(2.1)  G × E → E ×_{S} E  (g, e) ↦ (ge, e)

est une immersion ouverte et fermée. Puisque G×E et E ×_{S} E sont étales sur S, ce morphisme est déjà étale. Il est aussi géométriquement injectif : si (ge, e) = (g′e′, e′), alors e = e′ et ge = g′e. Le schéma des coïncidences de (g, g′) sur E est donc non vide, puisqu’il contient le point géométrique e. Puisque ce schéma est aussi ouvert et fermé dans E, comme la diagonale dans E ×_{S} E dont il est le pull-back par (g, g′), cf. [1, IV, 17.4.2], c’est donc E tout entier, puisque E est connexe, donc g = g′. On conclut alors de [1, IV, 17.9.1] que notre morphisme (2.1) est une immersion ouverte. Mais alors G est fini, donc G×E et E ×_{S} E étant finis sur S, ce morphisme est également fini : c’est donc une immersion ouverte et fermée.

Proposition 5. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(1) Le morphisme (2.1) est surjectif (resp. est un isomorphisme).

(2) L’action de G sur E(s) est transitive (resp. est simplement transitive).

(3) |G| ≥ [E : S] (resp. |G| = [E : S]).

(4) |G| ≥ |E(s)| (resp. |G| = |E(s)|).

(5) E/G ≃ S

(6) O_{S} = (π_{∗}O_{E})^{G}.

Démonstration. Puisque (2.1) est une immersion ouverte et fermée,

G = [E × G : E] ≤ [E ×_{S} E : E] = [E : S] = |E(s)|

et les équivalences (1 − 4) en résultent facilement. D’autre part, les sous-schémas G × E et E ×_{S} E de E ×_{S} E définissent sur E des relations d’équivalences finies et étales (donc plates) dont les quotients sont respectivement G\E = Spec(π_{∗}O_{E})^{G} et S = Spec(O_{S}), donc aussi (1) ⇔ (5) ⇔ (6). □

Definition 6. Un revêtement Galoisien est un revêtement étale connexe E/S qui vérifie les conditions équivalentes de la proposition ci-dessus.

Si E → S est un revêtement galoisien, deux groupes agissent sur E(s) : le groupe π(S, s) via σ ↦ σ_{E}, et le groupe Gal(E/S) des automorphismes de E/S, ce dernier agissant simplement transitivement. Par définition même de π(S, s), ces deux actions commutent. Le choix d’un point x ∈ E(s) induit donc un morphisme

π(S, s) → Gal(E/S)^{opp} : σ ↦ τ tel que σ_{E}x = τx.

On déduit du lemme suivant qu’il existe une famille filtrante de revêtements galoisiens connexes qui est cofinale dans la catégorie des revêtements étales connexes (cela pose toutefois des problèmes d’univers qu’il faut résoudre^{1}). Le choix de points géométriques compatibles dans cette famille fournit alors une identification de π(S, s) avec la limite projective des groupes Gal(E/S)^{opp}.

Lemma 7. Tout revêtement étale connexe est dominé par un revêtement galoisien.

Démonstration. Soit E → S un revêtement étale connexe, F = E(s), et D = E^{F}, donc D(s) = F(F, F). Soit C la composante connexe de D qui contient Id_{F} ∈ D(s). C’est inclus dans le complémentaire dans D de l’ensemble ouvert et fermé

{(d_{f})_{f∈F} |∃f_{1} ≠ f_{2} tel que d_{f_{1}} = d_{f_{2}}}

puisque ce complémentaire, ouvert et fermé, est une réunion de composantes connexes et contient Id_{F}. Tout élément σ de C(s) ⊂ F(F, F) induit donc une permutation de F = E(s), qui à son tour induit un automorphisme σ de D = E^{F}, lequel envoie Id_{F} ∈ C(s) ⊂ D(s) sur σ ∈ C(s) ⊂ D(s), donc C sur C. On obtient ainsi une application C(s) → Aut_{S}C qui est une section de l’application Aut_{S}C → C(s) qui à σ associe σ · Id_{F}. Puisque cette dernière est toujours injective, on en conclut bien que C/S est Galoisien. Il reste à choisir f ∈ F = E(s) pour projeter C sur E via la f-ième projection E^{F} → E. □

Lemma 8. Si E/S est galoisien de groupe G = Gal(E/S), les applications

H ↦ H\E = Spec(O_{E}^{H})  et  F ↦ Gal(E/F) = Aut_{F} (E)

sont des bijections réciproques entre l’ensemble des sous-groupes H de G et l’ensemble des classes d’isomorphisme de sous-revêtements connexes E → F → S.

Démonstration. Soit E ⟶^{π} F → S un sous-revêtement, H = Gal(E/F), f ∈ F (s), e ∈ E(f) et g ∈ G. Si g ∈ H, alors ge ∈ E(f). Si inversement ge ∈ E(f), alors le schéma des coïncidences de π : E → F et π ∘ g : E → F est non-vide, ouvert et fermé dans E, donc égal à E, de sorte que g est un F -morphisme, i.e. g ∈ H. Donc E(f) = H · e, d’où l’on tire que π : E → F est un revêtement galoisien et que H\E = F d’après les points (4) et (5) de la proposition 5. Inversement, si l’on part d’un sous-groupe H de G, alors E → F = H\E est un sous-revêtement de E → S, et H ⊂ Gal(E/F) avec |Gal(E/F)| ≤ [E : F] = H, donc H = Gal(E/F). □

Pour construire un foncteur quasi-inverse F de G(s), il nous faut associer à tout π(S, s)-ensemble fini Y un revêtement étale F(Y) de S. La décomposition de Y en π(S, s)-orbites correspond à la décomposition de F(Y) en composantes connexes, ce qui nous ramène au cas où l’action de π(S, s) sur Y est transitive. Il existe alors un revêtement galoisien E de S et un sous-groupe H de G = Gal(E/S) tel que Y ≃ G/H comme π(S, s)-ensemble, et l’on pose F(Y) = H\E. Il reste à vérifier que cette définition est raisonable, et définit bien un foncteur quasi-inverse de G.

1. Une équipe du CERN y travaille sur le LHC de Genève. Sans attendre ses conclusions, on peut se reporter aux notes de Lenstra sur la théorie de Galois pour les schémas, qui m’a été signalé par M. Romagny.

Example 9. Pour S = Speck, les revêtements étales connexes (resp. galoisiens) de S sont les E = Speck′, pour k′ extension séparable (resp. galoisienne) finie de k. On obtient un système cofinal de tels revêtements en se restreignant aux extensions galoisiennes dans une clôture algébrique fixée \overline{k} de k. Prenant s = Spec\overline{k}, on a donc

π(S, s) = \underleftarrow{lim}Aut(E/S)^{o} = \underleftarrow{lim}Aut(k′/k) = Gal(k^{sep}/k)

où k^{sep} est la clôture séparable de k dans \overline{k}. De même, pour S = SpecO le spectre d’un anneau de valuation discrète, ou même d’un anneau de Dedekind, les revêtements étales de S sont les E = SpecO′ pour O′ l’anneau des entiers d’une extension partout non-ramifiée K′ du corps des fractions K = FracO. Prenant s = Spec\overline{K}, on trouve donc encore π(S, s) = Gal(K^{nr}/K), où K^{nr} est l’extension non-ramifiée maximale de K dans \overline{K}. En particulier, π(Specℤ, s) = \{1\}!

3. Modules de Tate

3.1. Définition. Soit A/S un schéma abélien, s un point géométrique de S.

Lemma 10. Si N est inversible sur S, la multiplication par N sur A est un morphisme étale, donc A[N] est un S-schéma étale et A[N](s) un π(S, s)-module.

Démonstration. On peut le vérifier sur les fibres géométriques, où on sait déjà que la multiplication par N est un morphisme fini et plat de degré N^{2g}. On applique le critère pour formellement étale : il faut voir que pour tout x ∈ A(k[ϵ]) de réduction x ∈ A(k) et pour tout \overline{y} ∈ A(k) tel que \overline{x} = N\overline{y}, il existe un unique y ∈ A(k[ϵ]) de réduction \overline{y} tel que Ny = x. Commençons par relever arbitrairement \overline{y} en y (puisque A est lisse), et translatons tout par y : cela nous ramène au cas où \overline{x} = 0, \overline{y} = 0. Il faut alors voir que : pour tout x ∈ LieA = ker (A(k[ϵ]) → A(k)), il existe un unique y ∈ LieA tel que Ny = x. Mais LieA est un k-espace vectoriel et N est inversible dans k : cqfd. □

Si p est inversible sur S, on pose

T_{p}(A, s) = lim A[p^{n}](s)
V_{p}(A, s) = T_{p}(A, s) ⊗ ℚ

Ce sont donc des ℤ_{p} (resp. ℚ_{p})-modules libres de rang 2g munis d’actions continues de π(S, s). Si S est un ℚ-schéma, on pose

T_{f}(A, s) = lim A[N](s)
V_{f}(A, s) = T_{f}(A, s) ⊗ ℚ

Ce sont donc des ℤ̂ (resp. 𝔸_{f})-modules libres de rang 2g munis d’actions continues de π(S, s). Si S est un ℤ_{(p)}-schéma, on pose

T_{f}^{p}(A, s) = lim_{(N,p)=1} A[N](s)
V_{f}^{p}(A, s) = T_{f}^{p}(A, s) ⊗ ℚ

Ce sont donc des ℤ̂^{p} (resp. 𝔸_{f}^{p})-modules libres de rang 2g munis d’actions continues de π(S, s).

3.2. Dualité. Pour tout S-schéma en groupes G qui est commutatif, fini et plat sur S, on note

D(G) = \underline{Hom}_{Gr}(G, G_{m}).

Proposition 11. C’est un S-schéma en groupes commutatif, fini et plat sur S, et l’application canonique G → D(D(G)) définie par g ↦ (f ↦ f(g)) est un isomorphisme de S-schémas en groupes. De plus, G ↦ D(G) préserve le rang.

Démonstration. Le problème est local sur S, que l’on peut donc supposer affine, disons S = SpecA, et tel que G → S soit de rang constant, disons n, et même libre de rang n, donc G = SpecB pour une A-algèbre B qui est un A-module libre de rang n. La structure de A-algèbre commutative sur B se traduit par l’existence de morphismes de A-modules

e : A → B et μ : B ⊗_{A} B → B

vérifiant diverses propriétés, tandis que la structure de S-schéma en groupes commutatif sur G se traduit par l’existence de morphismes de A-modules

e^{⋆} : B → A et μ^{⋆} : B → B ⊗_{A} B

vérifiant des propriétés “opposées”. Soit B′ = Hom_{A}(B, A) le A-dual du A-module B. Les structures ci-dessus induisent donc des morphismes de A-modules

e′ : B′ → A et μ′ : B′ → B′ ⊗_{A} B′

ainsi que

e^{⋆′} : A → B′ et μ^{⋆′} : B′ ⊗_{A} B′ → B′

le tout vérifiant des propriétés duales. On vérifie que le couple (e^{⋆′}, μ^{⋆′}) munit B′ d’une structure de A-algèbre commutative, et que (e′, μ′) munit le S-schéma D′(G) = SpecB′ d’une structure de S-schéma en groupe. Puisque évidemment D′ ∘ D′(G) ≃ G, il reste à voir que D′ = D. Un morphisme de S-schémas en groupes α : G → G_{m,S} est un morphisme de S-schémas α : G → A_{S}^{1} tel que

α(e_{G}) = 1_{G} et α(g_{1}g_{2}) = α(g_{1})α(g_{2}).

Les morphismes de S-schémas α : G → A_{S}^{1} correspondent aux morphismes de Aalgèbres α^{⋆} : A[T] → B, ou encore aux éléments b = α^{⋆}(T) de B, et les conditions ci-dessus se traduisent respectivement par

e_{G}^{⋆}(b) = 1 et μ_{G}^{⋆}(b) = b ⊗ b.

On veut montrer que D(G)(S) = D′(G)(S), c’est-à-dire que

{b ∈ B : e_{G}^{⋆}(b) = 1 et μ_{G}^{⋆}(b) = b ⊗ b} = Hom_{A−alg}(B′, A).

Mais B ≃ Hom_{A−mod}(B′, A) par b ↦ δ_{b} = (f ↦ f(b)), et δ_{b} : B′ → A est un morphisme de A-algèbres si et seulement si (1) δ_{b} ∘ e_{G}^{⋆′} = Id : A → A, i.e. e_{G}^{⋆}(b) = 1, et (2) δ_{b} ∘ μ_{G}^{⋆′}(f_{1} ⊗ f_{2}) = δ_{b}(f_{1})δ_{b}(f_{2}) pour tout f_{1}, f_{2} ∈ B′, i.e.

(f_{1} ⊗ f_{2})(μ_{G}^{⋆}(b)) = f_{1}(b)f_{2}(b)

pour tout f_{1}, f_{2} ∈ B′, condition qui est clairement équivalente à μ_{G}^{⋆}(b) = b ⊗ b, comme on voit en choisissant une A-base de B. □

Remark 12. Pour plus d’informations sur cette dualité, on peut consulter l’excellent article de Tate [7] dans le livre sur Fermat.

Proposition 13. Soit α : A → B une isogénie de S-schéma abéliens (projectifs) et α^{t} : B^{t} → A^{t} l’isogénie duale. Il existe un accouplement e_{α} : ker α×_{S}ker α^{t} → G_{m,S} qui induit des isomorphismes

ker α^{t} ≃ D(ker α) et ker α ≃ D(ker α^{t}).

Démonstration. Pour tout S-schéma T,

(ker α^{t})(T) = ker (α^{∗} : Pic_{B/S}^{0}(T) → Pic_{A/S}^{0}(T))
= ker (α^{∗} : Pic_{B/S}(T) → Pic_{A/S}(T))
≃ ker (α^{∗} : Pic(B ×_{S} T) → Pic(A ×_{S} T))

Cela résulte respectivement des diagrammes commutatifs

0 → Pic_{B/S}^{0}(T) → Pic_{B/S}(T) → Hom_{T} (B_{T} , B_{T}^{t})
↓ ↓ ↓
0 → Pic_{A/S}^{0}(T) → Pic_{A/S}(T) → Hom_{T} (A_{T} , A_{T}^{t})

où la dernière flèche verticale est f ↦ α^{t} ∘ f ∘ α (qui est injective : il suffit par rigidité de le vérifier sur les points géométriques de T, où α^{t} ∘ f ∘ α = 0 implique f ∘α = 0 puisque A est connexe et ker α^{t} fini, qui implique à son tour f = 0 puisque α est surjective), et

0 → Pic(T) → Pic(B ×_{S} T) → Pic_{B/S}(T) → 0
∥ ↓ ↓
0 → Pic(T) → Pic(A ×_{S} T) → Pic_{A/S}(T) → 0

On doit donc déterminer le noyau de α^{∗} : Pic(B) → Pic(A), i.e. l’ensemble des classes d’isomorphismes de faisceau inversible L sur B tels que α^{∗}L ≃ O_{A}.

C’est un problème de descente (de O_{A} le long de α : A → B), et le noyau cherché est donc en bijection avec l’ensemble des données de descente sur O_{A} relativement à α : A → B, lesquelles correspondent à leur tour (puisque A ×_{B} A ≃ ker α ×_{S} A) aux “actions linéaires de ker α sur O_{A} au-dessus de l’action par translation de ker α sur A”, i.e. aux actions linéaires

μ_{2} : ker α ×_{S} (A ×_{S} A_{S}^{1}) → (A ×_{S} A_{S}^{1})

au-dessus de m : ker α ×_{S} A → A. Un tel morphisme μ s’écrit donc

μ_{2}(k, a, x) = (k + a, μ_{1}(k, a) · x)

pour k ∈ ker α, a ∈ A et x ∈ A_{S}^{1}, avec μ_{1} : ker α ×_{S} A → G_{m,S} qui se factorise nécessairement par μ : ker α → G_{m,S} puisque f_{ker α∗}O_{ker α×_{S}A} = O_{ker α}. Donc

(ker α^{t})(S) = ker(α^{∗} : PicB → PicA) = Hom_{S−Gr}(ker α, G_{m,S}) = D(ker α)(S)

et on conclut en remplaçant S par T. □

Remark 14. On peut expliciter l’isomorphisme ainsi obtenu. Soit L ∈ Pic(B) tel que α^{∗}L = 0 dans Pic(A). Choisissons un isomorphisme θ : α^{∗}L ⟶^{≃} O_{A}. Pour tout S-schéma T et tout x ∈ ker(α)(T), l’isomorphisme

T_{x}^{∗}(θ_{T}) ∘ θ_{T}^{−1} : O_{A_{T}} ⟶^{θ_{T}^{−1}} α_{T}^{∗} (L_{T}) = T_{x}^{∗}α_{T}^{∗} (L_{T}) ⟶^{T_{x}^{∗}θ_{T}} T_{x}^{∗}O_{A_{T}} = O_{A_{T}}

est la multiplication par une section χ(L)(x) de Γ(A_{T} , O_{A_{T}}^{×}) = Γ(T, O_{T}^{×}) = G_{m}(T). Pour x, y ∈ ker(α)(T), χ(L)(x + y) = χ(L)(x) · χ(L)(y) car

T_{x+y}^{∗}(θ_{T}) ∘ θ_{T}^{−1} = T_{x}^{∗}(T_{y}^{∗}(θ_{T}) ⊗ θ_{T}^{−1}) ⊗ T_{x}^{∗}(θ_{T}) ⊗ θ_{T}^{−1}.

On obtient ainsi un morphisme de groupe χ(L) : ker(α) → G_{m,S}, i.e. un élément χ(L) de D(ker(α))(S). On vérifie facilement que cet élement est indépendant du choix de θ, et que l’on obtient ainsi un morphisme de S-schémas en groupes

χ(−) : ker(α^{t}) → D(ker(α)).

C’est exactement l’isomorphisme recherché.

Exercise 15. Soit S = Speck le spectre d’un corps. Soit y = O_{B}(D) ∈ ker(α^{t}) et x ∈ ker(α). Puisque α^{t}(y) = 0, il existe g ∈ K(A) tel que div(g) = α^{∗}D. Puisque α ∘ T_{x} = α, on a aussi div(T_{x}^{∗}g) = T_{x}^{∗}α^{∗}D = α^{∗}D, donc div(T_{x}^{∗}g/g) = 0, i.e. T_{x}^{∗}g/g ∈ Γ(A, G_{m}) = k^{×}. Vérifier qu’alors χ(y)(x) = T_{x}^{∗}g/g.

Remark 16. On peut aussi démontrer que A^{t} = Ext^{1}(A, G_{m,S}) dans une catégorie de faisceaux abéliens convenable, où la suite 0 → ker α → A → B → 0 est encore exacte. Appliquant RHom(−, G_{m}) à cette suite, on trouve

0 → Hom(B, G_{m}) → Hom(A, G_{m}) → Hom(ker α, G_{m}) → Ext^{1}(B, G_{m}) → Ext^{1}(A, G_{m})

Les deux premiers termes sont triviaux, et le reste donne immédiatement

0 → D(ker α) → B^{t} → A^{t}

i.e. D(ker α) = ker α^{t}.

En appliquant ceci à l’isogénie [n] : A → A, dont l’isogénie duale [n]^{t} est encore [n] : A^{t} → A^{t} (il suffit de le vérifier sur les points géométriques par rigidité, où l’on utilise [n]^{∗}L ≃ L^{⊗n} pour L ∈ Pic_{A/S}^{0}), on trouve l’accouplement de Weil

e_{n}^{A} : A[n] ×_{S} A^{t}[n] → μ_{n,S}.

Ces accouplements sont compatibles lorsque n varie. Si n est inversible dans S, les schémas ci-dessus sont des revêtement étales de S, et l’on obtient donc pour tout point géométrique s de S un accouplement parfait et π(S, s)-équivariant

e_{n}^{A}(s) : A[n](s) × A^{t}[n](s) → μ_{n}(s).

Prenant n = p^{k} avec p inversible dans S et faisant varier k, on obtient donc finalement un accouplement parfait de ℤ_{p}[π(S, s)]-modules

⟨−, −⟩_{p}^{A} : T_{p}(A, s) × T_{p}(A^{t}, s) → T_{p}(μ, s).

Il résulte assez facilement des définitions que pour tout morphisme de S-schémas abéliens α : A → B, le diagramme suivant est commutatif :

(3.1)  \begin{aligned}⟨−, −⟩_{p}^{A} : & T_{p}(A, s) & × & T_{p}(A^{t}, s) & → & T_{p}(μ, s) \\ & α ↓ & & α^{t} ↑ & & ∥ \\ ⟨−, −⟩_{p}^{B} : & T_{p}(B, s) & × & T_{p}(B^{t}, s) & → & T_{p}(μ, s) \end{aligned}

Pour tout λ : A → A^{t}, on obtient aussi un accouplement de ℤ_{p}[π(S, s)]-modules

⟨−, −⟩_{p}^{λ} : T_{p}(A, s) × T_{p}(A, s) → T_{p}(μ, s) ⟨x, y⟩_{p}^{λ} = ⟨x, T_{p}(λ, s)(y)⟩_{p}^{A}

qui est encore parfait si λ est une isogénie et p ∤ deg λ. Le cas intéressant est celui où on prend λ = Λ(L) pour un faisceau inversible L sur A. On note alors

⟨−, −⟩_{p}^{L} = ⟨−, −⟩_{p}^{Λ(L)} .

Si α : A → B est un morphisme de S-schémas abéliens et L un faisceau inversible sur B, le diagramme suivant est commutatif :

(3.2)  \begin{aligned}⟨−, −⟩_{p}^{α^{∗}L} : & T_{p}(A, s) & × & T_{p}(A, s) & → & T_{p}(μ, s) \\ & α ↓ & & α ↓ & & ∥ \\ ⟨−, −⟩_{p}^{L} : & T_{p}(B, s) & × & T_{p}(B, s) & → & T_{p}(μ, s) \end{aligned}

En effet, nous avons déjà vu que Λ(α^{∗}L) : A → A^{t} est égal à α^{t} ∘ Λ(L) ∘ α, donc

⟨α(x), α(y)⟩_{p}^{L} = ⟨α(x), Λ(L) ∘ α(y)⟩_{p}^{B} = ⟨x, α^{t} ∘ Λ(L) ∘ α(y)⟩_{p}^{A} = ⟨x, y⟩_{p}^{α^{∗}L} .

Proposition 17. Pour tout faisceau inversible L sur A, l’accouplement

⟨−, −⟩_{p}^{L} : T_{p}(A, s) × T_{p}(A, s) → T_{p}(μ, s)

est anti-symétrique.

Démonstration. On peut supposer S = s, et il suffit de montrer que

e_{n}^{A}(x, Λ(L)(x)) = 1

pour tout n et tout x ∈ A[n]. Si L ≃ O(D) pour un diviseur D sur A,

Λ(L)(x) = T_{x}^{∗}L ⊗ L^{−1} ≃ O_{A}(T_{x}^{∗}D − D)
et [n]^{∗}Λ(L)(x) = O_{A} ([n]^{∗}T_{x}^{∗}D − [n]^{∗}D) ≃ O_{A}

Choisissons g ∈ K(A) tel que div(g) = [n]^{∗}T_{x}^{∗}D − [n]^{∗}D. Alors

e_{n}^{A} (x, Λ(L)(x)) = T_{x}^{∗}g/g

et il faut montrer que T_{x}^{∗}g = g. Posons E = [n]^{∗}D et choisissons y dans A tel que ny = x, de sorte que T_{x} ∘ [n] = [n] ∘ T_{y} et

div(g) = [n]^{∗}T_{x}^{∗}D − [n]^{∗}D = T_{y}^{∗}[n]^{∗}D − [n]^{∗}D = T_{y}^{∗}E − E

Puisque nx = 0, [n] ∘ T_{x} = [n] donc T_{x}^{∗}E = T_{x}^{∗} ∘ [n]^{∗}D = [n]^{∗}D = E et

div (∏_{i=0}^{n−1} T_{iy}^{∗}g) = ∑_{i=0}^{n−1} T_{(i+1)y}^{∗}E − T_{iy}^{∗}E = T_{x}^{∗}E − E = 0

donc h = ∏_{i=0}^{n−1} T_{iy}^{∗}g est constant, et en particulier 1 = T_{y}^{∗}h/h = T_{x}^{∗}g/g. □

Corollary 18. Pour toute polarisation λ : A → A^{t}, l’accouplement

⟨−, −⟩_{p}^{λ} : T_{p}(A, s) × T_{p}(A, s) → T_{p}(μ, s)

est anti-symétrique.

Le lemme suivant montre que l’on peut imposer la (O, ⋆)-linéarité d’un morphisme λ : A → A^{t} par une condition au niveau des modules de Tate.

Lemma 19. Soit (O, ⋆) une algèbre à involution, O → End_{S}(A) une action de O sur A/S et λ : A → A^{t} un morphisme. Alors λ est (O, ⋆)-linéaire si et seulement si ⟨ox, y⟩_{p}^{λ} = ⟨x, o^{⋆}y⟩_{p}^{λ} pour tout o ∈ O et x, y ∈ T_{p}(A, s).

Démonstration. On a

⟨ox, y⟩_{p}^{λ} − ⟨x, o^{⋆}y⟩_{p}^{λ} = ⟨ox, λy⟩_{p}^{A} − ⟨x, λo^{⋆}y⟩_{p}^{A} = ⟨x, (o^{t}λ − λo^{⋆})y⟩_{p}^{λ}

donc

∀x, y ∈ T_{p}(A, s) : ⟨ox, y⟩_{p}^{λ} = ⟨x, o^{⋆}y⟩_{p}^{λ} ⟺ o^{t}λ = λo^{⋆} sur T_{p}(A, s)
⟺ o^{t}λ = λo^{⋆} dans Hom(A, A^{t})

par fidélité de T_{p}(−, s). □

3.3. Compléments. Calculons l’accouplement ⟨−, −⟩_{p}^{P} sur A ×_{S} A^{t}, où P est le faisceau de Poincaré. Tout d’abord, appliquant (3.2) à α : A → A ×_{S} A^{t} ou à α : A^{t} → A ×_{S} A^{t}, on trouve

⟨(x, 0), (y, 0)⟩_{p}^{P} = 0 = ⟨(0, x^{t}), (0, y^{t})⟩_{p}^{P}

pour tout x, y ∈ T_{p}(A, s) et x^{t}, y^{t} ∈ T_{p}(A^{t}, s), puisque α^{∗}P est trivial dans les deux cas. D’autre part,

Λ(P) : A ×_{S} A^{t} → (A ×_{S} A^{t})^{t} = A^{t} ×_{S} A

est l’isomorphisme (a, a^{t}) ↦ (a^{t}, a). Donc pour x, y ∈ T_{p}(A, s) et x^{t}, y^{t} ∈ T_{p}(A^{t}, s),

⟨(x, x^{t}), (y, y^{t})⟩_{p}^{P} = ⟨(x, 0), (0, y^{t})⟩_{p}^{P} − ⟨(y, 0), (0, x^{t})⟩_{p}^{P}
= ⟨(x, 0), (y^{t}, 0)⟩_{p}^{A×_{S}A^{t}} − ⟨(y, 0), (x^{t}, 0)⟩_{p}^{A×_{S}A^{t}}
= ⟨x, y^{t}⟩_{p}^{A} − ⟨y, x^{t}⟩_{p}^{A}

où la dernière égalité résulte de (3.1). Appliquons alors (3.2) à la transposition τ(a^{t}, a) = (a, a^{t}), en notant que τ^{∗}P est le fibré de Poincaré sur A^{t} ×_{S} A :

⟨(x, x^{t}), (y, y^{t})⟩_{p}^{P} = ⟨(x^{t}, x), (y^{t}, y)⟩_{p}^{τ^{∗}P} = ⟨x^{t}, y⟩_{p}^{A^{t}} − ⟨y^{t}, x⟩_{p}^{A^{t}} ,

d’où l’on déduit en prenant y = 0 et x^{t} = 0 que

⟨x, y^{t}⟩_{p}^{A} + ⟨y^{t}, x⟩_{p}^{A^{t}} = 0.

Si L est un faisceau inversible sur A, λ = Λ(L) : A → A^{t} et x, y ∈ T_{p}(A, s),

⟨λ^{t}x, y⟩_{p}^{A^{t}} = ⟨x, λy⟩_{p}^{A} = ⟨x, y⟩_{p}^{L} = − ⟨y, x⟩_{p}^{L} = − ⟨y, λx⟩_{p}^{A} = ⟨λx, y⟩_{p}^{A^{t}} .

Puisque ⟨−, −⟩_{p}^{A^{t}} est parfait, λ^{t} = λ sur T_{p}(A, s) donc λ^{t} = λ sur A_{s}, et λ^{t} = λ sur A par rigidité. On a ainsi démontré que le morphisme Λ : NS_{A/S} → \underline{Hom}_{Gr}(A, A^{t}) atterrit dans la partie symétrique pour l’involution λ ↦ λ^{t}.

4. Structures de niveaux

On souhaite ici remplacer les structures de niveaux naïves, qui sont de nature géométrique, par des structures de niveaux plus souples, et dont l’étude nous rapprocherait de l’algèbre linéaire. L’équivalence de catégorie de la proposition 4 est le dictionnaire qui permet une telle transposition, du moins lorsque la base S est connexe. Sur une base qui n’est plus nécessairement connexe, mais dont les composantes connexes sont ouvertes, on peut encore obtenir une théorie satisfaisante en travaillant séparément sur chacune de ces composantes. Mais sur une base S trop pathologique, j’ignore s’il est possible d’obtenir encore une théorie intéressante. C’est pourquoi, dans tout ce qui suit, on se restreint le plus souvent à la sous-catégorie pleine SchLn de Sch formée des schémas qui sont localement noethériens : ces schémas sont localement connexes, et leurs composantes connexes sont donc ouvertes (et fermées).

4.1. Définition. Soit O une ℤ-algèbre, ⋆ une involution de O, p un nombre premier inversible dans S, Λ_{p} un O_{p} = O ⊗ ℤ_{p}-module qui est un ℤ_{p}-module libre de rang 2g, ψ_{p} : Λ_{p} × Λ_{p} → ℤ_{p} une forme symplectique non-dégénérée telle que

∀o ∈ O_{p} et x, y ∈ Λ_{b} : ψ_{p}(ox, y) = ψ_{p}(x, o^{⋆}y).

Soit enfin K un sous-groupe du groupe des similitudes O_{p}-linéaires de (Λ_{p}, ψ_{p}).

Definition 20. Soit S un schéma connexe où p est inversible et (A, λ, ι) un Sschéma abélien (projectif) polarisé muni d’une action de (O, ⋆). Une structure de niveau K sur (A, λ, ι) est la donnée, pour un point géométrique s de S, d’une K-orbite [κ] = κK d’isomorphismes de O_{p}-modules κ : Λ_{p} ⟶^{≃} T_{p}(A, s) tels que

(I): il existe un isomorphisme T_{p}(μ, s) ≃ ℤ_{p} qui fait commuter le diagramme

ψ_{p} :  Λ_{p}  ×  Λ_{p}  →  ℤ_{p}
↓  ↓  ↓
⟨−, −⟩_{p}^{λ} : T_{p}(A, s) × T_{p}(A, s) → T_{p}(μ, s)

(II): pour tout σ ∈ π(S, s), il existe k(σ) ∈ K tel que σ ∘ κ = κ ∘ k(σ).

Remark 21. Si la propriété (I) (resp. (II)) est vérifiée pour un isomorphisme κ, elle l’est aussi pour tout κ ∘ k avec k ∈ K. Dans (II), l’élément k(σ) = κ^{−1} ∘ σ ∘ κ est unique, et l’application σ → k(σ) est un morphisme de groupes π(S, s) → K. Modulo les automorphismes intérieurs de K, ce morphisme de groupes ne dépend que de [κ] = κK.

Remark 22. Soit s′ un autre point géométrique de S. On sait alors qu’il existe des isomorphismes θ : π(S, s) → π(S, s′) et Θ : T_{p}(A, s) → T_{p}(A, s′) tels que

Θ(σt) = θ(σ)Θ(t) et ⟨Θ(t_{1}), Θ(t_{2})⟩_{p}^{λ} = ⟨t_{1}, t_{2}⟩_{p}^{λ}

pour tout σ ∈ π(S, s) et t, t_{1}, t_{2} ∈ T_{p}(A, s). Soit [κ] = κK une structure de niveau K sur T_{p}(A, s). Alors [Θ ∘ κ] = ΘκK est une structure de niveau K sur T_{p}(A, s′). La paire d’isomorphismes (θ, Θ) n’est cependant bien définie que modulo l’action de π(S, s) donnée par σ · (θ, Θ) = (θ ∘ Ad(σ), Θ ∘ σ) : puisque ΘσκK = ΘκK, cela n’affecte nullement la construction de [Θ ∘ κ]. Une structure de niveau K donnée en un point géométrique s de S détermine donc uniquement une structure de niveau K en tout point géométrique s de S.

Remark 23. Si l’on ne suppose plus S connexe, une structure de niveau K sur A/S est une collection ([κ_{S′}])_{S′} de structures de niveau K sur A_{S′}/S′ pour S′ ∈ π_{0}(S).

Remark 24. Dans tous les cas, l’existence d’une structure de niveau K implique la (O, ⋆)-linéarité de la polarisation λ : A → A^{t}.

Donnons deux cas particuliers de structure de niveau :

Lemma 25. On suppose S connexe. On note K(n) le groupe des similitudes symplectiques O_{p}-linéaires de (Λ_{p}, ψ_{p}) qui agissent trivialement sur Λ_{p}/p^{n}Λ_{p}.

(1) Pour n = 0, il existe au plus une structure de niveau K(0) sur A/S : c’est l’ensemble de tous les isomorphismes O_{p}-linéaires κ : Λ_{p} ⟶^{≃} T_{p}(A, s) qui vérifient la condition (I).

(2) Pour n > 0, la donnée d’une structure de niveau K(n) sur A/S équivaut à celle d’un isomorphisme O_{p}-linéaire \overline{κ} : (Λ_{p}/p^{n}Λ_{p})_{S} ⟶^{≃} A[p^{n}] telle que pour un (resp. tout) point géométrique s de S, il existe un isomorphisme O_{p}-linéaire κ : Λ_{p} ⟶^{≃} T_{p}(A, s) vérifiant la condition (I) qui relève \overline{κ}(s) :

\overline{κ}(s) = κ mod p^{n} : Λ_{p}/p^{n}Λ_{p} ⟶^{≃} A[p^{n}](s) = T_{p}(A, s)/p^{n}T_{p}(A, s).

Démonstration. (1) C’est évident. (2) Soit [κ] une structure de niveau K(n) sur A/S. Alors [κ] induit un isomorphisme O_{p}-linéaire de π(S, s)-modules

κ mod p^{n} : Λ_{p}/p^{n}Λ_{p} → A[p^{n}](s)

qui induit à son tour un isomorphisme O_{p}-linéaire de S-schémas (en groupes) étales

\overline{κ} : (Λ_{p}/p^{n}Λ_{p})_{S} → A[p^{n}]

qui vérifie évidemment les conditions requises. Inversement, soit \overline{κ} un tel isomorphisme. Soit X l’ensemble des relèvements de \overline{κ}(s) en un isomorphisme O_{p}-linéaires κ : Λ_{p} ⟶^{≃} T_{p}(A, s) vérifiant la condition (I). Alors X est non-vide par hypothèse, c’est une K(n)-orbite par définition de K(n), et c’est stable sous π(S, s) par construction : c’est donc une structure de niveau K(n) sur A/S. □

4.2. Représentabilité.

Proposition 26. Soit K un sous-groupe ouvert (compact) du groupe des similitudes symplectiques O_{p}-linéaires K(0) de (Λ_{p}, ψ_{p}). Soit S un schéma localement noethérien. Pour tout S-schéma abélien (projectif) polarisé (A, ι, λ) muni d’une action de O, le foncteur F_{K} : (SchLn/S)^{0} → Ens qui à T/S associe l’ensemble des structures de niveau K sur (A, ι, λ) est représentable par un revêtement étale d’un ouvert de S.

Démonstration. Pour K = K(0), F_{K} est représentable par la réunion des composantes connexes de S sur lesquelles pour un (ou pour tout) point géométrique s, il existe un isomorphisme O_{p} -linéaire Λ_{p} ≃ T_{p}(A, s) vérifiant la condition (I).

Pour K = K(n), fixons une ℤ/p^{n}ℤ-base (e_{1}, ⋯, e_{2g}) de Λ_{p}/p^{n}Λ_{p}. Soient S_{1} le produit de 2g copies de A[p^{n}], σ_{i} : S_{1} → A_{S_{1}}[p^{n}] = A[p^{n}] ×_{S} S_{1} la i-ème section et \overline{κ}_{1} : (Λ_{p}/p^{n})_{S_{1}} → A_{S_{1}}[p^{n}] le morphisme qui envoie e_{i} sur σ_{i}. C’est un morphisme de groupes entre deux revêtements étales (de même rang constant (p^{n})^{2g}) de S_{1}, qui est lui-même un revêtement étale de S (de rang constant (p^{n})^{4g^{2}}). Soit S_{2} la réunion des composantes connexes de S_{1} dans lesquelles pour un (ou tout) point géométrique s les deux conditions suivantes sont vérifiées : (a) \overline{κ}_{1}(s) est un isomorphisme et (b) cet isomorphisme se relève en un isomorphisme O_{p}-linéaire κ : Λ_{p} → T_{p}(A, s) vérifiant la condition (I). Alors la restriction \overline{κ}_{2} de \overline{κ}_{1} à S_{2} est un isomorphisme O_{p}-linéaire qui définit, d’après le lemme précédent, une structure de niveau K(n) sur A_{S_{2}}. Le foncteur F_{K} est alors représentable par S_{2}, qui est bien un revêtement étale d’un ouvert fermé de S.

Traitons enfin le cas général. Puisque les K(n) forment une base de voisinages ouverts de 1 ∈ K(0), il existe n ≥ 1 tel que K(n) ⊂ K. Soit S(n) le S-schéma qui représente F_{K(n)} et [κ] ∈ F_{K(n)}(S(n)) la structure universelle de niveau K(n) sur A_{S(n)}. Le groupe K agit à droite sur F_{K(n)} par précomposition sur les structures de niveaux, et cette action se factorise en une action du groupe fini \overline{K} = K/K(n) sur F_{K(n)}, donc en une action à droite de \overline{K} sur le S-schéma S(n) qui représente F_{K(n)}. On note \overline{S} le quotient de S(n) par cette action et [\overline{κ}] ∈ F_{K}(\overline{S}) la structure de niveau K induite par κ sur A\overline{S}, définit de la manière suivante.

Soit \overline{C} une composante connexe de \overline{S}, C une composante connexe de S(n) audessus de \overline{C}, s un point géométrique de C, et \overline{s} son image dans \overline{C}. Le morphisme C → \overline{C} est alors un revêtement galoisien de groupe \overline{K}_{C}^{opp}, où \overline{K}_{C} = K_{C}/K(n) est le stabilisateur de C dans \overline{K}. En particulier, on obtient une suite exacte

0 → π(C, s) → π(\overline{C}, \overline{s}) → \overline{K}_{C} → 0.

La structure [κ]_{/C} détermine une K(n)-orbite d’isomorphismes O_{p}-linéaires

κ_{C} : Λ_{p} → T_{p}(A, s) = T_{p}(A, \overline{s})

vérifiant (I) et (II) : cette K(n)-orbite est π(C, s)-stable. Par définition,

σ · κ_{C}K(n) = κ_{C}K(n) · k(σ)

pour tout σ ∈ π(\overline{C}, \overline{s}) d’image K(n) · k(σ) = k(σ) · K(n) dans \overline{K}_{C} = K_{C}/K(n). La K_{C}-orbite engendrée par cette K(n)-orbite est donc π(\overline{C}, \overline{s})-stable. Pour un élément plus général k de K, l’isomorphisme C → Ck induit un diagramme commutatif

0 → π(C, s) → π(\overline{C}, \overline{s}) → \overline{K}_{C} → 0
↓≃ ↓ Id ↓
0 → π(Ck, sk) → π(\overline{C}, \overline{s}) → \overline{K}_{Ck} → 0

où la dernière flèche verticale est g ↦ k^{−1}gk, et la K(n)-orbite déterminée par la structure [κ]_{/Ck} est la K(n)-orbite de κ_{Ck} = κ_{C}k. La K-orbite engendrée par la K(n)-orbite de κ_{C} est donc indépendante du choix de la composante C de S(n) au-dessus de \overline{C}, et elle est π(\overline{C}, s)-stable comme l’est déjà la K_{C}-orbite de κ_{C}. En faisant varier la composante \overline{C} de \overline{S}, on obtient ainsi notre structure [\overline{κ}] ∈ F_{K}(\overline{S}).

Si deux morphismes f, g : T → \overline{S} induisent le même élément f^{∗}[\overline{κ}] = g^{∗}[\overline{κ}] dans F_{K}(T), ils sont égaux : si ces deux morphismes se factorisent par S(n) → \overline{S}, les morphismes relevés f′, g′ : T → S(n) induisent deux éléments de F_{K(n)}(T) qui ont la même image dans F_{K}(T) par hypothèse, donc (localement sur T) f′ = kg′ pour un k ∈ \overline{K}, puis f = g; sinon, il existe un revêtement étale T′ de T tel que les deux morphismes f′, g′ : T′ → T → S se factorisent par S(n) → \overline{S} (et induisent le même élément de F_{K}(T′)), donc f′ = g′ et à nouveau f = g, puisque T′ → T est un épimorphisme.

Soit enfin T un S-schéma (que l’on peut supposer connexe), [κ] ∈ F_{K}(T) une structure de niveau K sur A_{T} et κ : Λ_{p} → T_{p}(A, t) un élément de la K-orbite déterminée par [κ] en un point géométrique t de T. L’action de π(T, t) sur l’ensemble des K(n)-orbites dans κK se factorise par un quotient π(T, t)/π(T′, t) pour un revêtement étale galoisien T′ de T, et [κ]|T′ est alors dans l’image de l’application évidente F_{K(n)}(T′) → F_{K}(T′). Il existe donc un morphisme f′ : T′ → S(n) → \overline{S} tel que [κ]|T′ = f^{′∗}[\overline{κ}]. Les deux morphismes T′ ×_{T} T′ ⇒ T′ → \overline{S} induisent par pull-back le même élément de F_{K}(T′ ×_{T} T′) : ils sont donc égaux d’après ce qui précède. Par descente des morphismes le long de T′ → T (qui est un revêtement étale et à fortiori plat et quasi-compact), f′ : T′ → \overline{S} se factorise en f : T → \overline{S}, avec f^{∗}[\overline{κ}] = [κ] : le couple (\overline{S}, \overline{κ}) représente donc F_{K}. □

4.3. Variantes. On peut aussi fixer directement un O-module Λ qui est libre de rang 2g sur ℤ, une forme symplectique non-dégénérée ψ : Λ×Λ → ℤ induisant ⋆ sur O, et travailler simultanément avec tous les modules de Tate (i.e. avec T_{f}(A, s) ou V_{f}(A, s)). Soit G le ℤ-schéma en groupes des similitudes symplectiques O-linéaires de (Λ, ψ). Pour un sous-groupe K de G(ℤ̂), une structure de niveau K est alors une K-orbite d’isomorphismes Ô-linéaires κ : Λ̂ ⟶^{≃} T_{f}(A, s) qui vérifie l’analogue de (I) (compatibilité des accouplements à un facteur près) et (II) (stabilité sous π(S, s)). On a bien sûr posé Ô = O ⊗ℤ̂ et Λ̂ = Λ⊗ℤ̂. Cependant, il faut alors travailler avec des schémas abéliens sur des bases S où tous les nombres premiers sont inversibles, i.e. avec des ℚ-schémas. Lorsqu’on veut faire de la réduction modulo p, c’est-à-dire travailler avec des ℤ_{(p)}-schémas, on doit donc plutôt travailler avec des sous-groupes K de G(ℤ̂^{p}), et des K -orbites d’isomorphismes Ô^{p}-linéaires κ : Λ̂^{p} ⟶^{≃} T_{f}^{p}(A, s).

Dans tous les cas sus-mentionnés, on montre comme ci-dessus que les foncteurs F_{K} que l’on obtient sont relativement représentables lorsque K est un sous-groupe ouvert et compact du groupe de similitudes où il vit.

5. Schémas Abéliens à Isogénie Près

5.1. Définition.

Definition 27. Soit S un schéma. La catégorie Ab_{S} des S-schémas abéliens est la sous-catégorie pleine de la catégorie des S-schémas en groupes dont les objets sont les S-schémas abéliens. Si S est localement connexe, la catégorie Ab_{S}^{0} des Sschémas abéliens à isogénie près est la catégorie dont les objets sont les S-schémas abéliens, mais où l’on modifie les groupes d’homomorphismes comme suit

Hom_{Ab}_{S}^{0}(A, B) = ∏_{C∈π_{0}(S)} Hom_{Ab_{C}} (A_{C}, B_{C}) ⊗ ℚ.

Si S n’a qu’un nombre fini de composantes connexes, c’est donc plus simplement

Hom_{Ab}_{S}^{0}(A, B) = Hom_{Ab_{S}}(A, B) ⊗ ℚ.

On note en général

Hom_{S}(A, B) = Hom_{Ab_{S}}(A, B) et Hom_{S}^{0}(A, B) = Hom_{Ab}_{S}^{0}(A, B).

Remark 28. Si l’on ne suppose pas que S est localement connexe, il faut prendre pour Hom_{Ab}_{S}^{0}(A, B) les sections globales du faisceau (pour la topologie de Zariski sur S) associé au préfaisceau qui à un ouvert U de S associe Hom_{Ab_{U}} (A_{U}, B_{U})⊗ℚ.

Le nom “à isogénie près” provient du lemme suivant :

Lemma 29. Un morphisme α : A → B dans Ab_{S}^{0} est un isomorphisme si et seulement si, localement sur S, il existe un multiple entier nα de α qui est une isogénie dans Ab_{S}.

Démonstration. On peut supposer que S est connexe. Si α est un isomorphisme dans Ab_{S}^{0}, il existe un entier n tel que nα est dans Ab_{S}. C’est encore un isomorphisme dans Ab_{S}^{0}, donc V_{f}(nα, s) : V_{f}(A, s) → V_{f}(B, s) est un isomorphisme pour tout point géométrique s de S. En particulier, le noyau de (nα)_{s} est fini, donc (nα)_{s} est une isogénie et nα : A → B est une isogénie. Inversement, montrons que toute isogénie α : A → B est un isomorphisme dans Ab_{S}^{0}. Puisque S est connexe, il existe un entier n ≥ 1 tel que ker α ⊂ A[n]. Alors [n]_{A} se factorise par α, i.e. il existe un morphisme β : B → A tel que [n]_{A} = β ∘ α, et β est encore une isogénie. Il existe donc aussi m > 0 et γ : A → B tel que [m]_{B} = γ ∘ β. Mais

[n]_{A} ∘ γ = γ ∘ [n]_{A} = γ ∘ β ∘ α = [m]_{B} ∘ α

donc γ = \frac{m}{n}α dans Hom_{S}^{0}(A, B). Alors (\frac{1}{n}β) · α = 1_{A} dans End_{S}^{0}(A) et

α · (\frac{1}{n}β) = (\frac{m}{n}α) · (\frac{1}{m}β) = \frac{1}{m}γβ = 1_{B}

dans End_{S}^{0}(B), donc α est inversible dans Ab_{S}^{0}. □

5.2. Sur un corps parfait. L’intérêt de cette catégorie apparaît lorsqu’on travaille sur le spectre d’un corps parfait k, par exemple un corps de caractéristique 0, ou bien un corps fini, ou bien un corps algébriquement clos. On a alors :

Theorem 30. La catégorie Ab_{k}^{0} est abélienne et semi-simple.

Une variété abélienne A sur k est dite simple si elle ne contient pas de sousvariété abélienne B ≠ 0, A. Si A est simple et α : A → B est un morphisme non nul, alors ker(α)_{red}^{0} est une sous-variété abélienne propre de A, donc ker(α)_{red}^{0} = 0 et α est fini. Si de plus B est simple, A/ ker α est une sous-variété abélienne non nulle de B, donc A/ ker α = B et α est une isogénie, donc un isomorphisme dans Ab_{k}^{0}. On en déduit que pour A et B simples, tout élément non nul de Hom_{k}^{0}(A, B) est un isomorphisme dans Ab_{k}^{0}. En particulier, End_{k}^{0}(A) est un corps.

Lemma 31. Toute variété abélienne A sur k est isogène à une somme directe de sous-variétés abéliennes simples.

Démonstration. Soit i : B ↪ A une inclusion de variété abélienne (projective !) sur k, i^{t} : A^{t} → B^{t} le morphisme dual, L un faisceau inversible ample sur A, et j : C ↪ A la composante connexe réduite du noyau de i^{t} ∘ Λ(L) : A → B^{t}. C’est une sous-variété abélienne de A et dim B + dim C = dim B^{t} + dim C = dim A. De plus, x ∈ B ∩ C implique x ∈ B et i^{t} ∘ Λ(L) ∘ i(x) = Λ(i^{∗}L)(x) = 0, i.e. i(x) appartient au noyau de Λ(i^{∗}L) : B → B^{t}, qui est fini puisque i^{∗}L est ample sur B. Donc B ∩ C est fini et B × C → A est une isogénie. On conclut par récurrence. □

Le théorème résulte formellement de ce qui précède. Soient C = Ab_{k}^{0} et X l’ensemble des classes d’isomorphismes d’objets simples de C. Pour tout [X] ∈ X, on note C(X) la sous-catégorie pleine de C formée des objets isomorphes à une somme directe finie de copies de X. Le foncteur évident ⊕_{[X]∈X} C(X) → C est essentiellement surjectif d’après le lemme précédent, fidèle par construction, et plein puisque Hom_{k}^{0}(X, Y) = 0 si [X] ≠ [Y] dans X. C’est donc une équivalence de catégorie, et il suffit de montrer que C(X) est abélienne semi-simple pour tout [X] ∈ X. Soit D_{X} = End_{k}^{0}X, qui est un corps gauche d’après la discussion qui précède. Alors A ↦ Hom^{0}(X, A) est un foncteur de C(X) dans la catégorie Mod_{D_{X}}^{df} des D_{X}-modules à droite de D_{X}-dimension finie, dont on montre facilement que c’est encore une équivalence de catégorie. En particulier, C(X) est abélienne semisimple puisque Mod_{D_{X}}^{df} l’est.

5.3. Variantes. Pour diverses raisons, on voudrait aussi considérer une catégorie de variétés abéliennes où l’on n’inverse que les isogénies de degré premier à p, pour un nombre premier p fixé. C’est la catégorie Ab_{S}^{p} dont les objets sont encore les S-schémas abéliens, mais où l’on modifie maintenant les homomorphismes en posant

Hom_{Ab}_{S}^{p}(A, B) = Hom_{S}^{p}(A, B) = ∏_{C∈π_{0}(S)} Hom_{C}(A_{C}, B_{C}) ⊗ ℤ_{(p)}.

Si S n’a qu’un nombre fini de composantes connexes, alors plus simplement

Hom_{S}^{p}(A, B) = Hom_{S}(A, B) ⊗ ℤ_{(p)}.

Un morphisme α : A → B de Ab_{S}^{p} est un isomorphisme si et seulement si, localement sur S, il existe un entier n ≥ 1 premier à p tel que nα : A → B soit une isogénie dans Ab_{S}.

6. Problemes de type PEL, I

On définit ici ce qui sera le prototype de problèmes de modules que l’on sera amené à considérer dans la suite.

6.1. Le problème de module sur ℚ. Soit B une ℚ-algèbre semi-simple, ⋆ une involution de B, V un B-module de ℚ-dimension 2g, ψ : V × V → ℚ une forme symplectique telle que ψ(bv, w) = ψ(v, b^{⋆}w) pour tout v, w ∈ V et b ∈ B. On note G le ℚ-schéma en groupes des similitudes symplectiques B-linéaires de (V, ψ) et K un sous-groupe ouvert et compact de G(𝔸_{f}). On considère le foncteur

M : (SchLn/ℚ)^{0} → Ens

définit de la manière suivante. Si S est un ℚ-schéma localement noethérien,

M(S) = ∏_{C∈π_{0}(S)} M(C).

Et si S est de plus connexe, alors M(S) est l’ensemble des classes d’équivalences de quadruplets (A, ι, [λ], [κ]) où

(1) A/S est un S-schéma abélien,

(2) ι : B → End_{S}^{0}(A) est un morphisme de ℚ-algèbre,

(3) [λ] = ℚλ ⊂ Hom_{S}^{0}(A, A^{t}) pour une polarisation λ : A → A^{t},

(4) [κ] est une structure de niveau K sur A. On rappelle que ce dernier élément consiste en la donnée, pour un point géométrique s dans chaque composante connexe de S, d’une K-orbite stable sous π(S, s) d’isomorphismes B̂-linéaires κ : V̂ → V_{f}(A, s) pour lesquels il existe un isomorphisme 𝔸_{f} ⟶^{≃} V_{f}(μ, s) qui fait commuter le diagramme suivant :

ψ̂:  V̂  ×  V̂  →  𝔸_{f}
↓  ↓  ↓
⟨−, −⟩_{f}^{λ} : V_{f}(A, s) × V_{f}(A, s) → V_{f}(μ, s)

On dit que deux quadruplets (A, ι, [λ], [κ]) et (A′, ι′, [λ′], [κ′]) sont équivalents si et seulement si il existe une isogénie ϕ : A → A′ qui est compatible avec toutes les autres données, c’est-à-dire telle que

(1) ϕ ∘ ι(b) = ι′(b) ∘ ϕ pour tout b ∈ B,

(2) ϕ^{∗}[λ′] = [λ] où ϕ^{∗}[λ′] = ℚϕ^{∗}λ′ avec ϕ^{∗}(λ′) = ϕ^{t} ∘ λ′ ∘ ϕ, et
(3) ϕ[κ] = [κ′] où ϕ[κ] = [ϕ ∘ κ].

On peut aussi voir ces classes d’équivalence comme des classes d’isomorphisme, à condition de considérer la première donnée A comme un objet de Ab_{S}^{0}, c’està-dire comme un S-schéma abélien à isogénie près. C’est la convention que l’on rencontre le plus souvent dans la littérature. On peut aussi définir M(S) pour une base S qui n’est pas connexe comme l’ensemble des classes d’équivalence (ou d’isomorphisme) de quadruplets (A, ι, [λ], [κ]) exactement comme ci-dessus, avec notamment [λ] = ℚλ pour une polarisation λ : A → A^{t} au-dessus de S tout entier, mais ce point de vue masque un peu le caractère local de cette troisième donnée.

Theorem 32. Si K est assez petit, ce foncteur est représentable par un ℚ-schéma de type fini et même quasi-projectif sur ℚ.

On fixe dans V un réseau Λ tel que Λ̂ est stable par K et ψ(Λ, Λ) ⊂ ℤ. On note d^{2} le cardinal de Λ̂/Λ. On choisit un ordre O dans B tel que O · Λ ⊂ Λ. Et on note

M′ : (SchLn/ℚ)^{0} → Ens

le foncteur qui à un ℚ-schéma localement noethérien S associe l’ensemble des classes d’isomorphisme de quadruplets (A, ι, λ, [κ]) où

(1) A/S est un S-schéma abélien,

(2) ι : O → End_{S}(A) est un morphisme de ℤ-algèbre,

(3) λ : A → A^{t} est une polarisation,

(4) [κ] est une structure de niveau K, où cette dernière structure est maintenant la donnée, pour un point géométrique s dans chacune des composantes connexes de S, d’une K-orbite stable sous π(S, s) d’isomorphismes κ : Λ̂ → T_{f}(A, s) tels qu’il existe un isomorphisme ℤ̂ → T_{f}(μ, s) qui fait commuter le diagramme

ψ̂:  Λ̂  ×  Λ̂  →  ℤ̂
↓  ↓  ↓
⟨−, −⟩_{f}^{λ} : T_{f}(A, s) × T_{f}(A, s) → T_{f}(μ, s)

Cette structure de niveau garantit donc que λ est de degré d^{2} et A/S de dimension relative g. Si K est assez petit, disons inclus dans le groupe K(n) des similitudes symplectiques O-linéaires de (Λ, ψ) qui sont l’identité modulo n ≥ 3, cette structure de niveau K induit une structure de niveau K(n), donc un isomorphisme

\overline{κ}(s) : Λ̂/nΛ̂ = Λ/nΛ ≃ T_{f}(μ, s)/nT_{f}(μ, s) = A[n](s).

Choisissant une ℤ/nℤ-base de (Λ/nΛ), on obtient finalement une structure de niveau n naïve sur A/S, c’est-à-dire un point de M_{d,n}^{g}(S). On dispose donc d’un morphisme de foncteur M′ → M_{d,n}^{g}. Ce morphisme est relativement représentable. Cela résulte des deux lemmes suivants : le premier nous dit que les fibres de ce morphisme s’identifient aux foncteurs considérés dans le second.

Lemma 33. Pour tout schéma abélien polarisé (A, λ) sur S et tout n ≥ 3, tout automorphisme de (A, λ) qui agit trivialement sur A[n] est trivial.

Démonstration. Soit α un automorphisme de (A, λ). On a donc

α^{∗}λ = λ ⟺ α^{t}λα = λ ⟺ λ^{−1}α^{t}λ = α^{−1} ⟺ α^{⋆}α = Id_{A}

où α ↦ α^{⋆} est l’involution de Rosati associée à λ. Soit s un point géométrique de S. On sait que l’application α ↦ tr_{E_{s}/ℚ}(α^{⋆}α) est une forme quadratique définie positive sur E_{s} = End_{s}^{0}(A_{s}). En particulier, l’intersection de la sphère de rayon [E_{s} : ℚ] avec le réseau End_{s}(A_{s}) est un ensemble fini. Puisque cet ensemble contient tous les automorphismes de (A_{s}, λ_{s}), on en déduit que α_{s} est d’ordre fini. La ℚalgèbre engendré par α_{s} dans E_{s} est donc un produit de corps cyclotomiques, et l’image de α_{s} dans chacun de ces corps est une racine de l’unité. Si de plus α agit trivialement sur A[n], chacune de ces racines est congruente à 1 modulo n, donc triviale puisque n ≥ 3 – par un argument classique de Serre, cf. [6]. Mais alors α_{s} = Id ∈ Aut(A_{s}) pour tout point géométrique s de S, donc α = Id ∈ Aut(A). □

Lemma 34. Pour tout [A, λ, \overline{κ}] ∈ M_{d,n}^{g}(S), le foncteur qui à T ∈ SchLn associe l’ensemble des structures (ι, [κ]) comme ci-dessus sur (A_{T} , λ_{T}) telles que [κ] relève \overline{κ}_{T} est représentable.

Démonstration. Soit S_{1} le S-schéma qui représente T ↦ Hom_{Ann} (O, End_{T} (A_{T})) (Proposition 1) et ι_{1} : O → End_{S_{1}}(A_{S_{1}}) la structure universelle. Soit S_{2} le S_{1}- schéma qui représente le foncteur qui à T associe l’ensemble des structures de niveau K sur (A_{T} , ι_{1,T} , λ_{T}) (sans la condition de relèvement, Proposition 26) et [κ_{2}] la structure de niveau K universelle sur (A_{S_{2}}, ι_{1,S_{2}}, λ_{S_{2}}). Sur A_{S_{2}}, on dispose maintenant de deux structures de niveau n naïve, \overline{κ}_{1} et \overline{κ}_{2} : (Λ/nΛ)_{S_{2}} → A[n]_{S_{2}}, où \overline{κ}_{1} provient de \overline{κ} et \overline{κ}_{2} de [κ_{2}]. Soit S_{3} l’ouvert fermé de S_{2} où ces deux structures de niveau coïncident. Alors S_{3} représente le foncteur considéré. □

Il en résulte que le foncteur M′ : (SchLn/ℚ)^{0} → Ens est représentable. Considérons maintenant le morphisme évident M′ → M qui correspond à l’inclusion des catégories Ab_{S} → Ab_{S}^{0}. Nous allons montrer que c’est un isomorphisme, ce qui achèvera la preuve du théorème.

Lemma 35. L’application M′(S) ↪ M(S) est injective.

Démonstration. On peut supposer S connexe. Soit [A_{i}, ι_{i}, λ_{i}, [κ_{i}]] deux éléments de M′(S) ayant la même image dans M(S). Cela signifie qu’il existe un isomorphisme α : A_{1} ⟶^{≃} A_{2} dans la catégorie Ab_{S}^{0} des S-schémas abéliens à isogénie près qui est B-linéaire, vérifie ℚ · λ_{2} ∘ α = ℚ · α ∘ λ_{1} dans Hom_{S}^{0}(A_{1}, A_{2}^{t}), et

κ_{2}K = V_{f}(α) ∘ κ_{1}K dans HomB̂ (V̂, V_{f}(A_{2}, s)) .

En particulier, puisque K · Λ̂ = Λ̂,

V_{f}(α)(T_{f}(A_{1}, s)) = V_{f}(α) ∘ κ_{1}(Λ̂) = κ_{2}(Λ̂) = T_{f}(A_{2}, s).

Choisissons m ≥ 1 tel que mα soit une isogénie β : A_{1} → A_{2}. Alors

T_{f}(β)(T_{f}(A_{1}, s)) = mT_{f}(A_{2}, s))

donc β|A_{1}[m] = 0 et β = α′ ∘ [m] pour une isogénie α′ : A_{1} → A_{2}. On a

T_{f}(α′)(T_{f}(A_{1}, s)) = T_{f}(A_{2}, s)

donc α′ est un isomorphisme dans Ab_{S}. En d’autres termes, l’isomorphisme α (de Ab_{S}^{0}) est déjà dans Ab_{S} et y est encore un isomorphisme. C’est bien sûr un isomorphisme O-linéaire (par fidélité de A → T_{f}(A, s)) qui envoie [κ_{1}] sur [κ_{2}] et λ_{1} sur... xλ_{2} ∈ Hom_{S}(A_{2}, A_{2}^{t}) ∩ ℚ · λ_{2} pour un x ∈ ℚ, disons x = \frac{N}{D} avec N, D ∈ ℤ, D ≥ 1. Alors Dxλ_{2} = Nλ_{2} et Dλ_{2} sont des polarisations de même degré D^{2g}d^{2} sur A_{2}, donc N > 0 et N = D, i.e. x = 1. Donc

[A_{1}, ι_{1}, λ_{1}, [κ_{1}]] = [A_{2}, ι_{2}, λ_{2}, [κ_{2}]]

dans M′(S), ce qu’il fallait démontrer. □

Lemma 36. L’application M′(S) → M(S) est surjective.

Démonstration. On peut supposer S connexe. Soit [A, ι, [λ], [κ]] ∈ M(S). Pour tout point géométrique s de S,

T (s) = κ · Λ̂ ⊂ V_{f}(A, s)

est un réseau de V_{f}(A, s) stable sous Ô (puisque Λ̂ l’est et κ est B̂-linéaire), qui ne dépend pas du choix de κ ∈ [κ], et qui est donc aussi stable sous l’action de π(S, s) sur V_{f}(A, s). En jonglant un peu avec les définitions de Ab_{S}^{0} et V_{f}(A, s), on montre qu’il existe un isomorphisme α : B → A dans Ab_{S}^{0} qui envoie T_{f}(B, s) sur T (s). En transportant toutes les structures sur A à B via cet isomorphisme, on peut donc supposer que B = A, i.e. T (s) = T_{f}(A, s). Si b ∈ O ⊂ B et m ≥ 1 est un entier tel que mι(b) ∈ End_{S}(A), alors

T_{f}(mι(b), s)(T_{f}(A, s)) = mT_{f}(ι(b), s)(T_{f}(A, s)) ⊂ mT_{f}(A, s)

donc mι(b) = 0 sur A[m] et mι(b) = mb′ pour un b′ ∈ End_{S}(A), i.e. ι(b) ∈ End_{S}(A). Donc ι : O → End_{S}(A) est une O-structure sur A. Sur A, on dispose aussi de la droite ℚλ où λ : A → A^{t} est une polarisation. On sait d’autre part qu’il existe un isomorphisme 𝔸_{f} → V_{f}(μ, s) qui fait commuter le diagramme suivant

ψ̂:  Λ̂  ×  Λ̂  →  ℤ̂  ⊂  𝔸_{f}
↓  ↓  ↓
⟨−, −⟩_{f}^{λ} : T_{f}(A, s) × T_{f}(A, s) → T_{f}(μ, s) ⊂ V_{f}(μ, s)

L’image de ℤ̂ par cet isomorphisme est de la forme ν^{−1}T_{f}(μ, s) pour un ν ∈ 𝔸_{f}^{×} = ℚ̂^{×} = ℚ_{>}^{×} · ℤ̂^{×}, que l’on peut donc supposer dans ℚ_{>}^{×}. Alors νλ est un morphisme A → A^{t} dans Ab_{S}^{0} et

⟨x, V_{f}(νλ, s)y⟩_{f}^{A} = ν ⟨x, V_{f}(λ)y⟩_{f}^{A} = ν ⟨x, y⟩_{f}^{λ} ∈ T_{f}(μ, s)

pour tout x, y ∈ T_{f}(A, s), donc V_{f}(νλ, s) envoie T_{f}(A, s) dans T_{f}(A^{t}, s). On en déduit comme précédemment que νλ est un morphisme A → A^{t}, et puisqu’un multiple entier positif de νλ est une polarisation, νλ est encore une polarisation [ce n’est pas évident]. On peut donc supposer que νλ = λ, i.e. ν = 1 et l’on a alors un diagramme commutatif

ψ̂:  Λ̂  ×  Λ̂  →  ℤ̂
↓  ↓  ↓
⟨−, −⟩_{f}^{λ} : T_{f}(A, s) × T_{f}(A, s) → T_{f}(μ, s)

Alors [A, ι, λ, [κ]] ∈ M′(S) est un relèvement de [A, ι, [λ], [κ]] ∈ M(S). □

6.2. Le problème de module sur ℤ_{(p)}. L’approche précédente nous contraint à travailler sur ℚ. Si l’on veut faire de la réduction en p, il nous faut donc “étendre” ce problème de module à ℤ_{(p)}, donc travailler avec la variante V_{f}^{p}(A, s) des modules de Tate, et les catégories Ab_{S}^{p} des “schémas abéliens à isogénie première à p près”.

Conservant les notations de la section précédente, on suppose que K = K^{p}K_{p} pour des sous-groupes ouverts compacts K^{p} de G(𝔸_{f}^{p}) et K_{p} de G(ℚ_{p}). On fixe en outre un ℤ_{(p)}-ordre O_{(p)} dans B et un entier d_{p} ∈ ℕ vérifiant l’hypothèse technique suivante : il existe dans V un O_{(p)}-réseau Λ_{(p)} tel que ψ(Λ_{(p)}, Λ_{(p)}) ⊂ ℤ_{(p)} et Λ_{(p)}^{⊥}/Λ_{(p)} est de cardinal p^{2d_{p}}. On considère le foncteur

M^{p} : (SchLn/ℤ_{(p)})^{0} → Ens

qui à un ℤ_{(p)}-schéma localement noethérien S connexe associe l’ensemble des classes d’isomorphismes de quadruplets (A, ι, [λ], [κ]) où

(1) A/S est un objet de Ab_{S}^{p} (un schéma abélien à “isogénie première à p près”),

(2) ι : O_{(p)} → End_{S}^{p}(A) est un morphisme d’anneau,

(3) [λ] = ℤ_{(p)}λ ⊂ Hom_{S}^{p}(A, A^{t}) est une ℤ_{(p)}-droite engendrée par une polarisation λ : A → A^{t} de degré p^{2d_{p}}x avec (x, p) = 1,

(4) [κ] est une structure de niveau K^{p} sur (A, ι, [λ])

où cette dernière structure est maintenant la donnée, pour un point géométrique s de S, d’une K^{p}-orbite stable sous π(S, s) d’isomorphismes B̂^{p} = B ⊗ 𝔸_{f}^{p}-linéaires κ : V̂^{p} ⟶^{≃} V_{f}^{p}(A, s) tels qu’il existe un isomorphisme 𝔸_{f}^{p} → V_{f}^{p}(μ, s) qui rende commutatif le diagramme suivant :

ψ̂^{(p)} :  V̂^{p}  ×  V̂^{p}  →  𝔸_{f}^{p}
↓  ↓  ↓
⟨−, −⟩_{f}^{p,λ} : V_{f}^{p}(A, s) × V_{f}^{p}(A, s) → T_{f}^{p}(μ, s)

Theorem 37. Si K^{p} est assez petit, ce foncteur est représentable par schéma de type fini, et même quasi-projectif sur ℤ_{(p)}.

La preuve est identique à celle du théorème précédent. On choisit dans V un ℤ-réseau Λ qui étend Λ_{(p)}, dans B un ℤ-ordre O qui étend O_{(p)}, et on montre que M^{p} = M^{′p} pour un foncteur M^{′p} qui classifie les quadruplets (A, ι, λ, [κ]) où A est un (vrai) S-schéma abélien, ι une action de O sur A/S, λ une polarisation de degré égal au cardinal de Λ^{⊥}/Λ, et [κ] une structure de niveau K^{p} sur T_{f}^{p}(A, s).

6.3. Comparaison des deux problèmes de module sur ℚ. Il reste à répondre à la question suivante : dans quelle mesure le foncteur

M^{p} : (SchLn/ℤ_{(p)})^{0} → Ens

est-il une extension de

M : (SchLn/ℚ)^{0} → Ens.

On ne peut pas directement comparer les foncteurs M^{p}|ℚ et M. Pour le faire, il faut introduire encore des variantes, par exemple un foncteur M̃ qui classifierait les schémas abéliens à isogénie près munis de polarisation, d’endomorphisme, et de structure de niveau K^{p}, qui nous donnerait des morphismes M^{p} → M̃ (correspondant à Ab_{S}^{p} ↪ Ab_{S}^{0}) et M|ℚ → M̃|ℚ (oubli de la K_{p}-structure). On peut aussi utiliser ce qui à déjà été fait, et comparer directement les variantes M′ et M^{′p} de M et M^{p}. Si l’on définit M′ via le choix de (Λ, O) ⊂ (V, B) et M^{′p} par (Λ_{(p)}, O_{(p)}), on a alors directement un morphisme M′ → M^{′p}|ℚ qui correspond à l’oubli de la K_{p}-structure [κ_{p}] pour κ_{p} : Λ_{p} → T_{p}(A, s). Si K^{p} est assez petit (donc Aut_{S}(A, λ, [κ^{p}]) = {1}), les fibres de ce morphisme s’identifient exactement aux foncteurs F_{K_{p}} de la proposition 26. En particulier :

Lemma 38. Si K_{p} est le groupe des similitudes symplectiques de (Λ_{p}, ψ_{p}), alors M′ → M^{′p}|ℚ est relativement représentable par des immersions ouvertes et fermées, donc M/Specℚ est un sous-schéma ouvert et fermé de la fibre générique de M^{p}/Specℤ_{(p)}.

Troisième partie 3. Structures de niveaux en p

7. Normes [To be Added]

8. Full Set of Sections [To be Added]

Quatrième partie 4. Algèbres de Lie

9. Algèbres de Lie

9.1. Rappels. Soit G un S-schéma en groupe. Pour tout S-schéma T, on note

LieG(T) = ker (G(T [ϵ]) → G(T)) .

On obtient ainsi un foncteur en groupe sur la catégorie des S-schémas. C’est en fait réprésentable par un S-schéma en groupes commutatifs, et même en O_{S}-algèbre de Lie. Pour le voir, on étudie ce qu’est α ∈ LieG(S). Par définition, c’est un morphisme

α : S[ϵ] → G tel que α ∘ aug : S → S[ϵ] → G = e : S → G.

Puisque S ⟶^{aug} S[ϵ] ⟶^{struct} S induisent des homéomorphismes sur les espaces sousjacents, la composante topologique α_{top} de α n’est pas très mystérieuse : c’est juste e_{top}. Tout est donc dans le morphisme de f^{−1}O_{S}-algèbre

α^{#} : O_{G} → e_{∗}O_{S[ϵ]} = e_{∗}O_{S} ⊕ e_{∗}O_{S}[ϵ]

On a α^{#} = e^{#} + D · ϵ où e^{#} : O_{G} → e_{∗}O_{S} est le morphisme de faisceaux de f^{−1}O_{S}-algèbres associé à e : S → G et où D : O_{G} → e_{∗}O_{S} est un morphisme de f^{−1}O_{S}-modules tel que

∀a, b ∈ O_{G} : D(ab) = e^{#}(a)D(b) + e^{#}(b)D(a)

On dit d’un tel morphisme que c’est une f^{−1}O_{S}-dérivation. Si I est le noyau de e^{#}, on a e^{#} : O_{G} → e_{∗}O_{S} ≃ O_{G}/I. Donc D(I^{2} + f^{−1}O_{S} · I) = 0 et on peut voir D comme un morphisme de f^{−1}O_{S}-modules

D : O_{G}/I^{2} + f^{−1}O_{S} · I → e_{∗}O_{S}.

Un tel morphisme est uniquement déterminé par sa restriction à

I/I^{2} + f^{−1}O_{S} · I → e_{∗}O_{S}

laquelle est équivalente à celle du morphisme de e^{−1}f^{−1}O_{S} = O_{S}-module

e^{−1}(I/I^{2} + f^{−1}O_{S} · I) → O_{S}.

En considérant e comme le pull-back de Δ : G → G ×_{S} G par (Id, e), on voit que

e^{−1}(I/I^{2} + f^{−1}O_{S} · I) = e^{∗}(Δ^{−1}(J /J^{2})) = e^{∗}(Ω_{G/S}^{1}) = ω_{G/S}^{1}

où J est l’idéal de O_{G×_{S}G} correspondant à la diagonale. On a obtenu :

LieG(S) = Hom_{O_{S}}(ω_{G/S}^{1}, O_{S})

et plus généralement, LieG = (ω_{G/S}^{1})^{∨}. On peut vérifier que la structure de O_{S}- module ainsi obtenue est donnée par γ ↦ (ϵ ↦ γϵ), et que la structure de groupe sous-jacente à cette structure de O_{S}-module coïncide avec celle provenant de la définition initiale de LieG comme noyau d’un morphisme de groupe. Si G/S est lisse de dimension relative g, Ω_{G/S}^{1} est un O_{G}-module localement libre de rang g, donc ω_{G/S}^{1} itou et LieG = V(ω_{G/S}^{1}).

La structure de O_{S}-algèbre de Lie provient de l’interprétation en termes de dérivation : si D_{1} et D_{2} sont deux dérivations, le produit D_{1}D_{2} − D_{2}D_{1} en est une également. Nous n’aurons pas besoin du crochet, mais il faut mentionner que si G est abélien, ce crochet est nul. Cette même interprétation montre que si S = Specℂ, LieG(ℂ) = T_{0}G est l’espace tangent de G en 0.

9.2. Modules sur les algèbres d’Azumaya. Soient A une O_{S}-algèbre (pas nécessairement commutative) et L un A-module. On suppose que A et L sont des O_{S}-modules localement libres de rang fini. Alors l’application

a ∈ Γ(T, A) ↦ det(a|L_{T}) ∈ Γ(T, O_{T})

induit un morphisme

det(−|L) : Γ(A) → Γ(O_{S}) = A_{S}^{1}

où Γ(B) est le S-schéma (affine, lisse, en groupes commutatifs) qui représente le foncteur T ↦ Γ(T, B). Ce morphisme commute au changement de base : pour tout S-schéma T,

det(−|L)_{T} = det(−|L_{T}) : Γ(A_{T}) = Γ(A)_{T} → A_{T}^{1} .

Si d : Γ(A) → Γ(O_{S}) est un S-morphisme fixé, on peut définir un sous-foncteur

C(d, L) : (Sch/S)^{0} → Ens

du foncteur constant ponctuel S (qui à T/S associe le singleton Hom_{S}(T, S) !) défini par la condition C(d, L)(T) ≠ ∅ si et seulement si d_{T} = det(−|L)_{T}. Si le morphisme d lui-même est de la forme det(−|L′) pour un A-module L′ qui est localement libre sur S, on note C(L′, L) ce sous-foncteur, qui est donc défini par la condition

C(L′, L)(T) ≠ ∅ ⟺ det(−|L′)_{T} = det(−|L)_{T} .

En général, j’ignore si ces foncteurs sont représentables, et je ne pense pas que ce soit le cas.

Definition 39. On dit que A est une O_{S}-algèbre d’Azumaya si et seulement si A est, localement pour la topologie étale sur S, isomorphe à un produit d’algèbre M_{n}(O_{S}).

Proposition 40. Soient A une O_{S}-algèbre d’Azumaya et L_{1}, L_{2} deux A-modules qui sont des O_{S}-modules localement libres. Alors pour tout S-schéma T, on a C(L_{1}, L_{2})(T) ≠ ∅ si et seulement si localement pour la topologie étale sur T, L_{1,T} ≃ L_{2,T} comme A_{T} -modules. De plus, C(L_{1}, L_{2}) est alors représentable par un ouvert de S.

Démonstration. Soit S′ → S un revêtement étale tel que A_{S′} ≃ ∏_{j} M_{n_{j}}(O_{S′}). Pour tout T/S, on note T′ = T ×_{S} S′ : c’est un revêtement étale de T. Supposons que C(L_{1}, L_{2})(T) ≠ ∅, donc C(L_{1}, L_{2})(T′) ≠ ∅. Soit U = SpecR un ouvert affine de T′, donc A_{U} = Ã avec A = ∏_{j} M_{n_{j}}(R) et L_{i} = L̃_{i} pour un A-module L_{i} qui est un R-module localement libre de rang fini, donc de la forme L_{i} = ∏ L_{i,j} où L_{i,j} est un M_{n_{j}}(R)-module qui est un R-module localement libre de rang fini, donc - d’après l’équivalence de Morita - de la forme R^{n_{j}} ⊗_{R} (L_{i,j}^{0}) pour un R-module localement libre L_{i,j}^{0}. Quitte à restreindre encore U, on peut supposer que tous ces L_{i,j} sont libres sur R, disons de rang r_{i,j}. Puisque C(L_{1}, L_{2})(U) ≠ 0, det(a|L_{1}) = det(a|L_{2}) pour tout a ∈ A, d’où l’on déduit facilement que r_{1,j} = r_{2,j} pour tout j, donc L_{1} ≃ L_{2}, donc L_{1,T′} ≃ L_{2,T′} localement pour la topologie de Zariski sur T′, donc L_{1,T} ≃ L_{2,T} localement pour la topologie étale sur T. L’inverse est immédiat : si L_{1,T} ≃ L_{2,T} après un changement de base fidèlement plat et quasi-compact T′ → T, alors det(L_{1})_{T′} = det(L_{2})_{T′} donc det(L_{1})_{T} = det(L_{2})_{T}. Enfin, soit L_{i,S′} = ∏ L_{i,j} la décomposition de L_{i,S′} correspondant à A_{S′} = ∏_{j} M_{n_{j}}(O_{S′}), et soit r_{i,j} le rang de L_{i,j}. C’est une application continue de S′ → ℕ, donc

S′_{0} = {s′ ∈ S′|∀j : r_{1,j}(s′) = r_{2,j}(s′)}

est un ouvert de S′, puis S_{0} = S−π(S′−S′_{0}) est un ouvert de S car π : S′ → S est fini donc fermé, et cet ouvert représente C(L_{1}, L_{2}) d’après la discussion précédente. □

Proposition 41. Soient A une O_{S}-algèbre d’Azumaya, L un A-module qui est un O_{S}-module localement libre et d : Γ(A) → A_{S}^{1} un S-morphisme qui est de la forme det(L′) localement pour la topologie fpqc. Alors C(d, L) est représentable par un ouvert de S.

Démonstration. Exercice. □

9.3. Rigidification des algèbres de Lie. On reprend les notations des problèmes de type PEL. On se donne donc une ℚ-algèbre semi-simple B et un ℤ-ordre R de B, et on considère des S-schémas abéliens A munis d’une action ι : R → End(A) (il n’y a pas besoin de polarisations dans cette section). Soit L = Lie(A) : c’est un O_{S}-module localement libre muni d’une action de la O_{S}-algèbre localement libre (et même libre) A = R ⊗ O_{S}. On voudrait rigidifier ce A-module par une condition de déterminant.

Décomposons B en produit d’algèbre simple B_{i} de centre F_{i} et soit U l’ouvert de Specℤ au-dessus duquel (1) R est maximal et (2) les F_{i} sont non-ramifiés. On fixe un premier p ∈ U, et on choisit pour chaque i une extension L_{i} de F_{i} qui décompose B_{i} et est non-ramifiée au-dessus de p (il en existe...). Soit L le produit de ces extensions et O l’anneau des p-entiers dans L. C’est donc une extension finie et non-ramifiée de ℤ_{(p)}. Par construction, R ⊗_{ℤ} O est un R-ordre maximal dans B ⊗_{ℚ} L ≃ ∏ M_{n_{i}}(L), donc de la forme ∏ M_{n_{i}}(O). Ceci démontre que pour tout p ∈ U, R⊗ℤ_{(p)} est une ℤ_{(p)}-algèbre d’Azumaya. En travaillant un peu, on en déduit que R ⊗ O_{U} est une O_{U}-algèbre d’Azumaya mais nous n’en aurons pas vraiment besoin.

La proposition ci-dessus permet donc - si besoin est - d’affiner encore nos problèmes de modules, en se restreignant aux schémas abéliens A/S (munis d’une action de R) pour lesquels la structure de A = R⊗O_{S}-module sur LieA est essentiellement fixée par avance - mais il faut alors tout de même restreindre les-dits problèmes aux schémas S qui sont au-dessus de l’ouvert U = U(R) de Specℤ défini ci-dessus. En outre, il faut bien sûr être capable de spécifier le A-module qui servira de modèle pour les algèbres de Lie, ou au moins son déterminant. C’est ce que nous allons faire dans la section suivante.

9.4. Corps réflexe. Soit V un B-module de ℚ-dimension 2g, G le ℚ-groupe algébrique des automorphismes B-linéaires de V et X = G(ℝ) · I une G(ℝ)-orbite de structures complexes I sur V_{ℝ} (i.e. I ∈ G(ℝ) et I^{2} = −1). Pour tout I ∈ X, on note V_{ℝ,I} le B ⊗ ℂ-module défini par (V_{ℝ}, I). La classe d’isomorphisme de ce module ne dépend pas du choix de I dans X, puisque tout élément g ∈ G(ℝ) induit un isomorphisme de B ⊗ ℂ-module V_{ℝ,I} → V_{ℝ,gI}.

Fixons un ordre R ⊂ B, soit A = R ⊗ O_{ℤ} et d(X) : Γ(A)_{ℂ} → A_{ℂ}^{1} le déterminant du A_{ℂ}-module V_{ℝ,I} (pour n’importe quel I ∈ X). Soit L ⊂ ℂ un corps de nombre tel que B ⊗ L ≃ ∏ M_{n_{i}}(L). Alors B ⊗ ℂ ≃ ∏ M_{n_{i}}(ℂ) donc V_{ℝ,I} ≃ ∏(ℂ^{n_{i}})^{r_{i}} et V_{ℝ,I} ≃ W ⊗_{L} C pour W = ∏(L^{n_{i}})^{r_{i}} : le morphisme d(X) est donc défini sur L.

Definition 42. Le corps réflexe E = E(X) est le corps de définition de d(X).

C’est donc un corps de nombre plongé dans ℂ, contenu dans tous les corps de nombres L ⊂ ℂ qui décomposent B, mais qui est typiquement plus petit que leur intersection. Concrètement, c’est le sous-corps de ℂ défini par

E(X) = ℚ (det_{ℂ} (a|V_{ℝ,I}) : a ∈ R) ⊂ ℂ

Avec les notations ci-dessus, on peut choisir dans le B ⊗ L-module W un O_{L}-réseau stable sous R, ce qui montre que a ↦ d(X)(a) atterrit en fait dans l’anneau des entiers O_{E} de E, i.e.

d(χ) : Λ(A)_{SpecO_{E}} → A_{SpecO_{E}}^{1}.

Proposition 43. Soit p ∈ U(R), O l’anneau des p entiers dans E(X), S un Oschéma et A un S-schéma abélien muni d’une action de R. Alors

∀a ∈ R : det(a|Lie(A)) = d(X)(a)

est représentable par un ouvert de S.

En résumé, on peut spécifier le déterminant sur les algèbres de Lie, à condition de ne travailler qu’avec des schémas sur U(R) × SpecO_{E(X)} : sur U(R) pour que A = R ⊗ O_{ℤ} soit d’Azumaya, sur O_{E(X)} pour que le “modèle du déterminant” soit bien défini.

Références

[1] J. Dieudonné, A. Grothendieck, Eléments de Géométrie algébriques, Publications de L’IHES.

[2] Kottwitz, Zeta functions of some simple Shimura Varieties

[3] D. Mumford, Abelian Varieties.

[4] Mumford, Geometric Invariant Theory.

[5] Séminaire de Géométrie Algébrique.

[6] Serre, Appendice du Séminaire Cartan n°17, année 60/61.

[7] J. Tate, Finite Flat Group Schemes.