POINTS COMPLEXES & EXEMPLES

Table des matières

partie 1. Exemples 2 1. La catégorie des variétés abéliennes sur ℂ 2 2. Exemple n°1 : Courbes Modulaires 3 3. Exemple n°2 : La variété de Siegel M_{1,n}^{g} 5 4. Exemple n°3 : Endomorphismes 6 4.1. Décomposition naïve 6 4.2. Décomposition un peu moins naïve 7 4.3. Conclusion 7 5. Exemple n°4 : Variétés de type PEL 7

partie 2. Classification(s) 8 6. Algèbres semi-simples 9 6.1. Décomposition 9 6.2. Classification 9 7. Modules 10 8. Involutions 11 8.1. Définitions 11 8.2. Décomposition et types 11 8.3. Conclusion 13 9. Formes hermitiennes 13 9.1. Définitions 13 9.2. Variantes 13 9.3. Formes et Involutions 15 9.4. Décomposition 15 9.5. Le type D 15 9.6. Les types I et II (Morita) 16 9.7. Les types I et II (Classification) 17 10. Conditions de Positivité 18 10.1. Les ℝ-algèbres simples 18 10.2. Les formes hermitiennes élémentaires 18 10.3. Les classes d’équivalences d’involutions 18 10.4. Formes et involutions positives 19 10.5. Polarisations 20 10.6. Les cas simples 22 Références 22

Dans cette troisième partie du cours, nous allons étudier les points complexes des différents problèmes de modules que nous avons définis.

Première partie 1. Exemples

1. La catégorie des variétés abéliennes sur ℂ

Référence : le cours de M. Hindry, ou celui de Milne, ou [5].

1. Soit A une variété abélienne sur ℂ. Alors T_{0}A est un ℂ-espace vectoriel, et l’exponentielle exp : T_{0}A → A est un morphisme de groupe surjectif dont le noyau est un réseau de T_{0}A. En particulier, A est un tore complexe V/Λ. On obtient ainsi : la catégorie des variétés abéliennes sur ℂ est une sous-catégorie pleine de la catégorie des tores complexes.

2. Un tore complexe V/Λ est une variété abélienne si et seulement si il existe sur V une forme hermitienne H : V × V → ℂ qui est (1) définie positive et (2) dont la partie imaginaire prend des valeurs entières sur le réseau Λ.

3. Toute forme sesquilinéaire^{1} H : V × V → ℂ se décompose uniquement en H(x, y) = ϕ(x, y) + iψ(x, y)

où ϕ et ψ : V × V → ℝ sont bilinéaires et vérifient pour tout x, y ∈ V,

ϕ(x, y) = ψ(ix, y), ϕ(x, y) = −ψ(x, iy) et ψ(ix, iy) = ψ(x, y). Inversement, toute forme bilinéaire ψ : V × V → ℝ telle que

∀x, y ∈ V : ψ(ix, iy) = ψ(x, y)

définit une forme sesquilinéaire

H(x, y) = ϕ(x, y) + iψ(x, y) où ϕ(x, y) = ψ(ix, y).

Dans cette correspondance, on vérifie que (1) H est non-dégénérée^{2} si et seulement si ψ l’est,

(2) H est hermitienne^{3} si et seulement si ψ est anti-symétrique, et

(3) H est hermitienne définie positive^{4} si et seulement si ψ est anti-symétrique

et ψ(ix, y) est (symétrique et) définie positive.

4. Pour un tore complexe X = V/Λ, on pose X^{t} = V^{ι⋆}/Λ^{⋆} où V^{ι⋆} = Hom_{ℂ}(V^{ι}, ℂ) et Λ^{⋆} = {f ∈ V^{ι⋆}|imf(Λ) ⊂ ℤ}.

Les morphismes λ : X → X^{t} s’identifient donc (1) aux applications ℂ-linéaires Lie(λ) : V → V^{ι⋆} qui envoient Λ dans Λ^{⋆},

(2) aux formes sesquilinéaires H : V × V → ℂ telles que im(H(Λ, Λ)) ⊂ ℤ,

(3) aux formes bilinéaires ψ : Λ × Λ → ℤ telles que ψ_{ℝ}(ix, iy) = ψ_{ℝ}(x, y). Dans cette correspondance,

H(x, y) = Lie(λ)(x)(y) = ψ_{ℝ}(ix, y) + iψ_{ℝ}(x, y)

et l’on vérifie facilement que (1) λ est une isogénie si et seulement si ψ est non-dégénéré,

(2) λ^{t} = λ si et seulement si ψ est symplectique, (3) λ est une polarisation si et seulement ψ est symplectique et

1. Par convention, les formes sesquilinéaires sont linéaires en la première variable.

2. H est non-dégénérée ⇔ (∀x : H(x, −) = 0 ⇔ x = 0) ⇔ (∀x : H(−, x) = 0 ⇔ x = 0).

3. H est hermitienne ⇔ ∀x, y : H(y, x) = \overline{H(x, y)}.

4. H est hermitienne définie positive ⇔H est hermitienne et ∀x :H(x, x) > 0.

ψ_{ℝ,i}(x, y) =^{def} ψ_{ℝ}(ix, y)

est (symétrique et) définie positive.

5. La catégorie des tores complexes est équivalente à la catégorie des paires (Λ, I) où Λ est un réseau (i.e. un ℤ-module libre de rang fini) et I une structure complexe sur le ℝ-espace vectoriel V = Λ ⊗ ℝ. Le tore complexe associé à une telle paire est X = V_{I}/Λ, où V_{I} est le ℝ-espace vectoriel V muni de sa structure complexe I.

6. Une polarisation de (Λ, I) est une forme symplectique ψ : Λ × Λ → ℝ telle que (1) ψ_{ℝ}(Ix, Iy) = ψ_{ℝ}(x, y) et (2) la forme symétrique ψ_{ℝ,I}(x, y) =^{def} ψ_{ℝ}(Ix, y) est définie positive. La catégorie des variétés abéliennes sur ℂ est équivalente à la catégorie des paires (Λ, I) qui sont polarisables.

7. La catégorie des variétés abéliennes polarisées est équivalente à la catégorie des triplets (Λ, ψ, I) où Λ est un réseau, ψ : Λ×Λ → ℤ une forme symplectique et I une structure complexe sur V = Λ ⊗ ℝ telle que (1) I ∈ Sp(V, ψ_{ℝ}) et (2) ψ_{ℝ,I} > 0. La variété abélienne associée est A = V_{I}/Λ, sa variété abélienne duale est A^{t} = V_{I}^{⋆ι}/Λ^{⋆}, la polarisation λ : A → A^{t} est le morphisme v ↦ H(v, −) où H : V × V → ℂ est la forme hermitienne (définie positive) induite par ψ, le module de Tate est

T_{f}A = T_{f}(A, ℂ) = \underleftarrow{lim} n^{−1}Λ/Λ ≃ Λ̂

et l’accouplement de Weil ⟨−, −⟩_{f}^{λ} : T_{f}A × T_{f}A → T_{f}μ est

∀x, y ∈ T_{f}A ≃ Λ̂ : ⟨x, y⟩_{f}^{λ} = ξ^{ψ̂(x,y)}

où ξ = \underleftarrow{lim} exp(\frac{2iπ}{n}) ∈ T_{f}μ.

6. De même : la catégorie des tores complexes à isogénie près est équivalente à la catégorie des paires (V, I) où V est un ℚ-espace vectoriel de dimension finie et I une structure complexe sur V_{ℝ} = V ⊗ ℝ, une polarisation d’une telle structure est une forme symplectique ψ : V ×V → ℚ telle que (1) I ∈ Sp(V_{ℝ}, ψ_{ℝ}) et (2) ψ_{ℝ,I} > 0, et la catégorie des variétés abéliennes sur ℂ à isogénie près est équivalente à celle des paires (V, I) qui sont polarisables.

2. Exemple n°1 : Courbes Modulaires

On veut ici calculer les ℂ-points du schéma M = M_{1,n}^{1} = Y (n). Il nous faut donc classifier les courbes elliptiques E sur ℂ, munies d’une polarisation principale (= de degré 1) et d’une structure de niveau n naïve κ : (ℤ/nℤ)^{2} ≃ E[n]. Il revient donc au même de classifier les quadruplets (Λ, ψ, I, κ) où Λ est un réseau de rang 2, ψ une forme symplectique parfaite sur Λ, I une structure complexe sur (Λ_{ℝ}, ψ_{ℝ}) telle que ψ_{ℝ,I} > 0, et κ un isomorphisme (ℤ/nℤ)^{2} ≃ n^{−1}Λ/Λ.

Il n’y a qu’une classe d’isomorphisme de ℤ-module libre de rang 2 : Λ = ℤ^{2}. Sur ℤ^{2}, il y a exactement 2 formes bilinéaires alternées parfaites, données par ± det, et ces deux formes sont conjuguées par n’importe quel élément de déterminant −1 dans GL_{2}(ℤ). Il n’y a donc qu’une classe d’isomorphisme de couple (Λ, ψ), celle de (Λ, ψ) = (ℤ^{2}, det) (où le déterminant est calculé dans la base canonique de ℤ^{2}). Le groupe des automorphismes de (Λ, ψ) est Γ = SL_{2}(ℤ).

Il est bien connu que l’application SL_{2}(ℤ) → SL_{2}(ℤ/nℤ) est surjective. Les Γ-orbites de structures de niveau κ sont donc indexées par le quotient

GL_{2}(ℤ/nℤ)/SL_{2}(ℤ/nℤ) ≃ (ℤ/nℤ)^{×}.

Le stabilisateur commun des κ est le sous-groupe de congruence Γ(n) de Γ(1) = Γ formé des matrices g ∈ SL_{2}(ℤ) telles que g ≡ Id mod n.

Enfin, toutes les structures complexes I sur Λ⊗ℝ = ℝ^{2} induisent sur ce ℝ-espace vectoriel une structure de ℂ-espace vectoriel de dimension 1 : toutes ces structures sont donc conjuguées par un élément de GL_{2}(ℝ). Il y a en revanche exactement deux SL_{2}(ℝ)-orbites, qui correspondent à l’orientation de (x, Ix). Les formes ψ_{R,I} sont donc définies positives sur l’une de ces deux orbites, et définies négatives sur l’autre. Pour I = ( \begin{matrix}0 −1 \\ 1 0 \end{matrix} ),

ψ_{ℝ,I} (( \begin{matrix}x_{1} \\ y_{1} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}x_{2} \\ y_{2} \end{matrix} )) = det ( \begin{matrix}x_{1} & −y_{2} \\ y_{1} & x_{2} \end{matrix} ) = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}

est définie positive, et le stabilisateur K_{I} de I dans SL_{2}(ℝ) est K_{I} = SO_{2}(ℝ). On trouve donc :

M(ℂ) = ∐_{(ℤ/nℤ)^{×}} Γ(n)\SL_{2}(ℝ)/SO_{2}(ℝ).

Identifiant SL_{2}(ℝ)/SO_{2}(ℝ) au demi-plan supérieur H = {τ ∈ ℂ : imτ > 0} par g ↦ g · i (pour l’action usuelle de GL_{2}(ℝ) sur ℂ − ℝ), on voit donc que M(ℂ) est la réunion disjointe indexée par (ℤ/nℤ)^{×} de copies de Y (n) = Γ(n)\H :

M(ℂ) = ∐_{α∈(ℤ/nℤ)^{×}} Y (n)(α)

On peut interpréter l’ensemble (ℤ/nℤ)^{×} des composantes connexes directement sur le problème de module. Pour tout schéma S et toute courbe elliptique E/S, l’accouplement de Weil e_{n} : E[n]×_{S} E^{t}[n] → μ_{n,S} est une forme bilinéaire alternée parfaite. Le choix d’une base x_{1}, x_{2} de (ℤ/nℤ)^{2}, permet donc d’associer à tout élément (E, λ, κ) de M(S) l’élément e(x_{1}, λ(x_{2})) de μ_{n}(S). On atterrit en fait dans μ_{n}^{⋆}(S), où μ_{n}^{⋆} est le sous-foncteur des générateurs de μ_{n}, à savoir μ_{n}^{⋆} = Specℤ[X]/Φ_{n}(X) où Φ_{n} est le n-ième polynôme cyclotomique. On obtient un morphisme M → μ_{n}^{⋆} qui donne en passant aux points complexes l’application recherchée

M(ℂ) ↠ μ_{n}^{⋆}(ℂ) = \{exp(\frac{2iπα}{n}), α ∈ (ℤ/nℤ)^{×}\} .

Lorsque n ≥ 3, on sait qu’il existe au-dessus de M(ℂ) une courbe elliptique avec structure de niveau n qui est universelle. On peut décrire la restriction de ces objets à la composante connexe Y (n)(α) de M(ℂ) qui est au-dessus de exp(\frac{2iπα}{n}). On considère pour cela l’action de GL_{2}(ℝ) sur H × ℂ donnée par

g · (τ, z) = (gτ, δ(g, τ)^{−1}z) où δ (( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) , τ) = cτ + d.

Cette action est compatible avec la relation d’équivalence définie par

(τ, z) ∼ (τ, z′) ⟺ z′ − z ∈ ℤ + ℤτ

puisque ℤ + ℤτ = δ(g, τ) · (ℤ + ℤgτ), et l’on peut donc former le quotient

π : E = Γ(n)\ (H × ℂ/ ∼) → Y (n) = Γ(n)\H.

La fibre de π au dessus de Γ(n) · τ est

Γ(n)\ (Γ(n)τ × ℂ/ ∼) ≃ Γ(n)_{τ} \ℂ/ℤ ⊕ ℤτ

où Γ(n)_{τ} est le stabilisateur de τ dans Γ(n). Puisque n ≥ 3, Γ(n)_{τ} = {1} et

π^{−1} (Γ(n) · τ) ≃ E_{τ} = ℂ/ℤ + ℤτ

est une courbe elliptique. On peut donc voir π : E → Y (n) comme une courbe elliptique relative : c’est la courbe elliptique universelle. Pour (x, y) ∈ ℤ^{2}, la section

τ ∈ H ↦ (τ, \frac{x}{n} + \frac{αy}{n} τ) ∈ H × ℂ/ ∼

ne dépend que de l’image de (x, y) dans (ℤ/nℤ)^{2}, et commute à l’action de Γ(n). La structure de niveau n naïve ainsi obtenue,

κ_{α} : (ℤ/nℤ)_{Y (n)}^{2} ↪ E

est la structure universelle au-dessus de Y (n)(α).

Remark 1. Le morphisme Y (n) → μ_{n}^{⋆} est la restriction à Y (n) de la factorisation de Stein du morphisme structural X(n) → Spec ℤ, où X(n) est la compactification classique de Y (n), construite en rajoutant des pointes à l’infini. Cf. [2].

3. Exemple n°2 : La variété de Siegel M_{1,n}^{g}

Il s’agit maintenant de classifier les variétés abéliennes sur ℂ de dimension g munies d’une polarisation principale et d’une structure de niveau n, ou, ce qui revient au même, les quadruplets (Λ, ψ, I, κ) où Λ est un ℤ-réseau de dimension 2g, ψ : Λ × Λ → ℤ une forme symplectique parfaite, I une structure complexe sur

(Λ ⊗ ℝ, ψ_{ℝ}) telle que ψ_{ℝ,I} > 0 et κ : (ℤ/nℤ)^{2g} ⟶^{≃} n^{−1}Λ/Λ.

Tout espace symplectique (Λ, ψ) admet une base de Witt, et il n’y a donc qu’une classe d’isomorphisme, celle de

(Λ, ψ) = (ℤ^{2g}, ( \begin{matrix}& −Id_{g} \\ Id & g \end{matrix} ))

Soit G = Sp(Λ, ψ) le ℤ-groupe algébrique (lisse) des automorphismes de (Λ, ψ), donc Aut(Λ, ψ) = G(ℤ). Puisque G est lisse, le morphisme

G(ℤ) → G(ℤ/nℤ)

est surjectif. Les classes d’isomorphismes de triplets (Λ, ψ, κ) sont indexées par

S = GL_{2g}(ℤ/nℤ)/Sp_{2g}(ℤ/nℤ)

et leur groupe d’automorphisme commun est

Aut(Λ, ψ, κ) = Γ(n) = ker (G(ℤ) → G(ℤ/nℤ)) .

Toutes les structures complexes I sur (Λ⊗ℝ, ψ_{ℝ}) telles que ψ_{ℝ,I} > 0 sont conjuguées sous G(ℝ). En effet, si I_{1} et I_{2} sont deux telles structures, elles définissent avec ψ_{ℝ} deux espaces hermitiens (Λ ⊗ ℝ, I_{j}, H_{j}) avec H_{j} > 0. Ces deux espaces hermitiens sont alors isomorphes, ce qui signifie qu’il existe un isomorphisme ℝ-linéaire g : Λ ⊗ ℝ → Λ ⊗ ℝ tel que H_{2}(gx, gy) = H_{1}(x, y) et gI_{1} = I_{2}g. Puisque imH_{j} = ψ_{ℝ}, g ∈ G(ℝ) et I_{2} = gI_{1}g^{−1}. Finalement,

M(ℂ) = ∐_{S} Γ(n)\X = ∐_{S} Γ(n)\G(ℝ)/K_{I}

où X = G(ℝ) · I et K_{I} est le stabilisateur de I.

Exercise 2. Montrer que

G(ℝ)/K_{I} ≃ GL_{n}(ℂ)\ {ϕ : Λ ↪ ℂ^{g} tel que ψ_{ℝ,ϕ^{−1}∘i∘ϕ} > 0}
≃ {ℤ^{g} + τℤ^{g} : τ ∈ M^{g}(ℂ) τ^{t} = τ et im(τ) > 0}

En déduire que dim M = \frac{1}{2}g(g + 1).

4. Exemple n°3 : Endomorphismes

On se donne une ℚ-algèbre semi-simple B avec une involution ⋆, un ordre O_{B} dans B stable sous ⋆, et on veut classifier les variétés abéliennes sur ℂ de dimension g, munies d’une action de O_{B}, d’une polarisation (O_{B}, ⋆)-linéaire de degré d^{2}, et d’une structure de niveau n naïve. Il revient au même de classifier les quadruplets (Λ, ψ, κ, I) où Λ est un O_{B}-module qui est libre de rang 2g sur ℤ, ψ : Λ × Λ → ℤ une (O_{B}, ⋆)-forme symplectique avec |Λ^{⊥}/Λ| = d^{2}, κ : (ℤ/nℤ)^{2g} ≃ n^{−1}Λ/Λ est un isomorphisme, et I une structure complexe B ⊗ ℝ-linéaire sur (V_{ℝ}, ψ_{ℝ}) telle que ψ_{ℝ,I} > 0 (où V = Λ ⊗ ℚ).

4.1. Décomposition naïve. Regroupant ces quadruplets en fonction de la classe d’isomorphisme des trois premières composantes, on trouve

M(ℂ) = ∐_{(Λ,ψ,κ)/∼} M(Λ, ψ, κ)

où pour chaque (Λ, ψ, κ) vérifiant les trois premières conditions ci-dessus, M(Λ, ψ, κ) est l’ensemble des structures complexes I vérifiant la dernière condition, modulo les automorphismes du triplet (Λ, ψ, κ). Soit G = Aut(Λ, ψ) le ℤ-schéma en groupes des automorphismes (O_{B}-linéaires) de (Λ, ψ). C’est un schéma en groupes de type fini sur ℤ, et le groupe des automorphismes de (Λ, ψ) est le sous-groupe discret Γ = G(ℤ) de G(ℚ) ⊂ G(ℝ). Le stabilisateur de κ dans Γ est le groupe de congruence

Γ(n) = ker (G(ℤ) → G(ℤ/nℤ))

de Γ = Γ(1). Les structures complexes I recherchées sont les éléments de G(ℝ) (i.e. les automorphismes B ⊗ ℝ-linéaires de (Λ_{ℝ}, ψ_{ℝ})) tels que I^{2} = −1 et ψ_{ℝ,I} > 0. Le groupe G(ℝ) agit sur cet ensemble par conjugaison. Regroupant ces structures complexes en fonction de leur classe de G(ℝ)-conjugaison, on trouve donc

M(Λ, ψ, κ) = ∐_{I/∼} Γ(n)\X (I) où X (I) = Ad(G(ℝ)) · I = G(ℝ)/K_{I}

où K_{I} est le commutant de I dans G(ℝ) : c’est un sous-groupe fermé de G(ℝ) qui est contenu dans le groupe spécial orthogonal SO(Λ_{ℝ}, ψ_{ℝ,I}), et qui est donc compact puisque ψ_{ℝ,I} > 0. On a ainsi obtenu une décomposition

M(ℂ) = ∐_{(Λ,ψ,κ)/∼} ∐_{I/∼} Γ(n)\X (I).

Remark 3. Cette décomposition est un homéomorphisme si l’on munit chacun des

Γ(n)\X (I) = Γ(n)\G(ℝ)/K_{I}

de la topologie quotient de celle de G(ℝ). Puisque M est de type fini sur ℤ, M(ℂ) n’a qu’un nombre fini de composantes connexes. On en déduit que l’ensemble des classes d’isomorphismes qui indexe cette décomposition de M(ℂ) est fini.

4.2. Décomposition un peu moins naïve. On regroupe cette fois-ci nos quadruplets en fonction de la classe d’isomorphisme du couple (V, ψ), ce qui nous donne une décomposition

M(ℂ) = ∐_{[V,ψ]} M([V, ψ]).

Fixons [V, ψ]. Soit G = Sp_{B}(V, ψ), c’est un ℚ-groupe algébrique et Aut_{B}[V, ψ] = G(ℚ). On ajoute ensuite (Λ, κ) et I. Le groupe G(𝔸_{f}) agit sur l’ensemble des (Λ, κ) par g(Λ, κ) = (gΛ, gκ) où gΛ = g · Λ̂ ∩ V et

gκ : (g mod n) ∘ κ : (ℤ/nℤ)^{2g} → n^{−1}Λ/Λ = n^{−1}Λ̂/Λ̂ → n^{−1}g · Λ̂/g · Λ̂ = n^{−1}gΛ/Λ.

Le groupe G(ℝ) agit sur l’ensemble des I par conjugaison. On regroupe ces structures en fonction de leur G(𝔸_{f}) × G(ℝ) = G(𝔸)-orbites, ce qui nous donne

M([V, ψ]) = ∐_{X_{f} ,X_{∞}} G(ℚ)\(X_{f} × X_{∞}) où \begin{cases}X_{f} = G(𝔸_{f}) · (Λ, κ) & = G(𝔸_{f})/K_{f} \\ X_{∞} = G(ℝ) · I & = G(ℝ)/K_{I} \end{cases}

où K_{f} est le stabilisateur (ouvert et compact) de (Λ, κ) dans G(𝔸_{f}) et K_{I} le stabilisateur (compact, puisque contenu dans SO(ψ_{ℝ,I})) de I dans G(ℝ). On a donc décomposé M(ℂ) en un produit de

G(ℚ)\ (G(𝔸_{f})/K_{f} × X_{∞}) = G(ℚ)\G(𝔸)/K_{f}K_{I}.

4.3. Conclusion. On voudrait découper dans M des sous-foncteurs ouverts et fermés, dont les ℂ-points seraient une réunion d’un petit nombre de composantes connexes de M(ℂ). Il nous faut pour cela savoir attacher à tout quadruplet (A, ι, λ, κ) de M(S) (sur une base S beaucoup plus générale que Specℂ) des invariants qui, spécialisés à S = Specℂ, déterminent au mieux la classe d’isomorphisme des triplets (Λ, ψ, κ) (auxquels il faut si possible adjoindre la classe de G(ℝ)-conjugaison de I, où G = Aut(Λ, ψ) n’est à priori défini que lorsqu’on a déjà fixé Λ et ψ).

Le point de départ est Λ = H_{1}(A, ℤ) : la théorie cohomologique correspondant à ce H_{1} est la cohomologie de Betti (de la variété topologique sous-jacente à A(ℂ)), qui n’a donc aucun sens à priori sur une base S quelconque. Sur une base générale, on dispose cependant de deux théories cohomologiques qui permettent de palier partiellement à l’absence de Betti : la cohomologie étale - qui apparaîtra plus bas sous le déguisement des modules de Tate T_{p}A, et la cohomologie de de Rham, qui sera de même avantageusement remplacée par l’algèbre LieA.

5. Exemple n°4 : Variétés de type PEL

Soit B une ℚ-algèbre semi-simple avec une involution ⋆, V un B-module de type fini, ψ : V × V → ℚ une forme symplectique induisant ⋆ sur B, G = GSp(V, ψ) le groupe des similitudes symplectiques B-linéaire de (V, ψ), K un sous-groupe ouvert compact de G(𝔸_{f}), et X une G(ℝ)-orbite de structures complexes I sur (V_{ℝ}, ψ_{ℝ}) telle que ±ψ_{ℝ,I} > 0^{5}. On veut classifier les variétés abéliennes A sur ℂ à isogénie près, munies d’une action ι : B → End_{ℂ}^{0}(A), d’une droite ℚλ ⊂ Hom^{0}(A, A^{t}) où λ : A → A^{t} est une polarisation qui est (B, ⋆)-linéaire, et d’une structure de niveau K, i.e. d’une K-orbite d’isomorphismes B-linéaires κ : V̂ → V_{f}A = V_{f}(A, ℂ) qui est compatible modulo le choix d’un isomorphisme 𝔸_{f} ≃ V_{f}μ avec les accouplements

ψ̂: V̂ × V̂ → 𝔸_{f} et ⟨−, −⟩_{f}^{λ} : V_{f}A × V_{f}A → V_{f}μ.

5. La condition ψ_{R,I} > 0 est stable par Sp(V, ψ), mais pas par GSp(V, ψ).

On demande en plus que Lie(A) ≃ (V_{ℝ}, I) comme B ⊗ ℂ-module.

Il revient au même de classifier les quadruplets (W, J, ℚϕ, κK) où W est un B-module de type fini, J une structure complexe sur le B_{ℝ}-module W_{ℝ} telle que (V_{ℝ}, I) ≃ (W_{ℝ}, J) comme B ⊗ ℂ-modules, ϕ : W × W → ℚ une polarisation de (W, J), c’est-à-dire une forme symplectique induisant ⋆ sur B telle que

(1) : ϕ_{ℝ}(Jx, Jy) = ϕ_{ℝ}(x, y) et (2) : ϕ_{ℝ,I} > 0,

et où κ : V̂ → Ŵ est enfin un isomorphisme E-linéaire qui envoie 𝔸_{f}^{×}ψ̂ sur 𝔸_{f}^{×}ϕ̂.

La structure de niveau détermine la classe de ℚ_{p}-similitude des B_{p}-modules symplectiques : (V_{p}, ℚ_{p}^{×}ψ_{p}) ≃ (W_{p}, ℚ_{p}^{×}ϕ_{p}) pour tout nombre premier p. De même, nous verrons plus bas que l’isomorphisme de B ⊗ ℂ-module (V_{ℝ}, I) ≃ (W_{ℝ}, J) et les conditions ±ψ_{ℝ,I} > 0, ϕ_{ℝ,J} > 0 déterminent la classe d’isomorphisme des triplets (V_{ℝ}, I, ±ψ_{ℝ,I}) ≃ (W_{ℝ}, J, ϕ_{ℝ,J}), donc aussi la classe d’isomorphisme des triplets (V_{ℝ}, ±ψ_{ℝ}, I) ≃ (W_{ℝ}, ϕ_{ℝ}, J), et a fortiori la classe de ℝ-similitude des B_{ℝ}-modules symplectiques : (V_{ℝ}, ℝ^{×}ψ_{ℝ}) ≃ (W_{ℝ}, ℝ^{×}ϕ_{ℝ}).

Si les ℚ-similitudes de B-modules symplectiques vérifient le principe de Hasse, les données ci-dessus déterminent donc uniquement la classe d’isomorphisme de (V, ℚ^{×}ψ) ≃ (W, ℚ^{×}ϕ). Il nous reste alors à classifier, modulo Aut(V, ℚ^{×}ψ) = G(ℚ), les données (κK, J) où κ est maintenant un isomorphisme de (V̂, 𝔸_{f}^{×}ψ̂) (i.e. un élément de G(𝔸_{f})) et J une structure complexe sur le B_{ℝ}-module symplectique (V_{ℝ}, ψ_{ℝ}) telle que ±ψ_{ℝ,J} > 0 et (V_{ℝ}, I) ≃ (V_{ℝ}, J) comme B ⊗ ℂ-module. Mais alors à nouveau (V_{ℝ}, I, ±ψ_{ℝ,I}) ≃ (V_{ℝ}, J, ±ψ_{ℝ,J}), donc aussi (V_{ℝ}, I, ±ψ_{ℝ}) ≃ (V_{ℝ}, J, ±ψ_{ℝ}), ce qui signifie qu’existe un automorphisme de (V_{ℝ}, ℝ^{×}ψ_{ℝ}) (i.e. un élément de G(ℝ) !) qui conjugue I et J, donc J ∈ X. Finalement :

M(ℂ) = G(ℚ)\ (G(𝔸_{f})/K × X) .

Si le principe de Hasse est en défaut, on obtient une réunion finie de telles composantes, correspondant à des espaces (W, ℚ^{×}ϕ) qui sont partout localement isomorphes à (V, ℚ^{×}ψ).

Deuxième partie 2. Classification(s)

On se propose ici de décrire, pour F = ℚ, les ensembles suivants : A(F) les classes d’isomorphismes de F -algèbres semi-simples A. Pour tout [A] ∈ A(F), I(A) les classes d’isomorphismes d’involution ⋆ sur A. P(A) les classes d’isomorphismes de A-modules V de F -dimension finie. Pour tout [⋆] ∈ I(A), [V] ∈ P(A) et u dans

U = {u ∈ Z(A)|u^{⋆}u = 1}

où l’on note Z(A) le centre de A, H(A, ⋆, u)(V) les classes d’isomorphismes de formes u-hermitiennes ψ sur V. On en déduira une description de A′(F) les classes d’isomorphismes de F -algèbres semi-simples à involution (A, ⋆), Et, pour tout [A, ⋆] ∈ A′(F), H(A, ⋆, u) les classes d’isomorphismes de (A, ⋆)-espaces u-hermitiens On note également I(A) l’ensemble des involutions de A et H(A, ⋆, u)(V) l’ensemble des formes u-hermitiennes ψ sur V. Les définitions de ces objets et des isomorphismes entre iceux seront données en temps voulu. Dans les énoncés, le corps F sera toujours supposé parfait. Le plus souvent, F sera : un corps fini, un corps local non-archimédien ou archimédien, un corps de nombre, ou un corps algébriquement clos.

Note 4. Tout cela ne devrait guère servir dans la suite du cours !

6. Algèbres semi-simples

On ne donne pas de preuve ici, mais une référence : le cours de Milne [4].

6.1. Décomposition.

Proposition 5. Toute F -algèbre semi-simple A est un produit fini de F -algèbres simples, et toute F -algèbre simple est isomorphe à une algèbre de matrice sur une F -algèbre à division de dimension finie. Donc

A = A_{1} × ⋯ × A_{r} avec A_{i} ≃ M_{n_{i}}(D_{i})

où D_{i} est un corps gauche de centre C_{i}, une extension finie de F.

Corollary 6. Il y a une bijection entre (1) les composantes simples A_{i} de A, (2) les composantes simples Z(A_{i}) ≃ C_{i} du centre Z(A) de A, et (3) les idempotents centraux minimaux 1_{A_{i}} de A.

6.2. Classification. Pour compléter l’étude de A(F), il reste à classifier les F - algèbres à division, ce qui revient à déterminer l’ensemble Br(K) des classes d’isomorphismes de corps gauche de centre K pour toute extension K de F. Dans ce qui suit, on prend K = F.

On dit que deux F -algèbres centrales simples A_{1} et A_{2} sont Brauer, ou Morita équivalentes si A_{1} ≃ M_{n_{1}}(D) et A_{2} ≃ M_{n_{2}}(D) pour un même corps gauche D (de centre Z(D) = F). Cette relation est compatible avec le produit tensoriel, qui munit donc l’ensemble Br(F) des classes d’équivalences de F -algèbre centrale simple d’une structure de monoide, et même de groupe puisque D ⊗ D^{o} ∼ F. Ce groupe admet une interprétation cohomologique

Br(F) ≃ H^{2}(F, G_{m}).

On a Br(F) = 0 si F est fini (théorème de Wedderburn) ou si F est algébriquement clos. La proposition qui suit est intimement liée à la théorie du corps de classe.

Theorem 7. Pour les corps qui nous intéressent :

(1) Si F est un corps local non-archimédien,

H^{2}(F, G_{m}) ← H_{nr}^{2}(F, G_{m}) ← H_{nr}^{1}(F, ℤ) ← H_{nr}^{0}(F, ℚ/ℤ)

induit un isomorphisme inv : Br(F) ≃ ℚ/ℤ. Si [D : F] = d^{2}, alors

invD = \frac{r}{d} mod ℤ avec (r, d) = 1.

(2) Si F est un corps local archimédien,

H^{2}(F, G_{m}) = \begin{cases}\{0\} & si F ≃ ℂ \\ \frac{1}{2}ℤ/ℤ & si F ≃ ℝ \end{cases}

qui donne encore un morphisme inv : Br(F) ↪ ℚ/ℤ.

(3) Si F est un corps global, les morphismes Br(F) → Br(F_{v}) induisent

Br(F) ≃ ker (∑_{v} inv_{v} : ⊕Br(F_{v}) → ℚ/ℤ) .

Corollary 8. Soit A = M_{n}(D) une F -algèbre centrale simple. Les conditions suivantes sont équivalentes : (1) A ≃ A^{opp} comme F -algèbre, (2) 2[A] = 0 dans Br(F),

(3) 2[D] = 0 dans Br(F), (4) D ≃ D^{opp} comme F -algèbre, (5) D = F ou D est un corps de quaternions sur F.

Démonstration. Les implications (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) sont évidentes. Supposons donc (4) et soit d^{2} = [D : F]. Si F est local, invD = \frac{r}{d} mod ℤ avec (r, d) = 1 est tué par 2, donc d = 1 ou 2, d’où (5). Si F est global, on a de même inv_{v}D ∈ \{0, \frac{1}{2}\} mod ℤ pour toute place v de F, et l’ensemble S des places ou inv_{v}D = \frac{1}{2} est pair. Soit B l’algèbre de quaternion sur F telle que RamB = S. Alors [B] = [D] dans Br(F), donc B ≃ D si B est un corps (i.e. S ≠ ∅). Sinon, [B] = 0 = [D], donc D = F car D est un corps, d’où (5). Supposons enfin (5) et notons ⋆ l’identité de D si [D : F] = 1, l’involution canonique de D si [D : F] = 4. Alors M ↦ (M^{⋆})^{t} est une involution F -linéaire de A = M_{n}(D), et cette involution induit en particulier un isomorphisme de F -algèbre A ≃ A^{opp}, d’où (1). □

7. Modules

On fixe une F -algèbre semi-simple A et on se propose de décrire l’ensemble P(A) des classes d’isomorphismes de A-modules (à gauche) de F -dimension finie. Si A = ∏ A_{i}, on a évidemment P(A) = ∏ P(A_{i}). La proposition 5 nous ramène donc immédiatement au cas d’une F -algèbre simple, de la forme A ≃ M_{n}(D) pour un corps gauche D (avec F ⊂ Z(D)). La proposition suivante (un cas particulièrement limpide d’équivalence de Morita) appliquée à a = n et b = 1 montre alors que P(A) ≃ P(D). La théorie de la dimension montre enfin que P(D) ≃ ℕ.

Proposition 9. Soit A = M_{a}(D), B = M_{b}(D), X = M_{b,a}(D), Y = M_{a,b}(D) et

X : Mod(A) ↔ Mod(B) : Y

les foncteurs définis par X (V) = X ⊗_{A} V et Y(W) = Y ⊗_{B} W. Alors X et Y sont des équivalences de catégories quasi-inverses l’une de l’autre.

Démonstration. Le produit matriciel définit des isomorphismes de (A, A) (resp. (B, B)) bimodules α : Y ⊗_{B} X ≃ A et β : X ⊗_{A} Y ≃ B qui induisent à leur tour des isomorphismes d’endofoncteurs

α : Y ∘ X → Id_{Mod(A)} et β : X ⊗ Y → Id_{Mod(B)}

respectivement définis par

(1) α_{V} : Y ⊗_{B} (X ⊗_{A} V) ≃ (Y ⊗_{B} X) ⊗_{A} V ⟶^{α} A ⊗_{A} V ≃ V et

(2) β_{W} : X ⊗_{A} (Y ⊗_{B} W) ≃ (Y ⊗_{A} X) ⊗_{B} W ⟶^{β} B ⊗_{B} W ≃ W.

CQFD. □

Conclusion 10. Si A ≃ ∏_{i=1}^{r} M_{n_{i}}(D_{i}), alors

P(A) ≃ ℕ^{r} via (x_{1}, ⋯, x_{r}) ↦ ⊕_{i=1}^{r}(D_{i}^{n_{i}})^{x_{i}}.

8. Involutions

8.1. Définitions. Une involution d’un anneau A est un morphisme de groupe

⋆ : A → A tel que (ab)^{⋆} = b^{⋆}a^{⋆} et a^{⋆⋆} = a.

On a alors 1_{A}^{⋆} = 1_{A} et ψ : A → A^{o} est un isomorphisme d’anneau. On note I(A) l’ensemble des involutions de A. On définit trois relations d’équivalences sur I(A) :

⋆_{1} ≡ ⋆_{2} si et seulement si il existe un automorphisme intérieur Adα : A → A tel que Adα ∘ ⋆_{1} = ⋆_{2} ∘ Adα.

⋆_{1} ≃ ⋆_{2} si et seulement si il existe un automorphisme intérieur Ada : A → A avec a ∈ A^{×} et a^{⋆_{1}} = a tel que ⋆_{2} = Ada ∘ ⋆_{1}.

⋆_{1} ∼ ⋆_{2} si et seulement si il existe un automorphisme intérieur Ada : A → A avec a ∈ A^{×} tel que ⋆_{2} = Ada ∘ ⋆_{1}.

Dans le premier cas, ⋆_{2} = Ad(αα^{⋆_{1}}) ∘ ⋆_{1} donc ⋆_{1} ≃ ⋆_{2} et bien sur ⋆_{1} ∼ ⋆_{2}. Dans le troisième cas, (Ada ∘ ⋆_{1})^{2} = 1 donc Ad(a^{⋆_{1}}) = Ad(a) i.e. a^{⋆_{1}} = λa avec λ ∈ Z(A^{×}). Puisque λ = a^{⋆_{1}}a^{−1} = a^{−1}a^{⋆_{1}}, on a λ^{c}λ = 1 où c est l’involution de Z(A^{×}) induite par ⋆_{1} ou ⋆_{2} = Ada ∘ ⋆_{1}. La substitution a ↦ \frac{1}{μ}a avec μ ∈ Z(A^{×}) ne change pas ⋆_{2}, mais modifie λ en μ^{1−c}λ. On a donc :

Proposition 11. Pour ⋆_{1}, ⋆_{2} ∈ I(A) :

⋆_{1} ≡ ⋆_{2} ⟹ ⋆_{1} ≃ ⋆_{2} ⟹ ⋆_{1} ∼ ⋆_{2}.

De plus :

(1) Dans la classe d’équivalence de ⋆ pour ≃, les classes d’équivalences de ≡ sont en bijection avec le quotient de {a ∈ A^{×}|a^{⋆} = a} pour la relation d’équivalence a ↔ μα^{⋆}aα, α ∈ A^{×} et μ ∈ Z(A)^{×}, μ^{⋆} = μ.

(2) Dans la classe d’équivalence de ⋆ pour ∼, les classes d’équivalences de ≃ sont en bijection avec un sous-ensemble de

{λ ∈ Z(A^{×})|λ^{c}λ = 1} mod {μ/μ^{c}|μ ∈ Z(A^{×})}

où c = ⋆|Z(A) est la restriction de ⋆ au centre Z(A) de A.

Classifier les involutions sur A signifie : déterminer les classes d’équivalences pour la plus fine de ces relations, à savoir ≡. Pour ce faire, on commence par déterminer les classes d’équivalences pour ∼, puis ≃.

8.2. Décomposition et types. Lorsque A est une F -algèbre semi-simple, tout Z(A)-automorphisme de A est intérieur, donc

Lemma 12. ⋆_{1} ∼ ⋆_{2} ⟺ ⋆_{1} et ⋆_{2} induisent la même involution c sur Z(A).

On note alors I(A, c) l’ensemble des involutions de A qui induisent c sur Z(A). C’est un sous-ensemble de I(A) qui est soit vide, soit une classe d’équivalence pour ∼ (selon que c se prolonge ou non en une involution de A^{6}). Tous les éléments de I(A, c) induisent la même involution c sur l’ensemble des idempotents centraux minimaux, donc la même involution c sur l’ensemble des composantes simples de A. En regroupant ces composantes simples en c-orbites, on voit donc que l’étude de I(A, c) se ramène à l’un des trois cas irréductibles suivants :

6. Attention : c se prolonge toujours en un automorphisme de A!

8.2.1. Type D : A = A_{1} × A_{2} avec A_{1} et A_{2} simples et échangés par c. Soit ⋆ dans I(A, c). Alors ⋆|A_{2} induit un isomorphisme A_{2} ≃ A_{1}^{opp}. Par transport de structure, on peut supposer que A_{2} = A_{1}^{opp} et que cet isomorphisme est l’identité, ce qui nous ramène à A = A_{1} ×A_{1}^{opp} avec ⋆(0, a) = (a, 0) donc ⋆(a, 0) = (0, a) et ⋆(a, b) = (b, a). On en déduit facilement que les trois relations d’équivalences ∼, ≃ et ≡ coincident sur I(A, c). Il n’y a qu’une classe d’équivalence pour chacune de ces relations.

8.2.2. Type I : A est simple et c = Id sur C = Z(A). Soit ⋆_{1}, ⋆_{2} ∈ I(A, Id). Soit a ∈ A^{×} tel que ⋆_{2} = Ad(a) ∘ ⋆_{1}. Alors a^{⋆_{1}} = ϵa avec ϵ ∈ {±1} et

A[⋆_{2} ± Id] = A[⋆_{1} ± ϵId] · a

donc dim_{C} A[⋆_{2} ± Id] = dim_{C} A[⋆_{1} ± ϵId]. Si A = M_{n}(C) et ⋆_{1} est la transposition,

dim_{C} A[⋆_{1} − Id] = \frac{n(n + 1)}{2} > dim_{C} A[⋆_{1} + Id] = \frac{n(n − 1)}{2}.

Puisque toute C-algèbre centrale simple devient isomorphe à M_{n}(C′) sur une extension convenable C′ de C, les classes d’équivalences de ≃ dans I(A, Id) sont

I(A, ±) = {⋆ ∈ I(A, Id)| dim_{C} A[⋆ ∓ Id] > dim_{C} A[⋆ ± Id]}.

Attention : il se peut toutefois que I(A, ±) = ∅!

Proposition 13. Soit A = M_{n}(D) avec Z(A) = Z(D) = C et d^{2} = [D : C].

(1) Si d = 1, I(A, +) ≠ ∅ et (I(A, −) ≠ ∅ ⟺ n ≡ 0 mod 2).
(2) Si d = 2, I(A, +) ≠ ∅ et I(A, −) ≠ ∅. De plus, I(D, −) = {can}.
(3) Si d > 2 et C ∈ {loc, cn}, I(A, +) = I(A, −) = ∅.

Démonstration. Si ⋆ ∈ I(D, ±), alors (m_{i,j}) ↦ (m_{j,i}^{⋆}) ∈ I(A, ±). Si D = C, I(D, +) = {Id} ≠ ∅, qui donne ⋆ ∈ I(A, +) ≠ ∅. Les éléments de I(A, ±) sont alors de la forme Ada ∘ t avec a^{t} = ±a, donc

I(A, −) ≠ 0 ⟺ ∃a ∈ GL_{n}(C)|a^{t} = −a ⟺ n ≡ 0 mod 2.

Si D est un corps de quaternion sur C, l’involution canonique ⋆ = can est dans I(D, −) ≠ ∅. Les éléments de I(D, ±) sont de la forme Add ∘ ⋆ avec d^{⋆} = ∓d. Donc I(D, −) = {can}, I(D, +) = Ad(D_{0}^{×}) · {can} ≠ ∅ où D_{0} = ker(tr : D → C) et D_{0}^{×} = D_{0} − {0}, et I(A, ±) ≠ ∅. Si enfin d > 2 et C est un corps local ou un corps de nombre, alors A ≄ A^{opp} donc I(A, ±) = ∅. □

8.2.3. Type II : A est simple et c ≠ Id sur C = Z(A). Le théorème de Hilbert 90 montre alors que ≃=∼ sur I(A, c).

Proposition 14. Soit A = M_{n}(D) avec Z(A) = Z(D) = C et d^{2} = [D : C]. Soit C_{0} = {x ∈ C|x^{c} = x}.

(1) Si d = 1, I(A, c) ≠ ∅.

(2) Si d > 1 et C est local, I(A, c) = ∅.

(3) Si d > 1 et C est global,

I(A, c) ≠ ∅ ⟺ ∀v_{0} de C_{0} : ∑_{v|v_{0}} inv_{v}C = 0.

Démonstration. Si d = 1, (m_{i,j}) ↦ (m_{j,i}^{c}) ∈ I(A, c) ≠ ∅. En général : si ⋆ ∈ I(A, c), l’isomorphisme semi-linéaire ⋆ : A → A^{opp} induit un isomorphisme de C-algèbres A ⊗_{C,c} C ≃ A^{opp}, donc [A] + c[A] = 0 dans BrC. Si C est local, l’action de c sur BrC est triviale, donc 2[A] = 0 dans BrC, et D = C ou bien D est un corps de quaternions. Dans le second cas, can ∘ ⋆ fournit une donnée de descente sur D/C relativement à SpecC → SpecC_{0} : il existe donc une C_{0}-algèbre (de quaternions) D_{0} telle que D_{0} ⊗_{C_{0}} C ≃ D. Mais alors D ≃ M_{2}(C) puisque [C : C_{0}] = 2, une contradiction. Supposons enfin que C est global. Soit v | v_{0} une place de c. Si cv = c, ⋆ ∈ I(A_{v}, c) ≠ ∅ donc inv_{v}A = 0. Sinon, inv_{v}A + inv_{cv}A = 0. Pour la preuve de l’implication inverse ⇐ dans (3), voir [6], mais nous n’en aurons (presque) pas besoin. □

8.3. Conclusion. On connaît maintenant les classes d’équivalences d’involutions sur A pour ≃, ce que l’on appelle les types d’involution, qui sont donc des produits de types élémentaires D, I(±) ou II(c). On veut ensuite décomposer chacun de ces types en classes d’équivalence pour ≡. Nous verrons plus bas que ce problème est un cas particulier de la classification des formes hermitiennes correspondant à une involution du type donnée.

9. Formes hermitiennes

9.1. Définitions. Soit A un anneau, C = Z(A) le centre de A, ⋆ une involution de A, U = {u ∈ C|u^{c}u = 1} le groupe des unités de (C, c).

Definition 15. Soit V un A-module à gauche. Une forme sesquilinéaire sur V est un morphisme biadditif ψ : V × V → A tel que

∀a, b ∈ A, ∀v, w ∈ V : ψ(av, bw) = aψ(v, w)b^{⋆}.

On note S(A, ⋆)(V) l’ensemble des formes sesquilinéaires sur V. C’est un C-module à gauche muni d’une involution semi-linéaire τ définie par

(τψ)(v, w) = ψ(w, v)^{⋆}.

Definition 16. Soit u ∈ U et V un A-module à gauche. Une forme u-hermitienne sur V est une forme sequilinéaire ψ : V × V → A telle que

(1) τψ = uψ, i.e. ψ(w, v)^{⋆} = uψ(v, w) pour tout v, w ∈ V, et
(2) ψ est non-dégénérée, i.e. ψ(v, −) ≡ 0 ⟺ ψ(−, v) ≡ 0 ⟺ v = 0.

On note H(A, ⋆, u)(V) l’ensemble des formes u-hermitiennes sur V et H(A, ⋆, u) l’ensemble des classes d’isomorphismes d’espace u-hermitien (V, ψ) où V est de type fini sur A.

9.2. Variantes. Supposons que A est une F -algèbre semi-simple, et que F ⊂ C est stable sous ⋆. On note tr = tr_{A/F} : A → F le composé de la trace réduite tr_{A/C} : A → C et de la trace usuelle Tr_{C/F} : C → F.

Lemma 17. C’est une application F -linéaire qui vérifie

(1) tr(ab) = tr(ba),
(2) tr(a−) ≡ 0 ⟺ tr(−a) ≡ 0 ⟺ a = 0,
(3) tr(a^{⋆}) = tr(a)^{⋆}.

Démonstration. Par définition, si A = ∏ A_{i} est la décomposition de A en facteurs simples A_{i} de centre C_{i}, on a

tr_{A/F} = ∑_{i} tr_{A_{i}/F} = ∑_{i} Tr_{C_{i}/F} ∘ tr_{A_{i}/C_{i}}.

Les propriétés (1) et (2) résultent donc des propriétés similaires pour les algèbres centrales simples A_{i}/C_{i}, lesquelles se démontrent par passage à une clôture algébrique de C_{i}. Le même argument montre aussi que tr_{A/F} (a) = tr_{A^{opp}/F} (a) pour tout a ∈ A. Si σ : F → F′ est un isomorphisme de corps et σ : A → A′ un isomorphisme σ-linéaire, on voit de même que

σ ∘ tr_{A/F} = tr_{A′/F′} ∘ σ : A → F′.

Appliquant ceci à ⋆ : A → A^{opp}, on en déduit que

tr_{A/F} (a)^{⋆} = tr_{A^{opp}/F} (a^{⋆}) = tr_{A/F} (a^{⋆})

pour tout a ∈ A. □

Corollary 18. Pour tout A-module V de F -dimension finie, ϕ ↦ tr_{A/F} ∘ ϕ induit un isomorphisme Hom_{A}(V, A) → Hom_{F} (V, F).

Démonstration. C’est F -linéaire et injectif par (2) : il suffit donc de voir que source et but ont même dimension. Or si A ≃ ⊕A_{i} avec A_{i} = M_{n_{i}}(D_{i}) et V = ⊕V_{i} avec V_{i} = V_{i,0}^{r_{i}} où V_{i,0} = D_{i}^{n_{i}}, on a

Hom_{A}(V, A) = ⊕_{i}Hom_{A_{i}}(V_{i}, A_{i}) = ⊕_{i}Hom_{A_{i}}(V_{i,0}, A_{i})^{r_{i}}

et Hom_{A_{i}}(V_{i,0}, A_{i}) ≃ Hom_{D_{i}}(D_{i}, D_{i}^{n_{i}}) = (D_{i}^{opp})^{n_{i}} par Morita, donc

dim_{F} Hom_{A}(V, A) = ∑_{i} r_{i}n_{i} dim_{F} D_{i} = dim_{F} V = dim_{F} Hom_{F} (V, F),

CQFD. □

Munissons Hom_{A}(V, A) de la structure de A-module à gauche définie par

∀a ∈ A et v ∈ V : (aΦ)(v) = Φ(v)a^{⋆}

Puisque tr(Φ(v)a^{⋆}) = tr(a^{⋆}Φ(v)) = tr(Φ(a^{⋆}v)), elle correspond sur Hom_{F} (V, F) à

∀a ∈ A et v ∈ V : (aϕ)(v) = ϕ(a^{⋆}v).

La donnée d’une forme sesquilinéaire Ψ : V ×V → A est équivalente à la donnée d’un morphisme de A-module Φ : V → Hom_{A}(V, A), via Φ(v)(w) = Ψ(w, v), donc à la donnée d’un morphisme de A-module ϕ : V → Hom_{F} (V, F), elle même équivalente à la donnée d’une forme bi-additive ψ : V × V → F, via ϕ(v)(w) = ψ(w, v). On obtient ainsi une bijection Ψ ↦ ψ = tr ∘ Ψ de l’ensemble des formes sesquilinéaires Ψ : V × V → A sur l’ensemble des formes ψ : V × V → F telles que

∀λ_{1}, λ_{2} ∈ F et v, w ∈ V : ψ(λ_{1}v, λ_{2}w) = λ_{1}λ_{2}^{⋆}ψ(v, w)

et

∀a ∈ A et v, w ∈ V : ψ(av, w) = ψ(v, a^{⋆}w).

On note S_{F} (A, ⋆)(V) l’ensemble de ces formes, que l’on appelle aussi sesquilinéaires.

L’involution (τΨ)(v, w) = Ψ(w, v)^{⋆} de S(A, ⋆)(V) correspond à l’involution donnée par la même formule (τψ)(v, w) = ψ(w, v)^{⋆} sur S_{F} (A, ⋆)(V), tandis que la structure de C-module (cΨ)(v, w) = cΨ(v, w) de S(A, ⋆)(V) correspond à la structure (cψ)(v, w) = ψ(cv, w) = ψ(v, c^{⋆}w). L’ensemble H(A, ⋆, u)(V) des formes uhermitiennes Ψ : V × V → A correspond enfin à l’ensemble H_{F} (A, ⋆, u)(V) des formes sesquilinéaires ψ : V × V → F telles que

(1) : ψ(w, v)^{⋆} = ψ(uv, w) et (2) : ψ(v, −) ≡ 0 ⟺ ψ(−, v) = 0 ⟺ v = 0.

9.3. Formes et Involutions. Soit (A, ⋆) comme ci-dessus et V un A-module à gauche de type fini. Pour tout ψ ∈ H(A, ⋆, u)(V), la formule

∀v, w ∈ V : ψ(bv, w) = ψ(v, b^{⋆_{ψ}}w)

définit une involution ⋆_{ψ} de B = End_{A}V.

Proposition 19. Si A est simple de centre C, alors B est simple de centre C et (1) Si ⋆ est de type I(±), alors ψ ↦ ⋆_{ψ} induit une bijection

H(A, ⋆, ϵ)(V) mod C^{×} ≃ I(B, ±ϵ).

(2) Si ⋆ est de type II(c), alors ψ ↦ ⋆_{ψ} induit une bijection

H(A, ⋆, u)(V) mod U ≃ I(B, c).

Dans les deux cas, la relation d’équivalence ≡ sur le terme de droite correspond à la relation ψ ≡ ψ′ si et seulement si il existe un A-isomorphisme de V qui envoie ψ sur un C-multiple de ψ′ (le facteur multiplicatif est alors un élément inversible du sous-corps C_{0} de C fixé par c). Si A = D et V = D^{n}, alors B = M_{n}(D). On obtient ainsi la classification annoncée des involutions :

(1) Pour connaître I(M_{n}(D), ±) modulo ≡, il suffit de déterminer H(D, ⋆, ±ϵ) pour une seule involution ⋆ ∈ I(D, ϵ).

(2) Pour connaître I(M_{n}(D), c) modulo ≡, il suffit de déterminer H(D, ⋆, 1) pour une seule involution ⋆ ∈ I(D, c).

9.4. Décomposition.

Lemma 20. Si (A, ⋆) = ∏(A_{i}, ⋆_{i}), Z(A) = ∏ Z(A_{i}) et u = (u_{i}), alors

H(A, ⋆, u) = ∏_{i} H(A_{i}, ⋆_{i}, u_{i}).

Démonstration. C’est immédiat. □

Cela nous ramène immédiatement, dans la classification des espaces u-hermitiens, à l’un des quatre types élémentaires de (A, ⋆) : D (décomposé), I(±) (simple de première espèce), ou II(c) (simple de seconde espèce).

9.5. Le type D. On suppose que (A, ⋆) = (A_{1} × A_{1}^{opp}, ⋆) avec (a, b)^{⋆} = (b, a) (où A_{1} est une F -algèbre simple). Alors u = (u_{1}, u_{1}^{−1}) avec u_{1} dans le centre C_{1} de A_{1}. Soit V un A-module à gauche. Alors V = V_{1} × V_{1}^{o} où V_{1} et V_{1}^{o} sont respectivement des A_{1} et A_{1}^{opp}-modules à gauche. On regarde V_{1}^{0} comme un A_{1}-module à droite. La donnée d’une forme sesquilinéaire ψ : V × V → A est équivalentes à celles de deux applications

ψ_{1} : V_{1} × V_{1}^{0} → A_{1} et ψ_{1}^{0} : V_{1}^{0} × V_{1} → A_{1}

telles que ψ_{1}(av, wb) = aψ_{1}(v, w)b et ψ_{1}^{0}(wb, av) = aψ_{1}^{0}(w, v)a, via

ψ((v, w), (v′, w′)) = (ψ_{1}(v, w′), ψ_{1}^{0}(w, v′)) ∈ A_{1} × A_{1}^{0}

On a alors (τψ)_{1}(v, w) = ψ_{1}^{0}(w, v) et (τψ)_{1}^{0}(w, v) = ψ_{1}(v, w). Donc ψ est uhermitienne si et seulement si ψ_{1}^{0}(w, v) = u_{1}ψ_{1}(v, w) et

ψ_{1}(v, −) ≡ 0 ⟺ ψ_{1}(−, v) ≡ 0 ⟺ v = 0.

Dans ce cas, ψ_{1} induit un isomorphisme de A_{1}-modules à droite^{7}

v_{1}^{0} ∈ V_{1}^{0} ↦ ψ_{1}(−, v_{1}^{0}) ∈ Hom_{A}(V_{1}, A_{1}).

Par transport de structure, on peut donc supposer que

V_{1}^{0} = Hom_{A}(V_{1}, A_{1}) avec ψ_{1}(v, w) = w(v)

et alors ψ_{1}^{0}(w, v) = u_{1}w(v). On en déduit que

Lemma 21. (V, ψ) ↦ V_{1} induit une bijection H(A, ⋆, u) ≃ P(A_{1}).

9.6. Les types I et II (Morita). On fixe (D, ⋆) et pour tout x, y ∈ ℕ, on note encore ⋆ : M_{x,y}(D) → M_{y,x}(D) l’application (m_{i,j}) ↦ (m_{j,i}^{⋆}). Soient

(1) A = M_{a}(D) muni de ⋆_{A} = Adu_{A} ∘ ⋆ ∼ ⋆ avec u_{A}^{⋆} = ϵ_{A}u_{A}, ϵ_{A} ∈ U,
(2) B = M_{b}(D) muni de ⋆_{B} = Adu_{B} ∘ ⋆ ∼ ⋆ avec u_{B}^{⋆} = ϵ_{B}u_{B}, ϵ_{B} ∈ U.

On considère

(1) X = M_{ba}(D) muni de [,]_{B} : X × X → B où [x_{1}, x_{2}]_{B} = x_{1}u_{A}x_{2}^{⋆}u_{B}^{−1},
(2) Y = M_{ab}(D) muni de [,]_{A} : Y × Y → B où [y_{1}, y_{2}]_{A} = y_{1}u_{B}y_{2}^{⋆}u_{A}^{−1}.

On peut alors étendre les foncteurs de l’équivalence de Morita

X : Mod(A) ↔ Mod(B) : Y X (V) = X ⊗_{A} V et Y(W) = Y ⊗_{B} W

aux catégories d’espaces sesquilinéaires

X : S(A, ⋆_{A}) ↔ S(B, ⋆_{B}) : Y

en posant :

(1) Pour V ∈ Mod(A) et ϕ ∈ S(A, ⋆_{A})(V), X (ϕ) : X (V) × X (V) → B est
X (ϕ)(x_{1} ⊗ v_{1}, x_{2} ⊗ v_{2}) = [x_{1}ϕ(v_{1}, v_{2}), x_{2}]_{B}.

(2) Pour W ∈ Mod(B) et ψ ∈ S(B, ⋆_{B})(W), Y(ψ) : Y(V) × Y(V) → A est

Y(ϕ)(y_{1} ⊗ w_{1}, y_{2} ⊗ w_{2}) = [y_{1}ψ(w_{1}, w_{2}), y_{2}]_{B}.

On vérifie aisément que

X (τϕ) = ϵ_{A}ϵ_{B}τX (ϕ) et Y(τψ) = ϵ_{A}ϵ_{B}τY(ψ).

On en déduit que pour V ↔ W, les constructions ci-dessus induisent des bijections

H(A, ⋆_{A}, uϵ_{A}) ↔ H(B, ⋆_{B}, uϵ_{B})

pour tout u dans U = {u ∈ Z(D)|u^{c}u = 1}.

7. C’est le seul endroit où l’on a besoin des hypothèses de finitudes - de A_{1} et V sur F - pour ramener cette question à un calcul de F -dimension.

9.7. Les types I et II (Classification). D’après les résultats qui précèdent, il ne nous reste plus qu’à étudier les cas suivants (où loc=corps local non-archimédien et cn=corps de nombre) :

(1) Q(F) = H(F, 1, 1) pour F ∈ {loc, ℝ, ℂ, cn},

(2) A(F) = H(F, 1, 1) pour F ∈ {loc, ℝ, ℂ, cn},

(3) Q(B) = H(B, can, 1) pour B/F corps de quaternions, F ∈ {loc, ℝ, cn},

(4) A(B) = H(B, can, −1) pour B/F corps de quaternions, F ∈ {loc, ℝ, cn},

(5) H(K) = H(K, c, 1) pour K/F quadratique avec F ∈ {loc, ℝ, cn},
(6) H(D) = H(D, ⋆, 1) pour D/K/F centrale simple avec F ∈ {cn}.

Mentionnons quelques principes généraux :

(1) Toutes les formes admettent des décompositions de Witt : hyperbolique + anisotrope. Cela permet de définir l’index de Witt.

(2) Toutes les formes sont diagonalisables, sauf pour A(F). Cela permet de calculer/définir le déterminant (ou le discriminant), ainsi que d’autres invariants : signature, invariants de Hasse...

(3) Toutes les formes vérifient le principe de Hasse, sauf A(D). Donnons enfin la liste des invariants qui permettent de classifier toutes ces formes.

9.7.1. Pour A(F). Le rang suffit. C’est le double de l’index.

9.7.2. Pour Q(F). C’est le cas le plus classique, très lié à la théorie du corps de classe. Les invariants sont

F = ℝ rang, signature
F = ℂ rang
F = loc rang, discriminant, Hasse
F = cn rang, discriminant, Hasse, signatures

9.7.3. Pour H(K). C’est encore très classique, et cela résulte du théorème de Jacobson, qui dit qu’une forme K-hermitienne est déterminée par la forme quadratique sous-jacente. Les invariants sont :

F = ℝ rang, signature
F = loc rang, discriminant
F = cn rang, discriminant, signatures

9.7.4. Pour Q(D). C’est moins classique. Le théorème de Jacobson dit maintenant qu’une forme D-hermitienne est déterminée par la forme quadratique sous-jacente. Les invariants sont :

F = ℝ rang, signature
F = loc rang
F = cn rang, signatures

9.7.5. Pour A(D). Le principe de Hasse est en défaut, et la classification sur un corps de nombre est donc plus difficile. Les invariants sont

F = ℝ rang
F = loc rang, discriminant
F = cn ? ? ?

9.7.6. Pour H(D). Cela ne fait sens que sur un corps de nombre. Les invariants sont le rang, les signatures aux places où K/F = ℂ/ℝ, et le discriminant.

10. Conditions de Positivité

10.1. Les ℝ-algèbres simples. Il y a M_{n}(ℝ), M_{n}(ℂ) et M_{n}(ℍ) où ℍ est le corps de quaternions.

10.2. Les formes hermitiennes élémentaires. Le tableau suivant liste les classes d’isomorphismes d’espaces hermitiens (V, ψ) ∈ H(D, ⋆, ±1) dans les situations élémentaires. Les représentants sont donnés sous la forme V =D-espace vectoriel des vecteurs lignes à n-coefficients dans D et ψ(X, Y) = XMY^{⋆t} avec M ∈ M_{n}(D).

Nom H(D, ⋆, u) Formes XMY^{⋆t} Rang  Invariants
A(ℝ) H(ℝ, Id, −1)  M = J_{m}  n = 2m  index m
A(ℂ) H(ℂ, Id, −1)  M = J_{m}  n = 2m  index m
A(ℍ) H(ℍ, can, −1)  M = jI_{n}  n  rang n
Q(ℝ) H(ℝ, Id, 1)  M = I_{p,q}  n = p + q signature (p, q)
Q(ℂ) H(ℂ, Id, 1)  M = I_{n}  n  rang n
Q(ℍ) H(ℍ, can, 1)  M = I_{p,q}  n = p + q signature (p, q)
H(ℂ) H(ℂ, can, 1)  M = I_{p,q}  n = p + q signature (p, q)

L’élément j de ℍ vérifie j^{2} = −1 et les matrices sont

J_{m} = ( \begin{matrix}0 & −I_{m} \\ +I_{m} & 0 \end{matrix} ) I_{p,q} = ( \begin{matrix}+I_{p} & 0 \\ 0 & −I_{q} \end{matrix} )

La démonstration se fait comme suit.

Pour A(ℝ) et A(ℂ), les espaces considérés admettent des décompositions de Witt, V = ⊥_{k=1}^{n}De_{k}⊕De_{−k} avec ψ(e_{k}, e_{−k}) = 1. Dans tous les autres cas, ils admettent des décompositions orthogonales : V = ⊥_{k=1}^{n}De_{k}. Posons α_{k} = ψ(e_{k}, e_{k}) ≠ 0. La substitution e_{k} ↦ de_{k} change α_{k} en dα_{k}d^{⋆}. Dans le cas A(ℍ), α_{k}^{⋆} = −α_{k}, donc α_{k}^{2} = −nrα_{k} < 0 et l’on peut changer chaque α_{k} en j ∈ ℍ. Pour les quatre derniers cas, on a α_{k}^{⋆} = α_{k}, que l’on peut changer en 1 dans le cas Q(ℂ), et en ±1 dans les trois autres cas Q(ℝ), Q(ℍ) et H(ℂ).

10.3. Les classes d’équivalences d’involutions. On en déduit que les classes d’équivalences de paires élémentaires (A, ⋆) sont données par (1) les types D, i.e. (A_{1} × A_{1}^{opp}, ⋆) pour A_{1} = M_{n}(ℝ), M_{n}(ℂ) ou M_{n}(ℍ) et (a, b)^{⋆} = (b, a), et (2) les autres :

nom A Type Involution Invariants
A(ℝ) M_{2m}(ℝ) I(−) AdJ_{m} ∘ (M ↦ M^{t})  rang 2m
A(ℂ) M_{2m}(ℂ) I(−) AdJ_{m} ∘ (M ↦ M^{t})  rang 2m
A(ℍ) M_{n}(ℍ) I(+) AdjI_{n} ∘ (M ↦ \overline{M}^{t})  rang n
Q(ℝ) M_{n}(ℝ) I(+) AdI_{p,q} ∘ (M ↦ M^{t}) signature {p, q}
Q(ℂ) M_{n}(ℂ) I(+) M ↦ M^{t} rang n
Q(ℍ) M_{n}(ℍ) I(−) AdI_{p,q} ∘ (M ↦ \overline{M}^{t}) signature \{p, q\}
H(ℂ) M_{n}(ℂ) II(c) AdI_{p,q} ∘ (M ↦ \overline{M}^{t}) signature \{p, q\}

Le nom est ≃ H(A, ⋆) par équivalence de Morita.

10.4. Formes et involutions positives. Pour tout (A, ⋆) et ψ ∈ H(A, ⋆)(V), on peut former

ψ_{ℝ} = Tr_{A/ℝ} ∘ ψ ∈ H_{ℝ}(A, ⋆)(V)

puis oublier la structure de A-module sur V pour obtenir

ψ_{ℝ} ∈ H_{ℝ}(ℝ, ⋆)(V) = Q(ℝ)(V)

i.e. une forme quadratique sur V.

Definition 22. On dit que ψ > 0 ssi cette forme quadratique est définie positive.

D’autre part, (a, b) ↦ ab^{⋆} est un élément canonique ψ(⋆) de H(A, ⋆)(A). Ce qui nous conduit à la définition :

Definition 23. On dit que ⋆ > 0 ssi ψ(⋆) > 0, i.e. Tr_{A/ℝ}(aa^{⋆}) > 0 pour tout a ≠ 0.

On se propose de démontrer :

Proposition 24. Les conditions suivantes sur (A, ⋆) sont équivalentes : (1) Il existe [V, ψ] ∈ H(A, ⋆, 1) avec V fidèle et ψ > 0,

(2) L’involution ⋆ est positive,

(3) L’algèbre à involution (A, ⋆) est un produit de facteurs du type

(M_{n}(ℝ), ⋆) (M_{n}(ℂ), ⋆) et (M_{n}(ℍ), ⋆)

avec (m_{i,j})^{⋆} = (\overline{m}_{j,i}). Si ces conditions sont vérifiées, alors pour tout V, il existe une et une seule classe d’isomorphisme de ψ > 0 dans H(A, ⋆)(V).

Démonstration. (1) ⟺ (2) : Il est clair que (2) ⇒ (1). Inversement, soit [V, ψ] ∈ H(A, ⋆) avec V fidèle et ψ > 0. Pour tout A-module simple W, il existe un plongement W ↪ V. Son orthogonal W′ pour ψ est alors un supplémentaire de W dans V. On en déduit que V est une somme directe orthogonale de (V_{i}, ψ|V_{i}) avec V_{i} un A-module simple, et que chaque A-module simple est isomorphe à au moins un des V_{i}. Soit maintenant 0 ≠ a ∈ A et α = aa^{⋆}. Alors α|V_{i} est auto-adjoint, donc diagonalisable dans une ℝ-base orthonormée e_{1}, ⋯, e_{r} de (V_{i}, ψ_{ℝ}|V_{i}), et de trace tr_{ℝ}(α|V_{i}) = ∑ ψ_{ℝ}(αe_{i}, e_{i}) = ∑ ψ_{ℝ}(ae_{i}, ae_{i}). Chacun des termes est ici positif, et ils sont tous nuls si et seulement si a|V_{i} = 0. Puisque V est fidèle et a ≠ 0, on voit donc que pour tout A-module simple, tr_{ℝ}(α|W) ≥ 0 avec tr_{ℝ}(α|W) > 0 pour au moins un W. Mais tr_{A/ℝ}(α) est une combinaison linéaire à coefficient entier > 0 des tr_{ℝ}(α|W), donc tr_{A/ℝ}(α) > 0.

(2) ⟺ (3) : Si (A, ⋆) = ∏(A_{i}, ⋆_{i}), alors ⋆ > 0 ⟺ (∀i : ⋆_{i} > 0). On est donc ramené à l’un des cas suivants :

– (A, ⋆) = (A_{1} × A_{1}^{opp}, ⋆) avec (a, b)^{⋆} = (b, a). Soit a_{1} ≠ 0 dans A_{1} et a = (a_{1}, 0) ≠ 0 dans A. Alors aa^{⋆} = 0 donc ⋆ ≯ 0.

– (A, ⋆) = (End_{D}V, ⋆_{ψ}) pour ψ ∈ H(D, ⋆)(V) avec

(D, ⋆) ∈ (ℝ, Id), (ℂ, can), (ℍ, can), (ℂ, Id), (ℍ, ≠ can).

Dans tous ces cas, (V, ψ) admet une décomposition en droite :

(V, ψ) = ⊥(D, ϵ_{i}xy^{⋆}) avec ϵ_{i} ∈ {±1}.

Si a ∈ A préserve cette décomposition, i.e. a = (d_{i}), on a donc

tr_{A/ℝ}(aa^{⋆}) = tr_{ℝ}(aa^{⋆}|V) = ∑ ϵ_{i}tr_{D/ℝ}(d_{i}d_{i}^{⋆}).

On en déduit que ⋆ > 0 si et seulement si – ⋆ > 0 sur D, i.e. (D, ⋆) ∈ (ℝ, Id), (ℂ, can), (ℍ, can) et

– tous les ϵ_{i} sont égaux à 1 Ce qui démontre bien que (2) ⟺ (3).

Supposons enfin que (A, ⋆) > 0 et montrons que l’application

R : H(A, ⋆) → P(A) [V, ψ] ↦ [V]

induit une bijection

R^{>} : H^{>}(A, ⋆) ⟶^{≃} P(A).

On se ramène aux trois cas élémentaires de (3), pour lesquels la signature donne H(A, ⋆) ≃ ℕ × ℕ avec H^{>}(A, ⋆) = ℕ × {0}, le rang P(A) ≃ ℕ, avec R(p, q) = p + q. Donc R^{>} : (n, 0) ↦ n est bien une bijection. □

10.5. Polarisations. On veut maintenant classifier les triplets (V, ψ, I) où [V, ψ] ∈ H_{ℝ}(A, ⋆, −1) et I est une structure complexe sur V compatible avec ψ. C’est-à-dire, I ∈ End_{A}V, I^{2} = −1 et ψ(Iv, Iw) = ψ(v, w). La donnée de I est équivalente à celle d’un morphisme d’anneau h : ℂ → End_{A}V (donné par h(a + bi) = a + bI) tel que ψ(h(z)v, w) = ψ(v, h(\overline{z})w). Elle fournit aussi d’autres structures :

(1) V devient un A ⊗ ℂ-module V_{I},
(2) ψ(v, w) est dans H_{ℝ}(A ⊗ ℂ, ⋆ ⊗ c, −1)(V_{I}),
(3) ψ_{I}(v, w) = ψ(Iv, w) est dans H_{ℝ}(A ⊗ ℂ, ⋆ ⊗ c, 1)(V_{I})
(4) Ψ_{I}(v, w) = ψ_{I}(v, w) + iψ(v, w) est dans H_{ℂ}(A ⊗ ℂ, ⋆ ⊗ c, 1)(V_{I})

Les données (V, I, ψ), (V_{I}, ψ), (V_{I}, ψ_{I}) et (V_{I}, Ψ_{I}) sont équivalentes, de sorte que nos triplets sont classifiés par :

H_{ℝ}(A ⊗ ℂ, ⋆ ⊗ c, −1) ≃ H_{ℝ}(A ⊗ ℂ, ⋆ ⊗ c) ≃ H_{ℂ}(A ⊗ ℂ, ⋆ ⊗ c)

(c’est évident sur les formules, mais on peut aussi utiliser des arguments plus sophistiqués : le premier isomorphisme est un cas particulier d’équivalence de Morita, le second un cas particulier de trace H ≃ H_{ℂ} ≃ H_{ℝ}).

Definition 25. Un triplet (V, ψ, I) est positif ssi ψ_{I} > 0 ⟺ Ψ_{I} > 0.

L’existence d’un seul triplet positif fidèle implique donc que (A, ⋆) > 0. Nous ferons maintenant cette hypothèse. La dernière assertion de la proposition 24 appliquée à (A ⊗ ℂ, ⋆ ⊗ c) dit que sur tout A ⊗ ℂ-module V_{I}, il existe une unique classe d’isomorphisme de ψ_{I}. En particulier :

Proposition 26. Soient (V, ψ, I) et (V′, ψ′, I′) deux triplets > 0. Alors

(V, I) ≃ (V′, I′) ⟺ (V, ψ, I) ≃ (V′, ψ′, I′).

De plus, toute paire (V, I) peut être complétée en un triplet (V, ψ, I) > 0.

Nous aurons en outre besoin de la proposition suivante :

Proposition 27. Soient (V, ψ, I) et (V′, ψ′, I′) deux triplets > 0. Alors

(V, ψ) ≃ (V′, ψ′) ⟺ (V, ψ, I) ≃ (V′, ψ′, I′).

De plus, toute paire (V, ψ) peut être complétée en un triplet (V, ψ, I) > 0.

Démonstration. Il s’agit de voir que l’application d’oubli de la ℂ-structure

R : H_{ℝ}(A ⊗ ℂ, ⋆ ⊗ c, −1) → H_{ℝ}(A, ⋆, −1) [V_{I}, ψ] ↦ [V, ψ]

induit une bijection

R^{>} : H_{ℝ}^{>}(A ⊗ ℂ, ⋆ ⊗ c, −1) ⟶^{≃} H_{ℝ}(A, ⋆, −1).

On se ramène immédiatement aux cas élémentaires où

(A, ⋆) ∈ {(M_{n}(ℝ), can), (M_{n}(ℂ), can), (M_{n}(ℍ), can)}

et par une équivalence de Morita au cas où n = 1.

(1) Si (A, ⋆) = (ℝ, Id), (A ⊗ ℂ, ⋆ ⊗ c) = (ℂ, c). Alors : (a) (V_{I}, ψ) est classifié par la signature (2p, 2q) de (V_{I}, ψ_{I}) ∈ Q(ℝ) et (V_{I}, ψ) > 0 ⟺ q = 0 ;

(b) (V, ψ) est classifié par l’index 2m = dim_{ℝ} V ; (c) R s’identifie à (p, q) ↦ m = p + q. Donc R^{>} : (p, 0) ↦ p est une bijection.

(2) Si (A, ⋆) = (ℂ, c), (A ⊗ ℂ, ⋆ ⊗ c) ≃ (ℂ, c) × (ℂ, c) via z_{1} ⊗ z_{2} ↦ (z_{1}z_{2}, \overline{z}_{1}z_{2}). Alors : (a) (V_{I}, ψ) = (V_{I}^{(1)}, ψ^{(1)})⊕(V_{I}^{(2)}, ψ^{(2)}) est classifié par les signatures (2p^{(1)}, 2q^{(1)}) et (2p^{(2)}, 2q^{(2)}) de ψ_{I}^{(1)} et ψ_{I}^{(2)} ∈ Q(ℝ), et (V_{I}, ψ) > 0 ssi q^{(1)} = q^{(2)} = 0 ; (b) (V, ψ) est classifié par les signatures (p, q) de iψ; et (c) R s’identifie à ((p^{(1)}, q^{(1)}), (p^{(2)}, q^{(2)})) ↦ (p^{(1)} + q^{(2)}, q^{(1)} + p^{(2)}). Donc R^{>} : ((p^{(1)}, 0), (p^{(2)}, 0)) ↦ (p^{(1)}, p^{(2)}) est une bijection.

(3) Si (A, ⋆) = (ℍ, can), (A ⊗ ℂ, ⋆ ⊗ c) ≃ (M_{2}(ℂ), can). Alors (a) (V_{I}, ψ) est classifié par les signatures (4p, 4q) de (V_{I}, ψ_{I}) ∈ Q(ℝ) et (V_{I}, ψ) > 0 ssi q = 0 ; (b) (V, ψ) est classifié par le rang 4m = dim_{ℝ} V ; et (c) R s’identifie à (p, q) ↦ m = p + q. Donc R^{>} : (p, 0) ↦ p est une bijection.

CQFD. □

Corollary 28. Fixons [V, ψ] ∈ H(A, ⋆, −1). Soit G = Aut_{A}(V, ψ). Alors l’ensemble X des I tels que (V, ψ, I) > 0 est une classe de G(ℝ)-conjugaison dans G(ℝ).

Démonstration. Pour tout triplet (V, ψ, I), on a ψ(Ix, Iy) = ψ(x, y) donc I ∈ G(ℝ). Si (V, ψ, I_{1}) et (V, ψ, I_{2}) sont positifs, il existe un isomorphisme α : (V, ψ, I_{1}) → (V, ψ, I_{2}), donc α ∈ G(ℝ) et α ∘ I_{1} = I_{2} ∘ α, i.e. I_{2} = αI_{1}α^{−1} dans G(ℝ). □

Donnons enfin une description concrète des ensembles X ainsi obtenus. En décomposant (A, ⋆) en composantes simples et en utilisant une nouvelle fois l’équivalence de Morita, on voit que X est un produit des espaces élémentaires suivants :

Type I(+). Si (A, ⋆) = (ℝ, Id), (V, ψ) est un ℝ-espace symplectique et G ≃ Sp_{2n}. Soit B = (e_{1}, e_{−1}, ⋯, e_{n}, e_{−n}) une base symplectique de (V, ψ) et I = I(B) l’endomorphisme de V défini par Ie_{k} = sign(k)e_{−k}.Alors I ∈ X et le stabilisateur de I dans G(ℝ) est le groupe des ℂ-automorphismes de V_{I} qui préservent ψ, ou ψ_{I}, ou Ψ_{I} : c’est donc le groupe unitaire de (V_{I}, Ψ_{I}), qui est compact puisque Ψ_{I} > 0. On a donc

X = G(ℝ) · I = {I(B)|B base symplectique}
≃ Sp(2n)/U(n).

Type II. Si (A, ⋆) = (ℂ, c), Aut(V, ψ) = Aut(V, Ψ) où Ψ(v, w) = ψ(iv, w)+iψ(v, w), donc G ≃ U(p, q) où (p, q) est la signature de (V, Ψ). Soit V = V_{+}⊥V_{−} une décomposition de V avec Ψ|V_{+} > 0 et Ψ|V_{−} < 0. Soit I = I(V_{+}) l’endomorphisme ℂ-linéaire de V qui est la multiplication par ±i sur V_{±}. Alors I ∈ X et le stabilisateur de I dans G(ℝ) est U(V_{+}) × U(V_{−}) ≃ U(p) × U(q), donc

X = G(ℝ) · I = {I(V_{+})|Ψ|V_{+} > 0 et Ψ|V_{+}^{⊥} < 0}
≃ U(p, q)/U(p) × U(q).

Type I(-). Si (A, ⋆) = (ℍ, can), choisissons i ∈ ℍ avec i^{2} = −1. Soit B = (e_{1}, ⋯, e_{n}) une (i, ℍ)-base, i.e. une ℍ-base orthogonale de V telle que ψ(h_{1}e_{k}, h_{2}e_{k}) = tr_{H/R}(h_{1}ih_{2}^{⋆}) pour tout k. Soit I = I(B) l’endomorphisme ℍ-linéaire de (V, ψ) qui envoie e_{k} sur −ie_{k}. Alors I ∈ X et

X = G(ℝ) · I = {I(B)|B (i, ℍ) − base}.

10.6. Les cas simples. On décrit (1) les ℚ-algèbres simples à involutions (B, ⋆) tels que ⋆_{ℝ} > 0 sur B_{ℝ}, (2) les invariants qui classifient H(B, ⋆, −), (3) les espaces X = G(ℝ) · I. On part de la classification déjà établie.

Q(F): B = M_{n}(F) avec ⋆ = ⋆_{ϕ} pour ϕ ∈ Q(F). Alors F est totalement réel, H(B, ⋆, −1) ≃ A(F) est classifié par le rang et X est un produit de [F : ℚ] espaces de type I(+).

A(D): B = M_{n}(D) avec ⋆ = ⋆_{ϕ} pour ϕ ∈ A(D), D/F quaternionique. Alors F est totalement réel, D totalement indéfini, H(B, ⋆, −1) ≃ Q(D) est classifié par le rang et X est un produit de [F : ℚ] espaces de type I(+).

A(F): ce cas est exclu, il n’y a pas d’involution positive. Heureusement, puisque c’est le seul cas ou les invariants plus subtils de type Hasse sont requis pour la classification de H(B, ⋆, −) ≃ Q(F).

Q(D): B = M_{n}(D) avec ⋆ = ⋆_{ϕ} pour ϕ ∈ Q(D), D/F quaternionique. Alors F est totalement réel, D totalement défini, H(B, ⋆, −1) ≃ A(D) est... problématique, car ne vérifie pas le principe de Hasse, et X est un produit de [F : ℚ]-espaces de type I(−).

H(K): B = M_{n}(K) avec ⋆ = ⋆_{ϕ} pour ϕ ∈ H(K). Alors K est une extension CM de F, H(B, ⋆, −) ≃ H(K) est classifiée par rang, discriminant et signatures, et X est un produit de [F : ℚ]-espaces de type II.

H(D): B = M_{n}(D) avec ⋆ = ⋆_{ϕ} pour ϕ ∈ H(D). Alors K est une extension CM de F, H(B, ⋆, −) ≃ H(D) est classifiée par rang, discriminant et signatures, et X est un produit de [F : ℚ]-espaces de type II.

Références

[1] J. Dieudonné, A. Grothendieck, Eléments de Géométrie algébriques, Publications de L’IHES.

[2] Katz, B. Mazur, Moduli of Elliptic Curves.

[3] Kottwitz, Zeta functions of some simple Shimura Varieties.

[4] J. Milne, Class Field Theory Course.

[5] D. Mumford, Abelian Varieties.

[6] W. Scharlau

[7] C. Voisin, Théorie de Hodge et Géométrie Algébrique Complexe.

[8] J. Tate, Finite Flat Group Schemes