THÉORIE DE LA MULTIPLICATION COMPLEXE

Table des matières

1. Schémas abéliens à multiplications complexe 2 1.1. Complément sur la caractéristique d’Euler-Poincaré 2 1.2. Compléments sur Hom_{k}^{0}(A, B). 2 1.3. Schémas abéliens à multiplication complexe 3 1.4. Variétés abéliennes CM et points complexes 4 1.5. Propriétés de Bonne Réduction 5 1.6. Groupes de Mumford-Tate 7 1.7. Conclusion 7 2. La Multiplication Complexe sur ℂ 7 2.1. Les ℚ-algèbres CM 7 2.2. Classification sur ℂ 8 2.3. Le corps réflexe 9 3. Le théorème principal de la multiplication complexe 10 3.1. Les ℚ-tores 10 3.2. L’action de Aut(ℂ) sur H(E) 11 3.3. Le morphisme r_{Φ} : Gal_{E(Φ)}^{ab} → T_{E}(ℚ)\T_{E}(𝔸_{f}) 12 3.4. La théorie du corps de classe 13 3.5. La norme réflexe N_{Φ} : T_{E(Φ)} → T_{E}. 14 3.6. Le théorème principal de la multiplication complexe 15 4. La preuve du Théorème Principal 16 4.1. Le formalisme des “𝔞-transforms” 16 4.2. La formule de Giraud 17 4.3. La formule de Shimura-Taniyama 18 4.4. Preuve du théorème principal 19 Références 23

On se propose dans cette quatrième partie du cours d’étudier en détail une certaine classe de problèmes de module de type PEL qui est très remarquable à plus d’un titre :

(1) Les variétés abéliennes que l’on classifie sont distinguées dans la catégorie de toutes les variétés abéliennes par une propriété de maximalité : ce sont les variétés abéliennes de type CM.

(2) Les schémas qui classifient ces variétés abéliennes de type CM sont finis : ce sont les variétés de Shimura de dimension 0.

(3) Les groupes réductifs qui apparaissent dans la description des points com-

plexes de ces variétés sont commutatifs : ce sont des tores. Dans la cinquième partie du cours, nous verrons que la théorie des variétés de Shimura s’appuie de manière essentielle sur la théorie de la multiplication complexe.

1. Schémas abéliens à multiplications complexe

1.1. Complément sur la caractéristique d’Euler-Poincaré. Soit k un corps, X un schéma propre sur k, C(X) la catégorie exacte des faisceaux cohérents sur X, C_{r}(X) la sous-catégorie pleine épaisse des faisceaux dont le support est de dimension inférieure ou égale à r, G(X) = K_{0}(C(X)) le groupe de Grothendieck de C(X), G_{r}(X) ⊂ G(X) le sous-groupe image de K_{0}(C_{r}(X)), et χ : G(X) → ℤ le morphisme de groupe induit par la caractéristique d’Euler-Poincaré. Pour L ∈ Pic(X), on note [L] ∈ Aut(G(X)) l’isomorphisme induit par F ↦ F ⊗ L et c(L) ∈ End(G(X)) le morphisme définit par c(L) = Id − [L]^{−1}, qui est induit par F ↦ F − L^{−1} ⊗ F.

Puisque c(L) (G_{r}(X)) ⊂ G_{r−1}(X) pour tout r ≥ 0 (avec G_{−1}(X) = {0}), l’endomorphisme c(L) de G(X) = G_{dim(X)}(X) est nilpotent, donc pour tout m ∈ ℤ,

[L]^{m} = (1 − c(L))^{−m} = (1 + c(L) + c(L)^{2} + ⋯)^{m} = ∑_{i≥0} ( \begin{matrix}m+i−1 \\ i \end{matrix} ) c(L)^{i}

dans End(G(X)). Pour L_{1}, ⋯, L_{s} dans Pic(X) et m_{1}, ⋯, m_{s} ∈ ℤ, on a alors

[L_{1}]^{m_{1}} ∘ ⋯ ∘ [L_{s}]^{m_{s}} = ∑_{i_{1},··· ,i_{s}≥0} ( \begin{matrix}m_{1}+i_{1}−1 \\ i_{1} \end{matrix} ) ⋯ ( \begin{matrix}m_{s}+i_{s}−1 \\ i_{s} \end{matrix} ) c(L_{1})^{i_{1}} ⋯ c(L_{s})^{i_{s}}

donc pour tout faisceau cohérent F sur X,

X (F ⊗ L_{1}^{m_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ L_{s}^{m_{s}}) = ∑_{i_{1},··· ,i_{s}≥0} a_{i_{1},··· ,i_{s}}(F) ( \begin{matrix}m_{1}+i_{1}−1 \\ i_{1} \end{matrix} ) ⋯ ( \begin{matrix}m_{s}+i_{s}−1 \\ i_{s} \end{matrix} )

où a_{i_{1},··· ,i_{s}}(F) = χ (c(L_{1})^{i_{1}} ∘ ⋯ ∘ c(L_{s})^{i_{s}}(F)) = 0 si max(i_{1}, ⋯, i_{s}) > dim(F). C’est une variante du lemme de Snapper, cf [3].

1.2. Compléments sur Hom_{k}^{0}(A, B). Soit k un corps (parfait).

Lemma 1. La fonction ϕ ↦ deg ϕ sur End_{k}(A) s’étend en une fonction

deg : End_{k}^{0}(A) → ℚ

qui est polynomiale de degré 2g où g = dim A.

Démonstration. [1, §19, Theorem 2] Puisque deg(nα) = n^{2g}α, il suffit de voir que pour tout α et β dans End_{k}(A), la fonction n ↦ deg(nα + β) est polynomiale. Choisissant un faisceau inversible L ample sur A, on sait que

χ(L) · deg(nα + β) = χ((nα + β)^{∗}L) et χ(L) = dim_{k} H^{0}(A, L) ≠ 0.

Posant L_{n} = (nα + β)^{∗}L, il nous faut donc vérifier que n ↦ χ(L_{n}) est polynomiale. D’après le théorème du cube appliqué à (nα + β), α et α : A → A (bis),

L_{n+2} ⊗ L_{n} ⊗ α^{∗}L^{2} = L_{n+1}^{2} ⊗ (2α)^{∗}L.

On en déduit que L_{n} = X1^{\frac{n(n−1)}{2}} ⊗ X_{2}^{n} ⊗ X_{3} où X_{1} = (2α)^{∗}L ⊗ α^{∗}L^{−2} ∼ α^{∗}L^{2},

X_{2} = L_{1} ⊗ L_{0}^{−1} et X_{3} = L_{0} = β^{∗}L, donc

χ(L_{n}) = ∑_{i,j≥0} a_{i,j}(X_{3}) ( \begin{matrix}\frac{n(n−1)}{2} +i−1 \\ i \end{matrix} ) ( \begin{matrix}n+j−1 \\ j \end{matrix} )

avec a_{i,j}(X_{3}) = χ(c(X_{1})^{i} ∘ c(X_{2})^{j}(X_{3})) = 0 si max(i, j) ≥ g = dim_{k}(A). □

Corollary 2. Pour tout sous-groupe M de Hom_{k}(A, B) de type fini sur ℤ, l’intersection N de ℚM et Hom_{k}(A, B) dans Hom_{k}^{0}(A, B) est de type fini sur ℤ.

Démonstration. On se ramène au cas où A = B. La fonction polynomiale ϕ ↦ deg ϕ sur End_{k}^{0}(A) se restreint au ℚ-espace vectoriel de dimension finie ℚM, puis s’étend au ℝ-espace vectoriel V = ℚM ⊗_{ℚ}ℝ en une application polynomiale, donc continue, que l’on note encore deg : V → ℝ. L’ensemble U = {v ∈ V : |deg(v)| < 1} est alors un voisinage ouvert de 0 dans V dont l’intersection avec N = ℚM ∩ End_{k}(A) est réduite à 0. Donc N est un sous-groupe discret de V. Il est bien connu que de tels sous-groupes sont de type fini sur ℤ. □

Proposition 3. Pour tout ℓ ≠ cark, le morphisme

T_{ℓ} : Hom_{k}(A, B) ⊗ ℤ_{ℓ} → Hom_{ℤ_{ℓ}}(T_{ℓ}A, T_{ℓ}B)

est injectif.

Démonstration. Il suffit de montrer que pour tout sous-groupe M de Hom_{k}(A, B) qui est de type fini sur ℤ, la restriction de T_{ℓ} à M ⊗ ℤ_{ℓ} est injective. On peut supposer d’après le corollaire précédent que M est saturé dans Hom_{k}(A, B), i.e. M = Hom_{k}(A, B) ∩ ℚM. Soit α_{1}, ⋯, α_{r} une ℤ-base de M, λ_{1}, ⋯, λ_{r} ∈ ℤ_{ℓ} tels que T_{ℓ}(α_{1} ⊗ λ_{1} + ⋯ + α_{r} ⊗ λ_{r}) = 0, et n_{i}(s) ∈ ℤ avec n_{i}(s) ≡ λ_{i} mod ℓ^{s}. Alors

α(s) = n_{1}(s)α_{1} + ⋯ + n_{r}(s)α_{r} ∈ Hom_{k}(A, B)

est nul sur A[ℓ^{s}], donc α(s) = ℓ^{s} · β(s) pour un β(s) ∈ Hom_{k}(A, B) ∩ ℚM = M, donc ℓ^{s} | n_{i}(s) pour tout i, donc λ_{i} ≡ 0 mod ℓ^{s} pour tout i et tout s, et λ_{i} = 0. □

Proposition 4. Hom_{k}(A, B) ≃ ℤ^{r} avec r ≤ 4 dim A · dim B.

Démonstration. D’après le lemme précédent, Hom_{k}^{0}(A, B)⊗_{ℚ}ℚ_{ℓ} ↪ Hom_{ℚ_{ℓ}}(V_{ℓ}A, V_{ℓ}B), donc Hom_{k}^{0}(A, B) est un ℚ-espace vectoriel de dimension finie r ≤ 4 dim A · dim B. Soit α_{1}, ⋯, α_{r} une ℚ-base de Hom_{k}^{0}(A, B) contenue dans Hom_{k}(A, B), M le sousmodule de Hom_{k}(A, B) engendré sur ℤ par cette base. Alors

Hom_{k}(A, B) = Hom_{k}^{0}(A, B) ∩ Hom_{k}(A, B) = ℚM ∩ Hom_{k}(A, B)

est encore un ℤ-module de type fini, donc en fait un ℤ-module libre de rang r. □

Corollary 5. End_{k}^{0}(A) est une ℚ-algèbre semi-simple de dimension finie ≤ 4g^{2}.

1.3. Schémas abéliens à multiplication complexe.

Proposition 6. Soit S un schéma connexe, A un S-schéma abélien de dimension g et E ⊂ End_{S}^{0}(A) une sous-algèbre commutative réduite. Alors [E : ℚ] ≤ 2g avec égalité si et seulement si pour un (resp. tout) point géométrique s de S, pour un (resp. tout) ℓ ≠ cars, le E ⊗ ℚ_{ℓ}-module V_{ℓ}(A, s) est libre de rang 1.

Démonstration. Par rigidité, E ⊂ End_{s}^{0}(A_{s}), donc le E ⊗ ℚ_{ℓ}-module V_{ℓ} = V_{ℓ}(A, s) est fidèle d’après la proposition 3. Décomposons E ⊗ℚ_{ℓ} = ∏ E_{i} en produit de corps et V_{ℓ} = ∏ V_{i} en produit de E_{i}-espaces vectoriels. Alors dim_{E_{i}} V_{i} > 0 par fidélité et

2g = dim_{ℚ_{ℓ}} V_{ℓ} = ∑ dim_{ℚ_{ℓ}} V_{i} = ∑ dim_{ℚ_{ℓ}} E_{i} · dim_{E_{i}} V_{i} ≥ ∑ dim_{ℚ_{ℓ}} E_{i} = [E : ℚ]

donc [E : ℚ] ≤ 2g avec égalité si et seulement si dim_{E_{i}} V_{i} = 1 pour tout i, i.e. si et seulement si V_{ℓ} = V_{ℓ}(A, s) est un E ⊗ ℚ_{ℓ}-module libre de rang 1. □

Definition 7. On dit que le S-schéma abélien A a de la multiplication complexe s’il existe une sous-algèbre commutative réduite (= un produit de corps) E ⊂ End_{S}^{0}(A) telle que [E : ℚ] = 2g, où g est la dimension relative de A sur S. On dit alors aussi que A a multiplication complexe par E.

Remark 8. Si A/S a multiplication complexe par E, alors E est une sous-algèbre commutative maximale de End_{S}^{0}(A). Si ℓ est inversible dans S et si s est un point géométrique de S, l’action de π(S, s) sur V_{ℓ}(A, s) est E_{ℓ}-linéaire, donc donnée par un caractère χ_{A,ℓ} : π(S, s) → E_{ℓ}^{×}. En particulier, cette action est abélienne.

Definition 9. Soit (A_{i}, ι_{i}) deux S-schémas abéliens à multiplication complexe par ι_{i} : E ↪ End_{S}^{0}A_{i}. On note Hom_{S}^{0} ((A_{1}, ι_{1}), (A_{2}, ι_{2})) le sous-espace vectoriel de Hom_{S}^{0} (A_{1}, A_{2}) formé des éléments E-linéaires, i.e. des f tels que f ∘ι_{1}(e) = ι_{2}(e)∘f pour tout E. Une E-isogénie (A_{1}, ι_{1}) → (A_{2}, ι_{2}) est une isogénie qui est E-linéaire.

Corollary 10. Si l’ensemble des E-isogénies est non vide, c’est un espace homogène principal sous le groupe multiplicatif E^{×} de E.

Démonstration. L’ensemble des isogénies (A_{1}, ι_{1}) → (A_{2}, ι_{2}) est l’ensemble des isomorphismes E-linéaires (A_{1}, ι_{1}) → (A_{2}, ι_{2}) dans une catégorie convenable. C’est donc vide, ou bien un espace homogène principal sous End_{S}^{0}(A_{1}, ι_{1})^{×}. Mais l’anneau End_{S}^{0}(A_{1}, ι_{1}) est le commutant de ι_{1}(E) dans End_{S}^{0}(A_{1}), et c’est donc ι_{1}(E) puisque ι_{1}(E) est une sous-algèbre commutative maximale de End_{S}^{0}(A_{1}). □

Lemma 11. Si A ∼ ⊕A_{i} dans Ab_{S}^{0} avec A_{i} simples, alors A a de la multiplication complexe ⟺ pour tout i, A_{i} a de la multiplication complexe.

Démonstration. On écrit A ∼ ⊕A_{i}^{n_{i}} où les A_{i} sont simples et deux à deux nonisogènes. Alors End_{S}^{0}A = ∏ M_{n_{i}}(D_{i}) où D_{i} = End_{S}^{0}A_{i} est un corps gauche. Soit F_{i} le centre de D_{i}, d_{i}^{2} = [D_{i} : F_{i}], f_{i} = [F_{i} : ℚ] et g_{i} = dim A_{i}. Les ℚ-sous-algèbres commutatives maximales de D_{i} sont les F_{i}-sous-algèbres commutatives maximales de D_{i}, et elles ont donc une F_{i}-dimension égale à d_{i} (d’après le formule du bicommutant) et une ℚ-dimension égale à d_{i}f_{i}. Donc d_{i}f_{i} ≤ 2g_{i} avec égalité si et seulement si A_{i} a de la multiplication complexe. De même, les ℚ-sous-algèbres commutatives maximales de End^{0}A sont des produits E = ∏ E_{i} de F_{i}-sous-algèbres commutatives E_{i} de M_{n_{i}}(D_{i}), lesquelles ont pour F_{i}-dimension n_{i}d_{i} et pour ℚdimension n_{i}d_{i}f_{i}. On trouve donc

[E : ℚ] = ∑_{i}[E_{i} : ℚ] = ∑_{i} n_{i}d_{i}f_{i} ≤ 2 ∑_{i} n_{i}g_{i} = 2g

avec égalité si et seulement si d_{i}f_{i} = 2g_{i} pour tout i, CQFD. □

Exercise 12. Si S = Speck est le spectre d’un corps parfait, et A/k a multiplication complexe par un corps, alors A ∼ A_{1}^{n} pour une variété abélienne simple A_{1} a multiplication complexe par un autre corps.

1.4. Variétés abéliennes CM et points complexes. On suppose toujours que S est connexe, et admet un point géométrique s ∈ S(ℂ). Le cas que l’on a en vue est celui où S = Speck pour un sous-corps k de ℂ.

Lemma 13. Soit A un S-schéma abélien de dimension relative g. On suppose que A est simple, i.e. E = End_{S}^{0}(A) est un corps, et admet de la multiplication complexe, i.e. E contient un corps commutatif C de ℚ-dimension 2g. Alors C = E est un corps CM et toute polarisation λ : A → A^{t} est (E, ⋆)-linéaire, où ⋆ est l’involution canonique de E.

Démonstration. Sur ℂ, A_{s}(ℂ) = V_{ℝ,I}/Λ correspond à un couple (polarisable) (Λ, I) où Λ est un réseau de dimension 2g et I une structure complexe sur V_{ℝ}, avec V = Λ ⊗ ℚ. On a donc C ⊂ E ⊂ D, où

D = End_{ℂ}^{0}(A_{s}) = {α ∈ End_{ℚ}(V) : α_{ℝ} ∘ I = I ∘ α_{ℝ}}

est à priori seulement une ℚ-algèbre semi-simple de dimension finie. Décomposons D ≃ ∏_{i} D_{i} et V ≃ ∏ V_{i} avec D_{i} simple et V_{i} un D_{i}-module, de sorte que chacun des V_{i} est aussi un E-espace vectoriel, qui est non nul puisque V est un D-module fidèle. Alors

2g = dim_{ℚ} V = ∑_{i} dim_{ℚ} V_{i} = [E : ℚ] · ∑_{i} dim_{E} V_{i} = 2g · [E : C] · ∑_{i} dim_{E} V_{i}.

Donc : E = C est commutatif, D est simple, et V est un E-espace vectoriel de dimension 1. Par ailleurs, la structure complexe I induit un morphisme de ℝ-algèbres

ℂ ↪ End_{E_{ℝ}}(E_{ℝ}) = E_{ℝ}

donc E est totalement imaginaire. Soit enfin λ : A → A^{t} une polarisation sur S. Alors λ induit une involution de Rosati ⋆_{E} sur E = End_{S}^{0}A par la formule α^{⋆_{E}} = λ^{−1}α^{t}λ, de sorte que λ : A → A^{t} est (E, ⋆_{E})-linéaire par définition. De même, λ_{s} : A_{s} → A_{s}^{t} induit une involution ⋆_{D} sur D, qui bien sûr fixe E et y induit ⋆_{E}. Mais la polarisation λ_{s} de A_{s} correspond à une polarisation ψ_{ℝ} de la paire (Λ, I). Puisque ψ_{ℝ,I} > 0, l’involution ⋆_{D} est positive, donc ⋆_{E} aussi. En particulier, le sous-corps F de E fixé par ⋆_{E} est totalement réel, donc distinct de E. Mais alors E est un corps CM, F est son sous-corps totalement réel, et ⋆_{E} est l’involution canonique de E. □

Corollary 14. Toute variété abélienne CM sur k ⊂ ℂ admet de la multiplication complexe par une ℚ-algèbre CM.

Remark 15. Le lemme est faux en caractéristique p : une courbe elliptique supersingulière E sur k = \overline{𝔽}_{p} est simple et CM, mais End_{k}^{0}(E) n’est pas commutatif.

Mentionnons également une espèce de réciproque du corollaire ci-dessus :

Lemma 16. Sur k = ℂ, tout tore complexe X de dimension g sur lequel agit fidèlement un produit de corps CM de dimension 2g est une variété abélienne CM.

Démonstration. Nous verrons cela plus bas. □

Remark 17. Le lemme est faux si l’on ne suppose pas que E est CM.

1.5. Propriétés de Bonne Réduction. Soit S un schéma de Dedekind intègre, ξ le point générique de S, et x un point fermé de S. Soit A une variété abélienne sur ξ. On dit que A a bonne réduction en x si et seulement si A s’étend en un schéma abélien sur S(x) = Spec(O_{S,x}). En général, partant d’un modèle quelconque A de la variété A sur S, il existe un ouvert U de S au-dessus duquel A est un schéma abélien : donc A a bonne réduction en presque tous les points de S (i.e. tous sauf un nombre fini).

Cependant, il existe sur S un modèle qui est meilleur que les autres : le modèle de Néron A/S. C’est un modèle qui est déjà lisse et qui vérifie la propriété universelle suivante : pour tout schéma X qui est lisse sur S, tout ξ-morphisme X_{ξ} → A s’étend en un S-morphisme X → A. En particulier, ce modèle de Néron est uniquement déterminé (à isomorphisme unique près) par cette propriété, et c’est canoniquement un S-schéma en groupes. Si A a bonne réduction en x et si A est un schéma abélien sur S(x) tel que A_{ξ} = A, alors A est le modèle de Néron de A sur S(x). Les points de S où A a bonne réduction sont donc exactement ceux où le modèle de Néron est propre (donc propre et lisse à fibre générique géométriquement connexe, ce qui implique que toutes les fibres le sont, comme on voit par exemple en considérant la factorisation de Stein). L’existence du modèle de Néron permet de démontrer le critére suivant :

Proposition 18. On fixe un point géométrique s au-dessus de ξ. Pour tout point fermé x ∈ S, les conditions suivantes sont équivalentes (1) A a bonne réduction en x, et (2) pour un (resp. tout) ℓ ≠ cark(x), l’action de π(ξ, s) sur T_{ℓ}(A, s) est non-ramifiée en x, i.e. se factorise à travers π(S(x), s).

Dans un langage plus familier, cela s’énonce ainsi.

Proposition 19. Soit R un anneau de valuation discrète de corps résiduel k, K le corps des fractions de R, K^{s} une clôture séparable de K, I ⊂ Gal(K^{s}/K) le groupe d’inertie d’une place de K^{s} au-dessus de R. Soit A une variété abélienne sur K. Alors A a bonne réduction sur R si et seulement si I agit trivialement sur T_{ℓ}(A, K^{sep}) pour un (resp. tout) ℓ ≠ cark.

Démonstration. [2] Soit A le modèle de Néron de A sur S = Spec(R), K̃ le souscorps de K^{s} fixé par I, R̃ l’anneau de sa valuation, k̃ le corps résiduel de cet anneau. D’après la propriété universelle qui caractérise le modèle de Néron,

A(R̃) = A(K̃) = A(K̃) = A(K^{s})^{I}.

Si ℓ ≠ cark, la multiplication ℓ : A → A est étale (et quasi-finie, mais pas nécessairement propre, i.e. pas nécessairement finie). Donc A[ℓ^{n}] est étale et A[ℓ^{n}](R̃) = A[ℓ^{n}](k̃). Finalement,

T_{ℓ}(A, K^{s})^{I} = T_{ℓ}(A_{k}, k̃) et V_{ℓ}(A, K^{s})^{I} = V_{ℓ}(A_{k}, k̃)

Or Ak̃ admet une filtration 0 ⊂ A1 ; k̃ ⊂ A2 ; k̃ ⊂ A3 ; k̃ ⊂ Ak̃ dont les quotients successifs sont respectivement un produit 𝔾_{a}^{r} de 𝔾_{a}, un produit 𝔾_{m}^{s} de 𝔾_{m}, une variété abélienne de dimension d, et un groupe fini. On a donc r + s + d = g où g est la dimension de A. Chaque étape contribue à la ℚ_{ℓ}-dimension de V_{ℓ}(A_{k}, k̃) pour respectivement 0, s, et 2d. Donc I agit trivialement sur V_{ℓ}(A, K^{s}) si et seulement si s + 2d = 2g, i.e. r = s = 0, i.e. Ak̃ est propre, i.e. A est propre. □

Appliquons tout ceci au cas qui nous intéresse : K est un corps de nombre, S = Spec(O_{K}) où O_{K} est l’anneau des entiers de K, et A est une variété abélienne sur K à multiplication complexe par E. On sait alors que l’action de Gal(K^{s}/K) sur V_{ℓ}(A, s) se factorise à travers un caractère continu χ_{A,ℓ} : Gal(K^{ab}/K) → O_{E_{ℓ}}^{×}, où O_{E_{ℓ}} est l’anneau des entiers de E_{ℓ} = E ⊗ ℚ_{ℓ}. D’autre part, si I(P) ⊂ Gal(K^{ab}/K) est le groupe d’inertie en un idéal premier P ∈ Spec(O_{K}) de caractéristique résiduelle p ≠ ℓ, alors I(P) est une extension d’un groupe fini par un pro-p-groupe. On en déduit facilement que χ_{A,ℓ}(I(P)) est fini. Donc : A a bonne réduction potentielle en P, et plus précisément, il existe une extension abélienne finie L de K telle que A_{L} a bonne réduction au-dessus de P. En travaillant un peu plus, on peut montrer qu’il existe même une extension cyclique finie L de K telle que A_{L} a bonne réduction partout, voir la remarque 49 ci-dessous.

1.6. Groupes de Mumford-Tate. Soit A ≃ V_{ℝ,I}/Λ une variété abélienne sur ℂ. Le groupe de Mumford-Tate MT(A) est le plus petit sous-groupe algébrique H de G = GL(V) (sur ℚ!) tel que le morphisme h_{I} : 𝕊 = Res_{ℂ/ℝ}𝔾_{m} → G_{ℝ} défini par I se factorise par H_{ℝ}. Rappelons que ce morphisme envoie z ∈ ℂ^{×} = 𝕊(ℝ) sur la multiplication par z dans le ℂ-espace vectoriel V_{ℝ,I}. Alors :

Lemma 20. Pour toute variété abélienne A sur C,

A est CM ⟺ MT(A) est un tore.

Démonstration. Si A a de la multiplication complexe par E, V est un E-module libre de rang 1 donc T_{E} = Res_{E/ℚ}𝔾_{m,E} = GL_{E}(V) est un ℚ-tore (maximal !) de G = GL(V). Puisque E commute à l’action de I sur V_{ℝ}, h_{I} : 𝕊 → GL_{ℝ}(V_{ℝ}) se factorise par T_{E}, donc MT(A) ⊂ T_{E} est un tore. Inversement, si MT(A) = T est un ℚ-tore dans G = GL(V), alors V est une représentation fidèle de T et l’anneau des endomorphismes de cette représentation contient une ℚ-sous-algèbre commutative réduite E de End(V) de ℚ-dimension 2g = dim_{ℚ} V. Puisque l’action de E sur V_{ℝ} commute à celle de I, E ⊂ End^{0}(A) et A a multiplication complexe par E. □

1.7. Conclusion. Tout cela suggère que les variétés CM sont très remarquables, qu’il conviendrait de les classifier, et qu’il suffit pour cela (sur ℂ) de classifier les variétés abéliennes à multiplication complexe par un produits de corps CM.

2. La Multiplication Complexe sur ℂ

2.1. Les ℚ-algèbres CM. On note τ : ℂ → ℂ la conjugaison complexe τ(z) = \overline{z}.

Lemma 21. Pour un corps de nombre E, les conditions suivantes sont équivalentes : (1) Il existe un automorphisme τ_{E} ≠ 1 de E tel que ι ∘ τ_{E} = τ ∘ ι pour tout plongement ι : E ↪ ℂ, et (2)E = F (\sqrt{a}) pour un corps F totalement réel et un élément a totalement négatif.

Démonstration. Exercice. □

Definition 22. Un corps CM est un corps de nombre qui vérifie les conditions équivalentes ci-dessus. Une ℚ-algèbre CM est un produit de corps CM.

Remark 23. Les corps CM sont stables par composition, mais un sous-corps d’un corps CM n’est pas forcément CM. La clôture galoisienne d’un corps CM est encore CM. La réunion ℚ^{cm} ⊂ \overline{ℚ} ⊂ ℂ de tous les corps CM est l’extension Galoisienne de ℚ qui est fixée par [σ, τ] = στσ^{−1}τ^{−1} pour tout σ ∈ Gal(\overline{ℚ}/ℚ).

Definition 24. Soit E une ℚ-algèbre CM de dimension 2g et S un schéma. Un S-schéma abélien à multiplication complexe par E est une paire (A, ι) où A est un S-schéma abélien de dimension relative g et ι : E ↪ End_{S}^{0}(A) une action fidèle de E sur A. Une E-isogénie λ : (A_{1}, ι_{1}) → (A_{2}, ι_{2}) est un isomorphisme E-linéaire A_{1} → A_{2} dans la catégorie des S-schémas abéliens à isogénie près, i.e. un élément inversible λ ∈ Hom_{S}^{0}(A_{1}, A_{2}) tel que λ ∘ ι_{1}(e) = ι_{2}(e) ∘ λ pour tout e ∈ E. On note Hom_{S}^{0}((A_{1}, ι_{1}), (A_{2}, ι_{2})) l’ensemble de ces E-isogénies. En particulier, End_{E,S}^{0}(A, ι) est le commutant de ι(E) dans End_{S}^{0}(A).

2.2. Classification sur ℂ. Soit E une ℚ-algèbre CM de dimension 2g. On se propose de décrire l’ensemble H(E) des classes d’isomorphismes de variétés abéliennes à multiplication complexe par E sur S = Spec(ℂ). Il revient au même de décrire l’ensemble des classes d’isomorphismes de couples polarisables (Λ, I) où Λ est un réseau dans un E-module fidèle V = Λ ⊗ ℚ de ℚ-dimension 2g, et I une structure complexe E ⊗ ℝ-linéaire sur V_{ℝ}. La variété abélienne CM associée est alors A = V_{ℝ,I}/Λ. Dans ce contexte, une E-isogénie λ : (Λ_{1}, I_{1}) → (Λ_{2}, I_{2}) est un isomorphisme E-linéaire V_{1} → V_{2} tel que λ_{ℝ} : V_{1,ℝ} → V_{2,ℝ} est ℂ-linéaire, i.e. λ_{ℝ} ∘ I_{1} = I_{2} ∘ λ_{ℝ}.

2.2.1. Le E-module V.

Lemma 25. V est un E-module libre de rang 1.

Démonstration. C’est un E-module fidèle de ℚ-dimension 2g. Décomposant E = ∏ E_{j} en produit de corps et V = ∏ V_{j} en produit de E_{j}-espaces vectoriels non-nuls (puisque V est un E-module fidèle), on obtient

2g = dim_{ℚ} V = ∑_{j} dim_{ℚ} V_{j} = ∑_{j}[E_{j} : ℚ] · dim_{E_{j}} V_{j} ≥ ∑_{j}[E_{j} : ℚ] = dim_{ℚ} E = 2g

donc dim_{E_{j}} V_{j} = 1 pour tout j, ce qu’il fallait démontrer. □

Remark 26. On comparera utilement cette preuve à celle de la proposition 6.

On peut donc supposer que V = E.

2.2.2. La structure complexe I.

Definition 27. Si E est une ℚ-algèbre CM, un type CM sur E est un sous-ensemble Φ de Hom_{ℚ−alg}(E, ℂ) tel que Φ ∐ \overline{Φ} = Hom_{ℚ−alg}(E, ℂ). Une paire CM est un couple (E, Φ) formé d’une ℚ-algèbre CM E et d’un type CM Φ sur E.

Lemma 28. Soit V un E-module libre de rang 1. Il revient au même de se donner (1) une structure complexe E-linéaire I sur V_{ℝ}, (2) un morphisme de ℝ-algèbre ι : ℂ → E_{ℝ}, (3) un type CM Φ sur E. Dans cette correspondance,

(V_{ℝ}, I) ≃ ⊕_{ϕ∈Φ}ℂ(ϕ) comme module sur E ⊗ ℂ = ∏_{ϕ∈Hom_{ℚ−alg}(E,ℂ)} ℂ(ϕ).

Démonstration. Une structure complexe E-linéaire I sur V_{ℝ} est un morphisme de ℝ-algèbre ι : ℂ → End_{E_{ℝ}}(V_{ℝ}) = E_{ℝ} donc (1) ⟺ (2). Pour le reste, on décompose

E = ∏ E_{j} et E_{j,ℝ} = ∏_{v:F_{j}↪ℝ} E_{j,v}

où F_{j} est le sous-corps totalement réel de E_{j} et E_{j,v} = E_{j} ⊗_{F_{j},v} ℝ. Alors

Hom_{ℝ−alg}(ℂ, E_{ℝ}) = ∏_{j,v:F_{j}→ℝ} Hom_{ℝ−alg}(ℂ, E_{j,v}) = ∏_{j,v} Aut_{ℝ−alg}(ℂ, E_{j,v}).

Le choix d’un morphisme de ℝ-algèbre ℂ → E_{ℝ} est donc le choix pour tout j et tout v d’un isomorphisme E_{j,v} → ℂ, i.e. d’une extension de v : F_{j} ↪ ℝ à ϕ : E_{j} ↪ ℂ, donc (2) ⟺ (3). □

Definition 29. La donnée de Shimura associée à (E, Φ) est (T_{E}, {h_{Φ}}) où T_{E} est le ℚ-tore T_{E} = Res_{E/ℚ}𝔾_{m,E} et h_{Φ} : 𝕊 → T_{E,ℝ} est le morphisme qui envoie z ∈ ℂ^{×} = 𝕊(ℝ) sur ι_{Φ}(z) ∈ (E ⊗ ℝ)^{×} = T_{E,ℝ}(ℝ), où ι_{Φ} : ℂ → E_{ℝ} est le morphisme de ℝ-algèbre associé à Φ.

2.2.3. Les polarisations. Soit F la sous-algèbre de E fixée par l’involution canonique ⋆ de E. C’est donc un produit de corps totalement réels. On note F_{>}^{×} le sous-groupe de F^{×} formé des éléments λ qui sont totalement positifs, i.e. tels que ϕ(λ) > 0 pour tout morphisme de ℚ-algèbre ϕ : F → ℝ. On note N_{E/F} : E → F la norme définie par N_{E/F} (x) = x^{⋆}x, donc N_{E/F} (E^{×}) ⊂ F_{>}^{×}.

Soient Φ un type CM sur E, V un E-module libre de rang 1 et I la structure complexe sur V_{ℝ} induite par Φ, i.e. I est la multiplication par I = ι_{Φ}(i) ∈ (E ⊗ℝ)^{×}. On se propose de décrire l’ensemble P(V, I) (resp. P[V, I]) des polarisations de (V, I) (resp. des polarisations modulo les automorphismes E^{×} de (V, I)). On fixe pour cela un élément η ∈ E^{×} tel que

∀ϕ ∈ Φ : ϕ(η) ∈ ℝ_{<}^{×}i.

Exercise 30. L’ensemble de ces éléments est une F_{>}^{×}-orbite non-vide dans E^{×}.

En particulier, η^{⋆} = −η donc l’ensemble des formes symplectiques ψ : V ×V → ℚ induisant ⋆ sur E est en bijection avec l’ensemble des formes (E, ⋆)-hermitiennes Ψ : V × V → E par l’application qui à Ψ associe ψ(x, y) = Tr_{E/ℚ} (ηΨ(x, y)). Ces formes sont elles-mêmes classifiées par leur discriminant d(Ψ), un élément de Ĥ^{0}({1, ⋆}, E^{×}) = F^{×}/NE^{×} défini par d(Ψ) = Ψ(v, v) où v est une E-base de V.

Lemma 31. ψ est une polarisation de (V, I) ⟺ d(Ψ) ∈ F_{>}^{×}/NE^{×}.

Démonstration. Soit ϕ(η) = −λ_{ϕ}i avec donc λ_{ϕ} > 0 pour ϕ ∈ Φ. Pour x, y ∈ E ⊗ℝ,

ψ_{ℝ,I}(xv, yv) = Tr_{E⊗ℝ} (ηIxy^{⋆}Ψ(v, v)) = ∑_{ϕ∈Φ}λ_{ϕ}ϕ(x)\overline{ϕ}(y)ϕ(Ψ(v, v))

donc ψ_{ℝ,I} > 0 si et seulement si ϕ(Ψ(v, v)) > 0 pour tout ϕ ∈ Φ, i.e. d(Ψ) ∈ F_{>}^{×}. □

Corollary 32. L’action (λ · ψ)(x, y) = ψ(λx, y) fait de P(V, I) un F^{×}-espace homogène principal et de P[V, I] un F_{>}^{×}/N_{E/F} E^{×}-espace homogène principal.

2.2.4. Classifications. Il résulte de ce qui précède que si V_{ℝ,I}/Λ est un tore complexe à multiplication complexe par E, alors V_{ℝ,I}/Λ est polarisable, i.e. c’est une variété abélienne. D’autre part, si (A, ι) est une variété abélienne à multiplication complexe par E, le E⊗ℂ-module Lie(A) ≃ V_{ℝ,I} est de la forme ⊕_{ϕ∈Φ}ℂ(ϕ) pour un unique type CM Φ de E. On dit alors que (A, ι) est de type CM (E, Φ). Deux variétés abéliennes (A, ι) et (A′, ι′) sont E-isogènes, i.e. liés par une E-isogénie, si et seulement si elles ont le même type CM.

Definition 33. On note H(E, Φ) ⊂ H(E) la classe de E-isogénie définie par Φ.

La classe d’isogénie H(E, Φ) est en bijection avec l’ensemble des classes de réseaux Λ de V (= E) modulo l’action du groupe des automorphismes E^{×} de V, i.e. avec l’ensemble des classes de E^{×}-homothétie de réseaux Λ de V. La variété abélienne associée à Λ est A = V_{ℝ,I}/Λ où I est la structure complexe E-linéaire sur V_{ℝ} déterminé par Φ, i.e. I est la multiplication par I = ι_{Φ}(i) ∈ (E ⊗ ℝ)^{×}.

2.3. Le corps réflexe.

Lemma 34. Avec les notations ci-dessus, le corps réflexe E(Φ) de (E, Φ) est (1) Le sous-corps de ℂ fixé par {σ ∈ Aut(ℂ)|σ ∘ Φ = Φ},

(2) Le sous-corps de ℂ engendré par {Tr_{Φ}(e), e ∈ E} où Tr_{Φ}(e) = ∑_{ϕ∈Φ} ϕ(e),

(3) Le corps réflexe de la donnée de Shimura (T_{E}, {h_{Φ}}),

(4) Le corps de définition de la représentation V (Φ)_{ℂ} = ⊕_{ϕ∈Φ}ℂ(ϕ) de E ⊗ ℂ.

Démonstration. On note E(Φ)_{i} le sous-corps de ℂ défini par la condition i. Il est clair que E(Φ)_{2} ⊂ E(Φ)_{1} et inversement E(Φ)_{1} ⊂ E(Φ)_{2} d’après le théorème sur l’indépendance linéaire des caractères. On a X_{⋆}(T_{E,C}) = ℤ[Hom(E, ℂ)] avec l’action évidente de Aut(ℂ). Via cet isomorphisme, le caractère μ_{Φ} : 𝔾_{m,ℂ} → T_{E,ℂ} associé à h_{Φ} est ∑_{ϕ∈Φ} ϕ, donc E(Φ)_{1} = E(Φ)_{3}. On a aussi E(Φ)_{2} ⊂ E(Φ)_{4} puisque

∀e ∈ E : Tr_{Φ}(e) = Tr_{ℂ}(e|V (Φ)).

Soit enfin k ⊂ ℂ une extension Galoisienne de E(ϕ)_{1} qui contient ϕ(E) pour tout ϕ ∈ Φ. Alors V (Φ)_{k} = ⊕_{ϕ∈Φ}k(ϕ) est un E ⊗ k-module et

V (Φ)_{E(Φ)_{1}} = {_{∑ϕ∈Φ}w_{ϕ} : ∀γ ∈ Gal(k/E(ϕ)_{1}), γw_{ϕ} = w_{γϕ}}

est un modèle sur E(ϕ)_{1} du E ⊗ ℂ-module V (Φ), donc E(Φ)_{4} ⊂ E(Φ)_{1}. □

Example 35. Si E = F E_{0} pour une extension quadratique imaginaire E_{0} de ℚ et Φ = {ϕ : E → ℂ tel que ϕ|E_{0} = ϕ_{0}} où ϕ_{0} : E_{0} → ℂ est un plongement fixé, alors E(Φ) = ϕ_{0}(E_{0}).

Exercise 36. Dans le cas général, E(Φ) est un corps CM.

Definition 37. Soit k un sous-corps de ℂ et (A, ι) une k-variété abélienne à multiplication complexe par E. Le type CM Φ de (A, ι) est le type CM de (A, ι)_{ℂ}, i.e. (A, ι)_{ℂ} ∈ H(E, Φ).

Fact 38. Si (A, ι) est de type CM Φ, le E ⊗ k-module (LieA)(k) est un modèle sur k du E ⊗ ℂ-module (LieA)(ℂ) ≃ ⊕_{ϕ∈Φ}ℂ(ϕ), donc k contient le corps réflexe E(Φ) de Φ. Si de plus k contient tous les ϕ(E) pour ϕ ∈ Φ, alors (LieA)(k) ≃ ⊕_{ϕ∈Φ}k(ϕ) comme E ⊗ k-module.

Remark 39. Si (A_{1}, ι_{1}) et (A_{2}, ι_{2}) sont deux k-variétés abéliennes à multiplication complexe par E, elles ont le même type CM (E, Φ) si et seulement si elles E-isogènes sur ℂ. Elles sont alors déjà E-isogènes sur la clôture algébrique de k dans ℂ, mais pas forcément E-isogènes sur k. Cependant :

Exercise 40. Si (A_{1}, ι_{1}) et (A_{2}, ι_{2}) sont E-isogènes sur k, alors

Hom_{k}^{0} ((A_{1}, ι_{1}), (A_{2}, ι_{2})) = Hom_{ℂ}^{0} ((A_{1}, ι_{1})_{ℂ}, (A_{2}, ι_{2})_{ℂ}) .

En particulier, toute E-isogénie (A_{1}, ι_{1})_{ℂ} → (A_{2}, ι_{2})_{ℂ} est déjà définie sur k.

3. Le théorème principal de la multiplication complexe

3.1. Les ℚ-tores. Pour toute ℚ-algèbre réduite k de dimension finie, on note

T_{k} = Res_{k/ℚ}𝔾_{m,k}

le ℚ-schéma en groupes dont les points sur une ℚ-algèbre R sont donnés par

T_{k}(R) = (k ⊗ R)^{×}.

En particulier, T_{k}|\overline{ℚ} ≃ ∏_{ϕ:k↪Ω} 𝔾_{m,\overline{ℚ}} et T_{k} est un tore ℚ-rationnel avec

X^{∗}(T_{k}) ≃ F (Hom_{ℚ−alg}(k, \overline{ℚ}), ℤ) et X_{∗}(T_{k}) ≃ ℤ [Hom_{ℚ−alg}(k, \overline{ℚ})]

munis des actions évidentes de Gal(\overline{ℚ}/ℚ). Nous rencontrerons dans la suite divers sous-quotients des groupes T_{k}(𝔸_{f}) = (k ⊗ 𝔸_{f})^{×} = k̂^{×}. Ces sous-quotients seront toujours munis de la topologie induite par la topologie adélique de k̂^{×}.

On fixe dans toute la suite de cette section une paire CM (E, Φ). On note ⋆ l’involution canonique de E et F = {λ ∈ E : λ^{⋆} = λ}, qui est un produit de corps totalement réels. On note F_{>}^{×} le sous-groupe de F^{×} formé des éléments totalement positifs. La norme N_{E/F} : E → F et l’inclusion ℚ ↪ F induisent des morphismes

N_{E/F} : T_{E} → T_{F} et 𝔾_{m,ℚ} ↪ T_{F} .

On note T_{E}^{1} le noyau de N_{E/F} et T_{E}^{0} = N_{E/F}^{−1} (𝔾_{m,ℚ}), de sorte que T_{E}^{1} ⊂ T_{E}^{0} ⊂ T_{E}. On montre facilement que la norme N_{E/F} : T_{E}(𝔸_{f}) → T_{F} (𝔸_{f}) est un morphisme ouvert, de même que sa restriction N_{E/F} : T_{E}^{0}(𝔸_{f}) → 𝔸_{f}^{×}. Pour se familiariser un peu avec ces différents groupes, montrons le lemme suivant.

Lemma 41. Les lignes du diagramme commutatif suivant sont exactes

0 → T_{E}^{1}(𝔸_{f})/T_{E}^{1}(ℚ) → T_{E}^{0}(𝔸_{f})/T_{E}^{0}(ℚ) ⟶^{N} 𝔸_{f}^{×}/ℚ_{>}^{×}
∥ ↓ ↓
0 → T_{E}^{1}(𝔸_{f})/T_{E}^{1}(ℚ) → T_{E}(𝔸_{f})/T_{E}(ℚ) ⟶^{N} T_{F} (𝔸_{f})/F_{>}^{×}

et les groupes topologiques de la première ligne sont compacts.

Démonstration. L’exactitude à gauche est immédiate. Pour l’exactitude au milieu, il suffit de le démontrer pour la seconde ligne. Soit donc x ∈ T_{E}(𝔸_{f}) tel que N(x) = λ ∈ F_{>}^{×}. Alors λ est un élément de F^{×} qui est dans l’image de la norme N_{E_{v}/F_{v}} : E_{v}^{×} → F_{v}^{×} pour toute place v de ℚ, donc λ = N_{E/F} μ pour un μ ∈ E^{×} = T_{E}(ℚ). Alors N(x) = N(μ) donc x = μt^{1} avec t^{1} ∈ T^{1}(𝔸_{f}) et μ ∈ T_{E}(ℚ), ce qu’il fallait démontrer. Dans T_{E}(𝔸_{f}) = Ê^{×}, on a

T_{E}^{0}(ℚ) ∩ Ô_{E}^{×} = {λ ∈ O_{E}^{×} : λλ^{⋆} ∈ ℚ^{×}} = {λ ∈ O_{E}^{×} : λλ^{⋆} = 1}.

Soit λ une telle unité. Puisque [O_{E}^{×} : O_{F}^{×}] est fini, λ^{n} ∈ O_{F}^{×} pour n assez grand, donc λ^{2n} = λ^{n}(λ^{n})^{⋆} = (λλ^{⋆})^{n} = 1 et λ ∈ μ(E^{×}), qui est fini. Donc T_{E}^{0}(ℚ) ∩ Ô_{E}^{×} est fini et T_{E}^{0}(ℚ) est discret, donc aussi fermé dans T_{E}(𝔸_{f}). A fortiori, T_{E}^{1}(ℚ) est discret donc aussi fermé dans T_{E}^{1}(𝔸_{f}). D’après Hilbert 90, le morphisme h : T_{E}(𝔸_{f}) → T_{E}^{1}(𝔸_{f}) qui envoie z sur h(z) = z/z^{⋆} est surjectif. On montre facilement que ce morphisme est ouvert, donc h(Ô_{E}^{×}) est un sous-groupe ouvert et compact de T_{E}^{1}(𝔸_{f}). La surjectivité de

Pic(O_{E}) = T_{E}(𝔸_{f})/T_{E}(ℚ) · Ô_{E}^{×} ↠ T_{E}^{1}(𝔸_{f})/T_{E}^{1}(ℚ) · h(Ô_{E}^{×})

implique par ailleurs que T_{E}^{1}(𝔸_{f})/T_{E}^{1}(ℚ) · h(Ô_{E}^{×}) est fini, donc T_{E}^{1}(𝔸_{f})/T_{E}^{1}(ℚ) est compact. Puisque tout idéal fractionnaire de ℤ est engendré par un élément de ℚ_{>}^{×}, 𝔸_{f}^{×} = ℤ̂^{×} × ℚ_{>}^{×} donc 𝔸_{f}^{×}/ℚ_{>}^{×} est compact. Enfin, T_{E}^{0}(𝔸_{f})/T_{E}^{0}(ℚ) est compact comme extension séparée de deux groupes compacts. □

3.2. L’action de Aut(ℂ) sur H(E). Le groupe Aut(ℂ) des automorphismes de ℂ agit sur H(Φ) par σ(A, ι) = (σA, σι) où

σA = (Spec(σ))^{∗}A et (σι)(e) = (Spec(σ))^{∗}(ι(e))

pour tout e ∈ E. Autrement dit, σA et σι(e) sont définis par le diagramme cartésien

σA ⟶^{(σι)(e)} σA → Spec(ℂ)
↓  ↓  ↓
A ⟶^{ι(e)} A → Spec(ℂ)

où la dernière flèche verticale est Spec(σ). C’est bien une action à gauche, puisque

(Spec(σ_{1}σ_{2}))^{∗} = (Spec(σ_{2}) ∘ Spec(σ_{1}))^{∗} = (Spec(σ_{1}))^{∗} ∘ (Spec(σ_{2}))^{∗} .

L’action de Aut(ℂ) sur l’ensemble des classes de E-isogénie se décrit aisément.

Lemma 42. Pour tout σ ∈ Aut(ℂ),

σ · H(E, Φ) = H(E, σΦ).

Démonstration. Soit (A, ι) ∈ H(E). Alors Lie(σA) = Lie(A) ⊗_{ℂ,σ} ℂ, donc

Lie(A) ≃ ⊕_{ϕ∈Φ}ℂ(ϕ) ⇒ Lie(σA) ≃ ⊕_{ϕ∈Φ}ℂ(σ ∘ ϕ)

comme E ⊗ ℂ-module, ce qu’il fallait démontrer. □

3.3. Le morphisme r_{Φ} : Gal_{E(Φ)}^{ab} → T_{E}(ℚ)\T_{E}(𝔸_{f}).

Proposition 43. Il existe un unique morphisme de groupes topologiques

r_{Φ} : Gal_{E(Φ)}^{ab} → T_{E}(ℚ)\T_{E}(𝔸_{f})

tel que pour tout (A, ι) ∈ H(E, Φ), pour tout σ ∈ Aut(ℂ/E(Φ)) et t̂ ∈ T_{E}(𝔸_{f}) tel que r_{Φ}(σ) = T_{E}(ℚ)t̂, il existe une E-isogénie λ : (A, ι) → σ(A, ι) telle que

∀x ∈ V_{f}(A, ℂ) : λ(t̂· x) = σ · x dans V_{f}(σA, ℂ).

Cette isogénie est alors unique.

Démonstration. Soit (A, ι) ∈ H(E, Φ) et σ ∈ Aut(ℂ/E(Φ)) comme dans l’énoncé. Puisque σ(A, ι) ∈ H(E, Φ), il existe une E-isogénie λ : (A, ι) → σ(A, ι), uniquement déterminée modulo E^{×} = T_{E}(ℚ). Les deux morphismes V_{f}(A, ℂ) → V_{f}(σA, ℂ) induits respectivement par σ et λ sont Ê-linéaires, et diffèrent donc d’un élément t̂∈ Ê^{×} = T_{E}(𝔸_{f}) qui est uniquement déterminé par λ, i.e.

∀x ∈ V_{f}(A, ℂ) : λ(t̂· x) = σ · x dans V_{f}(σA, ℂ).

On obtient ainsi une application bien définie

r_{(A,ι)} : Aut(ℂ/E(Φ)) → T_{E}(ℚ)\T_{E}(𝔸_{f})

qui vérifie la conclusion du lemme pour notre (A, ι) : pour tout σ ∈ Aut(ℂ/E(Φ)) et tout t̂ ∈ T_{E}(𝔸_{f}) tel que r_{(A,ι)}(σ) = T_{E}(ℚ) · t̂, il existe une unique E-isogénie λ : (A, ι) → σ(A, ι) telle que λ(t̂· x) = σx dans V_{f}(σA, ℂ) pour tout x ∈ V_{f}(A, ℂ). Il s’agit maintenant de vérifier que (1) cette application ne dépend pas du choix de (A, ι) dans H(E, Φ), que (2) c’est un morphisme de groupes, que (3) ce morphisme de groupes se factorise par Gal(\overline{ℚ}/E(Φ)), et que (4) le morphisme qui en résulte r_{Φ} : Gal(\overline{ℚ}/E(Φ)) → T_{E}(ℚ)\T_{E}(𝔸_{f}) est continu.

Pour (1) : soient (A, ι) et (A′, ι′) dans H(E, Φ) et σ ∈ Aut(ℂ/E(Φ)). Choisissons des E-isogénies α : (A, ι) → (A′, ι′) et λ : (A, ι) → σ(A, ι). Alors

β = (σα) ∘ λ ∘ α^{−1} : (A′, ι′) → (A, ι) → σ(A, ι) → σ(A′, ι′)

est une E-isogénie. Soit t̂∈ T_{E}(𝔸_{f}) tel que λ(t̂· x) = σx pour x ∈ V_{f}(A, ℂ). Alors

β(t̂· y) = ((σα) ∘ λ ∘ α^{−1}) (t̂· y) = (σα) (λ(t̂· x̂)) = (σα)(σ · x̂) = σ · α(x) = σ · y

pour tout x ∈ V_{f}(A, ℂ) et y ∈ V_{f}(A′, ℂ) avec α(x) = y. Donc

r_{(A,ι)}(σ) = T_{E}(ℚ) · t̂= r_{(A′,ι′)}(σ)

i.e. r_{Φ} = r_{(A,ι)} ne dépend pas du choix de (A, ι) ∈ H(E, Φ).

Pour (2) : soient (A, ι) dans H(E, Φ) et σ_{1}, σ_{2} ∈ Aut(ℂ/E(Φ)). Choisissons des E-isogénies λ_{i} : (A, ι) → σ_{i}(A, ι). Soient t̂_{i} ∈ T_{E}(𝔸_{f}) tels que λ_{i}(t̂_{i} · x) = σ_{i} · x pour tout x ∈ V_{f}(A, ℂ). Alors

β = (σ_{1}λ_{2}) ∘ λ_{1} : (A, ι) → σ_{1}(A, ι) → σ_{1}σ_{2}(A, ι)

est une E-isogénie et pour tout x ∈ V_{f}(A, ℂ),

β(t̂_{1}t̂_{2}x) = (σ_{1}λ_{2}) (λ_{1} (t̂_{1}(t̂_{2}x))) = (σ_{1}λ_{2}) (σ_{1} · (t̂_{2}x)) = σ_{1} · (λ_{2}(t̂_{2}x)) = σ_{1}σ_{2} · x.

Donc r_{Φ} : Aut(ℂ/E(Φ)) → T_{E}(ℚ)\T_{E}(𝔸_{f}) est un morphisme de groupes, car

r_{Φ}(σ_{1}σ_{2}) = T_{E}(ℚ)t̂_{1}t̂_{2} = T_{E}(ℚ)t̂_{1} · T_{E}(ℚ)t̂_{2} = r_{Φ}(σ_{1}) · r_{Φ}(σ_{2}).

Pour (3), nous montrerons ultérieurement que H(E, Φ) contient un élément (A, ι) défini sur \overline{ℚ}. Pour tout σ ∈ Aut(ℂ/\overline{ℚ}), on a alors σ(A, ι) = (A, ι) et σ = Id sur V_{f}(A, ℂ), donc λ = Id et t̂= 1 donnent λ(t̂· x) = σ · x pour tout x ∈ V_{f}(A, ℂ), i.e. r_{Φ}(σ) = T_{E}(ℚ) · 1, donc r_{Φ} se factorise par r_{Φ} : Gal(\overline{ℚ}/E(Φ)) → T_{E}(ℚ)\T_{E}(𝔸_{f}).

Pour (4), on note que l’élément ci-dessus est même défini sur un corps de nombre k ⊂ \overline{ℚ}, qui contient nécessairement E(Φ) d’après l’observation faite en 38. On peut supposer que O_{E} = End_{k}(A) ∩ E. Pour tout n ≥ 1, notons K(n) le sous-groupe de T_{E}(𝔸_{f}) formé des éléments t̂∈ Ô_{E}^{×} tels que t̂≡ 1 mod n. Soient σ ∈ Gal(\overline{ℚ}/k(A[n])) et t̂ ∈ T_{E}(𝔸_{f}) tel que t̂x = σx pour tout x ∈ V_{f}(A, \overline{ℚ}). Alors t̂ ∈ Ô_{E}^{×} puisque σT_{f}(A, \overline{ℚ}) = T_{f}(A, \overline{ℚ}) et t̂ ∈ K(n) puisque σ ≡ 1 sur T_{f}(A, \overline{ℚ})/nT_{f}(A, \overline{ℚ}). Donc r_{Φ}^{−1}(T_{E}(ℚ)·K(n)) contient le sous-groupe ouvert Gal(\overline{ℚ}/k(A[n])) de Gal(\overline{ℚ}/E(Φ)). Puisque les K(n) forment une base de voisinages ouverts de 1 ∈ T_{E}(𝔸_{f}), le morphisme r_{Φ} est continu. □

Corollary 44. L’action de Aut(ℂ/E(Φ)) sur H(E, Φ) se factorise par

r_{Φ} : Gal_{E(Φ)}^{ab} → T_{E}(ℚ)\T_{E}(𝔸_{f})

et σ[V_{ℝ,I}/Λ] = [V_{ℝ,I}/Λ′] pour Λ′ ∈ r_{Φ}(σ) · Λ.

Démonstration. Si r_{Φ}(σ) = T_{E}(ℚ)t̂ et (A, ι) ≃ V_{ℝ,I}/Λ, il existe une E-isogénie λ : (A, ι) → σ(A, ι) telle que λ(t̂· x) = σ · x pour tout x ∈ V_{f}(A, ℂ). Soit (A′, ι′) = V_{ℝ,I}/t̂· Λ et λ_{0} : V_{ℝ,I}/t̂· Λ → V_{ℝ,I}/Λ la E-isogénie qui correspond à l’identité de V. Alors λ_{0} identifie T_{f}(A′, ι′) et t̂· T_{f}(A, ι), donc

λ ∘ λ_{0} (T_{f}(A′, ι′)) = λ (t̂· T_{f}(A, ι)) = σT_{f}(A, ι) = T_{f}(σA, σι)

donc λ ∘ λ_{0} : V_{ℝ,I}/t̂ · Λ → σ(A, ι) est un isomorphisme de variété abélienne à multiplication complexe par E, ce qu’il fallait démontrer. □

3.4. La théorie du corps de classe. Pour tout corps de nombres k, il existe un morphisme surjectif

Art_{k} : T_{k}(ℚ)\T_{k}(𝔸) → Gal_{k}^{ab}

tel que pour toute extension abélienne finie K/k, pour tout premier 𝔭 de k qui est non-ramifié dans K, si s_{𝔭} ∈ T_{k}(𝔸) = (k ⊗ 𝔸)^{×} = ∏′ k_{v}^{×} est l’idèle qui vaut 1 en v ∤ p et une uniformisante en v = v_{𝔭}, alors

Art_{k}(s_{𝔭}) = Frob_{𝔭}^{−1} dans Gal(K/k).

Le noyau de Art_{k} est la composante connexe de 1 ∈ T_{k}(ℚ)\T_{k}(𝔸). Si k est totalement imaginaire, ce noyau contient donc T_{k}(ℝ) et Art_{k} se factorise en

Art_{k} : \overline{T_{k}(ℚ)}\T_{k}(𝔸_{f}) ⟶^{∼} Gal_{k}^{ab}.

C’est le cas de tous les corps de nombres qui contiennent E(Φ). Le théorème principal de la multiplication complexe décrit le morphisme

r_{Φ} ∘ Art_{E(Φ)} : T_{E(Φ)}(ℚ)\T_{E(Φ)}(𝔸_{f}) → Gal_{E(Φ)}^{ab} → T_{E}(ℚ)\T_{E}(𝔸_{f}).

3.5. La norme réflexe N_{Φ} : T_{E(Φ)} → T_{E}.

3.5.1. Le morphisme algébrique. Soit k ⊂ ℂ un corps de nombre tel que

V (Φ)_{ℂ} = ⊕_{ϕ∈Φ}ℂ(ϕ)

admette un modèle V (Φ)_{k} sur k (donc E(Φ) ⊂ k). Ce modèle est alors unique à isomorphisme près, et se décompose comme E = ∏ E_{j} en V (Φ)_{k} = ∏ V (Φ)_{k}^{j}. Chacun des V (Φ)_{k}^{j} est un E_{j} ⊗ k-module. Pour toute ℚ-algèbre R, on peut donc considérer V (Φ)_{k}^{j} ⊗ R comme un E_{j} ⊗ R-module libre, et prendre sur ce module le déterminant des éléments de (k ⊗ R)^{×} = T_{k}(R) : on obtient ainsi un morphisme

N_{Φ,k} : T_{k} → ∏ T_{E_{j}} = T_{E}

de ℚ-tores. Si k contient tous les ϕ(E) pour ϕ ∈ Φ, alors

N_{Φ,k}(λ) = ∏_{ϕ∈Φ} ϕ^{−1}(N_{k/ϕ(E)}λ).

Pour k = E(Φ), on note simplement N_{Φ} = N_{Φ,E(Φ)}. C’est un morphisme

N_{Φ} : T_{E(Φ)} → T_{E}.

On vérifie que N_{Φ,k} = N_{Φ} ∘ N_{k/E(ϕ)} où N_{k/E(ϕ)} : T_{k} → T_{E(ϕ)} est la norme usuelle.

3.5.2. Le morphisme adélique. La norme réflexe N_{Φ,k} induit un morphisme

N_{Φ,k} : T_{k}(𝔸_{f}) = k̂^{×} → T_{E}(𝔸_{f}) = Ê^{×}

dont on vérifie qu’il envoie Ô_{k}^{×} dans Ô_{E}^{×}. On obtient donc

N_{Φ,k} : I(k) → I(E)

où I(k) = k̂^{×}/Ô_{k}^{×} est le groupe des idéaux fractionaires de k (et idem pour E) qui vérifie à nouveau N_{Φ,k} = N_{Φ}∘N_{k/E(Φ)}. En particulier, si I est un idéal fractionnaire de E(ϕ), k une extension de E(ϕ) qui contient tous les ϕ(E) pour ϕ ∈ Φ, et si O_{k}I est l’idéal fractionnaire de k induit par I, alors

N_{Φ}(I)^{[k:E(Φ)]} = N_{Φ,k}(O_{k}I) = ∏_{ϕ∈Φ} ϕ^{−1}(N_{k/ϕ(E)}(O_{k}I)).

3.5.3. Le morphisme N_{Φ} · N_{Φ}^{⋆} : T_{E(Φ)} → T_{E}. On peut calculer le morphisme

N_{E/F} ∘ N_{Φ} = N_{Φ} · N_{Φ}^{⋆} : T_{E(Φ)} → T_{E}.

Puisque

V (Φ) ⊕ V (Φ)^{⋆} ≃ ⊕_{ϕ:E↪ℂ}ℂ(ϕ) ≃ E ⊗ ℂ

comme E ⊗ ℂ-module, pour toute ℚ-algèbre R et tout λ ∈ (E(Φ) ⊗ R)^{×},

(N_{Φ} · N_{Φ}^{⋆})(λ) = det_{E⊗R} (λ|E(Φ) ⊗ E ⊗ R) = N_{E(Φ)/ℚ}(λ)

où N_{E(Φ)/ℚ} : T_{E(Φ)} → T_{ℚ} = 𝔾_{m,ℚ} est induit par la norme. En particulier,

N_{Φ} : T_{E(Φ)} → T_{E}^{0} ⊂ T_{E}.

3.6. Le théorème principal de la multiplication complexe.

Theorem 45. Avec les notations ci-dessus,

r_{Φ} ∘ Art_{E(Φ)} = N_{Φ} : T_{E(Φ)}(ℚ)\T_{E}(𝔸_{f}) → T_{E}(ℚ)\T_{E}(𝔸_{f}).

Corollary 46. Pour tout (A, ι) ∈ H(E, Φ), σ ∈ Aut(ℂ/E(Φ)) et s ∈ T_{E(Φ)}(𝔸_{f}) tel que Art_{E(Φ)}(s) = σ|E(Φ)^{ab}, il existe une unique E-isogénie λ : (A, ι) → σ(A, ι) telle que

∀x ∈ V_{f}(A, ℂ) : λ(N_{Φ}(s) · x) = σx dans V_{f}(σA, ℂ).

Démonstration. C’est immédiat. □

Corollary 47. Avec ces notations, pour toute polarisation α : A → A^{t} qui est (E, ⋆)-linéaire, l’isogénie λ : (A, ι) → σ(A, ι) envoie ℚα sur ℚσα.

Démonstration. Pour tout x, y ∈ V_{f}(A, ℂ),

⟨x, y⟩_{f}^{λ^{t}∘σα∘λ} = ⟨x, λ^{t} ∘ σα ∘ λ(y)⟩_{f}^{A} = ⟨λ(x), σα ∘ λ(y)⟩_{f}^{σA} = ⟨λ(x), λ(y)⟩_{f}^{σα}

donc si t̂= N_{Φ}(s),

⟨t̂x, t̂y⟩_{f}^{λ^{t}∘σα∘λ} = ⟨λ(t̂x), λ(t̂y)⟩_{f}^{σα} = ⟨σ · x, σ · y)⟩_{f}^{σα} = χ_{cyl}(σ) · ⟨x, y)⟩_{f}^{α} .

Mais la théorie du corps de classe fournit un c ∈ ℚ_{>}^{×} tel que

χ_{cyc}(σ) = χ_{cyc} ∘ Art_{E(Φ)}(s) = c · N_{E(Φ)/ℚ}(s) = c · N_{Φ}(s) · N_{Φ}(s)^{⋆} = c · t̂t̂^{⋆}

Puisque ⟨t̂x, t̂y⟩_{f}^{λ^{t}∘σα∘λ} = ⟨x, t̂^{⋆}t̂y⟩_{f}^{λ^{t}∘σα∘λ} = c^{−1}χ_{cyc}(σ) ⟨x, y⟩_{f}^{λ^{t}∘σα∘λ}, on obtient

∀x, y ∈ V_{f}(A, ℂ) : ⟨x, y⟩_{f}^{λ^{t}∘σα∘λ} = c ⟨x, y⟩_{f}^{α} = ⟨x, y⟩_{f}^{cα}

donc cα = λ^{∗}(σα), ce qu’il fallait démontrer. □

Corollary 48. Soit (A, ι) ∈ H(E, Φ) défini sur un corps de nombre k ⊂ \overline{ℚ} et

χ_{A} : Gal_{k}^{ab} → Ê^{×} = T_{E}(𝔸_{f})

le caractère qui donne l’action de Gal(\overline{ℚ}/k) sur V_{f}(A, \overline{ℚ}), i.e.

∀x ∈ V_{f}(A, \overline{ℚ}) et σ ∈ Gal(\overline{ℚ}/k) : σ · x = χ_{A}(σ) · x dans V_{f}(A, \overline{ℚ}).

Alors : il existe un (unique) caractère ϵ_{k} : T_{k}(𝔸_{f}) → E^{×} tel que

χ_{A} ∘ Art_{k} = ϵ_{k} · N_{Φ,k} : T_{k}(𝔸_{f}) → T_{E}(𝔸_{f}).

Démonstration. D’après le théorème, pour tout s ∈ T_{k}(𝔸_{f}) donnant s′ = N_{k/E(Φ)}(s) dans T_{E(Φ)}(𝔸_{f}) et σ′ = Art_{E(Φ}(s′) dans Gal_{E(Φ)}^{ab} relevé en σ′ dans Gal(\overline{ℚ}/E(Φ)), il existe une unique E-isogénie λ : (A, ι) → σ′(A, ι) telle que

∀x ∈ V_{f}(A, \overline{ℚ}) : λ(N_{Φ}(s′) · x) = σ′ · x.

Mais σ′ = σ|E(Φ)^{ab} où σ = Art_{k}(s). Si l’on choisit σ′ tel que σ̃′|k^{ab} = σ, on a donc σ′(A, ι) = (A, ι), i.e. λ : (A, ι) → (A, ι) est un élément λ(s) ∈ E^{×}, et

∀x ∈ V_{f}(A, \overline{ℚ}) : λ(s)N_{Φ}(s′) · x = χ_{A}(σ) · x

i.e. χ_{A} ∘ Art_{k}(s) = λ(s) · N_{Φ,k}(s). Alors s ↦ λ(s) est le caractère recherché. □

Remark 49. Si K est une extension finie de k, ϵ_{K} = ϵ_{k} ∘ N_{K/k}. D’autre part, puisque χ_{A} et N_{Φ} sont continus et atterrissent dans T_{E}^{0}(𝔸_{f}), ϵ_{k} atterrit en fait dans T_{E}^{0}(ℚ) ⊂ E^{×}, et est un morphisme continu si l’on met sur T_{E}^{0}(ℚ) la topologie induite par celle de T_{E}^{0}(𝔸_{f}), i.e. la topologie discrète (c.f. la preuve du lemme 41). En particulier, ϵ_{k}(Ô_{k}^{×}) est un sous-groupe fini de E^{×}, donc de μ(E^{×}). D’après la théorie du corps de classe, on peut donc bricoler une extension cyclique K de k, de degré divisant l’ordre de μ(E^{×}), telle que ϵ_{K}(Ô_{K}^{×}) = 1. Mais alors pour tout nombre premier p,

χ_{A} ∘ Art_{K}(O_{K,p}^{×}) = N_{K,Φ}(O_{K,p}^{×}) ⊂ T_{E}(ℚ_{p}) ⊂ T_{E}(𝔸_{f})

et en particulier Art_{K}(O_{K,p}^{×}) agit trivialement sur V_{ℓ}(A, \overline{ℚ}) pour tout ℓ ≠ p, donc A_{K} a bonne réduction partout.

4. La preuve du Théorème Principal

4.1. Le formalisme des “𝔞-transforms”.

4.1.1. Généralités. Soit O un anneau noethérien et A un S-schéma abélien muni d’une action de O. Pour tout O-module M de type fini, on note

A^{M} : (Sch/S)^{0} → Ab A^{M}(T) = Hom_{O} (M, A(T)) .

Cette construction est compatible au changement de base sur S, covariante en A, contravariante en M et exacte d’un côté : si

M_{1} → M_{2} → M_{3} → 0

est une suite exacte de O-module, alors la suite de préfaisceau abélien

0 → A^{M_{3}} → A^{M_{2}} → A^{M_{1}}

est exacte. En particulier, A^{M_{3}} est représentable si A^{M_{2}} et A^{M_{1}} le sont, donc A^{M} est représentable pour tout M (de type fini) puisque A^{M} ≃ A^{n} l’est pour M = O^{n}. On obtient ainsi un foncteur contravariant M ↦ A^{M} de la catégorie des O-modules de type fini dans celle des S-schémas en groupes commutatifs. Puisque A est propre sur S, tous les A^{M} le sont aussi. De plus :

Exercise 50. Si M est un O-module projectif, alors A^{M} est un S-schéma abélien.

4.1.2. Le cas CM.

Lemma 51. Soit A un S-schéma abélien à multiplication complexe par l’anneau des entiers O_{E} d’une ℚ-algèbre réduite E, i.e. O_{E} ⊂ End_{S}(A) et dim_{ℚ} E = 2 dim_{S} A. Alors pour tout idéal inversible I de O_{E}, l’inclusion I ↪ O_{E} induit une isogénie α_{A}^{I} : A → A^{I} de degré [O_{E} : I].

Démonstration. On suppose pour simplifier que E est un corps. Tout idéal non nul est alors inversible, donc projectif, et A^{I} est un S-schéma abélien de même dimension que A, comme on voit par exemple en calculant un module de Tate. Le noyau de α_{A}^{I} : A → A^{I} est A^{O/I} = A[I], qui est fini, donc α_{A}^{I} est une isogénie (en particulier, elle est surjective : il résulte alors du critère de Baer que pour tout point géométrique s de S, A(s) est un O-module injectif). Pour I = (λ) principal, A[I] = ker λ donc

deg α_{A}^{I} = deg λ = nrλ = [O_{E} : I].

On le vérifie en effet directement pour α = [n], puis pour tout α en utilisant le fait que les deux fonctions deg et nr sur End_{s}^{0}(A_{s}) sont polynomiales, voir plus bas. Pour I = I_{1}I_{2} le produit de deux idéaux, on a

(α_{A}^{I_{1}I_{2}} : A → A^{I_{1}I_{2}}) = (α_{A^{I_{1}}}^{I_{2}} ∘ α_{A}^{I_{1}}A → A^{I_{1}} → (A^{I_{1}})^{I_{2}})

et A^{I_{1}}[I_{2}] ≃ A[I_{2}], donc I ↦ deg α_{A}^{I} est une fonction multiplicative sur l’ensemble des idéaux. On conclut en utilisant la finitude de Pic(O). □

Remark 52. Lorsque S est connexe et admet un point complexe s ∈ S(ℂ), on peut vérifier la formule deg α_{A}^{I} = [O_{E} : I] directement sur les points complexes. En effet, si A_{s}(ℂ) ≃ V_{ℝ,I}/Λ, alors Λ est un O_{E}-réseau dans V = Λ ⊗ E. On montre comme dans le cas CM que V est un E-module libre de rang 1, donc Λ un O_{E}-module inversible, et on vérifie facilement que A_{s}^{I}(ℂ) ≃ V_{ℝ,I}/I^{−1}Λ. Donc A_{s}[I](ℂ) ≃ I^{−1}Λ/Λ ≃ O_{E}/I comme O_{E}-module.

4.2. La formule de Giraud.

4.2.1. Préliminaires sur les algèbres de Lie. Soit k = 𝔽_{q}, α : A → B un morphisme entre deux variétés abéliennes, α_{0}^{#} : O_{B,0} → O_{A,0} le morphisme déduit de α entre les anneaux locaux de B en α(0) = 0 et A en 0. C’est un morphisme de k-algèbres locales régulières augmentées qui permet de retrouver le morphisme induit par α sur les espaces cotangents en 0, α_{0}^{#} : I_{B,0}/I_{B,0}^{2} → I_{A,0}/I_{A,0}^{2}, et donc aussi le morphisme Lieα : LieA → LieB, qui est le dual du précédent. Ce morphisme induit aussi un morphisme entre les complétions de ces deux k-algèbres en leur idéal d’augmentation : α_{0}^{#} : Ô_{B,0} → Ô_{A,0}. Le choix d’une k-base y_{1}, ⋯, y_{g′} de I_{B,0}/I_{B,0}^{2} (resp. (x_{1}, ⋯, x_{g}) de I_{A,0}/I_{A,0}^{2}), où g = dim A et g′ = dim B fournit des identifications de ces k-algèbres augmentées complètes avec des algèbres de séries formelles,

α_{0}^{#} : k[[y_{1}, ⋯, y_{g′}]] → k[[x_{1}, ⋯, x_{g}]].

Si α est une isogénie, α_{0}^{#} est un morphisme fidèlement plat et fini, qui fait donc de O_{A,0} une O_{B,0}-algèbre qui est un O_{B,0}-module libre de rang fini. L’anneau local en 0 du k-schéma en groupe fini ker α est alors

O_{ker α,0} = O_{A,0}/α_{0}^{#}(I_{B,0})O_{A,0}
= Ô_{A,0}/α_{0}^{#}(I_{B,0})Ô_{A,0}
= k[[x_{1}, ⋯, x_{g}]]/(α_{0}^{#}(y_{1}), ⋯ α_{0}^{#}(y_{g′})).

Prenons pour α le Frobénius π : A → A. Alors

α_{0}^{#} : k[[x_{1}, ⋯, x_{g}]] → k[[x_{1}, ⋯, x_{g}]] x_{i} ↦ x_{i}^{q}

Puisque (ker π)(k^{alg}) = 0, le k-schéma fini ker π est local, et c’est le Spec de

O_{ker π,0} = k[[x_{1}, ⋯, x_{g}]]/(x_{1}^{q}, ⋯, x_{g}^{q}) = k[x_{1}, ⋯, x_{g}]/(x_{1}^{q}, ⋯, x_{g}^{q}).

On en déduit que

rang(ker π) = q^{g} = |Lie(ker π)| = |Lie(A)| .

Prenons ensuite pour α : A → B un morphisme qui factorise π, i.e. ker α ⊂ ker π. Choisissons les bases (y_{1}, ⋯, y_{g}) et (x_{1}, ⋯, x_{g}) des espaces cotangents de sorte que y_{j} ↦ x_{g−j} pour j ≤ g − s et y_{j} ↦ 0 pour j > g − s, donc s est la dimension du conoyau du morphisme cotangent, c’est-à-dire la dimension du noyau Lie(ker α) de α : LieA → LieB. D’autre part,

O_{ker α,0} = k[x_{1}, ⋯, x_{g}]/I

pour un idéal (x_{1}^{q}, ⋯, x_{g}^{q}) ⊂ I ⊂ (x_{1}, ⋯, x_{g}) contenant x_{g−s+1}, ⋯, x_{g}, donc O_{ker α,0} est un quotient de l’anneau k[x_{1}, ⋯, x_{s}]/(x_{1}^{q}, ⋯, x_{s}^{q}), donc

rang(ker α) ≤ q^{s} = |Lie(ker α)| .

On en déduit que

Lemma 53. Pour tout sous-schéma en groupe K de ker π,

rangK ≤ |Lie(K)| .

4.2.2. La formule de Giraud. Soit k = 𝔽_{q} un corps fini et A/k une variété abélienne à multiplication complexe par l’anneau des entiers O_{E} d’une ℚ-algèbre réduite E, i.e. O_{E} ⊂ End_{k}A. Soit π : A → A le Frobenius. C’est une isogénie inséparable de degré q^{g} qui commute à tout le monde, qui est donc dans le commutant de O_{E} dans End_{k}A, c’est-à-dire dans O_{E}. Soit (π) = P_{1}^{n_{1}} ⋯ P_{r}^{n_{r}} la décomposition de l’idéal principal engendré par π dans O_{E} en produit d’idéaux premiers, avec P_{i} ≠ P_{j}. Puisque π = 0 sur le O_{E} ⊗ k-module LieA,

LieA = LieA[P_{1}^{n_{1}}] × ⋯ × LieA[P_{r}^{n_{r}}].

D’après le lemme 53,

q^{g} = |LieA| = _{∏j} |LieA[P_{j}^{n_{j}}]| ≥ _{∏j} deg A[P_{j}^{n_{j}}] = deg π = q^{g}

donc |LieA[P_{j}^{n_{j}}]| = deg A[P_{j}^{n_{j}}] = |O_{E}/P_{j}^{n_{j}} |. On en déduit la formule de Giraud :

Proposition 54. [LieA] = [O_{E}/(π)] dans le groupe de Grothendieck K_{0}(O_{E}).

4.3. La formule de Shimura-Taniyama.

Proposition 55. Soit A une variété abélienne de type CM (E, Φ) sur un corps de nombres k contenu dans ℂ. On suppose que k contient ϕ(E) pour tout ϕ ∈ Φ et que O_{E} ⊂ End_{k}(A) où O_{E} est l’anneau des entiers de E. Soit P un idéal premier de O_{k} où A a bonne réduction. Alors le Frobenius de la réduction \overline{A} de A sur k(P) se relève en un endomorphisme π de O_{E} ⊂ End_{k}(A), et l’idéal principal qu’il engendre dans O_{E} est

(π) = N_{k,Φ}(P) = ∏_{ϕ∈Φ} ϕ^{−1}(N_{k/ϕ(E)}P)

où N_{k,Φ} : I(k) → I(E) est la norme réflexe au niveau des idéaux.

Remark 56. Puisque deg π = q^{g}, la formule ci-dessus est équivalente à

v_{𝔭}(π) = ∑_{ϕ∈Φ} v_{ϕ(𝔭)}(N_{k/ϕ(E)}P) = ∑_{ϕ∈Φ∩H(𝔭)} f(P : ϕ(𝔭))

pour tout 𝔭 | p de O_{E}, où

H(𝔭) = {ϕ : E → k|ϕ^{−1}(P) = 𝔭}.

Multipliant tout par f(𝔭 : p) = f(ϕ(𝔭) : p), on obtient

v_{𝔭}(π) · f(𝔭 : p) = f(P : p) · |H(𝔭) ∩ Φ| .

Multipliant encore tout par e(𝔭, p), on obtient finalement

v_{𝔭}(π) · |H(𝔭)| = v_{𝔭}(q) · |H(𝔭) ∩ Φ|

puisque

v_{𝔭}(q) = f(P : p) · e(𝔭 : p) et |H(𝔭)| = [E_{𝔭} : ℚ_{p}] = f(𝔭 : p) · e(𝔭 : p)

La formule de Shimura-Tanyiama est donc équivalente à

∀𝔭 | p de O_{E} : \frac{v_{𝔭}(π)}{v_{𝔭}(q)} = \frac{|H(𝔭) ∩ Φ|}{|H(𝔭)|}.

Démonstration. Soit A le modèle de Néron de A sur O_{k} et L = Lie(A). C’est un O_{E} ⊗ O_{k}-module qui est un O_{k}-module localement libre de rang g. Soit

det_{L} : O_{E} → O_{k}

le déterminant qui en résulte. Puisque A est de type CM (E, Φ) et ϕ(E) ⊂ k pour tout ϕ ∈ Φ, on sait que L ⊗ k ≃ ∏_{ϕ∈Φ} k(ϕ) comme E ⊗ k-module, donc

∀e ∈ O_{E} : det_{L}(e) = _{∏ϕ∈Φ}ϕ(e).

Considérons d’autre part le O_{E} ⊗ k(P)-module L ⊗_{O_{k}} k(P). C’est un module de longueur finie sur O_{E}/pO_{E} ⊗_{𝔽_{p}} k(P), et il admet donc une suite de composition (de Jordan-Holder) dont les quotients sont des O_{E}/pO_{E} ⊗ k(P)-modules simples, lesquels sont des quotients de O_{E}/𝔭 ⊗_{𝔽_{p}} k(P) pour des idéaux premiers 𝔭 | p de O_{E}, donc de la forme k(P)(ϕ) pour un morphisme ϕ ∈ H(𝔭). La formule qui donne le déterminant montre que ces facteurs simples sont exactement les k(P)(ϕ) pour ϕ ∈ Φ, sans multiplicité. Si ϕ ∈ H(𝔭) (i.e. ϕ^{−1}(P) = 𝔭), le O_{E}/𝔭-espace vectoriel k(P) est de 𝔽_{p}-dimension f(P : p) = f(P : ϕ(𝔭))·f(𝔭 : p), donc de O_{E}/𝔭-dimension f(P : ϕ(𝔭)). On en déduit que la multiplicité du O_{E}-module simple O_{E}/𝔭 dans L ⊗_{O_{k}} k(P) est la somme sur tous les ϕ ∈ H(𝔭) ∩ Φ de f(P : ϕ(𝔭)). Mais puisque L ⊗_{O_{k}} k(P) = Lie(A_{k(P)}), cette multiplicité est aussi celle de O_{E}/𝔭 dans O_{E}/(π), d’après la formule de Giraud, proposition 54. On a donc

v_{𝔭}(π) = ∑_{ϕ∈H(𝔭)∩Φ} f(P : ϕ(𝔭))

pour tout 𝔭 | p de O_{E}, ce qui est précisément la formule de Shimura-Taniyama. □

4.4. Preuve du théorème principal. On veut montrer que

r_{Φ} ∘ Art_{E(Φ)} = N_{Φ} : T_{E(Φ)}(ℚ)\T_{E(Φ)}(𝔸_{f}) → T_{E}(ℚ)\T_{E}(𝔸_{f}).

4.4.1. Niveau fini. Pour tout n entier, notons

K(n) = {λ ∈ Ô_{E}^{×} : λ ≡ 1 mod n}.

C’est un sous-groupe ouvert et compact de T_{E}(𝔸_{f}). Puisque r_{Φ} ∘ Art_{E(Φ)} et N_{Φ} sont continus, il existe un idéal N de O_{E(Φ)} tels que les deux applications

r_{Φ} ∘ Art_{E(Φ)} mod K(n) et N_{Φ} mod K(n)

se factorisent en un diagramme

r_{Φ} ∘ Art_{E(Φ)} ou N_{Φ} :  T_{E(Φ)}(ℚ)\T_{E(Φ)}(𝔸_{f})  →  T_{E}(ℚ)\T_{E}(𝔸_{f})
↓  ↓
r_{Φ} ∘ Art_{E(Φ)} ou N_{Φ} : T_{E(Φ)}(ℚ)\T_{E(Φ)}(𝔸_{f})/K(N) → T_{E}(ℚ)\T_{E}(𝔸_{f})/K(n)

où K(N) = {λ ∈ Ô_{E(Φ)}^{×} : λ ≡ 1 mod N }. Or

T_{E}(ℚ)\T_{E}(𝔸_{f})/K(n) = E^{×}\ (Ê^{(n)×}/K(n)^{(n)} ×_{∏𝔮|n}E_{𝔮}^{×}/K(n)_{𝔮})

avec des notations évidentes, et E^{×} est dense dans ∏_{𝔮|n} E_{𝔮}^{×}, donc

T_{E}(ℚ)\T_{E}(𝔸_{f})/K(n) ≃ Γ(E^{×}, n)\Ê^{(n)×}/K(n)^{(n)} ≃ i(Γ(E^{×}, n))\I^{n}(E) = C(E, n)

où I^{n}(E) est l’ensemble des idéaux fractionnaires de E qui sont premiers à n,

Γ(E^{×}, n) = {λ ∈ E^{×} : ∀𝔮 | n, v_{𝔮}(λ − 1) ≥ v_{𝔮}(n)}

et i est l’application qui à un élément de E^{×} associe le O_{E}-idéal engendré par cet élément. De même et avec des notations similaires,

T_{E(Φ)}(ℚ)\T_{E(Φ)}(𝔸_{f})/K(N) ≃ i(Γ(E(Φ)^{×}, N))\I^{N} (E(Φ)) = C(E(Φ), N).

Les morphismes ainsi obtenus sont

r_{Φ} ∘ Art_{E(Φ)} et N_{Φ} : C(E(Φ), N) → C(E, n).

Le morphisme N_{Φ} se décrit aisément : il est induit par le morphisme N_{Φ} sur les idéaux. Quant au morphisme r_{Φ} ∘ Art_{E(Φ)}, il se décrit de la manière suivante.

4.4.2. Description de r_{Φ}∘Art_{E(Φ)} en niveau fini. Soit E(Φ, N) l’extension abélienne de E(Φ) qui est fixée par Art_{E(Φ)}(K(N)). C’est une extension non-ramifiée en dehors de N, et les isomorphismes ci-dessus induisent un isomorphisme

Art_{E(Φ)} : C(E(Φ), N) ⟶^{≃} Gal (E(Φ, N)/E(Φ))

qui envoient la classe d’un idéal premier 𝔭 ∤ N de E(Φ) sur l’inverse Frob_{𝔭}^{−1} du Frobénius arithmétique Frob_{𝔭} ∈ Gal(E(Φ, N)/E(Φ)).

Soit X ∈ C(E(Φ), N). Choisissons σ ∈ Aut(ℂ/E(Φ)) tel que

σ|E(Φ, N) = Art_{E(Φ)}(X) dans Gal (E(Φ, N)/E(Φ)) .

Soient (A, ι) ∈ H(E, Φ), λ une E-isogénie (A, ι) → σ(A, ι) et t̂∈ T_{E}(𝔸_{f}) tel que

∀x ∈ V_{f}(A, ℂ) : λ(t̂· x) = σ · x dans V_{f}(σA, ℂ).

Quitte à modifier λ par un élément convenable de E^{×}, on peut supposer que pour tout 𝔭 | n, la composante t̂_{𝔭} de t̂ est dans le sous-groupe ouvert compact K(n)_{𝔭} de E_{𝔭}^{×}. Si O_{E} = End(A) ∩ ι(E), cette condition est équivalente à une condition sur λ, à savoir : λ(a) = σa pour tout a ∈ A[n]. Soit enfin J = t̂· O_{E} ∈ I^{n}(E) et Y la classe de Y dans C(E, n). Alors

r_{Φ} ∘ Art_{E(Φ)}(X) = Y.

Nous allons montrer que pour de bons choix de

𝔭 ∈ X , σ ∈ Aut(ℂ/E(Φ)), (A, ι) ∈ H(E, Φ) et λ : (A, ι) → σ(A, ι)

vérifiant toutes les conditions ci-dessus, on obtient J = N_{Φ}(𝔭).

4.4.3. Choix de (A, ι). Choisissons une extension galoisienne finie k de E(Φ) telle que (1) E(Φ, N) ⊂ k, et (2) il existe une variété abélienne (A, ι) ∈ H(E, Φ) qui est définie sur k et telle que O_{E} = End_{k}(A)∩ι(E). Quitte à agrandir encore k, on peut supposer que (3) ϕ(E) ⊂ k pour tout ϕ ∈ Φ, et (4) pour tout σ ∈ Gal(k/E(Φ)), il existe une O_{E}-isogénie A → σA qui est définie sur k.

Exercise 57. Toute O_{E}-isogénie A → σA est alors également définie sur k.

4.4.4. Choix de 𝔭 et σ. On choisit dans X ∈ C(E(Φ), N) l’inverse 𝔭^{−1} d’un idéal premier 𝔭 ∤ N tel que la variété abélienne A sur k a bonne réduction en tous les idéaux premiers P | 𝔭 de k. On fixe un tel idéal premier P | 𝔭 de O_{k}, de sorte que σA a bonne réduction en P pour tout σ ∈ Gal(k/E(Φ)). On choisit σ ∈ Aut(ℂ/E(Φ)) de sorte que

σ|k = Frob_{P} ∈ Gal(k/E(Φ)).

4.4.5. Calcul de r_{Φ} ∘ Art_{E(Φ)}(X).

Lemma 58. Il existe J ∈ I(E) et un k-isomorphisme O_{E}-linéaire β : A^{J} ≃ σA.

Démonstration. D’après l’hypothèse (4) sur (A, ι), tout isomorphisme O_{E}-linéaire A^{J}(ℂ) ≃ (σA)(ℂ) est défini sur k, cf Exercice 57. Si

A(ℂ) ≃ V_{ℝ,I}/Λ et (σA)(ℂ) ≃ V_{ℝ,I}/Λ′,

il existe un idéal fractionnaire J de E tel que Λ′ = J^{−1}Λ. Les isomorphismes

Hom_{O_{E}}(J, V_{ℝ,I}) ≃ Hom_{E}(E, V_{ℝ,I}) ≃ V_{ℝ,I}

induisent un isomorphisme

Hom_{O_{E}}(J, Λ) ≃ {f : E → V_{ℝ,I} : f(J) = Jf(1) ⊂ Λ} ≃ J^{−1}Λ

d’où l’on déduit que

Hom_{O_{E}}(J, V_{ℝ,I}/Λ) ≃ V_{ℝ,I}/J^{−1}Λ

i.e. A^{J}(ℂ) ≃ (σA)(ℂ), cqfd. □

Soit \overline{A}/k(P) la réduction de A en P. Alors \overline{A}^{(q^{i})} est celle de σ^{i}A. En particulier, le composé des Frobenius “absolus”

\overline{A} → \overline{A}^{(q)} → \overline{A}^{(q^{2})} → ⋯ → \overline{A}^{(q^{f})} = \overline{A}

est le Frobénius π ∈ O_{E} de la variété abélienne \overline{A} sur k(P). Notons que tous ces morphismes sont O_{E}-linéaires, et se déduisent de F : \overline{A} → \overline{A}^{(q)} par application itérée de −^{(q)}.

Lemma 59. Il existe J ⊂ O_{E} et un isomorphisme O_{E}-linéaire β : A^{J} ⟶^{≃} σA tel que β ∘ α_{J}^{A} : A → A^{J} → σA se réduise sur F : \overline{A} → \overline{A}^{(q)}.

Démonstration. Soit J un idéal fractionnaire de E tel qu’il existe un k-isomorphisme O_{E}-linéaire β : A^{J} ⟶^{≃} σA. La réduction de cet isomorphisme est un isomorphisme \overline{β} : \overline{A}^{J} ⟶^{≃} \overline{A}^{(q)}. Alors \overline{β}^{−1} ∘ F : \overline{A} → \overline{A}^{J} est un élément de

Hom_{O_{E}}(\overline{A}, \overline{A}^{J}) = Hom_{O_{E}}(\overline{A}, Hom_{O_{E}}(J, \overline{A}))
= Hom_{O_{E}}(\overline{A} ⊗ J, \overline{A})
= Hom_{O_{E}}(J, Hom_{O_{E}}(\overline{A}, \overline{A}))
= Hom_{O_{E}}(J, O_{E})

i.e., provient d’un f : J → O_{E}, qui est injectif puisque \overline{α} ∘ F est une isogénie. Remplaçant J par f(J), on peut donc supposer que J ⊂ O_{E} et

\overline{β}^{−1} ∘ F = \overline{α}_{J}^{A} : \overline{A} → \overline{A}^{J}.

Alors β ∘ α_{J}^{A} : A → A^{J} ⟶^{≃} σA se réduit bien sur F : \overline{A} → \overline{A}^{(q)}. □

Soit λ = β ∘ α_{J}^{A} : A → A^{J} ⟶^{≃} σA. C’est une isogénie O_{E}-linéaire de degré [O_{E} : J] = deg F = (deg 𝔭)^{g} premier à n, et puisque λ se réduit sur F, λ(a) = σa pour tout a ∈ A[n]. Donc si t̂ est l’élément de T_{E}(𝔸_{f}) tel que

∀x ∈ V_{f}(A, \overline{ℚ}) : λ(t̂· x) = σ · x dans V_{f}(σA, \overline{ℚ})

alors t̂_{𝔮} ∈ K(n)_{𝔮} pour tout 𝔮 | n et r_{Φ} ∘ Art(X) ∈ C(E, n) est représenté par l’idéal t̂· O_{E} ∈ I^{n}(E). Pour calculer cet idéal, on note que α_{J}^{A} : V_{f}(A, \overline{ℚ}) → V_{f}(A^{J}, \overline{ℚ}) envoie t̂· T_{f}(A, \overline{ℚ}) sur T_{f}(A^{J}, \overline{ℚ}), et que les isomorphismes

V_{f}(A^{J}, \overline{ℚ}) ≃ Hom_{O_{E}} (J, V_{f}(A, \overline{ℚ})) ≃ Hom_{E} (E, V_{f}(A, \overline{ℚ})) ≃ V_{f}(A, \overline{ℚ})

identifient T_{f}(A^{J}, \overline{ℚ}) à J^{−1} · T_{f}(A, \overline{ℚ}) et α_{J}^{A} à l’identité, donc

t̂· T_{f}(A, \overline{ℚ}) = J^{−1} · T_{f}(A, \overline{ℚ}).

On en déduit que t̂· O_{E} = J^{−1}, donc

r_{Φ} ∘ Art(X) = [J^{−1}] ∈ C(E, n).

Posant β_{ℓ} = (σ^{ℓ−1}β)∘(σ^{ℓ−2}β^{J})∘⋯∘(σβ^{J^{ℓ−2}})∘β^{J^{ℓ−1}}, un isomorphisme O_{E}-linéaire

β_{ℓ} : A^{J^{ℓ}} → σA^{J^{ℓ−1}} → σ^{2}A^{J^{ℓ−2}} → ⋯ → σ^{ℓ}A

on obtient un diagramme commutatif

A → A^{J} → A^{J^{2}} → ⋯ →  A^{J^{f}}
∥ β_{1} ↓ β_{2} ↓ β_{f} ↓
A → σA → σ^{2}A → ⋯ → σ^{f}A = A

dont la deuxième ligne se réduit sur le Frobenius π : \overline{A} → \overline{A}. On a donc

J^{f} = (π) = N_{Φ,k}(P) = N_{Φ}(𝔭^{f}) = N_{Φ}(𝔭)^{f}

d’après la formule de Shimura-Taniyama, donc J = N_{Φ}(𝔭) puisque I^{n}(E) est sans torsion. Ainsi J^{−1} = N_{Φ}(𝔭^{−1}), et puisque X = [𝔭^{−1}] dans C(E(Φ), N), on a bien

r_{Φ} ∘ Art_{E(Φ)} = N_{Φ} : C(E(ϕ), N) → C(E, n).

4.4.6. Fin de la preuve. On a donc vu que pour tout n ≥ 1,

r_{Φ} ∘ Art_{E(Φ)} ≡ N_{Φ} mod K(n).

Cela montre déjà que θ = r_{Φ} ∘ Art_{E(Φ)}/N_{Φ}^{−1} est un morphisme

θ : T_{E(Φ)}(ℚ)\T_{E(Φ)}(𝔸_{f}) → T_{E}(ℚ)\\overline{T_{E}(ℚ)}

où \overline{T_{E}(ℚ)} = ∩_{n}T_{E}(ℚ) · K(n) est l’adhérence de T_{E}(ℚ) dans T_{E}(𝔸_{f}). On conclut grâce aux deux lemmes suivants, où ⋆ est l’involution de T_{E}(𝔸_{f}) induite par l’involution canonique ⋆ de E :

Lemma 60. Avec les notations ci-dessus, θ · θ^{⋆} = 1.

Démonstration. Soient s ∈ T_{E(Φ)}(𝔸_{f}), σ ∈ Aut(ℂ) tel que σ|E(Φ)^{ab} = Art_{E(Φ)}(s), (A, ι) ∈ H(E, Φ), λ une E-isogénie (A, ι) → σ(A, ι), et t̂∈ T_{E}(𝔸_{f}) tel que

∀x ∈ V_{f}(A, ℂ) : λ(t̂· x) = σx dans V_{f}(σA, ℂ).

Soit α : A → A^{t} une polarisation (E, ⋆)-linéaire de A. Alors

σα : σA → σ(A^{t}) ≃ (σA)^{t}

est une polarisation (E, ⋆)-linéaire de σA et

λ^{∗}(σα) = λ^{t} ∘ σα ∘ λ : A → A^{t}

est à nouveau une polarisation de A. D’après le corollaire 32, il existe donc une constante c ∈ F_{>}^{×} telle que cα = λ^{t} ∘ σα ∘ λ. Pour tout x, y ∈ V_{f}(A, ℂ), on a alors

⟨t̂· x, ct̂· y⟩_{f}^{α} = ⟨t̂· x, t̂· y⟩_{f}^{λ^{t}∘σα∘λ} = ⟨λ(t̂· x), λ(t̂· y)⟩_{f}^{σα}
= ⟨σx, σy)⟩_{f}^{σα} = σ ⟨x, y⟩_{f}^{α} = χ_{cyc}(σ) ⟨x, y⟩_{f}^{α}

donc ⟨x, ct̂t̂^{⋆} · y⟩_{f}^{α} = ⟨x, χ_{cyc}(σ)y⟩_{f}^{α}, de sorte que ct̂t̂^{⋆} = χ_{cyc}(σ) et

(θ · θ^{⋆})(s) = \frac{r_{Φ}(σ) · r_{Φ}(σ)^{⋆}}{N_{Φ}(s) · N_{Φ}(s)^{⋆}} = \frac{t̂· t̂^{⋆}}{N_{Φ}(s) · N_{Φ}(s)^{⋆}} ∈ T_{E}(ℚ),

puisque χ_{cyc}(σ) ≡ N_{Φ}(s) · N_{ϕ}(s)^{⋆} mod T_{E}(ℚ). □

Lemma 61. Le groupe \overline{T_{E}(ℚ)}/T_{E}(ℚ) est un ℚ-espace vectoriel sur lequel ⋆ = 1.

Démonstration. On admet le résultat suivant : la topologie de T_{E}(𝔸_{f}) induit sur O_{E}^{×} la topologie profinie, i.e. celle dont une base de voisinage ouvert (et fermé) de 1 est formé des sous-groupes U qui sont d’indice fini dans O_{E}^{×}. Pour un tel sousgroupe U, l’adhérence \overline{U} de U dans T_{E}(𝔸_{f}) s’identifie donc à la complétion profinie Û de U. D’autre part,

(T_{E}(ℚ) · \overline{U}) ∩ Ô_{E}^{×} = O_{E}^{×} · \overline{U} = ∪_{x∈O_{E}^{×}/U}x · \overline{U}

est fermé dans Ô_{E}^{×}, donc T_{E}(ℚ) · \overline{U} est un sous-groupe localement fermé, donc fermé, de T_{E}(𝔸_{f}). Il en résulte que T_{E}(ℚ) · \overline{U} = \overline{T_{E}(ℚ)}, et l’on obtient donc une suite exacte

1 → \overline{U} ∩ T_{E}(ℚ)/U → Û/U ≃ \overline{U}/U → \overline{T_{E}(ℚ)}/T_{E}(ℚ) → 1

avec un noyau fini puisque \overline{U} ∩ T_{E}(ℚ) ⊂ O_{E}^{×}. Puisque O_{F}^{×} et O_{E}^{×} sont des groupes abéliens de type fini et de même rang r = [F : ℚ] − |SpecF |, on peut choisir pour U un sous-groupe de O_{F}^{×} qui est sans torsion (et de rang r). Alors \overline{U}/U ≃ Û/U ≃ (ℤ̂/ℤ)^{r}. Mais ℚ̂ = ℤ̂ + ℚ avec ℤ̂ ∩ ℚ = ℤ. On obtient alors

\overline{T_{E}(ℚ)}/T_{E}(ℚ) ≃ \overline{U}/U ≃ Û/U ≃ (ℤ̂/ℤ)^{r} ≃ (ℚ̂/ℚ)^{r}

et le lemme en résulte immédiatement. □

Références

[1] D. Mumford, Abelian Varieties.

[2] J-P. Serre et J. Tate, Good Reduction of Abelian Varieties. Annals of Math., Second Series, 88.3 (1968).

[3] E. Snapper, Polynomials associated with divisors. J. Math. Mech. 9 (1960) 123–139.